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平面向量专题练习题(简单有答案)

平面向量

一、选择题

1、已知向量等于则MN ON OM 2

1),1,5(),2,3(--=-=（）

A ．)1,8(

B ．)1,8(-

C ．)2

1,4(- D ．)2

1,4(-

2、已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则23--的坐标是（）

A ．)1,7(

B ．)1,7(--

C ．)1,7(-

D ．)1,7(-

3、已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥，则x 等于（） A ．3 B ．3- C ．3

1 D ．3

4、若),12,5(),4,3(==则a 与b 的夹角的余弦值为（）

A ．6563

B ．

33 C ．65

D ．65

63-

、若64==，m 与n 的夹角是 135，则?等于（）

A ．12

B ．212

C ．212-

D ．12-

6、点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（） A ．)5,3(- B ．)2

9,0( C ．)6,9(- D ．)2

,3(-

7、下列向量中，与)2,3(垂直的向量是（） A ．)2,3(- B ．)3,2( C ．)6,4(- D ．)2,3(-

8、已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A 分所成的比是( )

A ．83-

B ．83

C ．3

8- D ．

8 9、在平行四边形ABCD

-=+，则必有( )

A ．=

B ．=或=

C ．ABC

D 是矩形 D ．ABCD 是正方形

10、已知点C 在线段AB 的延长线上，

且

λλ则,CA BC ==等于(

)

A ．3

B ．3

C ．3-

D ．3

11、已知平面内三点x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为( )

A ．3

B ．6

C ．7

D ．9

12、已知ABC ?的三个顶点分别是

）

，（），，（），，（y C B A 1242

1-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是( )

A ．5,2==y x

B ．2

5,1-==y x C ．1,1-==y x D ．2

,2-==y x

16、设两个非零向量,不共线，且b k a b a k ++与共线，则k 的值为( )

A ．1

B ．1-

C ．1±

D ．0

17、已知B A 3

2),2,3(),1,2(=--，则点M 的坐标是( )

A ．)2

1,2

1(-- B ．)1,3

4(-- C ．)0,3

D ．)

,0(-

18、将向量x y 2sin =按向量)1,6

(π

-=平移后的函数解析式

是( )

A ．1)3

2sin(++=πx y B ．1)3

2sin(+-=π

x y

C ．1)62sin(++=πx y

D ．1)62sin(+-=πx y 二、填空题

、已知-+==⊥λ与且23,32垂直，则λ等于 21、已知等边三角形ABC 的边长为1，则=? 22、设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是 60，则

=+-?-)23()2(2121e e e e

、已知=--B A 、),2,5()4,3(

三、解答题

24、已知），（），，（0823=-A ，求线段AB 的中点C 的坐标。

与,54==的夹角为 60

，求-3

26、

平面向量),,2(),,2(),4,,3(y c x b a ==-=已知∥，⊥，求及与夹角。

27、已知锐角ABC

的边长分别为2、4、x，试求x的取值范围。

答案

一、

二、19、 1 20、

3 21、2

22、2

23、10

三、24、设).0,8()2,3(),(),,(=--=y x AB y x B

??==????=-=+∴250283y x y x )2,1(2,1),2,5(C y x B C C ?==∴ 25、109310969)3(2

=-?=+?-=-a b b a a b a 26、),,2(),4,3(x b a =-=a ∥b

x 423-

-=∴x ，2

),2(=

?⊥=y c a y c 0),2

,2(),38,2(=?=-=∴ 90,>=∴

27、ABC ?为锐角三角形??

???>-+>-+>-+??????>>>?024*******cos 0cos 0cos 2

222

22222x x x C B A ，

5232<<∴x

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高中数学平面向量doc

专题讲座高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容（一）平面向量知识结构图（二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用．课标要求：平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。二、“平面向量”教与学的策略（一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。概念辨析：

(完整版)平面向量练习题集答案

平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： a?； ①|a|＝a ②(a?b) ?c＝a?(b?c)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.

题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM = DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 3 1 ,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1 2 (a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1 2(a ＋b ). 又DM ＝13DO ， ON ＝1 3OC ，所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1 3DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56 b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1 3OC ＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝2 3(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16 b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1 2 时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1 2(AB ＋AC )，所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ，所以BP ＝PC ，所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0.

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。 1． BA CD DB AC +++等于________． 2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与CD 共线，则|BD |的值等于________． 7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 . 14．将圆22 2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。 1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角；

平面向量基础知识

b a B A O a -b 平面向量基础知识 1．向量的概念 (1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量． (2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |．注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量． (3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念． ①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立． 2．向量运算 (1)加法运算 ①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC ．这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则．由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a 与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ②运算性质： a + b =b +a (交换律)； (a +b )+ c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ． (2)减法运算 ①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量．记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．) ②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )．求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB 如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减法的三角形法则． (3)实数与向量的积： ①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|?|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|?|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0． ②运算律： B A C a +b a b B A C a +b a b D a b

平面向量简单练习题

一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+=r r r r r g ，则向量b r 与a r 的夹角为（） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则,r r a b 的夹角等于（） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→ →b a （） 8．已知()()0,1,2,3-=-=，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a =r ，(2,)b y =-r ，若向量,a b r r 共线，则3a b +r r =（） 10．平面向量a r 与b r 的夹角为60o ，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +r r = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→ →?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥r r r r r r r 且，则向量a b r u r 与的夹角为（） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（） 15．已知向量AB u u u r ＝(cos120°，sin120°)，AC u u u r ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--=r r r r 则a （） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20．已知向量,a b r r 满足0,1,2,a b a b ?===r r r r 则2a b -=r r （） 21．设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（） 23．化简 AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r （）

(整理)5平面向量基础知识.

平面向量基础知识第一课时：向量的概念向量的定义（两要素）向量与矢量、数量、标量的区别作用点、实际意义（单位）、可比性向量是矢量的抽象、数量是标量的抽象向量的表示几何表示（几何中用点表示位置、用射线表示方向起点到终点）用有向线段表示向量使向量具有几何直观性有向线段（三要素）与向量的区别（人的身高不随位置改变而改变）向量只与其起点和终点的相对位置有关，与起点和终点的绝对位置无关符号表示有向线段的起点与终点符号（大写）（具体）小写符号（抽象）手写必须带箭头（“帽子”）用符号表示向量使向量具有代数的属性坐标表示用坐标表示向量使向量具有算术的属性向量的模及其表示写法与读法（“外套”）模特殊的向量零向量定义、表示0、方向单位向量定义方向的惟一性与已知非零向量共线的单位向量常用表示符号e 、i 、j 、ｋ位置特殊的向量位置向量起点为坐标原点的向量方向关系特殊的向量与表示平行向量（共线向量 “平行向量”与“共线向量”是等意词）垂直向量相等向量平移变换用之相反向量反向变换用之零向量的规定：零向量与任一向量共线，零向量的相反向量是零向量判断： 1、若两向量相等，则它们的起点与终点相同 2、AB BA =- 3、若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 4、若AB CD =，则AB CD 5、若a 与b 不共线，则a ≠0，b ≠0 6、若AB ∥CD ，则A 、B 、C 、D 四点共线 7、若AB ∥AC ，则A 、B 、C 三点共线 8、若AB=CD ，则AB CD = ∥ ＝

9、若AB=CD ，则||||AB CD = （既戴帽子，又穿外套）两个向量平行，这两个向量可以在一条直线上，这与平面几何中的“平行”的含义不同；两个向量共线，这两个向量不一定在一条直线上，这与平面几何中的“共线”的含义也不同．而规定零向量与任一向量平行，使几何中的“平行公理”对于向量平行不再成立．（在几何中，“平行”和“共线、重合”绝不相同，而在向量中，“平行”和“共线”绝对一样）向量的类型：自由向量、滑动向量、固定向量第二课时：向量的加法向量加法的定义向量加法处理方法：三角形法则、平行四边形法则（当两个向量共线时，平行四边形法则不适用，只适用三角形法则；当两个向量不共线时，平行四边形法则和三角形法则是一致的）向量加法的特征：尾首相接，首尾相连（与接点的位置无关）向量的和拆分封闭折线的和向量 △ABC 中，G 是重心?GA ＋GB ＋GC ＝0 求和向量时需要把向量具体化、几何化向量加法的运算律：交换律、结合律向量加法的性质 1、两个向量的和为一个向量 2、若两个向量平行，则它们的和向量与它们也平行 3、若两个向量不平行，则它们的和向量与它们也不平行 4、||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a 与b 同向，或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．第三课时：向量的减法向量减法的定义向量减法是向量加法的逆运算向量减法处理方法：三角形法则、平行四边形法则向量减法的特征：首首相聚，被减被指（与起点的位置无关）向量的差拆分向量减法是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上该向量的相反向量求差向量时需要把向量具体化、几何化向量减法的性质 1、两个向量的差为一个向量 2、若两个向量平行，则它们的差向量与它们也平行 3、若两个向量不平行，则它们的差向量与它们也不平行 4、||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 同向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．

2020届天津市滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测数学试题(B卷)(解析版)

2020届天津市滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测数学试题（B 卷）一、单选题 1．已知全集{U x =是小于7的正整数}，集合{1,3,6}A =，集合{2,3,4,5}B =，则 =U A B ?（） A ．{3} B ．{1,3,6} C ．{2,4,5} D ．{1,6} 【答案】D 【分析】先求出U B ，再求U A B . 【详解】 {U x x =是小于7的正整数}{}1,2,3,4,5,6=， {}=1,6U B ∴，{}=1,6U A B ∴?. 故选：D. 2．设x ∈R .则“3x ≤”是“230x x -≤”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】3x ≤时，例如1x =-，则2340x x -=>，不是充分的， 230033x x x x -≤?≤≤?≤，必要性成立．因此应是必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行．本题也可从集合的包含角度求解． 3．设0.3 13a -??= ? ?? ，2 1log 3b =， 3 lg 2 c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，

从而可得结果. 【详解】 0.3011 ()()133->=，1a ∴>， 2 21 log log 103 b =<=， 0b ∴<， 3 0lg1lg lg101 2 =<<=，01c ∴<<， b c a ∴<<，故选：C ．【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 4．在2 5 2 ()x x -的二项展开式中，7x 的系数为（） A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】A 【分析】求出二项式展开式的通项，即可求出7x 的系数. 【详解】2 52()x x -的二项展开式的通项为() ()52 10315522r r r r r r r T C x C x x --+??=?-=- ??? ，令1037r -=，解得1r =，故7x 的系数为()1 1 5210C -=-. 故选：A. 5．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为（） A ． 32 3 π B ． 43 π C ．4π D ．16π 【答案】B 【分析】设圆柱底面半径为r ，则内切球的半径也是r ，圆柱的高为2r ，利用圆柱的侧

平面向量简单练习题

试卷第1页，总5页一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+= ，则向量b 与a 的夹角为（） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则, a b 的夹角等于（） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→→b a （） 8．已知()()0,1,2,3-=-=b a ，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a = ，(2,)b y =- ，若向量,a b 共线，则3a b + =（） 10．平面向量a 与b 的夹角为60 ，(2,0)a = ，1b = ，则2a b + = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→→?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥ 且，则向量a b 与的夹角为（） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（） 15．已知向量AB ＝(cos120°，sin120°)，AC ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--= 则a （） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20．已知向量,a b 满足0,1,2,a b a b ?=== 则2a b -= （） 21．设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于（） 23．化简AC - BD + CD - AB = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF （）

平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

平面向量基础知识复习+练习(含答案)

平面向量 1. 基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算： (1)A] A2 A2A3 A n i A n A1A n . ⑵若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则 a b= ( X i x?, y i y ). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB = a、AD = b为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量 AC = a + b, BD=b —a,DB = a —b 且有丨a I —I b I <| a b I <| a I + I b I . 向量加法有如下规律： a + b = b + a (交换律)；a+(b+c)=(a+ b)+c (结合律)；—F- —F —k —V- a + 0= a a + (—a )=0. 3 .实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量。 (1) I a I = I I?I a I ; (2) 当 >0时，a与a的方向相同；当v 0时，a与a的方向相反；当=0时， —t a = 0. (3) 若a= ( X i, y i)，则a= ( X i, y i). 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= a . ―b- —te- (2) 若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则a // b x』2 x? y i 0 . 平面向量基本定理：若e i、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 —*■ 一对实数i, 2，使得a = i e i+ 2 e2.

2018高考数学精英备考专题讲座圆锥曲线.docx

圆锥曲线圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点 .纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时 ,多以综合解答题的形式考查 ,属于中高档题 ,甚至是压轴题 ,难度值一般控制在0.3~ 0.7 之间. 考试要求⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法. 题型一圆锥曲线的定义及应用例 1⑴已知点 F 为椭圆x2 y 2 1 的左焦点,M是此椭圆上的动点, A(1,1)是一定点 ,则95 |MA|| MF | 的最大值和最小值分别为________. 6 ,离心率为7 ⑵已知双曲线的虚轴长为, F1、F2分别是它的左、右焦点 ,若过F1的直线与 2 双曲线的左支交于A、B两点 ,且| AB|是| AF|与 |BF|的等差中项则 | AB | ________. 22, 点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题 ,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a的值 ,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求 | AB |的值. 解：⑴设椭圆右焦点为F1,则 |MF ||MF1 | 6,∴|MA||MF | |MA | |MF1 | 6 .又|AF1| |MA| |MF1| |AF1|(当M、A、F1共线时等号成立).又|AF1|2,∴|MA| |MF | 6 2 , |MA||MF | 6 2.故|MA|| MF | 的最大值为6 2 ,最小值为6 2 . 2b6 c7 ,解得a2.∵A、在双曲线的左支上 ,∴| AF2||AF1 |2a , ⑵依题意有 a23 c 2a2b2 |BF2 || BF1 | 2a,∴|AF2||BF2 |(| AF1 | | BF1 |)4a.又|AF2 | |BF2| 2|AB|,|AF1| |BF1| |AB|. ∴ 2| AB | | AB | 4a ,即 | AB | 4a .∴ | AB | 4 2 3 83. 易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻； ⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由M 、 A、F1三点共线求出 | MA | | MF | 的最值也是值得注意的问题. 变式与引申

平面向量基础训练A组

平面向量基础训练A 组一、选择题 1．化简AC -BD +CD -AB 得（） A ．A B B ． C ．BC D ．0 2．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（） A ． 00a b = B ．001a b ?= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ?=，则0a =或0b = （3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-?+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =?其中真命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下列命题中正确的是（） A ．若a ?b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a ?b ＝0，则a ∥b C ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a| D ．若a ⊥b ，则a ?b ＝(a ?b)2 5．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 6．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,0 二、填空题 1．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则 3 1 AB =_________ 2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ?=，则向量=____。 3．若3a =,2b =，且与的夹角为0 60，则a b -= 。 4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________。 5．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。二、向量的线性运算 1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

《数学学科发展前沿专》专题讲座

第一章行列式及其应用行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的.日本著名的“算圣”关孝和在1683年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法.与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元法入手对这一概念进行阐述.行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念. 1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。该书中提出了乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。1693年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程组的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行列式中元素的位置：ij代表第i行第j列。1730年，苏格兰数学家科林?麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式。1750年，瑞士的加布里尔?克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》给出了元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764年，法国的艾蒂安?裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。法国人的亚历山德?西奥菲勒?范德蒙德在1771年的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后，数学家们开始对行列式本身进行研究。1772年，皮埃尔-西蒙?拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。1773年，约瑟夫?路易斯?拉格朗日发现了的行列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。行列式被称为“determinant”最早是由卡尔?弗里德里希?高斯在他的《算术研究》中提出的。“determinant”有“决定”意思，这是由于高斯认为行列式能够决定二次曲线的性质。高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。此前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁?路易?柯西在1812年首次将“determinant”一词用来表示行列式。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。柯西还证明了曾经在雅克?菲利普?玛利?比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯?约瑟夫?西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修4—2中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何、高中代数等方面探究行列式在中学数学领域中的应用。一、行列式在平面几何中的应用一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题。例1 证明不存在格点三角形是正三角形。证明：（反证法）假设存在格点三角形是正三角形。

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）

(完整版)平面向量的概念练习(学生版)

1、下列说法正确的是（） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ； ⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等；（2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r ③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③

平面向量基础知识

平面向量基础知识一、向量的基本概念 1.向量定义中的两个要素： 2、向量的表示方法：几何表示、代数表示 3.向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作，a的模为a. 4.特殊向量：零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量．规定：零向量与任一向量平行．二、平面向量的线性运算 1.加法：平行四边形法则三角形法则 2.减法： → → -b a= - 3.数乘： (1)定义：规定实数λ与向量ａ的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λａ，它的长度与方向规定如下： ①｜λａ｜＝； ②当λ＞０时，λａ的方向与ａ的方向；当λ＜０时，λａ的方向与ａ的方向． (2)运算律：设λ、μ为实数，那么 ①λ（μａ）＝ ②（λ＋μ）ａ＝ ③λ（ａ＋ｂ）＝． (3)向量共线条件:ａ,ｂ共线（ａ≠０）? (4)A、B、C三点共线? ? 三、平面向量基本定理及表示 1.平面向量基本定理：基底的概念 2.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标设ｉ，ｊ是与方向相同的两个向量，对于平面上任一向量ａ，，使得ａ＝，有序数对叫做向量ａ的坐标，记作ａ＝．

(2)平面向量的坐标运算 ①设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则有ａ＋ｂ＝ａ－ｂ＝ λａ＝ ②设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则有AB＝ ③向量共线的坐标表示设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则ａ，ｂ共线? 四．平面向量数量积 1.定义：已知两个非零向量ａ，ｂ，我们把数量叫做ａ与ｂ的数量积（或内积）．叫做ａ在ｂ方向上的投影，叫做ｂ在ａ方向上的投影. 2.ａ·ｂ的几何意义：数量积ａ·ｂ等于ａ的长度｜ａ｜与ｂ在ａ方向上的投影｜ｂ｜ｃｏｓθ的乘积. 3.数量积的运算律：已知向量ａ，ｂ和实数λ，则 ①ａ·ｂ＝ ②（λａ）·ｂ＝＝ ③（ａ＋ｂ）·ｃ＝ 4.坐标表示：设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则ａ·ｂ＝ 5.模长公式：设ａ＝（ｘ，ｙ），则｜ａ｜＝＝． 6.垂直条件：设ａ，ｂ为非零向量，则ａ⊥ｂ?? 7.夹角公式：设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），夹角为θ，则 θ cos= =