习题 4-1
1.验证函数f (x )=lnsin x 在[
π5π
,66
]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.
解: 显然()lnsin f x x =在5π,66x ??????
上连续,在π5π,66??
???内可导,且π5π
()()ln 266
f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π
2x =
即存在ππ5π
(,)66
ξα=∈,使()0f ξ'=成立.
2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?
[][][]
2
(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π
(3)()0,π1,
0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤?=?=?
解: (1) 2
()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -=
() f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2
()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.
(2) 101
()1112
x x f x x x x -≤
-≤≤?
显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又
1
1
1
1
(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --
++
→→→→-==-=+==-=-=+==
所以()f x 在1x =处连续,而且
2
2
(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++
--
→→→→+==-==-==-==
即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2
上连续.
又
1111()(1)1(1)lim lim 1,11
()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f x
f x x f x f x
f x x -
-
++
-→→+→→--'===-----'===--
(1)(1)() f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导. 又 (0)(2)1f f == 又由 101
()112x f x x -<
<
知 ()0f x '≠
综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ.
(3) 由0
(00)lim sin 0(0)1x f x f +
→+==≠=知()f x 在0x =不右连续, () f x ∴在[]0,π上不连续, 显然()f x 在
()
0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且
()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=
∈,有π
()cos cos 02
f ξξ'===. 综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=
π
2
. 3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.
解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在
()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.
同理
()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个
实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.
4. 验证拉格朗日中值定理对函数3
()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.
解: 显然3
()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的
条件.
若令2
(1)(0)
()323
10
f f f x x -'=+=
=-则33x =±
,取33
ξ=,即存在3(0,1)3ξ=
∈,使得(1)(0)
()10
f f f ξ-=-成立. 从而拉格朗日中值定理对函数3
()2f x x x =+在［0，1］上成立.
5. 已知函数f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )=0,试证：在(a ,b )内至少存在一点ξ，使得
f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a ,b ). 证: 令()()e x
F x f x =,则()()()e e x
x
F x f x f x ''=+
由e x
在(),-∞+∞上连续,可导,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,知()F x 在[],a b 上
连续,在(),a b 内可导,而且()()0,()()0,()()e e 即a
b
F a f a F b f b F a F b =====,
由罗尓定理至少存在一点(,)a b ξ∈使()0F ξ'=.
即 ()()0e e f f ξ
ξ
ξξ'+= 而0e ξ
≠
故 ()()0f f ξξ'+=
即在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξ'+=. 6.若方程10110n n n a x a x a x --++
+=有一个正根x 0,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+
+=
必有一个小于0x 的正根.
证: 令1
011()…n n n f x a x a x a x --=+++,显然()f x 在[]00,x 连续,在()00,x 内可导,且
(0)0f =,依题意知0()0f x =.即有0(0)()f f x =.由罗尓定理,至少存在一点0(0,)x ξ∈,
使得()0f ξ'=成立,即
12011(1)0…n n n a n a n a ξξ---+-++=
成立,这就说明ξ是方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+
+=的一个小于0x 的正根.
7. 设f (a ) = f (c ) = f (b ),且a ＜c ＜b , f ″(x )在［a ,b ］上存在，证明在(a ,b )内至少存在一点ξ，使f ″(ξ) = 0.
证: 显然()f x 分别在[],a c 和[],c b 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在
1(,)a c ξ∈,2(,)c b ξ∈,使得12()()0f f ξξ''==.
又由题意知()f x '在[]12,ξξ上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈?,使得()0f ξ''=.
即在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.
习题4-2
1.利用洛必达法则求下列极限：
(1) sin3lim tan5x x
x
π→; (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---;
(3)lim m m n n x a x a x a →--； (4) 20()lim x x
x a x a x
→+-,(a ＞0)； (5) 0ln lim cot x x
x +→； (6) 0lim sin ln x x x +→;
(7) 1
ln(1)
lim arccot x x x →+∞+; (8) 0e 1lim()e 1
x x x x →--;
(9) 1
lim(1sin )x
x x →+;
(10) 2lim (arctan )π
x x x →+∞
(11) csc 03e lim()2x x x x →-+ ; (12) 2
1
20
lim e x x x →;
(13) 332
lim (1)x x x x x →+∞
+++; (14) 11
01lim (1)e x
x
x x →??+????
. 解:
222000011sin 33cos33
(1)lim
lim lim cos3cos 5tan 55sec 5533(1)(1)5511(2)lim lim lim (1)111
lim 22(3)lim lim lim πππ
e e e e e e e e e x x x x x x
x x x x
x x
x x x x m m m n n n x a x a x a x x x x x x x x x x x x a mx x a nx →→→→→→→--→→→==?=?-?-=-
---==--+++==
+-==-.m n m n
m m x a n n --=
2002
2
20()ln ln()()(4)lim lim 21()()()ln ln()()lim
2
x x x x x x x x x x x a x a a a x a x a a x x x
a x a x a x a a a x a x a x a x →→→??+-++??+-+??=??++++-++??+++?
?=
[]2000221()ln ln 012 a
a a a a
a a a a ++-?+==
22
00000000001
ln sin 2sin cos (5)lim lim lim lim cot csc 12sin 0cos 00
1
ln sin (6)lim sin ln lim lim lim tan csc csc cot sin lim lim tan 100 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
x
x x
++++++++++
→→→→→→→→→→==-=--=-?====-?-=-?=-?=222221111ln(1)111(7)lim lim lim lim 11
1cot 11arc x x x x x
x x x x x x x x x
→+∞→+∞→+∞→+∞-++++====+-++ 2000220
0001(1)(8)lim()lim lim 1(1)21443
lim
lim 12022
e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x x x
x
x
x
x x x x x x x x
x x x x x x →→→→→-----==-------====
+-++
00022cos 1
1
ln(1sin )cos 1sin ln(1sin )lim lim
lim 11sin 1
2112
ln(arctan )arctan 1lim
lim 112
ln(arctan )(9)lim(1sin )lim 2(10)lim (arctan )lim ππ
π
e
e =e e
e e
e e
e
πx x x x x x
x x
x x x
x
x
x
x x x x x x x x x
x
x x x x →→→→+∞
→+∞
++++→→??+-→+∞→+∞
+========2
22
1lim
1
2lim
(
1)arctan (1)arctan π
e e e
x x x x x x
x →+∞
→+∞--+-+===
020033ln
ln
322csc ln lim csc 2sin sin 0002(2)(3)
3
3(2)lim
lim 1(3)(2)cos cos 3(11)lim()lim lim 21e e e e e e e e e
e
e e
e e
x
x
x
x x x x x x x x x e e e x x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x
x
x →→→---+++→→→+-+--?----+--+-===+====
2
2
2
211112
20
00
02
21
(
)(12)lim lim
lim
lim 11
()e e
e
e x x x x x x x x x x x x
→→→→'?====∞'
2
002332
3223322
3
2
3
2323231
1
ln(1)1ln(1)1
lim lim lim 0
1
(13)lim (1)lim
(1)11111
1
lim
3
111111111
(1)111(14)lim (1) e
e
e
e x x x x x x x x x
x x
x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x →→→+∞
→+∞→+∞
+-+-→+++++-=+++++++++
+==
=
++++++++++??
===+????
001
1
121
1lim
2(1)
2
e
e
x x x
x →→-+--
+==
2.设
21lim
1
x x mx n
x →++-=5,求常数m ,n 的值. 解: 1lim(1)0, x x →-= 而21lim
51
x x mx n
x →++=- 2
1
lim()0
x x mx n →∴++=且21()lim
5(1)
x x mx n x →'
++='- 即 10m n ++= 且 1
lim(2)5x x m →+=
即 1m n +=- 且 25m += 于是得 3,4m n ==-. 3.验证极限sin lim x x x
x
→∞+存在，但不能由洛必达法则得出.
解: sin 1
lim
lim(1sin )1x x x x x x x
→∞→∞+=+=,极限存在,但若用洛必达法则,有
sin lim
lim(1cos )x x x x
x x
→∞→∞+=+ 因lim cos x x →∞
不存在,所以不能用洛必达法则得出.
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
Chapter Four: Foundations of Decision Making Multiple Choice Questions 1. __________ is not one of the eight steps in the decision making process. a. Identifying the problem b. Analyzing alternative solutions c. Implementing the decision d. Delegating the decision making 2. Which of the following sequences is correct for the decision-making Process? a. Identify decision criteria, analyze alternatives, allocate weights to criteria b. Analyze alternatives, select an alternative, implement the alternative c. Select an alternative, evaluate decision effectiveness, weight the criteria d. Analyze alternatives, develop alternatives, allocate weights to criteria 3. Once a problem is formulated, the next step is to a. Select an alternative b. List all possible Solutions c. Observe a discrepancy d. Decide what is critical in the decision 4. When a manager who is contemplating all the features a new purchase should have prioritizes the most important, he or she is practicing a. selection of criteria b. problem formulation c. weighting of criteria d. analyzing alternatives 5. After implementation has been accomplished a. The decision-making process is complete b. The control function of management become important c. The alternatives are ranked d. The manager must complete written evaluation forms 6. When a plant manager who is trying to reduce turnover of production workers notices that turnover has decreased by 10 percent four months after he instituted a new training program, at which step in the rational decision-making process is this manager? a. Identify the problem. b. Evaluate the decision criteria. c. Analyze the alternatives. d. Evaluate the results. 7. According to the concept of bounded rationality, decision makers are limited by _______. a. less than complete information b. environment c. time d. All of the abov e. 8. __________ is selecting the first minimally acceptable alternative. a. Bounded rationality b. Unbounded rationality c. Satisficing d. Rational decision-making 9. Suppose that you need a math elective to take in order to graduate. There are
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第四章作业及答案 一、单项选择题 1. 新文化运动兴起的标志是（） A．蔡元培“兼容并包”办学方针的采用 B．民主与科学口号的提出 C．陈独秀在上海创办《青年》杂志 D．李大钊发表《庶民的胜利》 2、新文化运动对中国革命产生的最深刻的影响是（） A．动摇封建思想的统治地位 B．弘扬了民主和科学，推动了自然科学发展 C．对五四运动的爆发起了宣传作用 D．后期传播社会主义思想，成为知识分子拯救国家改造社会的思想武器 3. 最能体现五四运动性质的口号是（） A．废除“二十一条” B．还我青岛 C．外争国权，内惩国贼 D．拒绝在和约上签字 4.在中国大地上率先举起马克思主义旗帜的是（） A．李大钊 B．陈独秀 C．张国焘 D．毛泽东 5.标志着中国新民主主义革命开端的是（） A．新文化运动 B．五四运动 C．中国共产党的诞生 D．辛亥革命 6、五四运动的导火线是（）。 A、巴黎和会上中国的外交失败 B、袁世凯签订二十一条 C、段祺瑞的西原大借款 D、张勋导演的复辟 7、近代中国第一次彻底反帝反封建的革命运动是（）。 A、太平天国运动 B、戊戌变法运动 C、国民革命运动 D、五四运动 8、中国共产党产生的阶级条件是( )。 Ａ、马克思主义在中国的传播Ｂ、中国民族资本主义的发展 Ｃ、中国工人阶级的成长和工人运动的发展Ｄ、共产主义小组的建立 9. 1920年8月，陈独秀、李汉俊、李达等人在（）成立了中国工人阶级政党最早 的组织。 A．北京 B．上海 C．武汉 D．广州 10.中国共产党早期组织领导的第一个工会是（） A．上海机器工会 B．长辛店工人俱乐部
C．武汉工会 D．长沙工会 11. 1921年9月，中国共产党在（）领导创建了第一个农民协会 A．广东海丰县赤山约 B．广东陆丰县 C．浙江萧山县衙前村 D．湖南衡山县白果 12.中国共产党第一次提出明确的反帝反封建的民主革命纲领是在（） A．《新青年》创刊号上 B．中共“一大”会议上 C．中共“二大”会议上 D．中共“三大”会议上 13.中国共产党正式决定与国民党合作是在（） A．中共“一大” B．中共“二大” B．C．“二七”罢工后 D．中共“三大” 14.革命统一战线正式建立的标志是（） A．国民党“一大”的召开 B．国民党改组 C．三民主义发展为新三民主义 D．中共“三大”的召开 15. 1925年5月，以（）为起点，国共两党掀起了全国范围的大革命浪潮。 A．国民党一大 B．成立黄埔军校 C．广州国民政府成立 D．五卅运动 16.北伐战争针对的军阀是（）①吴佩孚②孙传芳③张作霖④段祺瑞 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 17.第一次国共合作的政治基础是（）。 A、三民主义 B、中共二大纲领 C、新三民主义 D、十六字纲领 18.国民革命时期在农村掀起大革命风暴的中心是（）。 A、湖南 B、江西 C、广东 D、湖北 19.第一次国共合作终于全面破裂的历史事件是（） A．“四〃一二”政变 B．马日事变 C．夏斗寅叛乱 D．“七〃一五”政变 20.大革命的失败，给中共最深刻的教训是（） A．无产阶级必须掌握革命领导权和革命武装 B．要建立巩固的统一战线 C．要警惕统一战线内部的野心家 D．要制定彻底的革命纲领 单项选择题答案 1.C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. A 7. D 8. C 9. B 10.A 11. C 12. C 13. D 14. A 15. D 16. A 17. C 18.A 19.D 20.A
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第4章习题及参考答案 4.1写出下列基团的名称。 解： (1) 苯基 ⑵ 苄基（苯甲基） ⑶ 二苯甲基 ⑷ 三苯甲基 ⑸ 亚苄基（苯亚甲基） ⑹ α-苯乙基 ⑺ β-苯乙基 ⑻ 苯乙烯基 ⑼ 肉桂基（3-苯烯丙基） 4.2 写出C 9H 12的全部单环芳香烃的异构体，并命名。 解： 4.3写出下列化合物的名称或构造式。 （6）间溴硝基苯 （7）3,5-二甲基苯乙烯 （8）邻溴苯酚 （9）β-萘酚 （10） 二苯甲烷 解：（1）邻碘苄氯 （2）3-苯基-1-丙炔 （3）邻羟基苯甲酸 （4）α-萘胺 （5） 联苯胺 CH 2Cl I CH 2C CH OH COOH NH 2 NH 2 N H 2 (1)(2) (3) (4) (5)NO 2 Br CH 3 CH=CH 2 C H 3OH Br OH (6) (7)(8) (9) (10) C H 2
4.4指出下列化合物硝化时，导入硝基的主要位置。 解： 主要产物 次要产物 4.5 用化学方法区别各组下列化合物。 （1） 甲苯、环己烷和环己烯 （2） 苯乙烯、苯乙炔和乙苯 解：（1） 加溴水，使溴水褪色的为环己烯，加高锰酸钾溶液褪色的为甲苯。 （2） 加AgNO3氨溶液，有白色沉淀的为苯乙炔，剩下的两种化合物中加溴水，使溴水褪色的为苯乙烯。 4.6 把下列各组化合物按发生环上亲电取代反应的活性大小排列成序。 解： CH 3 OCH 3 NHCOCH 3 CH 3 SO 3H SO 3H SO 3H CH 3 OH OH (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A. B. C. D. E. A. B. C. D. A. B. C. D. CH 3 NO 2 OH (1) (2)(3)CH 2CH 3CH 2CH 3 CH 2CH 3 CH 2CH 3 CH 2CH 3 NH 2 NH CCH 3 O CCH 3O Cl CH 3 H 3CO NHCOCH 3 CH 3 SO 3H SO 3H SO 3H CH 3 OH OH (1)(2)(3) (4) (5) (6) (7)
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第三章 行列式及其应用 §3-1 行列式的定义 一、填空题。 1、行列式a b c d =__ad bc -___;112 2 13141 ---=____-24____. 2、行列式 1 111 1 21 21 2 00 000 a a a a b b c c d d =______0_____. 3、已知行列式1111111 1 11111111 D -= -----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____ 13223144a a a a -____. 二、选择题。 1、方程01 1 0001x x x =的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__. （A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶行列式001 020 00 D n = 的值为__D ___. （A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n n -; （D ）(1)2 (1) !n n n --.
5、行列式312111321111x x x x x --中4 x 的系数为__A____. (A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3. 三、计算下列行列式 1、12 1 10001- 解：33 312 121 10(1)(1)1 11 001 r +--=-按展开 2、 1010120012301234 解：444321010 101 1200 4(1)120 1230 123 1234101 412024 003 r r +--=按c 展开 3、 11321011 23011 002 -- 解：
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
课后习题参考答案 第四章竖曲线设计 4.3 某条道路变坡点桩号为K25+460.00，高程为780.72.m，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m。（1）判断凸、凹性；（2）计算竖曲线要素；（3）计算竖曲线起点、K25+400.00、K25+460.00、K25+500.00、终点的设计高程。 解：ω＝i1-i2＝5％－0.8％＝4.2％凹曲线 L＝R?ω＝5000×4.2％＝210.00 m T＝L/2＝105.00 m E=T2/2R＝1.10 m 竖曲线起点桩号：K25+460－T＝K25+355.00 设计高程：780.72－105×0.8％＝779.88 m K25+400： 横距：x＝（K25+400）－（K25+355.00）＝45m 竖距：h＝x2/2R＝0.20 m 切线高程：779.88+45×0.8％＝780.2 m 设计高程：780.24+0.20＝780.44 m K25+460：变坡点处 设计高程=变坡点高程+E=780.72+1.10＝781.82 m 竖曲线终点桩号：K25+460＋T＝K25+565 设计高程：780.72+105×5％＝785.97 m K25+500：两种方法 1、从竖曲线起点开始计算 横距：x＝（K25+500）－（K25+355.00）＝145m 竖距：h＝x2/2R＝2.10 m 切线高程（从竖曲线起点越过变坡点向前延伸）：779.88+145×0.8%=781.04m 设计高程：781.04+2.10＝783.14 m 2、从竖曲线终点开始计算 横距：x＝（K25+565）－（K25+500）＝65m 竖距：h＝x2/2R＝0.42 m 切线高程 （从竖曲线终点反向计算）：785.97-65×5%=782.72m 或从变坡点计算：780.72+（105-65）×5%=782.72m 设计高程：782.72+0.42＝783.14 m 两种方法结果相同 下图为Excel计算结果
线性代数部分 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m - 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111.
2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2．y x y x x y x y y x y x +++； 3．解方程 00 11 01110111 0=x x x x ； 6. 111...1311...1112... 1 ... ...... 1 1 1 ...(1)b b n b ----
《马克思主义基本原理概论》第四章练习题 一、单项选择题 1、商品的本质因素是（ A ） A、使用价值 B、价值 C、交换价值 D、价格 2、马克思说：“一切商品对它们的所有者是非使用价值，对它们的非所有者是使用价值。”这句话表明（ B ） A、有使用价值的不一定有价值 B、商品的使用价值是对它的购买消费者而言的 C、商品所有者同时获得使用价值和价值 D、有价值不一定有使用价值 3、对“劳动是财富之父，土地是财富之母”这句话的正确解释是（ B ） A、劳动和土地都是价值的源泉 B、劳动创造使用价值，土地形成价值 C、劳动是创造价值的外部条件，土地是价值的真正源泉 D、劳动必须和自然物相结合才能创造出物质财富 4、在商品经济中，形成价值的抽象劳动的支出必须借助于（ A ） A、具体劳动 B、剩余劳动 C、商品的生产形式 D、资本主义生产方式 5、正确认识价值创造和财富生产的关系，关键是运用（ A ） A、劳动二重性学说 B、资本有机构成学 C、剩余劳动学说 D、平均利润学说 6、货币之所以能执行价值尺度的职能，是因为（ B ） A、它能衡量其他商品价值的大小 B、它是社会劳动的产物，本身具有价值 C、它具有计量单位 D、它可以是观念上的货币 7、在商品经济中，价值规律的表现形式是（ A ） A、商品价格围绕商品价值自发波动 B、商品价值围绕商品价格波动 C、商品价格决定商品价值 D、商品价格等于商品价值 8、商品经济的基本矛盾是（ B ） A、私人劳动与私人劳动的矛盾 B、私人劳动与社会劳动的矛盾 C、社会劳动与社会劳动的矛盾
D、生产与消费的矛盾 9、“货币变为资本”的条件是（ C ） A、货币量有了巨大增长 B、货币增值 C、货币购买的劳动力带来剩余价值 D、世界货币的出现 10、进入汽车修理厂的汽车是（ B ） A、劳动资料 B、劳动对象 C、生产工具 D、固定资产 11、价格是商品价值的货币表现，所以（ D ） A、价格和价值始终一致 B、价格和价值始终不一致 C、价格和货币的价值无关 D、价格和货币的价值有关 12、商品的使用价值、交换价值和价值的关系是（ A ） A、使用价值是交换价值的物质承担者，交换价值是价值的表现形式 B、交换价值是价值的物质承担者 C、使用价值是价值的表现形式，交换价值是价值的基础 D、使用价值是价值的基础，价值是交换价值的表现形式 13、决定商品交换比例的是（ D ） A、商品的效用 B、供求关系 C、商品质量的高低 D、商品的价值 14、某公司在秋季以每公斤0﹒75元的价格收购鲜玉米，采取保鲜技术处理，于春夏季出库上市，每公斤6元还供不应求。造成这种价格差异的原因是（ B ） A、生产玉米的社会必要劳动时间发生了变化 B、玉米的价值和供求关系发生了变化 C、市场玉米的供求关系发生了变化 D、经过处理后的玉米价值发生变化 15、商品的使用价值和价值、具体劳动和抽象劳动的矛盾的根源是（ D ） A、简单劳动和复杂劳动的矛盾 B、资本主义的基本矛盾 C、个别劳动时间和社会必要劳动时间的矛盾 D、私人劳动和社会劳动的矛盾 16、在商品价值的形成过程中，将生产资料价值转移到商品价值中的劳动是
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
金融会计第三四章作业及练习题参考答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
第三章存款业务的核算 一、单选题 1．活期储蓄存款的金额起点为：（ C ）。 A．100元 B．10元 C．1元 D．不限 2．整存整取储蓄的存储起点为（ B ）；零存整取储蓄的存储起点为 （ A ）；存本取息储蓄的存储起点为：（ C ）；整存零取的存储起点为（ D ）。 A．5元 B．50元 C．5 000元 D．1 000元 3．整存整取储蓄的存期分为：（ B ）；零存整取储蓄的存期分为： （ A ）；存本取息储蓄的存期分为：（ A ）；整存零取储蓄的存期分为：（ A ）。 A．1年、3年、5年3个档次 B．3个月、半年、1年、2年、3年和5年6个档次 C．1年、2年、3年3个档次 D．半年、1年、2年3个档次。 4．存款人能够办理日常转账结算和现金收付的账户是：（ A ）。 A．基本存款户 B．一般存款户 C．临时存款户 D．专用存款户 5．个人活期存款的计息时间是：（ B ）。 A．上年7月1日至本年6月30日 B．上季末月21日至本季末月20日 C．上季末月20日至本季末月21日 D．上年6月20日至本年6月21日 6．活期存款的结息日为（ B ）。 A．每月30日 B．每季末了月的20日 C．6月30日 D．12月20日
7．计算利息的本金基数以（ A ）为起点；利息金额计至（ B ）。 A．元 B．分 C．10元 D．角 8．定期储蓄存款，按（ A ）利率计息；提前支取的部分，按（ C ）利率计息。 A．开户日 B．到期日 C．活期存款 D．原利率 二、多选题 1．下列情况，存款人可以申请开立临时存款账户：（ ABD ）。 A．外地临时机构 B．临时经营活动需要 C．在基本存款账户以外的银行取得借款的 D．与基本存款账户的存款人不在同一地点的附属非独立核算单位2．定期储蓄存款，根据存取本息形式不同，可分为：（ ABCD ）。 A．整存整取 B．零存整取 C．存本取息 D．整存零取 3．存款人在银行开立的存款账户按资金性质和管理要求，可分为（ ABCD ）。 A．基本存款户 B．一般存款户 C．临时存款户 D．专用存款户 4．存款利息的计算公式为：利息=（ AB ）。 A．本金×存期×利率 B．积数×利率 C．天数×利率 D．存款金额×利率 5．银行存款的利息核算可采用：（ AD ）。 A．余额表 B．日计表 C．总帐 D．乙种帐 E．甲种帐 三、计算题