平面向量练习题集答案
典例精析
题型一向量的有关概念
【例1】下列命题：
①向量屈的长度与臥的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量亦与向量丽是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.
其中真命题的序号是.
【解读】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；乔与而是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：
①⑻=Ja?a ；
②(a?b)?,c=a?(b?c)；
③页=丽；
④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则+ ；
⑤a=(cosa, sin a), b=(cos8, sin B),且 a 与 b 不共线，则(a+b)丄(a—b).
其中正确的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
【解读】选D. | a| = a正确；(a?b)?c珀?(b?c)； OA —OB = BA正确；如下图所示，
两式相加可得2MN =AB + DC ,即命题④正确；
因为a, b不共线，且|a| = |b| =1,所以a+b, a—b为菱形的两条对角线，
即得(a+b)丄(a—b).
所以命题①③④⑤正确.
题型二与向量线性运算有关的问题2
【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC. BD交于点0,点〃在线段D0上，且丽7斗而，点N
I ■?■?. 1??
在线段0C上，且ON二亍OC,设4B P,4D二b,试用a、b表示AM , AN , MN.
【解读】在n ABCD中，AC, BD交于点0,
所以DO =^DB=^(AB- AD)=^(a-b)t
AO = OC =2 AC =2( AB + A￡> )=，(a+b).
又DM , ON=^OC,
所以AM = ADDM =b+^DO
~AN = ~AO+ON =OC +|oC
所以MN = AN — AM =|(a+b)-(|a+|b)=|a-|b.
【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个个共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.
【变式训练2】0是平面a上一点，A、B、C是平面a上不共线的三点，平面a内的动点P满足丽= OA-^-A(AB + AC),若入=孑时，则PA .(PS +PC )的值为.
【解读】由已知得丽一OA=A(AB-^-AC)t
即AP=A(AB + AC),当入=空时，得AP=^(AB + AC)t
所以2AP = AB-^-AC,即乔一為=忌一乔，
所以丽=无，
所以两+元=西+环=0,
所以莎?(两 + 龙)=莎?0=0,故填0.
题型三向量共线问题
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
⑴若AB=a+b, BC =2a+3b, CD=3(a~b)f
求证：A, B, D三点共线；
(2)试确定实数h使ka+b和a+Rb共线.
【解读】(1)证明：因为AB=a+b, BC =2a+8b, CD=3(a~b),
所以BD = BC +CD =2a + 8b+3(a—b) = 5(a+b) = 5石,
所以石，丽共线.又因为它们有公共点B,
所以A, B, D三点共线.
(2)因为Ra+b和a+kb共线，
所以存在实数人，使ka+b=A(a+kb),
所以伙一入)a=(入k—1)b.
因为a与b是不共线的两个非零向量，
所以k—A=AR—1=0,所以k2-1=0,所以k=+1.
【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的
其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的
区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
【变式训练3】己知。是正三角形BAC内部一点，QA+2OB+3OC=0,则厶
O4C的面积与△OAB的面积之比是( )
C.2
D.J
【解读】如图，在三角形ABC中，OA+2OB+3OC=0,整理可得OA + OC +2(OB + 0C)=0. 令三角形ABC中AC 边的中点为E, BC边的中点为F,则点0在点F与点E连线的扌处，即O￡=2OF.
设三角形ABC中AB边上的高为h,则S AOAC=S AOAE+S AOEC=^OE?专+?)=屛?h,
1 1, 1 ,
S^OAB=2AB*2^=4AB° h，
由于AB=2EF f OE=|Ef,所以AB=3OE f
r — OE ? h o
所以2------------ =亍故选B.
S騙* 3
4
总结提高
1 ?向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包扌舌共线(即重合)的情形.
2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来.
3.当向量a 与b 共线同向时，|a+b| = |a| + |b|； 当向量a 与b 共线反向时，|a+b| = | |a| — |b| | ； 当向量a 与b 不共线时，|a+b|V|a| + |b|.
典例精析
题型一平面向量基本定理的应用
【例1】如图n
ABCD 中,分别是DC, BC 中点.已知AM =a,AjV=b,W 用a ，b 表示而，而与花 【解读】易知AM =AD +~DM
= AD^AB f
AD + — AB = a,
AB + — AD = b.
2 所以AB =|(2b —a), AD =|(2a —b). 所以 AC = AB + AD =|(a+b).
【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运 用值得仔细领悟.
【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，/\ABC 所在平面内有一点P,满足PA + BP + CP =0,则暨1等于()
\AD \
A.§
B.二
C.1
D.2
【解读】由于D 为BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB +~PC =2PD ,因 此结合PA +
BP + CP =0即得莎=2而，因此易得P, A, D 三点共线且D 是A4的中点，所以!￡里 = |仙|
1,即选C.
题型二向量的坐标运算
【例 2】 已知 a=(1, 1), b=(x, 1), u=a+2b, v=2a —b.
⑴若 u=3v,求 x ： (2)若 u//v,求 x.
【解读】因为a=(1, 1), b=(x, 1),
所以 u=(1, 1)+2(x, 1)=(1, 1)+(2x, 2)=(2x+1, 3),
v=2(1, 1)-(x, 1)=(2-x, 1).
(1) u=3v<=>(2x+1, 3)=3(2—x, 1)
O(2x+1, 3) = (6-3x, 3),
AN = AB + BN = AB +^AD ，
即＜
所以2x+1=6—3x,解得x=1.
(2) 1/〃vO(2x+1, 3)=入(2—x, 1)
j 2x +1 = 2(2 — x),
3 = A
O(2x+1)-3(2—x)=0Ox=1.
【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.
【变式训练2】已知向量an=(cos号，sin^y)(/?GN*), |b| =1.则函数y = |m+b|2+口+切牛g +b|2+...+ | a⑷+b|2的最人值为.
【解读】设b=(cos 6,sin 0),所以y=\ai+b\2^-\a2-^-b\2+\a3+b\2+...+ \ai4i-^b\2=(ai)2+ b2+2(cosy, siny)(cos 6,sin 8)+..”+(a ⑷F+b2+2(cos号卫，sin^y^)(cos 6, sin 8)=282+2cos&— 8),所以y的最大值为284.
题型三平行(共线)向量的坐标运算
【例3】已知Z\ABC的角A, B, C所对的边分别是a, b, c,设向量m=(a, b), n=(sin B, sin A), p = (b—2, a-2).
⑴若m〃/?,求证：AABC为等腰三角形；
(2)若m丄p,边长c=2,角C=j,求/XABC的面积.
【解读】(1)证明：因为m//n,所以asin 4=bsin B.
由正弦定理，得a2=b2,即口=5所以AABC为等腰三角形.
(2)因为m丄p,所以m?p=0,即
a(b—2)+b(a—2)=0,所以a+b=ab.
由余弦定理，得4=a2+b2—ab=(a+b)2—3ab,
所以(ab)2—3ab—4=0.
所以ab=4或ab= —1(舍去).
所以S^ABc=^obsi n C=*x4x当={5.
【点拨】设m = (xi , yi) , n = (x2, yz),则
①m〃nOxiy2 二X2y〔；②m丄n<=>XiX2 + yiX2 -0.
【变式训练3】已知g b, c分别为MBC的三个内角A, B, C的对边，向量m=(2cosCT , -2), n=
(cos C, cos C4-1).若m丄n,且a+b=10,则ZXABC周长的最小值为( )
A.10-5V3
B.10+5^3
C.10-2^30.10+2^3
【解读】由m丄n得2cos2C—3cos C—2=0,解得cos C=—二或cos C=2(舍去)，所以c2=a2+b2—2abcos C=a2-l-b2+ab=(a+b)2—ab=100—ab,由10=a+b>2y/ab^ab<25,所以c2>75,即c>5y[3,所以a+b+dlO+裕，当且仅当a=b=5时，等号成立.故选B.
典例精析
题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题
【例1】已知a，b夹角为120°,且|a|=4, |b|=2,求:
⑴ Ia+b|；
⑵(a+2b)?(a+b)；
(3)a与(a+b)的夹角6.
【解读】(1 )(a+b)2=a2+b2+2a ?b
=16+4—2x4x2x-= 12,
所以|a+b|=2j5.
⑵(a+2b)?(a+b)=a2+3a ?b+2b2 =16 —3x4x2x^+2*4= 12.
(3)a - (a+b)=a2+a? b=16—4x2迈=12.
a?(a+ b) 12 yj3
所以cos 0=
|a||a+b| ~4X2V3_ 2
【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.
【变式训练1】己知向量a，b, c满足：|a|=1, |b|=2, c=a+b,且c丄a,则a与b的夹角大小是.
【解读】?由c丄a=^c?a=0=>a2+a?b=0,
所以cos 0=—2* 所以8=120°.
题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题
【例2】在.△ABC中，AB=(2, 3), AC=(1, k),且ZVIBC的一个内角为直角，求k的值.
【解读】①当Z人=90°时，有乔?AC=0,
所以2x1+3 ?R=0,所以k=—
②当ZB=90°时，有而?BC=O,
又荒=AC-AB=(1-2, k-3) = (-1, k-3),
所以2x( —1) + 3x伙一3)=0=>k=?：
③当ZC=90°时，有疋?BC=O,
所以一1+k?伙一3)=0,
所以k2—3k—1 =0=>k=^-^^.
所以k的取值为一彳，号或
【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.
【变式训练2】/\ABC中，>48=4, BC=5, AC=6,
求忑?BC^-BC?CA + CA?而.
【解读】因为2觞?BC +2BC?CA+2CA?AB
= (AB ? BC+C4 ?AB) + (CA ? AB + BC? C4) + (BC ?CA + BC ? AB)
=AB ?(~BC + CA)+CA?(AB + BCJ+BC - (CA-^-AB)
=AB ? BA + CA? AC + BC ?岳
=—42— 62— 52=—77.
所以AB ?BC +BC -.CA + CA? AB=-y.
题型三平面向量的数量积的综合问题
【例3】数轴Ox, Oy交于点O,且ZxOy=￡,构成一个平面斜坐标系，e1f◎分别是与Ox, Oy同向”的单位向量，设P为坐标平面内一点，且OP =xei+ye2?则点P的坐标为(x, y),已知Q(—1, 2).
⑴求|苑|的值及苑与Ox的夹角；
(2)过点Q的直线(丄0Q,求I的直线方程(在斜坐标系中).
【解读】(1)依题意知，e# - e2=2,
且00 =—" + 202,
所以0Q2=( —e/4-2e2)2=H-4—4e f? 62=3.
所以|苑|=书.
又00 ?G =(—"+2e2)? ei =—e?+2ei ? e2=0.
所以苑丄引，即苑与Ox成90°角.