中职数学基础知识汇总
预备知识：
1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
2.平方差公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b)
3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
第一章 集合
1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。
2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。
3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集）
4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：
（1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“í” “”“=”“í/”的关系。
注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）{|}A B x x A x B =挝I
且：A 与B 的公共元素组成的集合
（2）{|}A B x x A x
B =挝U 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。
（3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：=I
U ()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B =U I
6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。
7. 充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论
如果p ?q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ?q ，那么p 是q 的充要条件
第二章 不等式
1. 不等式的基本性质：（略）
注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！
（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式： （1）ab b a
222
≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
（2）),(2+
∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。
（3） 注：
2
b
a +（算术平均数）≥a
b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正
（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：
（3） 定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。 5. 绝对值不等式的解法 若0>a
，则??
?-<>?><<-? x a x a x a x a a x 或|||| 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0. 第三章 函数 1. 函数 （1）定义：设A 、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x,在B 中总有一个且只 有一个值y 与它对应,则称f 是集合A 到B 的函数,可记为:f :A →B,或f :x →y.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ?B),叫做函数的值域. （2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。 注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围 主要依据：①分母不能为0，②偶次根式的被开方式≥0， ③特殊函数定义域：0,0 ≠=x x y R x a a a y x ∈≠>=),10(,且 0),10(,log >≠>=x a a x y a 且 （2） 值域的求法： y 的取值范围 ① 正比例函数：kx y = 和 一次函数：b kx y +=的值域为R ② 二次函数：c bx ax y ++=2 的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R 则还需画图像 ③ 反比例函数：x y 1 = 的值域为}0|{≠y y ④ 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 （3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 3. 函数图像的变换 （1） 平移 )() (a x f y a x f y +=→=个单位 向左平移 )() (a x f y a x f y -=→=个单位向右平移 a x f y a x f y +=→=)() (个单位向上平移 a x f y a x f y -=→=)()(个单位 向下平移 （2） 翻折 )() (x f y x x f y -=→=上、下对折轴沿 |)(|)(x f y x x f y =→=下方翻折到上方 轴上方图像 保留 4. 函数的奇偶性 （1） 定义域关于原点对称 （2） 若 )()(x f x f -=-→奇 若)()(x f x f =-→偶 注：①若奇函数在0=x 处有意义，则0)0(=f ②常值函数a x f =)(（0≠a ）为偶函数 ③ 0)(=x f 既是奇函数又是偶函数 5. 函数的单调性 对于],[21b a x x ∈?、且21x x <，若? ??><上为减函数在称上为增函数 在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f 增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。 减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。 6. 二次函数 （1）二次函数的三种解析式 ①一般式：c bx ax x f ++=2 )(（0≠a ） ②顶点式：h k x a x f +-=2 )()( （0≠a ） ，其中),(h k 为顶点 ③两根式：))(()(21x x x x a x f --= （0≠a ） ，其中21x x 、是0)(=x f 的两根 （2）图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： ① 开口 →>0a 开口向上 →<0a 开口向下 ② 对称轴：a b x 2-= 顶点坐标：)44,2(2a b ac a b -- ③ ?与x 轴的交点：?????→?无交点交点有有两交点0100 ④ 根与系数的关系：（韦达定理）?? ?? ?=?-=+a c x x a b x x 2121 ⑤c bx ax x f ++=2 )(为偶函数的充要条件为0=b ⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0） ?>0)(x f ????轴上方图像位于x a 00 轴下方图像位于x a x f ?? ?? 0)( ⑦若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-，则其对称轴是t x =。 第四章 指数函数与对数函数 1. 指数幂的性质与运算 （1）根式的性质： ①n 为任意正整数，n n a )(a = ②当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，||a a n n = ③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂：10 =a )0(≠a （3） 负数指数幂：n n a a 1= - ),0(* N n a ∈≠ （4） 分数指数幂：n m n m a a = )1,,0(>∈>+n N n m a 且 （5） 实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a ∈> ①n m n m a a a +=? ②mn n m a a =)( ③n n n b a b a ?=?)( 2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方。 3. 幂函数???∞+=<∞+=>=）上单调递减， 在（时，当）上单调递增 ，在（时，当0000a a a x y a x y a x y 4. 指数与对数的互化：b N N a a b =?=log )10(≠>a a 且 、 )0(>N 5. 对数基本性质： ①1log =a a ②01log =a ③N a N a =log ④N a N a =log ⑤互为倒数与a b b a log log a b a b b a b a log 1 log 1log log = ?=?? ⑥b m n b a n a m log log = 6. 对数的基本运算： N M N M a a a log log )(log +=? N M N M a a a log log log -= 7. 换底公式：a N N b b a log log log = )10(≠>b b 且 8. 指数函数 对数函数 定 义 )1,0(的常数≠>=a a a y x )1,0(log 的常数≠>=a a x y a 图 像 9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用 中间值0，1来过渡。 10. 指数方程和对数方程：①指数式和对数式互化 ②同底法 ③换元法 ④取对数法 注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。 1. 已知前n 项和n S 的解析式，求通项n a ???-=-11 n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。（见教材） 第六章 三角函数 1. 弧度和角度的互换 π=o 180弧度 180 1π = o 弧度01745.0≈弧度 1弧度'1857)180 ( o o ≈=π 2. 扇形弧长公式和面积公式 r ||?=α扇L 2||2121r Lr S ?== α扇 （记忆法：与ah S ABC 2 1 =?类似） 3. 任意三角函数的定义： 斜边对边= αsin =r y 斜边邻边=αcos =r x 邻边对边=αtan =x y 4. α 00= 0306 =π 0454 =π 0603 =π 0902 =π αsin 20 21 22 23 24 αcos 2 4 23 2 2 2 1 2 0 αtan 3 3 1 3 不存在 5. 三角函数的符号判定 （1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负） （2） 图像记忆法 6. 三角函数基本公式 α α αcos sin tan = （可用于化简、证明等） 1cos sin 22=+αα （可用于已知αsin 求αcos ；或者反过来运用） 7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。 解释：指)(2 Z k k ∈+? απ ，若k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。 7. 已知三角函数值求角α: (1) 确定角α所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角'α; (3) 写出满足条件的π2~0的角; (4) 加上周期（同 终边的角的集合） 8. 和角、倍角公式 ⑴ 和角公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± 注意正负号相同 βαβαβαsin sin cos cos )cos( μ=± 注意正负号相反 β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±= ± ⑵ 二倍角公式： αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α α α2 tan 1tan 22tan -= ⑶ 半角公式： 2cos 12 sin αα -± = 2 cos 12cos α α+±= 9. 三角函数的图像与性质 函数 图像 性 质 定义域 值域 同期 奇偶性 单调性 x y sin = R x ∈ ]1,1[- π 2=T 奇 ↑+ - ]2 2,2 2[π ππ πk k ↓ ++]2 32,22[ππππk k x y cos = R x ∈ ]1,1[- π 2=T 偶 ↑-]2,2[πππk k ↓+]2,2[πππk k 9. 正弦型函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA (1)定义域R ，值域],[A A - （2）周期：ω π 2= T （3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x 的系数提出来，再看是怎样平移的。 （4）x b x a y cos sin +=)sin(22?++=x b a 10. 正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin === （R 为AB C ?的外接圆半径） 其他形式：（1）A R a sin 2= B R b sin 2= C R c sin 2=（注意理解记忆，可只记一个） （2）C B A c b a sin :sin :sin ::= 11. 余弦定理 A bc c b a cos 22 2 2 -+= ? bc a c b A 2cos 2 22-+= （注意理解记忆，可只记一个） 12. 三角形面积公式 B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? （注意理解记忆，可只记一个） 13. 海伦公式：))()((c P b P a P P S ABC ---=?（其中P 为ABC ?的半周长，2 c b a P ++= ） 第七章 平面向量 1. 向量的概念 （1） 定义：既有大小又有方向的量。 （2） 向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A ，终点为B 的向量表示为AB 。 （3） 向量的模（长度）：|||| a AB 或 （4） 零向量：长度为0，方向任意。 单位向量：长度为1的向量。 向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。 反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。 2. 向量的运算 （1） 图形法则 三角形法则 平形四边形法则 （2）计算法则 加法：=+ 减法：=- （3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律 3. 数乘向量：a λ （1）模为：||||λ （2）方向：λ为正与a 相同；λ为负与a 相反。 4. 的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标。 ),(A B A B y y x x AB --= 5. 向量共线（平行）：?唯一实数λ，使得b a λ=。 （可证平行、三点共线问题等） 6. 平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量，都存在唯一的 一对实数21,x x ，使得2211e x e x += 。 7. 注意ABC ?中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分 线交点）、垂心（三高线的交点） 8. 向量的内积（数量积） （1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围],0[π。 （2） 内积公式：><=?,cos |||| 9. 向量内积的性质： （1）| |||,cos b a >= < （夹角公式） （2）⊥0=?? （3）==?||||2或 （长度公式） 10. 向量的直角坐标运算： （1）),(A B A B y y x x --= （2）设),(),,(2211y x y x ==，则 ),(2121y y x x ± ±=± ),(11y x λλλ= 2121y y x x +=? 11.中点坐标公式：若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,点M(x,y)是线段AB 的中点,则1212 ,22 x x y y x y ++= = 12.向量平行、垂直的充要条件：设),(),,(2211y x b y x a ==，则 ∥2 121y y x x =? （相对应坐标比值相等） ⊥?=??002121=+y y x x （两个向量垂直则它们的内积为0） 11. 长度公式 （1） 向量长度公式：设),(y x a =，则22||y x a += （2） 两点间距离公式：设点),(),,(2211y x B y x A ，则 212212)()(||y y x x -+-= 12. 向量平移 （1） 平移公式：点),(y x P 平移向量)','('),(21y x P a a 到=，则? ??+=+=21 ''a y y a x x 记忆法：“新=旧+向量” （2）图像平移：)(x f y =的图像平移向量),(21a a =后得到的函数解析式为：)(12a x f a y -=- 第八章 平面解析几何 1. 曲线C 上的点与方程0) ,(=y x F 之间的关系： （1） 曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解； （2） 以方程0) ,(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上。 则曲线C 叫做方程0) ,(=y x F 的曲线，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程。 2. 求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x ，y ）；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用y x ,的关系式 表示这个条件列出的方程；（4） 化简方程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。 4. 直线： (1) 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是),0[π (2) 斜率：①倾斜角为0 90的直线没有斜率；②αtan =k （倾斜角的正切） ③经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1 21 2x x y y K --= )(21x x ≠ (3) 直线的方程 ① 两点式： 1 21 121x x x x y y y y --= -- ② 斜截式：b kx y += ③ 点斜式：)(00x x k y y -=- ④ 一般式：0=++C By Ax 注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l 平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0 2.求直线的方程最后要化成一般式。 (4) 两条直线的位置关系 注：系数为0的情况可画图像来判定。 (5)点到直线的距离 ①点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2 2 00| |B A C By Ax d +++= 5. 圆的方程 （1） 标准方程：2 2 2 )()(r b y a x =-+-（0>r ）其中圆心),(b a ，半径r 。 （2） 一般方程：022 =++++F Ey Dx y x （042 2 >-+F E D ） 圆心（2 ,2E D --） 半径：2 422F E D r -+= （4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较。 相交? 6. 椭圆 几何定义 动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数a 2 a PF PF 2||||21=+ 标准方程 12 2 22=+b y a x （焦点在x 轴上） 12 2 22=+a y b x （焦点在y 轴上） 图像 c b a ,,的关系 222c b a += 注意：通常题目会隐藏这个条件 对称轴与对称中心 x 轴：长轴长a 2；y 轴：短轴长b 2；)0,0(O 顶点坐标 )0,(a ± ),0(b ± 焦点坐标 )0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率 1122 <-==a b a c e 7. 几何定义 动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数a 2 a PF PF 2||||||21=- 标准方程 122 22=-b y a x （焦点在x 轴上） 122 22=-b x a y （焦点在y 轴上） 图像 c b a ,,的关系 222b a c += 注意：通常题目会隐藏这个条件 对称轴与对称中心 x 轴：实轴长a 2；y 轴：虚轴长b 2；)0,0(O 顶点坐标 )0,(a ± 焦点坐标 )0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率 1122 >+==a b a c e 渐近线 x a b y ± =（焦点在x 轴上） x b a y ± =（焦点在y 轴上） 注：等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等?b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±= 8. 几何定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 d MF =||（d 为抛物线上一点M 到准线的距离） 焦点位置 x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴 图像 标准方程 px y 22=)0(>p px y 22-=)0(>p py x 22=)0(>p py x 22-=)0(>p 焦点坐标 )0,2(p F )0,2(p F - )2,0(p F )2,0(p F - 准线方程 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = 顶点 )0,0(O 对称轴 x 轴 y 轴 离心率 1=e 注：（1p （2） 掌握焦点在哪个轴上的判断方法 （3）圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式： 2122124)(1||x x x x k AB -++= （4）圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！ 第九章 立体几何 1. 空间的基本要素：点、线、面 注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系 2. 平面的基本性质 （1） 三个公理： ① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 ② 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 ③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （2） 三个推论： ① 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3. 两条直线的位置关系： （1） 相交：有且只有一个公共点，记作“A b a =I ” （2） 平行：.a 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。 .b 平行于同一条直线的两条直线平行 （3） 异面： ① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于 2 π 的角。注意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。 4. 直线和平面的位置关系： （1） 直线在平面内：α?l （2） 直线与平面相交：A l =αI （3） 直线与平面平行 ① 定义：没有公共点，记作：l ∥α ② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。 ③ 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。 5. 两个平面的位置关系 （1） 相交：l =βαI （2） 平行： ① 定义：没有公共点，记作：“α∥β” ② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行 ③ 性质： .a 两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行 .b 平行于同一平面的两个平面平行 .c 夹在两平行平面间的平行线段相等 .d 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例 6. 直线与平面所成的角： （1） 定义：直线与它在平面内的射影所成的角 （2） 范围：]2 , 0[π 7. 直线与平面垂直 （1） 判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直 （2） 性质： ① 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线； ② 垂直于同一平面的两直线平行； ③ 垂直于同一直线的两平面平行。 8. 两个平面垂直 （1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。 （2） 性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 9. 二面角 （1） 定义：过二面角βα --l 的棱上一点O ，分别在两半平面内引棱l 的垂线OB OA 、，则AOB ∠为二面角的 平面角 （2） 范围：],0[π （3） 二面角的平面角构造： ① 按定义，在棱上取一点O ，分别在两半平面内引棱的垂线OB OA 、，则AOB ∠即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OB OA 、，AOB ∠即是 第十章 排列、组合与二项式定理 1.分类用加法：n m m m N +??++=21 分步用乘法：n m m m N ??=21 2.有序为排列：)! (! )1()2)(1(m n n m n n n n P m n -= +-??--= 无序为组合：)!(!! !)1()2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m m n m n -= +-??--== 阶乘：123)2)(1(!?????--==n n n n P n n 规定：1!0= 10=n C 注：（1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！ （2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。 3.组合数的两个性质：（1）m n n m n C C -= （2）1 1-++=m n m n m n C C C 4.二项式定理： n n n n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 011111100)(+??++??++=+---- 通项：r r n r n r b a C T -+=1 ，其中r n C 叫做第1+r 项的二项式系数。 注：（1）二项展开式中第1+r 项的系数与第1+r 项的二项式系数r n C 是两个不同的概念。 （2）杨辉三角 1. 二项式系数的性质 （1） 除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即1 1 -++=r n r n r n C C C （2） 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即r n n r n C C -= （3） n 为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大； （第12 +n 项） n 为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。（第2 1 +n 项和后一项） 7. n n n n n C C C 2C m n 1 =??+??++ 1 5 3 1 4 2 2 -=??+++=??+++n n n n n n n C C C C C C 第十一章 概率与统计 一、概率. 1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每 一个基本事件的概率都是 n 1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n m P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中 有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。 ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．． 叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验 是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率： k n k k n n P) (1P C (k)P --=. 二、随机变量. 1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是 恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随 机变量。 设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～ 5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试 验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 由于k n q p C 恰好是二项展开式 11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记 k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )． ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结 果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此 时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 三、数学期望与方差. n n 2211随机变量取值的平均水平. 2. 二项分布的数学期望：np E =ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称 ΛΛ+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差。 显然0≥ξD ，故σξξσξ .D =为ξ的根方差或标准差。随机 变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.二项分布的方差：npq D =ξ 5. 期望与方差的关系：22)(ξξξE E D -= 四、正态分布.（基本不列入考试范围） 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴. 直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2 221)(σσ π- = e x f . （σμ,,R x ∈为常数，且0φσ）， 称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：μξ=E ，2σξ=D ⑶正态曲线的性质. ①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称. ③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线， 向x 轴无限的靠近. ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(2 2+∞-∞= -ππx e x x π?，则称ξ服从标准正态分布. 即 ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξ?，)(1)(x x --=??求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ??ξ-=≤π. 注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)0(=Φ，当)(x Φ的X 如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σ μ x ( F(x)x)P(ξ-==≤?. 4.⑴“3σ”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正 态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-?a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在 )3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态 分布）。 S 阴=0.5S a =0.5+S 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 中职数学基础知识汇总 预备知识: 1、完全平方与(差)公式: (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 2、平方差公式: a 2-b 2=(a+b)(a-b) 3、立方与(差)公式: a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素:确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法:列举法、描述法、图像法(文氏图)。 3. 常用数集:N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、N +(正整数集) 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系: （1） 元素与集合就是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合就是“” “”“”“”的关系。 注:(1)空集就是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。(做题时多考虑Ф就是否满足题意) (2)一个集合含有n 个元素,则它的子集有2n 个,真子集有2n -1个,非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法) (1){|}A B x x A x B 且:A 与B 的公共元素组成的集合 (2){|}A B x x A x B 或:A 与B 的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。 (3)A C U :U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注:=()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B 6. 会用文氏图表示相应的集合,会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p 就是q 的……条件 p 就是条件,q 就是结论 如果p ?q,那么p 就是q 的充分条件;q 就是p 的必要条件、 如果p ?q,那么p 就是q 的充要条件 第二章 不等式 1. 不等式的基本性质:(略) 注:(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法。 (2)不等式两边同时乘以负数要变号！！ (3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式: (1)ab b a 22 2≥+,当且仅当b a =时,等号成立。 (2)),(2+ ∈≥+R b a ab b a ,当且仅当b a =时,等号成立。(3) 注: 2 b a +(算术平均数)≥a b (几何平均数) 3. 一元一次不等式的解法(略) 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的就是求根: （3） 定解:(口诀)大于取两边,小于取中间。 数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。 实用标准文案 职高数学概念与公式 初中基础知识： 1.相反数、绝对值、分数的运算； 2.因式分解： 提公因式： xy-3x=(y-3)x 3 252(31)(2) 十字相乘法如： x x x x 配方法如： 2x2x 32( x 1 )225 48 公式法：（x+y）2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1）代入法 （2）消元法 6.完全平方和（差）公式：a22ab b2(a b)2a22ab b 2( a b) 2 7.平方差公式：2 b 2()( a ) a a b b 8.立方和（差）公式： a3b3(a b)(a2ab b 2 ) a 3 b 3(a b)( a 2ab b 2 ) 第一章集合 1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注： ｛ x |x,x} ；另重点类型如：｛y | y x23x1, x( 1,3]｝描述法 元素元素性质取值范围 3.常用数集： N （自然数集）、 Z （整数集）、 Q （有理数集）、 R （实数集）、 N *（正 整数集）、 Z （正整数集） 4.元素与集合、集合与集合之间的关系： （1）元素与集合是“”与“ ”的关系。 （2）集合与集合是“” “ ”“ ”“ ”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑是否满足题意）（ 2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有2n个，真子集有 2n 1 个，非空真子集有 2n2 个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （ 1） A B { x | x A且x B} ：A与B的公共元素（相同元素）组成的集合 （2） A B { x | x A或x B} ：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定 ① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④| |2:)cos(),sin(ωπ ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； (3)与周期有关的结论 )()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2； 8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =； ⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02 =++c bx ax ； ⑻其它常用函数： ① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x a x y ； 9．二次函数： ⑴解析式： ①一般式：c bx ax x f ++=2 )(；②顶点式：k h x a x f +-=2 )()(，),(k h 为顶点； 职教单招数学总复习 中职数学基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式：a3+b 3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) 第一章集合 1.构成集合的元素必足三要素：确定性、互异性、无序性。 2.集合的三种表示方法：列法、描述法、像法（文氏）。 3.常用数集： N（自然数集）、 Z （整数集）、 Q（有理数集）、 R（数集）、 N +（正整数集） 4.元素与集合、集合与集合之的关系： （1）元素与集合是“”与“ ”的关系。 （2）集合与集合是“í” “ ”“=”“/í”的关系。 注：（ 1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做多考Ф是否足意） （ 2）一个集合含有 n 个元素，它的子集有2n个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有2n-2 个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数的方法） （1）A B = { x | x 挝A且x B}：A与B的公共元素成的集合 （2）A B = { x | x 挝A或 x B}：A与B的所有元素成的集合（相同元素只写一次）。 （ 3）C U A：U中元素去掉A中元素剩下的元素成的集合。 注： C U(A B) C U A C U B C U(A B)=C U A C U B 6.会用文氏表示相的集合，会将相的集合画在文氏上。 7. 充分必要条件: p是q的??条件p 是条件， q 是 如果 p q，那么 p 是 q 的充分条件 ;q 是 p 的必要条件 . 如果 p q，那么 p 是 q 的充要条件 第二章不等式1.不等式的基本性：（略） 注：（ 1）比两个数的大小一般用比差的方法；另外可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两同乘以数要号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2.重要的不等式： （ 1）a2b22ab ，当且当 a b ，等号成立。 （ 2）a b ab a b R 2 ( , ) ，当且当 a b ，等号成立。（3） 注：a b （算平均数）ab （几何平均数）2 3.一元一次不等式的解法（略） 4.一元二次不等式的解法 （1）保二次系数正 （2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根： 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 《数学》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：中职数学（英文）：Vocational Mathematics 课程代码： 课程类型/性质：必修课/公共基础课 总学时： 144 学分： 适用专业: 开课系部：人文教育系 与本专业其它课程的关系：本课程是在九年义务教育的基础上开设的基础公共课，是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。 二、课程内容简介 本课程是在初中数学基础上，使学生学好从事社会主义现代化建设和继续学习所必需的代数、三角、几何和概率统计的基础知识，进一步培养学生的基本运算能力、基本计算工具使用能力、空间想像能力、数形结合能力、思维能力和简单实际应用能力。通过本课程的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识，进一步培养学生的科学思维方法和辩证唯物主义思想。 三、课程任务、教学目标 【课程任务】 培养学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。 【教学目标】 （一）知识目标 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。 (二) 能力目标 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。 （三）素质目标 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。 四、教学安排、教学方法及手段 （一）教学安排 本课程计划在第一学年的两个学期内完成。每周4学时，每学期为72学时（含复习考试环节），共144学时。 （二）教学方法及手段 根据中等职业学校学生的实际出发，教学方法要符合学生的认知心理特征，关注学生数学学习兴趣的激发与保持，学习信心的坚持与增强，鼓励学生参与教学活动，包括思维参与和行为参与，引导学生主动学习。 根据不同的数学知识内容，结合实际地充分利用各种教学媒体，进行多种教学方法探索和试验。 五、各教学环节学时分配 基础理论部分学时分配 六、理论教学内容与要求 [总教学目标] (一) 知识目标： 本大纲对所列知识提出了由高到低三个层次的要求，三个层次分别为： 1、了解：初步知道知识的含义及其简单应用。 2、理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。 3、掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。 (二) 能力目标： 1、计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。 2、计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。 集合测试题 一 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.给出 四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合 ② 集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合 ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合 ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集 其中正确的是 ( ); A.只有③④ B.只有②③④ C.只有①② D.只有② 2.下列对象能组成集合的是( ); A.最大的正数 B.最小的整数 C. 平方等于1的数 D.最接近1的数 3.I =｛0,1,2,3,4｝,M =｛0,1,2,3｝ ,N =｛0,3,4｝,)(N C M I =( ); A.｛2,4｝ B.｛1,2｝ C.｛0,1｝ D.｛0,1,2,3｝ 4.I =｛a,b,c,d,e ｝ ,M=｛a,b,d ｝,N=｛b ｝,则N M C I )(=( ); A.｛b ｝ B.｛a,d ｝ C.｛a,b,d ｝ D.｛b,c,e ｝ 5.A =｛0,3｝ ,B=｛0,3,4｝,C=｛1,2,3｝则=A C B )(( ); A.｛0,1,2,3,4｝ B.φ C.｛0,3｝ D.｛0｝ 6．设集合M =｛-2,0,2｝,N =｛0｝,则( ); A.φ=N B.M N ∈ C.M N ? D.N M ? 7.设集合{}0),(>=xy y x A ，{} ,00),(>>=y x y x B 且则正确的是( ); A.B B A = B.φ=B A C.B A ? D.B A ? 8.设集合{}{} ,52,41<≤=≤<=x x N x x M 则=B A ( ); A.{}51< 高中数学各章节知识点汇总 目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21) 第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等 职高数学概念与公式 初中基础知识： 1. 相反数、绝对值、分数的运算； 2. 因式分解： 提公因式：xy-3x=(y-3)x 十字相乘法 如：)2)(13(2532 -+=--x x x x 配法 如：8 25 )41(23222-+=-+x x x 公式法：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2 (x-y)2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3. 一元一次程、一元二次程、二元一次程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法 6.完全平和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 7.平差公式：))((22b a b a b a -+=- 8.立和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注：?描述法{},|3 21321取值范围 元素性质元素 ｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“?” “”“=”“?/”的关系。 注：（1）空集是任集合的子集，任非空集合的真子集。（做题时多考虑φ是否满足题意） 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 中职数学基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 2.平方差公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“í” “”“=”“í/”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）{|}A B x x A x B =挝I 且：A 与B 的公共元素组成的集合 （2）{|}A B x x A x B =挝U 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 （3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：=I U ()U U U C A B C A C B ()U U U C A B C A C B =U I 6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论 如果p ?q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ?q ，那么p 是q 的充要条件 第二章 不等式 1. 不等式的基本性质：（略） 注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式： （1）ab b a 222 ≥+，当且仅当b a =时，等号成立。 （2）),(2+ ∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。 （3） 注： 2 b a +（算术平均数）≥a b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根： 中职数学基础模块上册（人教版）全套教案 目录 第一章集合 (1) 1.1.1 集合的概念 (1) 1.1.2 集合的表示方法 (5) 1.1.3 集合之间的关系(一) (8) 1.1.3 集合之间的关系(二) (11) 1.1.4 集合的运算(一) (14) 1.1.4 集合的运算（二) (18) 1.2.1 充要条件 (21) 1.2.2 子集与推出的关系 (25) 第二章不等式 (28) 2.1.1 实数的大小 (28) 2.1.2 不等式的性质 (32) 2.2.1 区间的概念 (36) 2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (39) 2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (43) 2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (46) 2.2.4 含有绝对值的不等式 (49) 2.3 不等式的应用 (52) 第三章函数 (55) 3.1.1 函数的概念 (55) 3.1.3 函数的单调性 (62) 3.1.4 函数的奇偶性 (67) 3.2.1 一次、二次问题 (71) 3.2.2 一次函数模型 (74) 3.2.3 二次函数模型 (78) 3.3 函数的应用 (82) 第四章指数函数与对数函数 (85) 4.1.1 有理指数(一) (85) 4.1.1 有理指数(二) (89) 4.1.2 幂函数举例 (93) 4.1.3 指数函数 (96) 4.2.1 对数 (100) 4.2.2 积、商、幂的对数 (103) 4.2.3 换底公式与自然对数 (107) 4.2.4 对数函数 (109) 4.3 指数、对数函数的应用 (112) 第五章三角函数 (115) 5.1.1 角的概念的推广 (115) 5.1.2 弧度制 (119) 5.2.1 任意角三角函数的定义 (123) 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (128) 人教版中职数学教材基础模块上册全册教案 目录 第三章函数 0 3.1.1 函数的概念 0 3.1.2 函数的表示方法 (4) 3.1.3 函数的单调性 (7) 3.1.4 函数的奇偶性 (12) 3.2.1 一次、二次问题 (16) 3.2.2 一次函数模型 (19) 3.2.3 二次函数模型 (23) 3.3 函数的应用 (28) 第四章指数函数与对数函数 (31) 4.1.1 有理指数(一) (31) 4.1.1 有理指数(二) (35) 4.1.2 幂函数举例 (39) 4.1.3 指数函数 (42) 4.2.1 对数 (47) 4.2.2 积、商、幂的对数 (50) 4.2.3 换底公式与自然对数 (54) 4.2.4 对数函数 (56) 4.3 指数、对数函数的应用 (59) 第五章三角函数 (62) 5.1.1 角的概念的推广 (62) 5.1.2 弧度制 (66) 5.2.1 任意角三角函数的定义 (70) 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (75) 5.2.3 诱导公式 (79) 5.3.1 正弦函数的图象和性质 (84) 5.3.2 余弦函数的图象和性质 (88) 5.3.3 已知三角函数值求角 (91) 第三章函数 3.1.1函数的概念 【教学目标】 1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域． 2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值． 3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点． 【教学重点】 函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域． 【教学难点】 用集合的观点理解函数的概念． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解． 高中数学基础知识点总结 高中数学基础知识点总结：集合与简单逻辑1注意遗忘空集致误 错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=A，φ≠B，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这 种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。 2忽视集合元素的三性致误 错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。 3四种命题的结构不明致误 错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。 这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的 其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。 另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a ，b都是奇数”。 4充分必要条件颠倒致误 错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 5逻辑联结词理解不准致误 错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助： p&or；q真<=>p真或q真， p&or；q假<=>p假且q假(概括为一真即真)； p&and；q真<=>p真且q真， p&and；q假<=>p假或q假(概括为一假即假)； ┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。 高中数学知识归纳汇总 ————冲刺背诵篇 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是应变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情 况。 （3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出； ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数 )(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； 2009中职数学教学大 纲 中等职业学校数学教学大纲 部颁《数学》教学大纲 一、课程性质与任务 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。 二、课程教学目标 1. 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。 2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。 3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。 三、教学内容结构 本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三个部分构成。 1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求，教学时数为128学时。 2. 职业模块是适应学生学习相关专业需要的限定选修内容，各学校根据实际情况进行选择和安排教学，教学时数为32~64学时。 3. 拓展模块是满足学生个性发展和继续学习需要的任意选修内容，教学时数不做统一规定。 四、教学内容与要求 （一）本大纲教学要求用语的表述 1. 认知要求（分为三个层次） 了解：初步知道知识的含义及其简单应用。 理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。 掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。 2. 技能与能力培养要求（分为三项技能与四项能力） 计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。 数据处理技能：按要求对数据（数据表格）进行处理并提取有关信息。 观察能力：根据数据趋势，数量关系或图形、图示，描述其规律。 空间想象能力：依据文字、语言描述，或较简单的几何体及其组合，想象相应的空间图形；能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系，或根据条件画出图形。 分析与解决问题能力：能对工作和生活中的简单数学相关问题，作出分析并运用适当的数学方法予以解决。 数学思维能力：依据所学的数学知识，运用类比、归纳、综合等方法，对数学及其应用问题能进行有条理的思考、判断、推理和求解；针对不同的问题（或需求），会选择合适的模型（模式）。 （二）教学内容与要求 1. 基础模块（128学时） 第1单元集合（10学时）高中数学知识点总结(精华版)
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高一数学上册基础知识点总结
职高数学知识点的总结
高中数学 基础知识汇总
-中职数学基础知识汇总.doc
高中数学必修一集合知识点总结大全34337
中职数学教学大纲.doc
职高中职数学基础模块(上册)题库完整
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