职教高考数学基础知识汇总
第一章 集合与简易逻辑：
一．集合
1、 集合的有关概念和运算
（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；
（2）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ?A ；
2、子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ?B ， 注意：A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ
3、真子集定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ?；
4、补集定义：},|{A x U x x A C U ?∈=且；
5、交集与并集 交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或
6、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 二．简易逻辑：
1．复合命题： 三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ； 判断复合命题真假：
2.真值表：p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真；非p ，真假相反。
3.四种命题及其关系：
原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；
否命题：若?p 则?q ； 逆否命题：若?q 则?p ；
互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。
4.充分条件与必要条件：
若q p ?，则p 叫q 的充分条件； 若q p ?，则p 叫q 的必要条件； 若q p ?，则p 叫q 的充要条件；
第二章不等式
一、不等式的基本性质：
1．特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 2．中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二．均值不等式：
1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若0,>b a ，则ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取等号）
2.基本变形：①≥+b a ；②若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ 3.基本应用：求函数最值：
注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数)21
(4294>--
=x x x y 的最小值 。
②若正数y x ,满足12=+y x ，则
y
x 1
1+的最小值 。
三、绝对值不等式：||||||||||a b a b a b -≤+≤+，注意：上述等号“＝”成立的条件； 五、不等式的解法：
3.绝对值不等式的解法：（“＞”取两边，“＜”取中间）
（1）当0>a 时，a x >||的解集是},|{a x a x x >-<，a x <||的解集是}|{a x a x <<- （2）当0>c 时，c b ax c b ax c b ax >+-<+?>+,||， c b ax c c b ax <+<-?<+|| 4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴
?>0)()(x g x f ；（2）?≤0)
()
(x g x f ； 5.高次不等式组的解法：数轴标根法。
第三章 函数
一． 函数 1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。 2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；
3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式：分母0≠，0次幂：底数0≠； ③偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=；④对数：真数0>，例：)1
1(log x
y a -=
4、求值域的一般方法：
①图象观察法：|
|2.0x y =；②单调函数法： ]3,3
1[),13(log 2∈-=x x y ③二次函数配方法：)5,1[,42
∈-=x x x y ， 222++-=x x y
④“一次”分式反函数法：1
2+=
x x
y ；⑥换元法：x x y 21-+= 5、求函数解析式f （x ）的一般方法：
①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1
)1
(2
2
x
x x
x f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） 6、函数的单调性：
（1）定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。（一致为增，不同为减） （2）区间D 叫函数)(x f 的单调区间，单调区间?定义域； （3）复合函数)]([x h f y =的单调性：即同增异减；
7.奇偶性：
定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。
8.周期性：
定义：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周期。 9．函数图像变换：
（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下 （3）注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义。 10．反函数：
（1）定义：函数)(x f y =的反函数为)(1
x f
y -=；函数)(x f y =和)(1
x f
y -=互为反函数；
（2）反函数的求法：①由)(x f y =，反解出)(1
y f x -=，②y x ,互换，写成)(1
x f y -=，③写
出)(1
x f
y -=的定义域（即原函数的值域）；
（3）反函数的性质：函数)(x f y =的定义域、值域分别是其反函数)(1
x f y -=的值域、定义域；
函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1
x f y -=的图象关于直线x y =对称；点（a ，b ）关于直线
x y =的对称点为（b ，a ）
； 第四章 指数函数与对数函数
1. 指数及其运算性质：当n 为奇数时，a a n n
=；当n 为偶数时，?
?
?<-≥==)0()
0(||a a a a a a n
n
2.分数指数幂：正分数指数幂：n m
n
m
a a =；负分数指数幂：n
m n
m a
a
1=
-
3.对数及其运算性质：
（1）定义：如果)1,0(≠>=a a N a b
，以10为底叫常用对数，记为lgN ，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN
（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：01log =a ，③底的对数等于1：1log =a a ，④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N
M
a a a
log log log -=， 幂的对数：M n M a n
a log log =， 方根的对数：M n
M a n a log 1log =，
第五章 三角函数
1、角：与α终边相同的角的集合为{Z k k ∈?+=,360|
αββ}
2、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
（2）度数与弧度数的换算：π=
180弧度，1弧度180
(
)π
=
（3）弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 扇形面积：2||2
1
21r lr S α=== 3、三角函数 定义：（如图）
y
r
y x r x x r
x y r y =
=====
ααααααcsc cot cos sec tan sin 4、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：
1cos sin 22=+αα αααc o s
s i n
t a n =
1cot tan =αα 5、诱导公式（理解记忆方法：奇变偶不变，符号看象限）
公式一： ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=??+=??+=??+k k k 公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
ααααα
αtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-?-=-?=-? ααααα
αtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+?-=+?-=+? α
αααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-?=-?-=-?
ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-
公式六： 公式七： 公式八： 公式九：
ααπααπααπ
cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(=-=-=- α
απ
ααπααπ
cot )2
tan(sin )2
cos(cos )2
sin(-=+-=+=+ ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(=--=--=- ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-
)(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ )(βα-T ： β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-
7
、辅助角公式：sin cos cos cos sin )sin()a x b x x x x φφφ+=?+?=+
（其中?称为辅助角，?的终边过点),(b a ，a
b =
?tan ）
8、二倍角公式：（1）、α2S ： αααcos sin 22sin = （2）、降次公式：
=r
α2C ： ααα22sin cos 2cos -= ααα2sin 2
1
cos sin =
1cos 2sin
2122
-=-=αα
2
1
2cos 2122cos 1sin 2+-=-=
ααα α2T ： α
αα2t a n 1t a n 22t a n -= 212cos 2122cos 1cos 2
+
=+=ααα 9、三角函数的图象性质
（1）函数的周期性： ①定义：对于函数f （x ），若存在一个非零常数T ，当x 取定义域内的每一个值时，都有：f （x +T ）= f （x ），那么函数f （x ）叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；
②如果函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （x ）的最小正周期。 （2）函数的奇偶性：
①定义：对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有：f （-x ）= - f （x ），则称f （x ）是奇函数，f （-x ）= f （x ），则称f （x ）是偶函数
②奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； （3）正弦、余弦、正切函数的性质（
） x y sin =图象的五个关键点：（0，0），（
2
，1），（π，0），（2，-1），（π2，0）；
x y cos =图象的五个关键点：（0，1），（2
π，0），（π，-1），（23π
，0），（π2，1）；
(4)、函数)0,0)(sin(>>+=ω?ωA x A y 的相关概念：
)sin(?ω+=x A y 的图象与x y sin =的关系：
①振幅变换：x y sin = x A y sin =
②周期变换：x y sin = x y ωsin =
③相位变换：x y sin = )sin(?+=x y 10．反三角函数： 11、解三角形：
（1）三角形的面积公式：A bc B ac C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===? （2）正，余弦定理 ①正弦定理：
2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin a b c
R a R A b R B c R A B C ======或 ， ②余弦定理：)
1(2)(cos 2cos 2cos 222222
2
2
222cocC ab b a C ab b a c B
ac c a b A
bc c b a +-+=-+=?-+=?-+=
求角： ab
c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2
22222222-+=-+=-+=
第六章 数列
一．数列：（1）前n 项和：n n a a a a S ++++= 321；
（2）前n 项和与通项的关系：???≥-===-)
2()
1(111n S S n S a a n n n
当A 1>时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A 倍
当<0A 1<时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A 倍当1>ω
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的
ω
1
倍 当<01<ω时，
图象上各点的纵坐标伸长到原来的ω
1
倍
当0>?
时，图象上的各点向左平移?个单位倍
当0
二．等差数列 ：
1.定义：d a a n n =-+1。
2.通项公式：d n a a n )1(1-+= （关于n 的一次函数），
3.前n 项和：（1）．2)(1n n a a n S += （2）. d n n na S n 2
)1(1-+
=（即S n = An 2
+Bn ） 4.等差中项： 2
b
a A +=
或b a A +=2 5.等差数列的主要性质：
（1）等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
也就是： =+=+=+--23121n n n
a a a a a a ，如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321
（2）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*
N k ∈，则k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等
差数列。如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
三．等比数列：
1.定义：)0(1≠=+q q a a n
n ；2.通项公式：1
1-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ）
3.前n 项和]：?????
≠--=--==)
1(,1)1(1)1(,111q q q a q
q a a q na S n
n n （推导方法：乘公比，错位相减）
说明：①)1(1)
1(1≠--=q q q a S n n ； ○2)1(11≠--=q q
q a a S n n ； ○
3当1=q 时为常数列，1na S n =。
4.等比中项：
G
b a G =，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个）
5.等比数列的主要性质：
（1）等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?
也就是： =?=?=?--23121n n n
a a a a a a 。如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ??---11
2,,,,,,12321
（2）若数列{}n a 是等比数列，n S 是前n 项的和，*N k ∈，则k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。
如下图所示：
k k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
四．求数列的前n 项和的常用方法：分析通项，寻求解法
1.公式法：等差等比数列 ；
2.分部求和法：如a n =2n+3n
3.裂项相消法：如a n =
1(1)
n n +；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如a n =(2n-1)2n
第七章 平面向量
1．向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2．向量的运算：（1）、向量的加减法：
（2）实数与向量的积：①定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ； ②它的长度：||||||a a ?=λλ；
③：它的方向：当0>λ，a λ与a 的方向相同；当0<λ，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，a λ=0；
3．平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=； 4．平面向量的坐标运算：
（１）坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则()2121,y y x x b a ±±=±→
→
设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则()1212,y y x x AB --=→
. （2）实数与向量的积的运算律: 设()y x a ,=→，则λ()()y x y x a λλλ,,==→
， （3）平面向量的数量积：
①定义：??
? ??≤≤≠≠?=?→→→→→
→
→
→001800,0,0cos θθb a b a b a ， 00=?→
→a . ①平面向量的数量积的几何意义：向量的长度||与在的方向上的投影||θcos 的乘积； ③、坐标运算:设()()2211,,,y x b y x a ==→→,则2121y y x x b a +=?→
→ ；
向量的模||：a a a ?=2||2
2
y x +=；模||22y x +=
④、设θ是向量()()2211,,,y x b y x a ==→
→
的夹角，则2
2
222
1
2
12121cos y x y x y y x x +++=θ。
5、重要结论：
（1）两个向量平行的充要条件：
设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则//a b a b λ→→→→
?=? 01221=-y x y x )(R ∈λ （2）两个非零向量垂直的充要条件：
设 ()()2211,,,y x b y x a ==→
→
，则 121200a b a b x x y y →
→
→→
⊥??=?+= （3）两点()()2211,,,y x B y x A 的距离：221221)()(||y y x x -+-=
（4） P （x ，y ）分线段P 1P 2的定比满足→
→
=21PP P P λ，且P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）
则定比分点坐标公式???
?
??
?
++=++=λλλλ112
121y y y x x x ， 中点坐标公式???
???
?
+=+=222121y y y x x x （5）平移公式：如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→
平移至P ′（x ′，y ′），则?????+=+=.
,
''
k y y h x x
第八章 直线和圆的方程
一、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)直线的斜率，即0tan (90)k αα=≠ (3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为21
2121
(0)y y k x x x x -=-≠-
2．直线的方程
(1)点斜式 ：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式：y=kx ＋b (3)两点式：
112121y y x x y y x x --=-- (4)截距式：1x y
a b
+=
(5)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2； (2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2； (3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 2
（4）垂直：设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l
一般式方程时，1212120l l A A B B ⊥?+=（优点：对斜率是否存在不讨论）
（5）到角：直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，
它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k
k +-=θ.
（6）夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称
为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ?????2,0π，当
90≠θ，则有2
1121tan k k k k +-=θ. （7）交点：求两直线交点，即解方程组1112220
A x
B y
C A x B y C ++=??
++=?
4．点到直线的距离：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为2
2
00B
A C By Ax d +++=
.
5.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2
2
21B
A C C d +-=
.
6. 关于点对称和关于某直线对称：利用直线垂直，平行等解决
7．简单的线性规划----线性规划的三种类型：
1．截距型：形如z=ax+by, 把z 看作是y 轴上的截距，目标函数的最值就转化为y 轴上的截距的最值。
2．斜率型：形如y a
z x b
-=
-时,把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
3．距离型：形如2
2
()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。
二、曲线和方程：求曲线方程的步骤：①建系，设点；②列式；③代入④化简；⑤证明． 三、圆 1．．圆的方程:
(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2
．(a ，b)为圆心，r 为半径． (2) 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （2
2
40D E F +-＞.） （3）圆的参数方程：?
?
?+=+=θθ
sin cos r b y r a x （θ为参数）.
2．点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①
M
在圆C 内
222
00()()d x a y b r ?=-+-＜；②M 在圆C 上
22200)()d x a y b r ?=-+-=（
③M 在圆C 外222
00()()d x a y b r ?=-+-＞
3．直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：2
2
2
()()(0)x a y b r r -+-=＞； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
.
①几何法：r d =时，l 与C 相切；d r ＜时，l 与C 相交；d r ＞时，l 与C 相离.
② 代数法：方程组??
???=++=-+-0)()(2
22C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式
为?，则：l ?=?0与C 相切；0l ??＞与C 相交；0l ??＜与C 相离.
注意：几何法优于代数法 4．求圆的切线方法
①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条。利用相切条件求k 值即可。
②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
5．圆与圆的位置关系：已知两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则
(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；
两圆相交－＜＜＋．???
第九章 圆锥曲线
二．双曲线的定义标准方程及其几何性质
三．抛物线定义标准方程及其简单几何性质
三．直线和圆锥曲线的位置关系 1. 直线和椭圆的位置关系的判断方法
（1）代数法：直线l ：Ax +By +C =0和圆锥曲线C ：f (x ，y )=0的位置关系可分为：相交、相切、相离．
设直线l :Ax +By +C =0,圆锥曲线C ：f (x ,y )=0 ; 由0
(,)0
Ax By C F x y ++=??
=? 消去y （或x ）得：
ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ;令Δ=b 2-4ac , 则Δ>0?相交；Δ=0?相切；Δ<0?相离.
(2)几何法：求大致位置和满足条件的直线时可用，精确计算时不可用。 2.弦长的计算：弦长公式12|AB x x =-=.
第十章 立体几何
1.平面的基本性质：三个公理及推论。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面；
3.直线与平面
5. 常用证明方法：
(1)判断线线平行的常用方法：
①a∥b,b∥c, a∥c;②a∥α,a β,α∩β＝b a∥b
③a⊥α,b⊥αa∥b;④α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b a∥b
(2)判定线线垂直的常用方法.
①a⊥α，b αa⊥b；②b∥c,a⊥c a⊥b
③a⊥α，b∥αa⊥b；④三垂线定理及逆定理
(3)判定线面平行的常用方法：
①定义②a α,bα且a∥b a∥α.③α∥β,a βa∥β;
(4)判定线面垂直的常用方法
①c⊥a,c⊥b且a α,b α,a，b无公共点c⊥α；②a∥b且a⊥αb⊥α
③α∥β且a⊥αa⊥β
(5)判定面面平行的常用方法：
①a、b β,a∩b＝A，若a∥α,b∥αα∥β
②a⊥α,α⊥βα∥β
③α∥β，β∥r
α∥γ
(6)判定面面垂直的常用方法.
①a⊥α,a
β
α⊥β ②α∥β，b⊥r β⊥r
③a⊥β,a∥α
α⊥β
6．棱柱
（1）棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；（2）长方体的性质。
（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，
以及它们的特有性质。 （4）S 侧＝各侧面的面积和；（5）V=Sh 。 7．棱锥
１．棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心） ２．相关计算：S 侧＝各侧面的面积和 ，V=3
1
Sh 8．球的相关概念：（1）S 球=4πR 2
V 球＝
3
4πR 3
（2）球面距离的概念 9.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算
（1）异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②向量法. （2）直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. （3）二面角方法：①定义法；②射影面积法：S ′=S cos θ三垂线法；③向量法.
其中二面角的平面角的作法
①定义法：由二面角平面角的定义做出平面角；
②三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 （4）两点之间的距离.(5)点到直线的距离.
(6)点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量法
(7)两条平行线间的距离.
(8)两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法
(9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离
第十一章 排列组合与二项式定理概率
一．排列组合 1.计数原理
①分类原理：N=n 1+n 2+n 3+…+n M (分类) ②分步原理：N=n 1·n 2·n 3·…n M (分步) 2.排列（有序）与组合（无序） A n m
=n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m+1)=
)!
(!m n n - A n n
=n!
C n m =
!
)!(!!)1()2)(1(m m n n m m n n n n -=
+-?-- C n m = C n n －m C n m ＋C n m ＋1= C n+1m+1
k?k!=(k+1)!－k! 二.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排
1、多排问题直排法：把n 个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．
2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
4、不相邻问题插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）
5、正难则反排除法（或淘汰法）：对于含有否定词语“至多”，“至少”类的问题，从正面解决不容易，可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去，应注意既不能多减也不能少减。
6、元素重复问题住店法（或映射法）：解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。
三、二项式定理：
1.(a+b)n =C n 0a x +C n 1a n －1b 1+ C n 2a n －2b 2+ C n 3a n －3b 3+…+ C n r a n －r b r +…+ C n n －1ab n －1+ C n n b n
特别地：(1+x)n =1+C n 1x+C n 2x 2+…+C n r x r +…+C n n x n
2.通项为第r+1项： T r+1= C n r a n －r b r
作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
3.主要性质和主要结论：对称性C n m =C n n －m
最大二项式系数在中间。（要注意n 为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）
所有二项式系数的和：C n ０+C n 1+C n 2+ C n 3+ C n 4+…+C n r +…+C n n =2n
奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和
C n ０+C n ２+C n ４+ C n ６+ C n ８+…＝C n １+C n ３+C n ５+ C n ７+ C n ９+…=2
n -1 四．概率１．必然事件： P(A)=1；不可能事件： P(A)=0；随机事件的定义： 0 2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n m P(A)= . 3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)； 推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . 4.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件.（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生。P （A ）+ P(B)＝１ 5.相互独立独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ?=?. 6.独立重复事件：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这 个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P) (1P C (k)P --=。特殊：令k=0 得：在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为．．．．．．．．P n (０)=C n 0p 0(1－p)n =(1－p)n 令k=n 得：在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．P n (n)=C n n p n (1－p)0 =p n 数学竞赛二年级试卷 分值：120分 时间：120分 姓名： 班级： 一、选择题 1. 在正方体ABCD-A ’B’C’D’中,与棱AA ’异面的直线共有几条（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数 a 的值为（ ） A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-2 6．如果直线ax +2y+2=0与直线3x －y －2=0平行，则a 等于 （ ） A ．－3 B ．－6 C ．2 3- D ．3 2 3． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 3.. 正方体ABCD-A ’B’C’D’中,异面直线CD ’和BC ’所成的角的度数是（ ） A.45° B.60° C.90° D.120° C C' D D'B' A' A B 、已知直线ax+by+c=0)0(≠abc 与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是 （ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、 钝角三角形 D 、不存在 67. 直线a 是平面α的斜线，b 在平α内，已知a 与b 成60°的角，且b 与a 在平α内的射影成45°角时，a 与α所成的角是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D. αb a O C B A A F D B C G E 1B H 1 C 1D 1A 中职数学基础知识汇总 预备知识: 1、完全平方与(差)公式: (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 2、平方差公式: a 2-b 2=(a+b)(a-b) 3、立方与(差)公式: a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素:确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法:列举法、描述法、图像法(文氏图)。 3. 常用数集:N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、N +(正整数集) 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系: （1） 元素与集合就是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合就是“” “”“”“”的关系。 注:(1)空集就是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。(做题时多考虑Ф就是否满足题意) (2)一个集合含有n 个元素,则它的子集有2n 个,真子集有2n -1个,非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法) (1){|}A B x x A x B 且:A 与B 的公共元素组成的集合 (2){|}A B x x A x B 或:A 与B 的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。 (3)A C U :U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注:=()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B 6. 会用文氏图表示相应的集合,会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p 就是q 的……条件 p 就是条件,q 就是结论 如果p ?q,那么p 就是q 的充分条件;q 就是p 的必要条件、 如果p ?q,那么p 就是q 的充要条件 第二章 不等式 1. 不等式的基本性质:(略) 注:(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法。 (2)不等式两边同时乘以负数要变号！！ (3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式: (1)ab b a 22 2≥+,当且仅当b a =时,等号成立。 (2)),(2+ ∈≥+R b a ab b a ,当且仅当b a =时,等号成立。(3) 注: 2 b a +(算术平均数)≥a b (几何平均数) 3. 一元一次不等式的解法(略) 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的就是求根: （3） 定解:(口诀)大于取两边,小于取中间。 实用标准文案 职高数学概念与公式 初中基础知识： 1.相反数、绝对值、分数的运算； 2.因式分解： 提公因式： xy-3x=(y-3)x 3 252(31)(2) 十字相乘法如： x x x x 配方法如： 2x2x 32( x 1 )225 48 公式法：（x+y）2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1）代入法 （2）消元法 6.完全平方和（差）公式：a22ab b2(a b)2a22ab b 2( a b) 2 7.平方差公式：2 b 2()( a ) a a b b 8.立方和（差）公式： a3b3(a b)(a2ab b 2 ) a 3 b 3(a b)( a 2ab b 2 ) 第一章集合 1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注： ｛ x |x,x} ；另重点类型如：｛y | y x23x1, x( 1,3]｝描述法 元素元素性质取值范围 3.常用数集： N （自然数集）、 Z （整数集）、 Q （有理数集）、 R （实数集）、 N *（正 整数集）、 Z （正整数集） 4.元素与集合、集合与集合之间的关系： （1）元素与集合是“”与“ ”的关系。 （2）集合与集合是“” “ ”“ ”“ ”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑是否满足题意）（ 2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有2n个，真子集有 2n 1 个，非空真子集有 2n2 个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （ 1） A B { x | x A且x B} ：A与B的公共元素（相同元素）组成的集合 （2） A B { x | x A或x B} ：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 职教单招数学总复习 中职数学基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式：a3+b 3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) 第一章集合 1.构成集合的元素必足三要素：确定性、互异性、无序性。 2.集合的三种表示方法：列法、描述法、像法（文氏）。 3.常用数集： N（自然数集）、 Z （整数集）、 Q（有理数集）、 R（数集）、 N +（正整数集） 4.元素与集合、集合与集合之的关系： （1）元素与集合是“”与“ ”的关系。 （2）集合与集合是“í” “ ”“=”“/í”的关系。 注：（ 1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做多考Ф是否足意） （ 2）一个集合含有 n 个元素，它的子集有2n个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有2n-2 个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数的方法） （1）A B = { x | x 挝A且x B}：A与B的公共元素成的集合 （2）A B = { x | x 挝A或 x B}：A与B的所有元素成的集合（相同元素只写一次）。 （ 3）C U A：U中元素去掉A中元素剩下的元素成的集合。 注： C U(A B) C U A C U B C U(A B)=C U A C U B 6.会用文氏表示相的集合，会将相的集合画在文氏上。 7. 充分必要条件: p是q的??条件p 是条件， q 是 如果 p q，那么 p 是 q 的充分条件 ;q 是 p 的必要条件 . 如果 p q，那么 p 是 q 的充要条件 第二章不等式1.不等式的基本性：（略） 注：（ 1）比两个数的大小一般用比差的方法；另外可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两同乘以数要号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2.重要的不等式： （ 1）a2b22ab ，当且当 a b ，等号成立。 （ 2）a b ab a b R 2 ( , ) ，当且当 a b ，等号成立。（3） 注：a b （算平均数）ab （几何平均数）2 3.一元一次不等式的解法（略） 4.一元二次不等式的解法 （1）保二次系数正 （2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根： 第六章：数列 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ ） A )7(21-n B )4(21-n C 42-n D 72 -n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为_________________. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=_________________. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为________________. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为______________. 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 6. 已知本金p=1000元，每期利i=2%，期数n=5,按复利计息，求到期后的本利和 7. 在同一根轴上安装五个滑轮，它们的直径成等差数，最小与最大的滑轮直径分别为 120厘米与216厘米，求中间三个滑轮的直径. 第七章：向量 1. 选择题： （1）平面向量定义的要素是（ ） A 大小和起点 B 方向和起点 C 大小和方向 D 大小、方向和起点 （2）--等于（ ） A 2 B 2 C D 0 （3）下列说法不正确的是（ ）. A 零向量和任何向量平行 B 平面上任意三点A 、B 、 C ，一定有AC BC AB =+ C 若)(R m m ∈=，则// D 若2211,e x e x ==，当21x x =时，= （4）设点A （a 1,a 2 ）及点B （b 1,b 2），则的坐标是（ ） A （2211,b a b a --） B （2121,b b a a --） C （2211,a b a b --） D （1212,b b a a --） （5）若?=-4，||=2，||=22，则<,>是（ ） A ο0 B ο90 C ο180 D ο 270 （6）下列各对向量中互相垂直的是（ ） A )5,3(),2,4(-== B )3,4(),4,3(=-= C )5,2(),2,5(--== D )2,3(),3,2(-=-= 2. 填空题： （1）BC CD AB ++=______________. （2）已知2（+）=3（-），则=_____________. （3）向量,的坐标分别为（2，-1），（-1，3），则b a +的坐标_______， 23+的坐标为__________. （4）已知A （-3，6），B （3，-6），则=__________,||=____________. （5）已知三点A （3+1，1），B （1，1），C （1，2），则<,>=_________. 《数学》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：中职数学（英文）：Vocational Mathematics 课程代码： 课程类型/性质：必修课/公共基础课 总学时： 144 学分： 适用专业: 开课系部：人文教育系 与本专业其它课程的关系：本课程是在九年义务教育的基础上开设的基础公共课，是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。 二、课程内容简介 本课程是在初中数学基础上，使学生学好从事社会主义现代化建设和继续学习所必需的代数、三角、几何和概率统计的基础知识，进一步培养学生的基本运算能力、基本计算工具使用能力、空间想像能力、数形结合能力、思维能力和简单实际应用能力。通过本课程的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识，进一步培养学生的科学思维方法和辩证唯物主义思想。 三、课程任务、教学目标 【课程任务】 培养学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。 【教学目标】 （一）知识目标 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。 (二) 能力目标 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。 （三）素质目标 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。 四、教学安排、教学方法及手段 （一）教学安排 本课程计划在第一学年的两个学期内完成。每周4学时，每学期为72学时（含复习考试环节），共144学时。 （二）教学方法及手段 根据中等职业学校学生的实际出发，教学方法要符合学生的认知心理特征，关注学生数学学习兴趣的激发与保持，学习信心的坚持与增强，鼓励学生参与教学活动，包括思维参与和行为参与，引导学生主动学习。 根据不同的数学知识内容，结合实际地充分利用各种教学媒体，进行多种教学方法探索和试验。 五、各教学环节学时分配 基础理论部分学时分配 六、理论教学内容与要求 [总教学目标] (一) 知识目标： 本大纲对所列知识提出了由高到低三个层次的要求，三个层次分别为： 1、了解：初步知道知识的含义及其简单应用。 2、理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。 3、掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。 (二) 能力目标： 1、计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。 2、计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。 集合测试题 一 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.给出 四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合 ② 集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合 ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合 ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集 其中正确的是 ( ); A.只有③④ B.只有②③④ C.只有①② D.只有② 2.下列对象能组成集合的是( ); A.最大的正数 B.最小的整数 C. 平方等于1的数 D.最接近1的数 3.I =｛0,1,2,3,4｝,M =｛0,1,2,3｝ ,N =｛0,3,4｝,)(N C M I =( ); A.｛2,4｝ B.｛1,2｝ C.｛0,1｝ D.｛0,1,2,3｝ 4.I =｛a,b,c,d,e ｝ ,M=｛a,b,d ｝,N=｛b ｝,则N M C I )(=( ); A.｛b ｝ B.｛a,d ｝ C.｛a,b,d ｝ D.｛b,c,e ｝ 5.A =｛0,3｝ ,B=｛0,3,4｝,C=｛1,2,3｝则=A C B )(( ); A.｛0,1,2,3,4｝ B.φ C.｛0,3｝ D.｛0｝ 6．设集合M =｛-2,0,2｝,N =｛0｝,则( ); A.φ=N B.M N ∈ C.M N ? D.N M ? 7.设集合{}0),(>=xy y x A ，{} ,00),(>>=y x y x B 且则正确的是( ); A.B B A = B.φ=B A C.B A ? D.B A ? 8.设集合{}{} ,52,41<≤=≤<=x x N x x M 则=B A ( ); A.{}51< 职高数学概念与公式 初中基础知识： 1. 相反数、绝对值、分数的运算； 2. 因式分解： 提公因式：xy-3x=(y-3)x 十字相乘法 如：)2)(13(2532 -+=--x x x x 配法 如：8 25 )41(23222-+=-+x x x 公式法：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2 (x-y)2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3. 一元一次程、一元二次程、二元一次程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法 6.完全平和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 7.平差公式：))((22b a b a b a -+=- 8.立和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注：?描述法{},|3 21321取值范围 元素性质元素 ｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“?” “”“=”“?/”的关系。 注：（1）空集是任集合的子集，任非空集合的真子集。（做题时多考虑φ是否满足题意） 中职数学基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 2.平方差公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“í” “”“=”“í/”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）{|}A B x x A x B =挝I 且：A 与B 的公共元素组成的集合 （2）{|}A B x x A x B =挝U 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 （3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：=I U ()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B =U I 6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论 如果p ?q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ?q ，那么p 是q 的充要条件 第二章 不等式 1. 不等式的基本性质：（略） 注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式： （1）ab b a 222 ≥+，当且仅当b a =时，等号成立。 （2）),(2+ ∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。 （3） 注： 2 b a +（算术平均数）≥a b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根： 中职数学基础模块上册（人教版）全套教案 目录 第一章集合 (1) 1.1.1 集合的概念 (1) 1.1.2 集合的表示方法 (5) 1.1.3 集合之间的关系(一) (8) 1.1.3 集合之间的关系(二) (11) 1.1.4 集合的运算(一) (14) 1.1.4 集合的运算（二) (18) 1.2.1 充要条件 (21) 1.2.2 子集与推出的关系 (25) 第二章不等式 (28) 2.1.1 实数的大小 (28) 2.1.2 不等式的性质 (32) 2.2.1 区间的概念 (36) 2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (39) 2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (43) 2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (46) 2.2.4 含有绝对值的不等式 (49) 2.3 不等式的应用 (52) 第三章函数 (55) 3.1.1 函数的概念 (55) 3.1.3 函数的单调性 (62) 3.1.4 函数的奇偶性 (67) 3.2.1 一次、二次问题 (71) 3.2.2 一次函数模型 (74) 3.2.3 二次函数模型 (78) 3.3 函数的应用 (82) 第四章指数函数与对数函数 (85) 4.1.1 有理指数(一) (85) 4.1.1 有理指数(二) (89) 4.1.2 幂函数举例 (93) 4.1.3 指数函数 (96) 4.2.1 对数 (100) 4.2.2 积、商、幂的对数 (103) 4.2.3 换底公式与自然对数 (107) 4.2.4 对数函数 (109) 4.3 指数、对数函数的应用 (112) 第五章三角函数 (115) 5.1.1 角的概念的推广 (115) 5.1.2 弧度制 (119) 5.2.1 任意角三角函数的定义 (123) 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (128) 人教版中职数学教材基础模块上册全册教案 目录 第三章函数 0 3.1.1 函数的概念 0 3.1.2 函数的表示方法 (4) 3.1.3 函数的单调性 (7) 3.1.4 函数的奇偶性 (12) 3.2.1 一次、二次问题 (16) 3.2.2 一次函数模型 (19) 3.2.3 二次函数模型 (23) 3.3 函数的应用 (28) 第四章指数函数与对数函数 (31) 4.1.1 有理指数(一) (31) 4.1.1 有理指数(二) (35) 4.1.2 幂函数举例 (39) 4.1.3 指数函数 (42) 4.2.1 对数 (47) 4.2.2 积、商、幂的对数 (50) 4.2.3 换底公式与自然对数 (54) 4.2.4 对数函数 (56) 4.3 指数、对数函数的应用 (59) 第五章三角函数 (62) 5.1.1 角的概念的推广 (62) 5.1.2 弧度制 (66) 5.2.1 任意角三角函数的定义 (70) 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (75) 5.2.3 诱导公式 (79) 5.3.1 正弦函数的图象和性质 (84) 5.3.2 余弦函数的图象和性质 (88) 5.3.3 已知三角函数值求角 (91) 第三章函数 3.1.1函数的概念 【教学目标】 1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域． 2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值． 3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点． 【教学重点】 函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域． 【教学难点】 用集合的观点理解函数的概念． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解． 复习题6 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ B ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ A ） A )7(21-n B )4(21-n C 42-n D 72 -n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ B ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ C ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为an=n^2-1. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=8. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为an=3n-4. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为an=10^(2-n) 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 解：sin π/4=根号2/2 sin π/2=1 sin 3π/4=根号2/2 sin π =0 sin 5π/4=-根号2/2 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 解：an=a1+(n-1)d a1=2 a7=a1+(7-1)d 20=2+6d 所以d=3 sn=na1+n(n-1)/2*d 所以s15=15*2+15*14/2*3=345 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 解：a5=a1*q^(5-1),∴a1=12 2009中职数学教学大 纲 中等职业学校数学教学大纲 部颁《数学》教学大纲 一、课程性质与任务 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。 二、课程教学目标 1. 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。 2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。 3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。 三、教学内容结构 本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三个部分构成。 1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求，教学时数为128学时。 2. 职业模块是适应学生学习相关专业需要的限定选修内容，各学校根据实际情况进行选择和安排教学，教学时数为32~64学时。 3. 拓展模块是满足学生个性发展和继续学习需要的任意选修内容，教学时数不做统一规定。 四、教学内容与要求 （一）本大纲教学要求用语的表述 1. 认知要求（分为三个层次） 了解：初步知道知识的含义及其简单应用。 理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。 掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。 2. 技能与能力培养要求（分为三项技能与四项能力） 计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。 数据处理技能：按要求对数据（数据表格）进行处理并提取有关信息。 观察能力：根据数据趋势，数量关系或图形、图示，描述其规律。 空间想象能力：依据文字、语言描述，或较简单的几何体及其组合，想象相应的空间图形；能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系，或根据条件画出图形。 分析与解决问题能力：能对工作和生活中的简单数学相关问题，作出分析并运用适当的数学方法予以解决。 数学思维能力：依据所学的数学知识，运用类比、归纳、综合等方法，对数学及其应用问题能进行有条理的思考、判断、推理和求解；针对不同的问题（或需求），会选择合适的模型（模式）。 （二）教学内容与要求 1. 基础模块（128学时） 第1单元集合（10学时） 概率与统计初步 例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少种 解：4×3=12 例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件 ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。 ②掷一颗骰子出现8点。 ③如果0 a=。 a，则b -b = ④某人买某一期的体育彩票中奖。 解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。 例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A表示“至少有1名女生代表”，求) P。 (A 解：) P=15×14×13/20×19×18=273/584 (A 例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件哪些是互斥事件哪些是对立事件哪些不是互斥事件 ①恰有1件次品和恰有2件次品互斥事件 ②至少有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ③最多有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ④至少有1件次品和全是正品对立事件 例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。 解：P(A)=3×2/6×5=1/5 例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。 解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36. (1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A 包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9 (2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B 包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6 例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是，计算： ①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率； ③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。 解：A={甲射击一次，击中目标}，B={乙射击一次，击中目标} （1）16 .04.04.0)()()(=?==B P A P B A P （2） 36.06.06.0)()()(=?==B P A P AB P （3）48.04.06.06.04.0)()(=?+?=+B A P B A P (4)84.016.01)(1=-=-B A P 例8.种植某种树苗成活率为，现种植5棵。试求： ①全部成活的概率； ②全部死亡的概率； ③恰好成活4棵的概率； ④至少成活3棵的概率。 解：（1）××××= 百度文库- 让每个人平等地提升自我 集合单元测试 姓名：评分： 一．选择题：（答案填在表格内，每题 5 分，共 75 分） 题 123456789101112131415 号 答 案 1. 下列选项能组成集合的是（） A. 学校篮球水平较高的学生 B. 校园中长的高大的树木 年所有的欧盟国家 D. 中国经济发达的城市 2. 已知集合 P={1，2} ，那么满足 Q P 的集合 Q的个数为（） A． 4 D. 1 3．下列表述正确的是（） A. { 0} B. { 0} C. { 0} D. { 0} 4. 已知集合 {= x / x 4n, n N } 则下列各数属于集合M的是（ ） 5、集合 {a ，b，c } 的真子集共有个。（） A．7B．8C．9D．10 6、设集合M1,0,1 , N1,1 ，则（） A.M N B.M N C. M N D.N M 7、已知 A x x 2 ，则下列写法正确的是（） A.0 A B.0A C.A D.0 A 8、设全集U0,1,2,3,4,5,6 ，集合 A3,4,5,6 ，则 C U A（） A．0,1,2,6 B. C.3,4,5 D.0,1,2 9、已知集合 A 1,2,3 ，集合 B 1,3,5,7 ，则 A B （ ） A ． 1,3,5 B. 1,2,3 C. 1,3 D. 10、已知集合 A x 0 x 2，集合B x1 x 3，则A B （ ） A ． A x 0 x 3 B. B x 0 x 3 C. B x1 x 2 D. B x1 x 2 11、已知集合 A 1,2,3 ，集合 B 4,5，6，7 ，则 A B （ ） A ． 2,3 B. 1,2,3 C. 1,2,3,4,5，6，7 D. 12、设集合 M = {x │x+1＞ 0} ，N = {x │－ x+3＞0} ，则 M ∩N =（ ） A 、 {x │x ＞－ 1} B 、 {x │x ＜－ 3} C 、 {x │－ 1＜x ＜3} D 、 {x │x ＞－ 1 或 x ＜3} 13. 设 1,2 M 1,2,3,4 , 则满足条件的集合 M 共有 ( ). 个 个 个 个 14. 设全集为 N ，集合 { x N / x 8} M ） M= ，则集合 C N 中元素的个数为（ 个 个 个 D. 无数多个 x y 1 15、方程组x y 1 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0 或 y=1} 二．填空题：（第一题 5 分，其余每题 3 分，共 32 分） 1、用符号（ ， ， ， ,= ）填空： （ 1） {0}_____ ； （2）{ x| x< 6}_____{ x| x< 0} （ 3） R_____Q ； （ 4） 2 _____{x| x 2 4 0 } ； （ ） ， }_____{ ， 5 {1,3,5 x| x=2k+1 k N } 师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学” 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体； (2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体。 1. 集合的概念 (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)； (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素； (3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母 A ，B ，C ，…表示，它的元素通常用小写英文字母 a ，b ，c ，… 表示。 2. 元素与集合的关系 (1) 如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于A ，记作a ?A ，读作“a 属于A ” (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ? A 读作“a 不属于A ” 3. 集合中元素的特性 (1) 确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合 (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象 4. 集合的分类 (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 5. 常用数集及其记法 (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N ； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作 N ＋或 N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z ； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q ； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R 。 【巩固】 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由 (1) 小于 10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的 26 个大写字母； (4) 非常接近 1 的实数。 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ? Q ，b ? Q ，则 a ＋b ? Q 。 例2 用符号“?”或“?”填空： (1) 1 N ，0 N ，－4 N ，0.3 N ；(2) 1 Z ，0 Z ，－4 Z ，0.3 Z ； (3) 1 Q ，0 Q ，－4 Q ，0.3 Q ；(4) 1 R ，0 R ，－4 R ，0.3 R 。 练习2 用符号“?”或“?”填空： (1) －3 N ；(2) 3.14 Q ；(3) 13 Z ； (4) －12 R ；； (6) 0 Z 。 【小结】 1. 集合的有关概念：集合、元素 2. 元素与集合的关系：属于、不属于 3. 集合中元素的特性 4. 集合的分类：有限集、无限集 5. 常用数集的定义及记法 【作业】 教材P4，练习A 组第1~3题 中职数学基础知识汇 总 中职数学基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 2.平方差公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“í” “”“=”“í/”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）{|}A B x x A x B =挝I 且：A 与B 的公共元素组成的集合 （2）{|}A B x x A x B =挝U 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 （3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：=I U ()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B =U I 6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件: p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论 如果p ?q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ?q ，那么p 是q 的充要条件 第二章 不等式 1. 不等式的基本性质：（略） 注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式： （1）ab b a 22 2≥+，当且仅当b a =时，等号成立。 （2）),(2+ ∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。（3） 注： 2 b a +（算术平均数）≥a b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根： 精品文档职教高考数学基础知识汇总集合与简易逻辑：第一章一．集合集合的有关概念和运算1、 1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；（?Aa∈A， aa或A之间的关系：（2）元素；和集合?A，BB，则A叫的子集；记作：2、子集定义：A中的任何元素都属于B?φ与A≠时，A有两种情况：A＝注意：AφB B?A；，且B中至少有一个元素不属于A；记作：3、真子集定义：A是B的子集}A且x?|x?U,CA?{x、补集定义：；4U}Bx?|x?A 或x?B}A B?{xA B?{x|x?A且交集：、交集与并集；并集：5n AA的所有不同的子集个 数为若集合个元素，则集合中有6、集合中元素的个数的计算：。，所有非空真子集的个数是 _________，所有真子集的个数是__________二．简易逻辑： p；、非、p 且q1．复合命题：三种形式：p或q 判断复合命题真假： p，真假相反。p且q，同真为真； 非2.真值表：p或q，同假为假，否则为真； 3.四种命题及其关系： 逆命原命题；q则p 原命题：若p则q；逆命题：若???pq则则；q；逆否命题：若p否命题：若p则互互为逆否的两个命题是等价的互原命题与它的逆否命题是等价命题否 4.充分条件与必要条件：互否qp?qp，则的充分条件；叫若命逆否否命题qp?qp，则的必要条件；若叫题?则p若互qp?qp叫若，则的充要条件；第二章不等式一、不等式的基本性质：．特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。1 ”比，然后再比较它们的大小．中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“12 二．均值不等式： b?aab?0,ba?（当且内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若1.，则2ba?仅当时取等号）22ab?2ba?R,b?a?a?b，则基本变形：① 2. ；②若 3.基本应用：求函数最值： 注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 19)?y?4xx?(常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数。的最小值24x?2 11?y,x1?2?yx的最小值满足。，则②若正数xy精品文档． 精品文档|ba|?|?|a?b|?||a|?|b|三、绝对值不等式：，注意：上述等号“＝”成立的条件；五、不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）1.一元二次不等式的图解法：职高数学基础模块下册第八章和第九章
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