平面向量：
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－
2)共线，则实数λ等于( )
A．－2 B．－1 3
C．－1 D．－2 3
[答案] C
[解析] λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，
∵λa＋b与c共线，
∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b
与c垂直，则k＝( )
A．－1 B．－ 3
C．－3 D．1
[答案] C
[解析] a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，
∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，
∴k＝－3.
(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为( )
A．－6
11
B．－
11
6
C.6
11D.
11
6
[答案] C
[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，
∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6
11
.
3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°
[答案] B
[解析] 如图，在?ABCD 中，
∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.
(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3
2，a 与b 的夹角为60°，
则|b |＝( )
A.12
B.13
C.14
D.15
[解析] ∵|a －b |＝
32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34
， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，
设|b |＝x ，则1＋x 2
－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1
2
.
4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．
5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表
示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b
[答案] B
[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，
∴?????
λ＋μ＝－2
λ－μ＝4
，∴???
??
λ＝1
μ＝－3
，∴c ＝a －3b ，故选B.
(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF
→等于( ) A.14a ＋1
2b B.23a ＋13b C.12a ＋14
b D.13a ＋23
b
[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |
，
∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2
3|CD |，
∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)
＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋1
3
b .
6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为
( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19
[答案] D
[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935
，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC
→|×(－cos B )＝7×5×? ??
??
－1935＝－19.
7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为
( ) A ．12
B ．2 3
C ．3 2
D ．6
[答案] D
[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y
≥23
2x ＋y
＝6，等号在x ＝1
2
，y ＝1时成立．
8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数
x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋5
2
D.1＋5
2
[答案] A
[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC
→＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋
AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关
[答案] C
[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，
设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，
∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.
(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )
A.12
B.3
2 C. 2 D.22
[答案] D
[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，
∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，
∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2
＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12
，
∴|AD →|≥2
2
.