高等数学函数与极限知识点总结
高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。
1. 函数的定义
函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的性质和分类
函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。
根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质
极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。
函数的极限有以下性质：
- 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。
- 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。
- 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。
- 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。
4. 极限的计算方法
极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
- 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。
- 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。
- 无穷小量法是通过将函数化简为一个无穷小量的形式，确定函数的极限。
- 洛必达法则是通过求函数的导数，然后计算导数的极限，确定函
数的极限。
5. 函数与极限的应用
函数与极限在数学建模和应用中有广泛的应用。在物理学中，函数与极限可以描述物体的运动、力学和电磁学等现象。在经济学中，函数与极限可以描述市场的供求关系、价格变化和收益等问题。在工程学中，函数与极限可以描述电路的电流、电压和功率等特性。
函数与极限是高等数学的重要内容，它们具有丰富的性质和应用。函数的定义、性质和分类可以帮助我们更好地理解和分析各种数学问题。极限的定义和性质可以帮助我们确定函数在某一点的稳定性和趋势。函数与极限的应用可以帮助我们解决实际问题和进行数学建模。因此，掌握函数与极限的知识对于高等数学的学习和应用具有重要意义。
一章 函数与极限 1. 集合与函数 1.1 集合的概念 具有某种特定性质的事物的的全体。 全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N 。 全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为 。 全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z). 全体实数构成的集合R. 1.2基本初等函数和初等函数 反对幂指三是基本初等函数. 将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的 且能用一个式子表示的函数称为初等函数. 1.3极坐标与直角坐标系的关系 θρθρsin cos {==y x ) 0(tan {2 2 ≠=+= x x y y x θρ 1.4几种特殊性质的函数 (1)有界函数 F(x)在x 上有界的充分必要条件为:存在常数M>0,使得| f(x) | ≦ M,对 任意x 属于X.这时称风f(x)在x 上有一个界. (2)奇偶函数 F (x)=f(-x),称为偶函数. F (-x)=-f(x),称为奇函数. (3)周期函数 f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L 为f(x)的最小正周期. 2.极限 2.1数列极限的定义 设有数列{a n },若存在常数a ，对任意给定的ε>0,总存在正整数N ，当 n>N 时，恒有| a n -a |<ε成立，则数列{a n }以a 为极限。记作: a a n n =∞ →lim , 或 a a n →(∞ →a ). 此时称数列} {a n 收敛于常数a ，或简称数列收敛.反之数列} {a n 没有极 限，或称它为发散. 2.2数列极限的性质 (1)（极限的唯一性）如果数列 } {a n 收敛，那么它的极限必唯一. (2)（有界性）收敛数列必定有界.
高数第一章函数与极限总结 高数作为数学的第四门学科，函数与极限是其中重要的知识点。本文就高数第一章函数与极限做一个总结。 1、函数 函数是一种特殊的数学关系，它将某种输入关系映射到另一种输出关系。函数可以分为偶函数和奇函数，偶函数是输入与输出之间保持对称关系的函数，而奇函数是输入与输出之间不保持对称关系的函数。 二次函数是函数中的重要概念，其中y=ax2+bx+c将等号两边的 关系形式分解为三个特殊情况，其中一种情况是二次函数，即y=ax2+b，另一种情况为一次函数，即y=bx+c。 2、极限 极限是高数中的重要概念，它是指在某种情况下，当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值趋近某一特定值。极限有三种情况：零点极限、无穷大极限和无穷小极限。 零点极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近零。无穷大极限指的是当某个表达式中的变量 x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近正无穷大。无穷小极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量 y的值接近负无穷小。 极限的计算方法有三种：简单极限法、分步极限法和法则极限法。 简单极限法指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，
直接求解出极限值。分步极限法指的是先进行一些简单的运算，然后再求解极限值。法则极限法指的是利用数学法则和函数定义求解极限值。 总结 本文针对高数第一章的函数与极限概念进行了总结，函数可以分为偶函数与奇函数，其中二次函数是常见的特殊情况。极限分为零点极限、无穷大极限和无穷小极限，计算极限则有简单极限法、分步极限法和法则极限法。这些概念在后续学习中均会发挥重要作用，需要我们深入理解并掌握。
第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0 lim ln 0n x x x + →=, 0, x x e x →-∞ ?→?+∞→+∞ ?
高等数学函数与极限知识点总结 高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。 1. 函数的定义 函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 2. 函数的性质和分类 函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。 根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质 极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。 函数的极限有以下性质： - 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。 - 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。 - 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。 - 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。 4. 极限的计算方法 极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。 - 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。 - 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。 - 无穷小量法是通过将函数化简为一个无穷小量的形式，确定函数的极限。 - 洛必达法则是通过求函数的导数，然后计算导数的极限，确定函
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比拟 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim 〔1〕l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x)= 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 〔2〕l ≠0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 〔3〕l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1−cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x +~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准那么 准那么1．单调有界数列极限一定存在 准那么2．〔夹逼定理〕设g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) 放缩求极限 假设A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，那么A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x
公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法那么 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件： 〔1〕0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； 〔2〕)(x f 与)(x F 在0x 〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，) (lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达〔H L 'ospital 〕法那么. 例1计算极限0e 1 lim x x x →-.
大一高数知识点总结很详细 大一高数知识点总结 高等数学作为大一工科学生的必修课程之一，为我们提供了一 种数学思维方式和工具，帮助我们解决实际问题。下面将对大一 高数课程的重要知识点进行总结，以便回顾和复习。 一、函数与极限 1. 函数概念及分类：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。 2. 极限的定义与性质：收敛与发散，左极限与右极限，有界性、夹逼定理等。 3. 极限计算方法：四则运算、复合函数、变量代换等。 二、导数与微分 1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、可导与连续的关系， 导数的四则运算、复合函数、反函数等规则。 2. 导数的应用：求函数的极值、判断函数的增减性等。
3. 微分的概念和计算：微分的几何意义、微分的四则运算、隐函数微分等。 三、微分中值定理与导数应用 1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理：连续函数在闭区间上的条件与结论。 2. 导数应用：曲线的凸凹性、极值问题、函数的图像与性质分析等。 四、不定积分与定积分 1. 不定积分的概念与基本公式：反导数、换元积分法、分部积分法等。 2. 定积分的概念与性质：积分上限与下限、积分中值定理、分割求和等。 3. 定积分的应用：曲线与 x 轴围成的面积、定积分表示的物理量等。 五、常微分方程 1. 常微分方程基本概念：初值问题、通解与特解。
2. 一阶常微分方程解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等。 3. 高阶常微分方程和其解法：二阶线性方程、常系数齐次与非齐次方程等。 六、级数 1. 级数的基本概念、性质与判敛法：等比数列、调和级数、比值判别法、根值判别法等。 2. 常见级数的求和问题：数列极限法、等比数列求和、幂级数等。 七、空间解析几何 1. 空间直线与平面的方程：点向式、对称式、一般式等。 2. 空间几何的基本计算：距离问题、角度问题、投影问题等。 以上是大一高等数学的主要知识点总结，通过对这些知识点的回顾与复习，我们将更好地掌握数学的基本概念与方法，为之后的学习和科研奠定坚实的数学基础。希望大家能够加强对这些知
高数大一上知识点详细总结高等数学是大一上学期的一门重要课程，它是理工科学生必修的一门基础课程。本文将从微积分、数列与级数、函数与极限三个方面对高等数学大一上学期的知识点进行详细总结。 一、微积分 1. 函数与极限 a. 函数的概念：函数是一种映射关系，将一个自变量映射到一个因变量上。常见的函数类型有线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等。 b. 极限的定义：极限是函数在某一点或无穷远点的趋势。通过极限的计算，可以求得函数在某一点处的导数、积分等。 c. 极限的性质：极限具有唯一性、有界性、保序性等性质，这些性质在计算过程中非常重要。 2. 导数与微分 a. 导数的定义：导数是函数在某一点处的斜率，表示函数在该点的变化率。
b. 导数的计算方法：常见的导数计算方法有利用定义计算、使用导数的性质（和、差、积、商规则）、使用特殊函数的导数公式等。 c. 微分的定义：微分是函数在某一点处的线性逼近，是导数与自变量增量的乘积。 3. 积分与不定积分 a. 积分的概念：积分是导数的逆运算，表示函数在一定区间上的累积效应。 b. 不定积分的计算方法：常见的不定积分计算方法有基本积分公式、代换法、分部积分法等。 c. 定积分的概念：定积分是函数在一定区间上的面积，可以用积分的特性进行计算。 二、数列与级数 1. 数列 a. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数。
b. 数列的极限：数列的极限反映了数列中数值的趋势。常见 的极限有有界数列、单调有界数列、数列的收敛与发散等。 c. 数列的计算方法：常见的数列计算方法有通项公式、递推 公式等。 2. 级数 a. 级数的概念：级数是数列部分和的无穷累加。 b. 级数的收敛与发散：级数的收敛性表示级数的和是否有限，发散性表示级数的和为无穷大。 c. 常见的级数判定方法：常见的级数判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。 三、函数与极限 1. 函数的性质与图像 a. 函数的奇偶性：奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(- x)=f(x)$。 b. 函数的周期性：周期函数满足$f(x+T)=f(x)$，其中$T$为函 数的周期。
高等数学知识点全总结 高等数学是数学学科中的一门重要学科，是一门深入研究数学分析、微积分和代数学等数学分支的学科，其涵盖领域广泛，包括函数、极限、微分、积分、微分方程、级数等诸多方面。在各大专业中，高等数学作为基础课程，扮演着不可替代的角色。本篇文章将对高等数学的知识点进行全面总结。 1.函数与极限 函数是高等数学的基础，它描述了自变量与因变量之间的关系。在函数的研究中，极限是一项极其重要的内容。极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个值，它是无限逼近的一种数学方法。极限的研究对于后续微积分等知识点的应用起着至关重要的作用。 2.微积分 微积分是高等数学的核心内容之一，它包括微分和积分两部分。微分研究的是函数在某个点的瞬时变化率，即导数；积分则是在某个区间内的函数取值之和或曲线下面的面积。微积分的应用极为广泛，包括经济学、物理学、工程学等多个领域。 3.微分方程 微分方程是研究未知函数及其导数与偏导数之间的关系的方程，它是数学建模中不可或缺的工具。微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种类型，常微分方程的用途较广泛。 4.级数 级数是指一列数按照规定的方式相加或相减，由此形成的无穷
数列，是数学中非常重要的一种数列类型。在级数的研究中，收敛和发散是极其重要的概念，收敛的级数可以求得无限接近于某个值的总和，而发散的级数则无法求和。 5.矩阵与行列式 矩阵是一种经典的数学工具，指由数字排成的一个矩形阵列，它是线性代数的核心内容。在矩阵的研究中，行列式的概念也是非常重要的，在确定矩阵是否可逆、计算矩阵的秩等问题上，行列式都起着决定性的作用。 6.多元函数与多元微积分 多元函数指的是拥有多个自变量的函数，它在实际问题中有着广泛的应用。多元微积分是处理多元函数的微积分，包括偏导数、方向导数、梯度、多元积分等内容。 以上是高等数学中的主要知识点，这些知识点相互独立，但相互联系，从每个部分深入到其他部分，紧密组成了高等数学的理论体系。高等数学不仅仅是工科、理科等专业必修的学科，还是掌握科学思维、解决实际问题的有效工具。
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
高考中的高数知识点总结 高考是每个学生所经历的一场重要考试，而高数是高考中最为重要的科目之一。高数的知识点繁多，涉及的内容广泛，对于学生来说是一大挑战。为了帮助广大考生更好地备考高考高数，本文将对高考中的高数知识点进行总结和梳理，旨在帮助大家更全面地掌握高数的重要概念和考点。 一、函数与极限 1. 函数的性质与基本性质：奇偶性、周期性、增减性等。 2. 一元函数的极限与连续性：定义、性质、极限运算法则，连续函数的判定及相关性质。 3. 导数与微分：导数的概念、求导法则、高阶导数、微分的定义与应用。 4. 函数的求极值与最值：极值的定义、求解极值的条件、最值的概念与求解方法。 二、数列与级数 1. 数列的概念与性质：等差数列、等比数列等常见数列的通项公式与求和公式。 2. 数列极限与无穷级数：数列极限的定义与性质，无穷级数的定义、级数审敛法和级数的收敛性判别法。
3. 函数项级数：幂级数的收敛区间和求和公式，傅里叶级数的基本概念与性质。 三、导数与微分 1. 函数与导数的关系：导数与函数的图形、导数与曲线的切线方程。 2. 导数的应用：极值问题、函数的单调性和曲线的凹凸性。 3. 微分的应用：局部线性近似、近似计算、泰勒公式。 四、不定积分与定积分 1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义与运算法则，基本积分表。 2. 定积分的定义与性质：二次定理、中值定理等相关定理的应用。 3. 定积分的应用：曲线与曲面的面积、长度、物理问题中的应用。 五、常微分方程 1. 常微分方程的基本概念：微分方程的定义、解的概念与分类。 2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等求解方法。 3. 二阶常微分方程：常系数齐次线性方程、非齐次线性方程的
高等数学函数的极限知识点归纳整理 引语：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。 1.定义 设函数在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式： 那么常数A就叫做函数当时的极限，记作 2.概念 函数极限可以分成 以的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 3. 数列的极限形式（1种）和函数极限形式（6种）：
附课堂老师提到的相关概念和知识 1.“ε－N”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往无穷大（小）的方向变化； “ε－δ”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往某一个点无穷接近的方向变化； 2.去心邻域： 在高等数学中，我们经常会用到一种特殊的开区间(a -δ，a + δ)，称这个开区间为点a 的邻域，记为U(a，δ)，即 U(a，δ) = (a - δ，a + δ)， 称点a为邻域的中心，δ为邻域的半径。 通常δ是较小的实数，所以，a的δ邻域表示的是a的邻近的点，如下图所示。 点a的邻域 有时候，我们只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x | a-δ 高等数学（上)重要知识点归纳 第一章 函数、极限与连续 一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例） ,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞ →ε当N n >时，ε<-||a x n 2、性质 (1） )()()(lim 0 x A x f A x f x x α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。 （2)（保号性）若0)(lim 0 >=→A x f x x ,则,0>∃δ当),(0δx U x o ∈时，0)(>x f 。 （3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。 二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim =∆∆→∆ （2)e =◊ +◊∞ →◊)1 1(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法 常用替换：当0→∆时 （1)∆∆~sin (2)∆∆~tan (3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan （5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）22 1 ~cos 1∆∆- （8）n n ∆-∆+~11 4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价 1、连续的定义＊ )(x f 在a 点连续 )()()()()(lim 0lim 0 a f a f a f a f x f y a x x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆ 2、间断点的分类⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动） ）无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线* a x x f A y A x f a x x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1( 五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理 第二章 导数与微分 一、导数的概念 1、导数的定义＊ a f x f a f x a f y dy a f y a x x x a x a x -=-∆+=∆== '='→→∆→∆==) ()(lim )()(lim lim |)(|00 高等数学——函数与极限高等数学是现代数学的一个重要分支，它主要研究函数、极限、导数、积分等概念及其性质和应用。其中，函数和极限是高等数学中最基础的概念之一，它们在数学的各个领域都有着广泛的应用。 一、函数的概念与性质 函数是数学中最重要的概念之一，它描述了一种特殊的对应关系，将一个数集中的每个元素唯一地对应到另一个数集中的元素。函数通常表示为f(x)，其中x 是自变量，f(x)是因变量。函数可以是连续的，也可以是离散的。 函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性、有界性等。单调性是指函数在某一区间内随自变量的增大而增大或减小的性质；奇偶性是指函数满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的性质；周期性是指函数满足f(x+T)=f(x)的性质，其中T是函数的周期；有界性是指函数在某一区间内的取值范围是有界的。 二、极限的概念与性质 极限是高等数学中另一个重要的概念，它描述了一个数列或函数在某一点或无穷远处的变化趋势。极限通常用符号lim表示，例如： lim x->a f(x) = L 表示当x趋近于a时，f(x)的极限为L。 极限的性质包括唯一性、局部保号性、迫敛性等。唯一性是指如果一个数列或函数在某一点或无穷远处有极限，那么这个极限是唯一的；局部保号性是指如果一个数列或函数在某一点或无穷远处的极限为正（或负），那么在这一点或无穷附近的数列或函数的值也保持正（或负）；迫敛性是指如果一个数列或函数在某一点或无穷远处的极限存在，且有两个子数列或子函数的极限也存在，且这两个子数列或子函数的极限相等，那么这个数列或函数在该点或无穷远处的极限也存在，且等于这两个子数列或子函数的极限。 三、函数与极限的关系 大一高数函数与极限知识点 函数与极限是高等数学中的重要基础知识，它们在数学和其它 科学领域中有着广泛的应用。本文将介绍大一高数中与函数与极 限相关的几个重要知识点。 一、函数的概念与性质 函数是一种特殊的关系，对于一个定义域内的每一个自变量， 它都有唯一对应的因变量。函数的定义域、值域、图像以及函数 的性质都是我们需要了解的内容。 1.1 函数的定义域和值域 函数的定义域是指所有使函数有意义的自变量的取值范围，而 值域是函数在定义域内可能取到的所有因变量的值。在确定定义 域时，需要避开函数中会导致分母为零或根号内出现负数的取值。 1.2 函数的图像 函数的图像是在直角坐标系中表示函数的一种方式，横坐标表 示自变量，纵坐标表示因变量。通过观察函数的图像，我们可以 了解函数的增减性、奇偶性等性质。 二、极限的概念与运算规则 极限是函数与自变量无限接近某个值时的性质，它在数学中应用广泛，尤其是在微积分中发挥着重要作用。 2.1 极限的定义 对于一个函数，当自变量无限接近某个值时，如果因变量的取值可以无限接近于一个确定的常数L，那么我们就说该函数的极限为L。用数学符号表示为lim(f(x))=L。 2.2 极限的运算规则 极限具有一些运算规则，如常数与函数的极限相乘、函数相加的极限等，可以方便地求解复杂的极限问题。 三、常见的函数与极限 在大一高数中，我们常常遇到一些基本的函数与极限，包括多项式函数、指数函数、对数函数以及三角函数的极限等。 3.1 多项式函数的极限 多项式函数是由常数项、幂次项以及它们的和、差、积构成的函数。求解多项式函数的极限可以通过代入法、化简或者利用极限的运算规则等方法进行。 3.2 指数函数和对数函数的极限 指数函数与对数函数也是我们常见的函数类型，求解它们的极限需要运用一些特定的方法，如利用指数函数与对数函数的反函数关系、换元法等。 3.3 三角函数的极限 三角函数在数学和物理中有着重要的地位，求解三角函数的极限需要掌握一些基本的极限公式，如sinx/x的极限等。 四、函数与极限的应用 函数与极限不仅仅只存在于数学课本中，它们在实际生活中的应用也非常广泛。例如，函数与极限可以用于描述物体的运动轨迹、计算物理化学中的极值问题，甚至在经济学和生物学等领域也有着重要的应用。 结语 高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义与性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；（重点） 函数)(x f 在0x 连续)(00 x f x 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、 介值定理与其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-=右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+= )()( )(lim 000 + -→=⇔=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim x n n ∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若lim 0α=则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1)(~ ααββαo +=⇔; Th2αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则与函数连续性； 4） 两个重要极限：（重点） a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 5） 无穷小代换：（0→x ）（重点） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ 经济类高数大一知识点总结 导言： 高等数学作为一门基础学科，不仅在数学领域有着重要的地位，而且在经济学、管理学等经济类学科中也占有重要地位。在大一 的经济类专业中，学生通常会学习到一些与经济密切相关的数学 知识，本文将对其中的一些重要知识点进行总结和归纳。 一、极限与连续 1. 函数极限 函数极限是指当自变量趋于某个确定值时，函数的取值趋于 一个确定的值。这个概念在经济学中有着广泛的应用，如求解边 际效用、需求曲线的弹性等问题都需要用到函数极限的概念。 2. 极限运算法则 极限运算法则是用来计算函数极限的一些基本规则。比如常 数倍法则、和差法则、积法则和商法则等。这些法则在求解极限 问题时，能够简化计算过程，提高求解效率。 3. 连续与间断 连续与间断是描述函数图像特征的概念。连续表示函数在某个区间内的运算是连贯的，没有断层或跳跃；而间断则表示函数在某些特定点上出现了不连续的情况。这个概念在经济学中常常用于分析供给曲线和需求曲线的不连续性，为经济问题的研究提供了重要的数学工具。 二、导数与微分 1. 导数的定义与性质 导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。它可以表示函数图像在某一点的切线斜率，也能够用来确定函数的最值。经济学中，边际效用、边际收益等概念都与导数息息相关。 2. 基本导数公式 基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。这些基本公式是计算导数时的基础，掌握了这些公式，可以更加方便地求解经济学中的各种问题。 3. 微分的概念与应用 微分是导数的一种应用，通过微分可以找出函数在某一点的具体变化量。在经济学中，微分可以用来求解边际产品、边际成本等问题，为决策提供准确的量化指标。 三、积分与应用 1. 不定积分与定积分 不定积分是求反导数的过程，表示函数在某一区间内的原函数。定积分则是通过对函数曲线下方的面积进行计算，来求解积分的值。在经济学中，定积分常常用来计算经济变量的总量。 2. 基本积分公式 基本积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。这些公式是求解积分问题的基础，熟练掌握它们可以提高积分计算的准确性和效率。 3. 定积分的应用 定积分在经济学中有着广泛的应用，比如计算消费者剩余、生产者剩余、总税收等。通过定积分的计算，可以对经济变量进行准确衡量，为经济决策提供依据。 第一章函数与极限 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。 一、本章主要内容： 1、数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限。 2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。 3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。 4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。 5．极限存在的两个准则与两个重要极限， （1）单调有限准则，重要极限 （2）夹逼准则，重要极限 6．函数的连续性概念和间断点的类型 7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。二、内容提要框图 三本章重点 1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象． 2. 建立极限概念与理解ε－N方法, 函数极限的概念与ε－δ方法 3. 无穷小的概念与性质 4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用 5. 初等函数的连续性及其应用 四本章难点 1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的 复合函数的关系式． 2. ε－N, ε－δ极限定义证明法 3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别 4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机． 5. 闭区间上连续函数的几条性质． 第一节映射与函数 学习指导 1．教学目的 读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。 2．基本练习 会求函数的定义域，会求函数的反函数。会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。会把复合函数分解成基本初等函数的组合。 3．应注意的事项 本节内容大多数中学阶段已经学过，此处为了教学方便，将中学阶段的内容加以归纳，扩充，提高。学生可根据自己的知识结构进行复习、有重点地学习，对教材上的练习题，先阅读题目，再适当选做部分练习题。 邻域、分段函数等是本节介绍的新概念，应加以注意。绝对值不等式，函数的性质等是今后常用的，应重点复习并熟悉它们 一、集合 1．集合概念 1.1 集合是数学中的一个基本概念 1.2 表示集合的方法通常有两种：列举法与描述法。 1.3 几种常见数集的表示 1.4 子集、真子集与空集 2．集合的运算 1.1 集合的基本运算有：并、交、差。 1.2 全集与余集 1.3 集合的并、交、余的运算法则 设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立： （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律 以上这些法则都可根据集合相等的定义验证，现就对偶律的第一个等式：“两 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳
高等数学——函数与极限
大一高数函数与极限知识点
高数复习知识点汇总
经济类高数大一知识点总结
高数第一章 函数与极限
(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)
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