第四章 向量组的线性相关性
1
设v 1(1 1 0)T v 2(0 1 1)T v 3(3 4 0)T 求v 1v 2及
3v 12v 2v 3
解 v 1v 2(1 1 0)T (0 1
1)T
(10 11 01)T
(1 0
1)T
3v 12v 2v 33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3
4 0)T
(31203 31214 30210)T (0 1 2)T
2 设3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a ) 求a 其中a 1(2 5 1
3)T
a 2(10 1 5 10)T
a 3(4
1 1 1)T
解 由3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a )整理得
)523(61321a a a a -+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T
T T --+=
(1 2 3 4)T
3 已知向量组 A a 1(0 1 2 3)T a 2(3 0 1 2)T a 3(2 3
0 1)T
B
b 1(2 1
1
2)T b 2(0
2 1 1)T b 3(4 4 1
3)T
证明B 组能由A 组线性表示 但A 组不能由B 组线性表示
证明 由
????? ??-=312123111012421301402230) ,(B A ?????
?
?-------971820751610402
230421301
~r ????? ??------531400251552000751610421301 ~r ????
? ?
?-----000000531400751610421301
~r 知R (A )R (A B )3 所以B 组能由A 组线性表示
由
????
? ?
?-????? ??---????? ??-=00
000011020
1110110220201312111421402~~r r B 知R (B )2 因为R (B )R (B A ) 所以A 组不能由B 组线性表示
4 已知向量组 A a 1(0 1 1)T a 2(1 1
0)T
B
b 1(1
0 1)T b 2(1 2 1)T b 3(3 2 1)T
证明A 组与B 组等价 证明 由
??
?
?
??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B
知R (B )R (B A )2 显然在A 中有二阶非零子式 故R (A )2 又R (A )R (B
A )2 所以R (A )2 从而R (A )R (
B )R (A B ) 因此A 组与B 组等价
5 已知R (a 1 a 2 a 3)
2 R (a 2 a
3 a 4)
3 证明
(1) a 1能由a 2 a 3线性表示 (2) a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示 证明 (1)由R (a 2 a 3 a 4)
3知a 2 a 3 a 4线性无关 故a 2 a 3也线性无关 又
由R (a 1 a 2 a 3)2知a 1 a 2 a 3线性相关 故a 1能由a 2 a 3线性表示
(2)假如a 4能由a 1 a 2 a 3线性表示 则因为a 1能由a 2 a 3线性表示 故a 4能由a 2 a 3线性表示 从而a 2 a 3 a 4线性相关 矛盾 因此a 4不能由a 1 a 2 a 3线性
表示
6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2
3 0)T (1
4 0)T (0
0 2)T
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为
???
? ??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A
所以R (A )2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为
222
000430
12||≠=-=B
所以R (B )3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关
7 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1(a 1 1)T a 2(1
a 1)T a 3(1
1 a )T
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由
a
a a
A 1
111
11||--=
如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）
8 设a 1 a 2线性无关 a 1b a 2b 线性相关 求向量b 用a 1 a 2线性表示的
表示式
解 因为a 1b a 2b 线性相关 故存在不全为零的数1
2使
1(a 1
b )2(a 2b )0
由此得
2
2
11121122121211)1(a a a a b λλλ
λλλλλλλλλ+--+-=+-+-
=
设2
11
λλλ+-
=c 则
b c a 1(1c )a 2 c R
9 设a 1 a 2线性相关 b 1 b 2也线性相关 问a 1b 1 a 2b 2是否一定线性相关？试举例说明之 （也可看书后答案） 解 不一定
例如 当a 1(1 2)T , a 2(2 4)T , b 1(1 1)T , b 2(0 0)T 时 有 a 1b 1(1 2)T b 1(0 1)T , a 2b 2(2 4)T (0 0)T (2 4)T
而a 1b 1 a 2b 2的对应分量不成比例 是线性无关的
10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a 1 a 2
a m 是线性相关的
则a 1可由a 2
a m 线
性表示
解设a1e1(1000)a2a3a m0则a1 a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示
(2)若有不全为0的数12m使
a1m a m1b1m b m0
1
成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使
a1m a m1b1m b m0
1
原式可化为
(a1b1)m(a m b m)0
1
取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2
e m为单位坐标向量则上式成立而a1a2a m和b1b2
b m均线性无关
(3)若只有当12m全为0时等式
a1m a m1b1m b m0
1
才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式
由1a1m a m1b1m b m0
成立所以只有当12m全为0时等式
(a1b1)2(a2b2)m(a m b m)0
1
成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关
取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关
(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使
a1m a m01b1m b m0
1
同时成立
解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T
a12a2 0122
1
b12b2 01(3/4)2
1
0与题设矛盾
12
11设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2 b3b4线性相关
证明 由已知条件得
a 1
b 1a 2 a 2b 2a 3 a 3b 3a 4 a 4b 4a 1
于是 a 1 b 1b 2a 3 b 1b 2b 3a 4
b 1b 2b 3
b 4a 1
从而 b 1b 2b 3b 40
这说明向量组b 1 b 2 b 3 b 4线性相关
12 设b 1a 1 b 2a 1a 2
b r
a 1a 2
a r 且向量组
a 1 a 2
a r 线性无关 证明向量组
b 1 b 2
b r 线性无关
证明 已知的r 个等式可以写成
????
?
?
??
???????????????????????=???100110
111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b
上式记为B AK 因为|K |10 K 可逆 所以R (B )R (A )r 从而向量组b 1 b 2
b r 线性无关
13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组
(1)a 1(1 2 1 4)T a 2(9 100 10 4)T a 3(2 4 2 8)T
解 由
????
?
??-????? ??--????? ??----=00000
001
0291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a
知R (a 1 a 2 a 3)2 因为向量a 1与a 2的分量不成比例 故a 1 a 2线性无关 所以
a 1 a 2是一个最大无关组
(2)a 1T (1 2 1 3)
a 2T (4
1 5 6)
a 3T (1
3
4 7)
解 由
????
?
??--????? ??------?????
?
?------=000000
590
141
10180590590141763451312
141
) , ,(~~321r r a a a
知R (a 1T a 2T a 3T )
R (a 1 a 2 a 3)2 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例 故a 1T
a 2T 线性无关 所以a 1T a 2T 是一个最大无关组
14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组
(1)????
?
?
?4820322513454947513253947543173125
解 因为
????? ??482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---????? ??53
105310
3210
4317
3125
3423~r
r r r --????
? ?
?00
003100
32104317
3125
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2)????
?
??---140113130215120122
1
1
解 因为
????? ??---14
1
131302151201221113142~r
r r r --????? ?
?------22
20015120
151201221
12343~r
r r r +?????
? ?
?---00
00022200
1512012211
所以第1、2、3列构成一个最大无关组
（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）
15 设向量组
(a
3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3
1)T
的秩为2 求a b
解 设a 1(a 3 1)T a 2(2 b 3)T a 3(1
2 1)T a 4(2
3 1)T
因为
??
?
? ??----???? ??---???? ??=52001110311161101110311
131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a
而R (a 1 a 2 a 3 a 4)
2 所以a 2 b 5
16设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2
e n能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关
证法一记A(a1a2a n)E(e1e2e n)由已知条件知存在矩阵K使
E AK
两边取行列式得
|E||A||K|
可见|A|0所以R(A)n从而a1a2a n线性无关
证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)
而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2
a n)n从而a1a2a n线性无关
17设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示
证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2
a n线性表示且表示式是唯一的
充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1e2e n能由a1a2a n线性表示于是有
n R(e1e2e n)R(a1a2a n)n
即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关
18设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2k m)使a k能由a1a2a k1线性表示
证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12使
m
a12a2m a m0
1
而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k(2k m)使
0k1k2m0
k
于是
a12a2k a k0
1
a k(1/k)(1a12a2k1a k1)
即a k 能由a 1 a 2 a k 1线性表示
19 设向量组B b 1 b r 能由向量组A a 1
a s 线性表示为
(b 1
b r )(a 1
a s )K 其中K 为s r 矩阵 且A 组线性无关 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )r 证明 令B (
b 1
b r ) A (a 1
a s ) 则有B AK
必要性 设向量组B 线性无关 由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质 有 r R (B )R (AK )min{R (A ) R (K )}R (K )
及 R (K )min{r s }r
因此R (K )r
充分性 因为R (K )r 所以存在可逆矩阵C 使??
? ??=O E KC r 为K 的标准形 于
是
(b 1
b r )C ( a 1
a s )KC
(a 1 a r )
因为C 可逆 所以R (b 1
b r )R (a 1
a r )r 从而
b 1
b r 线性无关
20 设
?????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1
321312321 n n n n
ααααβαααβαααβ
证明向量组
1
2
n 与向量组
1
2
n 等价
证明 将已知关系写成
?????
? ?
??
?????????????????????????????=???01111011
1101
1110
) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ
将上式记为B AK 因为
0)1()1(0
11
1
1011
1
1011110||1≠--=???????????????????????????=-n K n
所以K 可逆 故有A BK 1
由B AK 和A BK 1可知向量组
1
2
n
与向量组1
2
n 可相互线性表示 因此向量组1
2
n 与向量组1
2
n 等价
21 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x 3A x A 2x 且向量组x A x A 2x 线性无关
(1)记P (x A x A 2x ) 求3阶矩阵B 使AP PB
解 因为
AP A (x A x A 2x ) (A x A 2x A 3x )
(A x A 2x 3A x A 2x )
??
?
?
??-=110301000) , ,(2x x x A A
所以???
? ??-=110301000B
(2)求|A |
解 由A 3x 3A x A 2x 得A (3x A x A 2x )0 因为x A x A 2x 线性无关 故3x A x A 2x 0 即方程A x 0有非零解 所以R (A )3 |A |0
（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。每一题不再一一说明）
22 求下列齐次线性方程组的基础解系
(1)?????=-++=-++=++-0
26830
54202108432143214321x x x x x x x x x x x x
解 对系数矩阵进行初等行变换 有 ???? ??--???? ??---=00004/14/31004
01 2683154221081~r A
于是得
???+=-=4
323
1)4/1()4/3(4x x x x x
取(x 3 x 4)T (4 0)T 得(x 1 x 2)T (16 3)T 取(x 3 x 4)T (0 4)T 得(x 1 x 2)T (0 1)T 因此方程组的基础解系为
1
(16 3 4 0)T
2
(0 1 0 4)T
(2)?????=-++=-++=+--0
36780
24530
232432143214321x x x x x x x x x x x x
解 对系数矩阵进行初等行变换 有 ???? ??--???? ??----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A
于是得
???+-=+-=4
32431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x
取(x 3 x 4)T (19 0)T 得(x 1 x 2)T (2
14)T
取(x 3 x 4)T (0 19)T 得(x 1 x 2)T (1 7)T 因此方程组的基础解系为 1(2 14 19 0)T
2
(1 7 0 19)T
(3)nx 1 (n 1)x 2 2x n 1
x n 0.
解 原方程组即为
x n
nx 1(n 1)x 2
2x n 1
取x 11 x 2x 3
x n
10 得x n
n
取x 21 x 1x 3x 4 x n
1
0 得x n (n 1)n 1
取x n 1
1
x 1x 2 x n 2
0 得x n 2
因此方程组的基础解系为
1(1 0 0
0 n )T 2
(0
1 0 0 n 1)T
n
1
(0 0 0
1
2)T
23 设??
? ??--=82593122A , 求一个42矩阵B , 使AB 0, 且
R (B ) 2.
解 显然B 的两个列向量应是方程组AB 0的两个线性无关的解 因为
??
? ??---??? ??--=8/118/5108/18/101 82593122~r
A
所以与方程组AB 0同解方程组为
???+=-=4
32431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x
取(x 3 x 4)T (8 0)T 得(x 1 x 2)T (1 5)T 取(x 3 x 4)T (0 8)T 得(x 1 x 2)T (1 11)T
方程组AB 0的基础解系为
1
(1 5 8 0)T
2
(1 11 0
8)T
因此所求矩阵为????
?
?
?-=8008115
11
B
24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
1
(0 1 2 3)T
2
(3 2 1 0)T
解 显然原方程组的通解为
????? ??+????
? ??=????? ??0123321021432
1k k x x x x , 即?????=+=+==14213
2
12213223k x k
k x k k x k x (k 1 k 2R )
消去k 1 k 2得
???=+-=+-0230324
31421x x x x x x
此即所求的齐次线性方程组.
25 设四元齐次线性方程组 I ???=-=+004
221x x x x
II
???=+-=+-004
32321x x x x x x
求
(1)方程I 与II 的基础解系 (2) I 与II 的公共解
解 (1)由方程I 得???=-=4
24
1
x x x x
取(x 3 x 4)T (1 0)T 得(x 1 x 2)T (0 0)T 取(x 3 x 4)T (0 1)T 得(x 1 x 2)T (1 1)T
因此方程I 的基础解系为
1
(0 0 1 0)T
2
(1 1 0 1)T
由方程II 得???-=-=4
324
1
x x x x x
取(x 3 x 4)T (1 0)T 得(x 1 x 2)T (0 1)T 取(x 3 x 4)T (0 1)T 得(x 1 x 2)T (1 1)T
因此方程II 的基础解系为
1
(0 1 1 0)T
2
(1 1 0
1)T
(2) I 与II 的公共解就是方程
III
?????=+-=+-=-=+00004
323214221x x x x x x x x x x 的解 因为方程组III 的系数矩阵
????
? ??--?????
?
?---=000
2100
10101001 11
10011110100011~r A
所以与方程组III 同解的方程组为
?????==-=4
3424
12x x x x x x
取x 41 得(x 1 x 2 x 3)T (1 1 2)T 方程组III 的基础解系为
(1 1 2 1)T
因此I 与II 的公共解为x c (1 1 2 1)T c R
26 设n 阶矩阵A 满足A 2A E 为n 阶单位矩阵, 证明
R (A )R (A
E )
n
证明 因为A (A E )A 2A A A 0
所以R (A )R (A E )n
又R (A
E )R (E
A ) 可知 R (A )R (A
E )R (A )R (E A )R (A E A )R (E )n
由此R (A )R (A E )
n
27 设A 为n 阶矩阵(n 2)
A *为A 的伴随阵
证明
???
??-≤-===2
)( 01
)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当
证明 当R (A )n 时 |A |0 故有
|AA *|||A |E ||A |0 |A *|0 所以R (A *)n
当R (A )n 1时 |A |0 故有 AA *|A |E 0
即A *的列向量都是方程组A x 0的解 因为R (A )n 1 所以方程组A x 0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此R (A *)1
当R (A )n 2时 A 中每个元素的代数余子式都为0 故A *O 从而R (A *)0
28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系
(1)?????=+++=+++=+3
22351
225
4321432121x x x x x x x x x x
解 对增广矩阵进行初等行变换 有
???
?
??--???? ??=2100013011080101 322351211250011~r B
与所给方程组同解的方程为
?????=+=--=2
13 8
43231x x x x x
当x 30时 得所给方程组的一个解(8 13 0 2)T
与对应的齐次方程组同解的方程为
?????==-=0
43231x x x x x
当x 31时 得对应的齐次方程组的基础解系(1
1 1 0)T
(2)?????-=+++-=-++=-+-6
2421
63511
325432143214321x x x x x x x x x x x x
解 对增广矩阵进行初等行变换 有
???
? ??---???? ??-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B
与所给方程组同解的方程为
???--=++-=2)2/1((1/7)1
)2/1()7/9(4
32431x x x x x x
当x 3x 40时 得所给方程组的一个解
(1 2 0 0)T
与对应的齐次方程组同解的方程为
???-=+-=4
32431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x
分别取(x 3 x 4)T
(1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系 1
(9 1 7
0)T
2
(1 1 0 2)T
29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1
2
3是它的三
个解向量 且
1
(2 3 4 5)T
23
(1 2 3 4)T
求该方程组的通解
解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于1
2
3均为方程组的解 由非齐次线性
方程组解的结构性质得
2
1
(
2
3)(
1
2)
(
1
3) (3 4 5 6)T
为其基础解系向量 故此方程组的通解
x k (3
4 5 6)T (2 3 4 5)T (k R )
30 设有向量组A a 1( 2 10)T a 2(2 1 5)T a 3(1 1
4)T
及b (1
1)T
问
为何值时
(1)向量b 不能由向量组A 线性表示
(2)向量b 能由向量组A 线性表示 且表示式唯一
(3)向量b 能由向量组A 线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式
解 ???? ??---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ??
?
? ??-+++---βαβαα
34001110121 ~r
(1)当4 0时 R (A )R (A b ) 此时向量b 不能由向量组A 线性表示
(2)当4时 R (A )R (A b )3 此时向量组a 1 a 2 a 3线性无关 而向量
组a 1 a 2 a 3 b 线性相关 故向量b 能由向量组A 线性表示 且表示式唯一 (3)当4 0时 R (A )R (A b )2 此时向量b 能由向量组A 线性表示
且表示式不唯一
当
4
0时
???? ??----=1105402111421) , , ,(123b a a a ??
?
?
??--000013101201 ~r
方程组(a 3 a 2 a 1)x b 的解为
?
??? ?
?--+=???? ??-+???? ??-=???? ??c c c c x x x 1312011132321 c R
因此 b (2c 1)a 3(3c 1)a 2c a 1
即 b c a 1(3c 1)a 2(2c 1)a 3 c R
31 设a (a 1 a 2 a 3)T b (b 1 b 2 b 3)T c (c 1 c 2 c 3)T 证明三直线 l 1 a 1x b 1y c 10
l 2 a 2x b 2y c 20 (a i 2b i 20 i 1
2 3)
l 3 a 3x b 3y c 30
相交于一点的充分必要条件为 向量组a b 线性无关 且向量组a b c 线性相关 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
?????=++=++=++0
00
333222111c y b x a c y b x a c y b x a 即?????-=+-=+-=+3
332221
11c y b x a c y b x a c y b x a
有唯一解 上述方程组可写为x a y b
c 因此三直线相交于一点的充分必要条件为
c 能由a b 唯一线性表示 而c 能由a b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a b 线性无关 且向量组a b c 线性相关
32 设矩阵A (a 1 a 2 a 3 a 4) 其中a 2 a 3 a 4线性无关 a 12a 2 a 3
向量b a 1a 2a 3a 4 求方程A x b 的通解
解 由b a 1a 2a 3a 4知(1 1 1 1)T 是方程A x b 的一个解
由a 12a 2 a 3得a 1
2a 2a 30 知
(1 2 1 0)T 是A x 0的一个解 由a 2 a 3 a 4线性无关知R (A )3 故方程A x b 所对应的齐次方程A x 0的基础
解系中含一个解向量 因此(1
2 1
0)T 是方程A x 0的基础解系
方程A x b 的通解为
x c (1 2 1 0)T (1 1 1
1)T c R
33 设*是非齐次线性方程组A x b 的一个解, 1
2
n r
是对
应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 (1)*
1
2
n
r 线性无关
(2)* *
1
*
2
*n
r 线性无关
证明 (1)反证法, 假设
*
1
2
n r
线性相关 因为1
2
n
r 线性无关 而* 1
2
n
r 线性相关
所以
*可由12n r线性表示且表示式是唯一的这说明*也是齐
次线性方程组的解矛盾
(2)显然向量组**1*2*n r与向量组*
可以相互表示故这两个向量组等价而由(1)知向量组12n r
*12n r线性无关所以向量组**1*2
*n r也线性无关
34设12s是非齐次线性方程组A x b的s个解k1k2
k s为实数满足k1k2k s 1. 证明
x k11k22k s s
也是它的解.
证明因为12s都是方程组A x b的解所以
A i b (i1 2s)
从而A(k11k22k s s)k1A1k2A2k s A s
(k1k2k s)b b
因此x k11k22k s s也是方程的解
35设非齐次线性方程组A x b的系数矩阵的秩为r12
是它的n r1个线性无关的解试证它的任一解可表示为
n r1
x k11k22k n r1n r1 (其中k1k2k n r11).
证明因为12n r1均为A x b的解所以121
均为A x b的解
231n r n r11
用反证法证12n r线性无关
设它们线性相关则存在不全为零的数12n r使得
1122 n r n r
即1(21)2(31) n r(n r11)0
亦即(12n r)11223
n r n r1
由12n r1线性无关知
(12n r)12n r0
矛盾因此12n r线性无关12n r为A x b
的一个基础解系
设x为A x b的任意解则x1为A x0的解故x1可由12
线性表出设
n r
x1k21k32k n r1n r
k 2(
2
1)k 3(
3
1) k n
r 1(
n r 1
1)
x 1(1
k 2k 3 k n r 1)
k 2
2
k 33
k n
r
1
n
r 1
令k 11k 2k 3
k n r 1
则k 1k 2k 3
k n r 1
1 于是
x k 11
k 2
2
k n
r 1
n
r
1
36 设
V 1{x (x 1 x 2 x n )T | x 1
x n R 满足x 1x 2 x n 0}
V 2{x (x 1 x 2
x n )T | x 1
x n R 满足x 1x 2
x n 1}
问V 1 V 2是不是向量空间？为什么？ 解 V 1是向量空间 因为任取
(a 1 a 2
a n )T V 1 (
b 1 b 2 b n )T V 1
R
有 a 1a 2 a n 0 b 1b 2 b n 0
从而 (a 1b 1)(a 2b 2)
(a n b n )
(a 1a 2 a n )(b 1b 2
b n )0
a 1
a 2
a n
(a 1a 2 a n )0
所以 (a 1b 1 a 2b 2 a n
b n )T V 1
(a 1 a 2 a n )T V 1 V 2不是向量空间 因为任取
(a 1 a 2
a n )T V 1 (
b 1 b 2
b n )T V 1
有 a 1a 2 a n 1 b 1b 2 b n 1
从而 (a 1b 1)(a 2b 2)
(a n b n )
(a 1a 2
a n )(
b 1b 2
b n )2
所以
(a 1b 1 a 2b 2
a n
b n )T V 2
37 试证 由a 1(0 1 1)T a 2(1 0 1)T a 3(1
1
0)T 所生成的向量空间就是R 3.
证明 设A (a 1 a 2 a 3)
由
20
111011
10||≠-==A
知R (A )3 故a 1 a 2 a 3线性无关 所以a 1 a 2 a 3是三维空间R 3的一组基, 因此
由a 1 a 2 a 3所生成的向量空间就是R 3.
38 由a 1(1 1 0 0)T a 2(1 0 1 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1(2 1
3 3)T
b 2(0
1 1 1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1V 2.
证明 设A (a 1 a 2) B (b 1 b 2) 显然R (A )
R (B )2 又由
????
? ?
?--?????
?
?---=00
000000
13100211
13
1013101101
0211) ,(~r B A
知R (A B )2 所以R (A )R (B )R (A B ) 从而向量组a 1 a 2与向量组b 1 b 2等价 因为向量组a 1 a 2与向量组b 1 b 2等价 所以这两个向量组所生成的向量空间相同
即V 1V 2.
39 验证a 1(1 1 0)T a 2(2 1 3)T a 3(3 1 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1(5
0 7)T v 2(9 8 13)T 用这个基线性表示.
解 设A (a 1 a 2 a 3)
由
62
301113
21|) , ,(|321≠-=-=a a a
知R (A )3
故a 1 a 2 a 3线性无关 所以a 1 a 2 a 3为R 3的一个基.
设x 1a 1x 2a 2x 3a 3
v 1 则
?????=+=++-=++7
23053232321321x x x x x x x x
解之得x 12 x 23
x 3
1 故线性表示为v 12a 13a 2a 3
设x 1a 1x 2a 2x 3a 3
v 2 则
?????-=+-=++--=++13
23893232321321x x x x x x x x
解之得x 13 x 23 x 3
2 故线性表示为v 23a 13a 22a 3
40 已知R 3的两个基为 a 1(1 1 1)T a 2(1
0 1)T a 3(1
0 1)T
b 1(1 2 1)T b 2(2 3 4)T b 3(3 4 3)T
求由基a 1 a 2 a 3到基b 1 b 2 b 3的过渡矩阵P 解 设e 1 e 2 e 3是三维单位坐标向量组 则
??
?
?
??-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a
1
32132111
1001
111
) , ,() , ,(-????
??-=a a a e e e
于是 ???
? ?
?=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b
??
?
?
?????? ??-=-341432321111001111) , ,(1
321a a a
由基a 1 a 2 a 3到基b 1 b 2 b 3的过渡矩阵为
???
?
??---=???? ?????? ??-=-1010104323414323211110011111
P
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第三章 行列式及其应用 §3-1 行列式的定义 一、填空题。 1、行列式a b c d =__ad bc -___;112 2 13141 ---=____-24____. 2、行列式 1 111 1 21 21 2 00 000 a a a a b b c c d d =______0_____. 3、已知行列式1111111 1 11111111 D -= -----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____ 13223144a a a a -____. 二、选择题。 1、方程01 1 0001x x x =的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__. （A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶行列式001 020 00 D n = 的值为__D ___. （A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n n -; （D ）(1)2 (1) !n n n --.
5、行列式312111321111x x x x x --中4 x 的系数为__A____. (A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3. 三、计算下列行列式 1、12 1 10001- 解：33 312 121 10(1)(1)1 11 001 r +--=-按展开 2、 1010120012301234 解：444321010 101 1200 4(1)120 1230 123 1234101 412024 003 r r +--=按c 展开 3、 11321011 23011 002 -- 解：
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
线性代数部分 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m - 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111.
2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2．y x y x x y x y y x y x +++； 3．解方程 00 11 01110111 0=x x x x ； 6. 111...1311...1112... 1 ... ...... 1 1 1 ...(1)b b n b ----
习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4
??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]