高等数学知识点之函数
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。这种关系使一个*里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）*里的唯一元素。以下是小编整理的高等数学知识点之函数，欢迎参考阅读!
⑴、函数的定义
如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值(或因变量)，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
（4）、函数的简单*态
⑴、函数的有界*：如果对属于某一区间I的所有x值总有
│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
第2篇：高中数学函数知识点
数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。小编准备了高中数学函数知识点，具体请看以下内容。
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)
二、一次函数的*质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及*质：
1.作法与图形：通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.*质：(1)在一次函数上的任意一点p(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=o时，直线通过原点o(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点a(x1，y1);b(x2，y2)，请确定过点a、b的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点p(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。
六、常用公式：（不全，希望有人补充）
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
第3篇：高一数学知识点：函数
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高一数学知识点：函数，希望对大家有帮助!
1.函数的奇偶*
(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶*可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶*;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调*;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调*;
2.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调*由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称*)
(1)*函数图像的对称*，即*图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)*图像C1与C2的对称*，即*C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;
(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称,高中数学;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
第4篇：高中数学知识点幂函数
一、定义
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
二、*质
幂函数不经过第三象限,如果该函数的指数的分子n是偶数,而分母
m是任意整数,则y>0,图像在第一;二象限.这时(-1)^p的指数p的奇偶*无关.
如果函数的指数的分母m是偶数,而分子n是任意整数,则x>0(或x>=0);y>0(或y>=0),图像在第一象限.与p的奇偶*关系不大。
第5篇：高中数学知识点：函数
高中数学学习中掌握重点知识点是数学学习方法中最有效的一种，数学知识点掌握之后在学习起来会变的轻松很多，下面是小编整理的高中数学知识点之函数的相关知识，希望对高中生的数学学习有帮助。
一、高中数学函数的有关概念
1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A到函数B 的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意：
函数定义域：能使函数式有意义的实数x的函数称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的函数.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保*实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
2.高中数学函数值域:先考虑其定义域
(1)观察法
(2)*法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.
(2)画法
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4.高中数学函数区间的概念
(1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
5.映*
一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从函数A到函数B的一个映*。记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”
对于映*f：A→B来说，则应满足：
(1)函数A中的每一个元素，在函数B中都有象，并且象是唯一的;
(2)函数A中不同的元素，在函数B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求函数B中的每一个元素在函数A中都有原象。
6.高中数学函数之分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
二.高中数学函数的*质
1.函数的单调*(局部*质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
注意：函数的单调*是函数的局部*质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调*，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3)函数单调区间与单调*的判定方法
(A)定义法：
a.任取x1，x2∈D，且x1
b.作差f(x1)-f(x2);
c.变形(通常是因式分解和*);
d.定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
e.下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调*).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调*
复合函数f[g(x)]的单调*与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调*密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调*相同
的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶*(整体*质)
(1)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶*的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶*的步骤：
a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
b.确定f(-x)与f(x)的关系;
c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶*的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有：
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
a.利用二次函数的*质(*法)求函数的最大(小)值
b.利用图象求函数的最大(小)值
c.利用函数单调*的判断函数的最大(小)值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第6篇：高考数学幂函数知识点
形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数，以下是幂函数知识点，请考生及时学习。
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶*来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域*质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特*：
排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数;
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶*来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。
第1章 集合与函数小结 一、函数的概念 1.函数()y f x =的定义域()D f 及其求法. 2.函数的两个基本要素：定义域和对应法则. 3.分段函数：一个函数在其定义域的不同子集上用不同的表达式来表示，即一个函数由两个或两个以上的式子表示. 4．熟练掌握绝对值函数：,0, ,<0x x y x x x ≥?==?-? 的定义、图像及性质 二、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 三、复合函数 5．由函数()y f u =与()u g x =复合而成的复合函数()()y f g x =的概念.（难点：复合函数分解为若干个简单函数，与后续章节的复合函数求导、微分、积分的联系） 四、基本初等函数和初等函数 6．五种基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以sin y arc x =，cos y arc x =为主）的性质及其图形. （加强点：幂函数的根式、分式转换；指数、对数的运算性质 ） 7．初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而构成，并能用一个解析式表示的函数. 五、常用经济函数 第二章 极限与连续 知识点归纳 一、极限的概念 1．极限的定义 （1）lim n n x A →∞ =. （2）()lim x f x A →∞= 、()lim x f x A →+∞=、()lim x f x A →-∞ = （3）()0 lim x x f x A →= 、左极限()()0 00lim x x f x f x A - →-==、右极限()()0 00lim x x f x f x A +→+== 2．极限的基本性质
（1）唯一性：若()lim f x A =（或lim n n x A →∞=），()lim f x B =（或lim n n x B →∞=）则A B =. （2）有界性：收敛数列必有界. （3）保号性：若函数极限为正（或负），则在极限变化某过程中函数也为正（或负）. （4）()lim x f x A →∞=? ()()lim lim x x f x f x A →+∞ →-∞ ==. （5）()0 lim x x f x A →=? ()()0 lim lim x x x x f x f x A -+→→==. 二、无穷小量 1. 无穷小（量）：0)(lim )(=?x f x f 2. 无穷大（量）： 3. 无穷小与无穷大的关系（课本53页例3、55页例9，57页的引理2） 4. 两个无穷小的比较 5. 重要的等价无穷小 当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，211cos ~2 x x -，1~x e x -， ()ln 1~x x +，11~ 2 x x +-， (1)1~a x x α+-（α∈R ）. 三、求极限的方法 1. 利用极限的四则运算 例1：求下列极限
第一章函数 一、实数集合 关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。记作U（x0，a）。称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。 A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）\｛x0｝或U（x0，a） B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0） C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a） 二、函数关系 A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作f B、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论 C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1 D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2….. [x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3 取整函数的图像 E、函数的自然定义域：即定义域 一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。 三、函数的基本特性 A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关 系。由此函数单调性得证。 B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在 D上有界，否则则称无界。（判断函数是否有界一般为求解函数的值域） ①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥M C、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x） 偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x） 非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数 判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断 D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f （x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。满足上式的最小正数T0为f（x）的周期
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?;
高等数学函数与极限知识点总结 高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。 1. 函数的定义 函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 2. 函数的性质和分类 函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。 根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质 极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。 函数的极限有以下性质： - 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。 - 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。 - 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。 - 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。 4. 极限的计算方法 极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。 - 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。 - 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。 - 无穷小量法是通过将函数化简为一个无穷小量的形式，确定函数的极限。 - 洛必达法则是通过求函数的导数，然后计算导数的极限，确定函
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
大一高数函数详细知识点 函数是数学中的重要概念，是现实世界中各种关系的抽象表达。在大一的高数课程中，函数是一个核心内容，掌握了函数的基本 概念和性质，对于后续学习以及应用数学都具有重要的意义。本 文将详细介绍大一高数中函数的知识点，以帮助读者更好地理解 和掌握这一内容。 一、函数的定义和性质 1. 定义：函数是一个将自变量和因变量之间的对应关系表示出 来的规则。通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数的关系。 2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量所有可能取值组成的 集合，值域是因变量的所有可能取值组成的集合。 3. 一一对应：如果函数中的每一个x值对应唯一的y值，且每 一个y值也对应唯一的x值，则称这个函数是一一对应的。
4. 奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)（对于定义域内 的所有x），则称这个函数是偶函数。 5. 函数的增减性：如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim 1l = 0,称f x 是比gx 高阶的无穷小,记以f x = 0)(x g ,称gx 是比fx 低阶的无穷小; 2l ≠ 0,称f x 与gx 是同阶无穷小; 3l = 1,称f x 与gx 是等价无穷小,记以f x ~ gx 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x 1 cos x ~ 2/2^x , x e 1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．夹逼定理设gx ≤ f x ≤ hx 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： 10)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ； 2)(x f 与)(x F 在0x 3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,) (lim 0x F x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,) ()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．
大一第一学期高数知识点 在大一的第一学期，高等数学（又称高数）是必修课程之一， 对于理工科的学生来说，掌握高数知识点是十分重要的。本文将 介绍大一第一学期高数的主要知识点，包括函数与极限、导数与 微分、高阶导数与泰勒展开、不定积分和定积分五个部分。 一、函数与极限 1. 函数的概念：函数是两个集合之间的一种映射关系，常用符 号表示为y=f(x)。 2. 极限的概念：极限是数列或函数逐渐趋近于某个值的过程， 包括左极限、右极限和无穷极限。 3. 极限的性质：包括四则运算法则、绝对值法则、比较法则等。 4. 常见函数的极限：如幂函数、指数函数、对数函数等。 二、导数与微分 1. 导数的概念：导数描述了函数在某一点的变化率，也可以理 解为函数曲线在该点的切线斜率。 2. 导数的计算方法：使用极限定义、基本导数法则、求导公式 等方法计算导数。
3. 常见函数的导数：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 4. 微分的概念：微分是导数的一种近似表示，表示函数在某一点附近的增量。 5. 微分的计算方法：使用微分公式和微分运算法则等方法计算微分。 三、高阶导数与泰勒展开 1. 高阶导数的概念：高阶导数表示导数的导数，如二阶导数、三阶导数等。 2. 高阶导数的计算方法：通过对原函数多次求导来计算高阶导数。 3. 泰勒展开的概念：泰勒展开是一种使用多项式逼近函数的方法，可将函数在某点附近展开成幂级数。 4. 泰勒展开的计算方法：使用公式对函数进行泰勒展开。 四、不定积分 1. 不定积分的概念：不定积分是求解函数的原函数的过程，表示为∫f(x)dx。
2. 基本积分公式：包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数 积分等基本公式。 3. 换元积分法：使用换元法将原函数转化为容易求解的形式。 4. 分部积分法：使用分部积分公式对复杂函数进行求积分。 五、定积分 1. 定积分的概念：定积分是计算曲线下面的面积的方法，表示 为∫[a,b]f(x)dx。 2. 定积分的性质：包括线性性质、区间可加性、积分中值定理 等性质。 3. 定积分的计算方法：使用基本定积分公式、换元法、分部积 分法等方法计算定积分。 4. 几何应用：定积分可以用于计算曲线下面的面积、质心、体 积等几何问题。 通过本文的介绍，我们了解了大一第一学期高数的主要知识点，包括函数与极限、导数与微分、高阶导数与泰勒展开、不定积分 和定积分。这些知识点在后续的学习和应用中起到了重要的作用，帮助我们理解数学的基本概念和方法，为进一步学习数学打下坚
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总第一章：函数与极限 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2.会建立简单应用问题中的函数关系式。 3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解复合函数及分段函数的相关概念，了解反函数及隐函数的概念。 6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。 7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存有与左右极限间的关系。 8.掌握极限存有的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9.掌握极限性质及四则运算法则。 10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第二章：导数与微分 1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函 数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性， 会求初等函数的微分。 3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的 高阶导数。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1.熟练使用微分中值定理证明简单命题。 2.熟练使用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。 3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二 分法、切线法。 4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。 第四章：不定积分 1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。 2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分 3.掌握不定积分的分步积分法。 4.掌握不定积分的换元积分法。 第六章：定积分的应用 1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积) 及函数的平均值。
高等数学重要知识点总结知识点归纳 高等数学知识点梳理 1、知识范围 1函数的概念 函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数 2函数的性质 单调性、奇偶性、有界性、周期性 3反函数 反函数的定义、反函数的图像 4基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 5函数的四则运算与复合运算 6初等函数 2、要求 1理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值，会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。 2理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 3了解函数与其反函数之间的关系定义域、值域、图像，会求单调函数的反函数。 4熟练掌握函数的四则运算与复合运算。 5掌握基本初等函数的性质及其图像。
6了解初等函数的概念。 7会建立简单实际问题的函数关系式。 1、知识范围 1向量的概念 向量的定义、向量的模、单位向量、向量在坐标轴上的投影、向量的坐标表示法、向量的方向余弦 2向量的线性运算 向量的.加法、向量的减法、向量的数乘 3向量的数量积 二向量的夹角、二向量垂直的充分必要条件 4二向量的向量积、二向量平行的充分必要条件 2、要求 1理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 2熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。 3熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。 1、知识范围 1导数概念 导数的定义、左导数与右导数、函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系 2求导法则与导数的基本公式 导数的四则运算、反函数的导数、导数的基本公式
3求导方法 复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法由参数方程确定的函数的求导法、求分段函数的导数 4高阶导数 高阶导数的定义、高阶导数的计算 5微分 微分的定义、微分与导数的关系、微分法则一阶微分形式不变性 2、要求 1理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。 2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。 4掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。 5理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数。 6理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。 高等数学重要知识点总结 1、函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间
大一高数知识点总结 大一高数知识点总结 篇一： 大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分 1.1初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法 （1）解析法即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。 （2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。 （3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin, f?xy??x ?2x?1,x?00 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?xt?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。反函数——如果在已
大一高等数学函数知识点 在大一阶段的高等数学课程中，函数是一个非常重要的概念。 函数是一种数学工具，可以用来描述变量之间的关系。学好函数 的知识点对于理解数学的基本概念和解决实际问题都非常关键。 本文将介绍大一高等数学中常见的函数知识点。 1. 函数的定义 函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的 元素。一般来说，函数可以用公式、图像或者表格来表示。数学 中常用的表示方式是函数的公式表示，即通过一个或多个自变量 的输入，得到一个因变量的输出。 2. 函数的定义域和值域 函数的定义域是指函数输入的值所在的集合，也就是自变量的 取值范围。而值域则是函数输出的值所在的集合，即因变量的取 值范围。定义域和值域的确定是确保函数定义合理性的重要因素。 3. 常见函数类型
在高等数学中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指 数函数、对数函数、三角函数等。这些函数类型具有不同的特征 和性质，需要掌握它们的定义、图像、性质和应用领域。 4. 函数的性质 函数具有很多重要的性质，例如奇偶性、单调性、周期性等。 奇偶性是指函数关于原点对称的性质，即满足$f(-x)=-f(x)$的函数 为奇函数，满足$f(-x)=f(x)$的函数为偶函数。单调性是指函数增 减的趋势，可以通过导数的正负来判断。周期性是指函数的图像 在一定区间内重复出现。 5. 函数的图像 函数的图像是通过自变量和因变量之间的映射关系绘制出来的。图像可以帮助我们对函数进行可视化，更直观地理解函数的性质 和变化规律。对于线性函数、二次函数等常见函数，需要掌握它 们的图像特征和变化规律。 6. 函数的运算 函数之间可以进行多种运算，包括加减乘除、复合运算等。函 数的加减运算是将两个函数相应位置的值进行相加或相减。函数
高等数学学问点之函数 高等数学学问点之函数 函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。以下是整理的高等数学学问点之函数，欢迎参考阅读! ⑴、函数的定义 假如当变量x在其改变范围内随意取定一个数值时，量y依据肯定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y 是x的'函数。变量x的改变范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值(或因变量)，变量y的改变范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母f、F表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以随意接受不同的字母来表示的。假如自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只探讨单值函数。
⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全全都，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。 （4）、函数的简洁性态 ⑴、函数的有界性：假如对属于某一区间I的全部x 值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数， 那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，假如在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
高等数学中的相关知识点 一、其它常见初等函数（请大家自己画出图象，并分析性质） 1、取整函数： y = [ x ] (不超过x 的最大整数称为x 的整数部分) 1 （x > 0） 2、符号函数： y = sgn x = 0 (x = 0 ) －1 (x < 0 ) 3、双曲正弦： y = x x e e 2-- 4、双曲余弦： y = x x e e 2 -+ 5、“钩钩“函数： y = a x x +（a > 0） 6、“H ”函数： y = a x x - ( a > 0 ) 7、平移后的反比例函数：y =ax b cx d ++ （ad bc 0-≠）(思考：什么条件下它和反函数相同？) 二、闭区间上连续函数的性质 1、最大值和最小值定理： 在闭区间上的连续函数，在该区间上一定有最大值和最小值。 2、有界性定理： 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。 3、零点定理： 设函数f(x)在闭区间 [ a , b ]上连续，且f(a)与f(b) 异号，即f(a)·f(b)<0，那么 在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f (ξ)= 0。 4、介值定理：设函数f(x)在闭区间 [ a , b ]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于f(a)和f(b)之间的任意 一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f (ξ)= C 。 例：求证方程32X 4X 10-+=在（0，1）上至少有一个实数根。 三、隐函数求导 利用隐函数求导，可以得到过圆锥曲线上任意一点（x 0，y 0）的切线方程： 1、过椭圆 22 22x y 1a b +=上任意一点（x 0，y 0）的切线方程为：00 22y y x x 1a b += ； 2、过双曲线2 222y x 1a b -=上任意一点（x 0，y 0）的切线方程为：0 22y y x x 1a b -= ； 3、过抛物线2y 2px =上任意一点（x 0，y 0）的切线方程为：00y y p(x x )=+ 四、微分在近似计算中的应用 如果函数f(x)在点x 0处的导数f(x 0) ≠0，且|Δx |很小时，有 Δy ≈f ’(x 0)·Δx 也可写为： f(x 0+Δx )≈f (x 0)+ f ’(x 0)·Δx 例1、 一个半径为1厘米的铁球，在表面均匀地涂上一层厚度为0.01厘米的铜，若铜的密度 为8.9克/厘米3。问需要多少质量的铜？ （0.13厘米3×8.9克/厘米3=1.16克） 例2、 计算sin30º30′的近似值。 （0.5076）
高等数学知识点 高等数学知识点 在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 高等数学知识点1 第一章：函数与极限 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2.会建立简单应用问题中的函数关系式。 3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。 6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。 7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。 8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9.掌握极限性质及四则运算法则。 10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第二章：导数与微分 1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函
数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。 3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。 2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。 3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。 4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。 第四章：不定积分 1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。 2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分 3.掌握不定积分的分步积分法。 4.掌握不定积分的换元积分法。 第五章：定积分 1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。 2.掌握定积分的换元积分法与分步积分法。 3.了解广义积分的概念，并会计算广义积分， 4.掌握反常积分的运算。 5.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。 第六章：定积分的应用 1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。 第七章：微分方程
高等数学上册 第一章函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义与性质〔有界性、单调性、奇偶性、周期性〕； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理与其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim
2） 函数极限 δδε< -<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=⇔=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1〕)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 〕 a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim x n n ∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小〔大〕量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1)(~ ααββαo +=⇔; Th2αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则〔无穷小代换〕
高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续)(00 x f x 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-=右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ =
)()( )(lim 000 + -→=⇔=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim x n n ∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1)(~ ααββαo +=⇔; Th2αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-）