平面向量：
1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)
共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23
[答案] C
[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，
∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c
垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1
[答案] C
[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.
(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( )
A ．－611
B ．－116 C.611
D.116
[答案] C
[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，
∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6
11. 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的
夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°
[答案] B
[解析] 如图，在?ABCD 中，
∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.
(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3
2，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )
A.12
B.13
C.14
D.15
[答案] A
[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝3
4， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，
设|b |＝x ，则1＋x 2
－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.
4. 若AB →·BC
→＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．
5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c
为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B
[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，
∴??
?
λ＋μ＝－2λ－μ＝4
，∴??
?
λ＝1μ＝－3
，∴c ＝a －3b ，故选B.
(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF
→等于( )
A.14a ＋12b
B.23a ＋13b
C.12a ＋14b
D.13a ＋23b
[答案] B
[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE
→＝3ED →，
3y
≥2
3
2x ＋y
＝6，等号在x ＝1
2，y ＝1时成立．
6. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数
x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋5
2 D.1＋5
2
[答案] A
[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC
→＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 7. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB
→＋AC
→)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关 [答案] C
[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，
设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP
→＝(x ，－3)， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.
(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD
→|的最小值是( ) A.1
2 B.3
2 C. 2 D.22
[答案] D
[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC
→|＝2， ∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC
→|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2
＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12
， ∴|AD →|≥22
.
8. 如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高
点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为( )
A.π
8 B.π
4 C ．4 D ．8
[答案] B
[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2π
ω＝8，∴ω＝π
4.
9. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、
F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )
A.15
B.14
C.13
D.12
[答案] A
[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.
10. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m
的值为( )
A.1
2 B ．2 C ．－2 D ．－1
2
[答案] C
[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0， ∴m ＝－2，故选C.
11. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM
→＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
[答案] B
[解析] CM →·CB → ＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB → ＝CA →·CB →＋13AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →
|·cos45° ＝13×32×3×22＝3.
12. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD
→＝________. [答案] 15
2
[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，
∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝15
2.
13. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于
________． [答案] －25
5
[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25
＝－25
5.
14. 已知向量a 与b 的夹角为2π
3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，
则实数λ＝________. [答案] 1
[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π
3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π
3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.
15. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB
→＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n ＝________. [答案] 3
[解析] 设mOA
→＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，
∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE
→|＝n |OB →|＝3n ， 两式相除得：m 3n ＝|OC →|cos30°|OC
→|sin30°＝1tan30°＝3，∴m
n ＝3.
16. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴
正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5
[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，
∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5. 17. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．
(1)若a ⊥b ，求x 的值．
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解析](1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|
＝(－2)2＋02＝2，
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|
＝22＋(－4)2＝2 5.