第四章 向量组的线性相关性
1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.
解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T .
3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T
=(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .
2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .
解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得
)523(6
1321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T .
3. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;
B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由
????? ?
?-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301 ~r ????? ??------531400251552000751610421301 ~r ????? ?
?-----000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
由
??
??
? ??-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.
4. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;
B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价.
证明 由
???
? ??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B , 知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.
5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明
(1) a 1能由a 2, a 3线性表示;
(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.
(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ;
(2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为
???
? ??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为
0222
00043012||≠=-=B , 所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.
7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？
a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T .
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由
)1)(1(111111||+-=--=a a a a
a a A 知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+
b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.
解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使
λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,
由此得 22
11121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设2
11λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .
9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.
解 不一定.
例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有
a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,
而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.
10.举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1,a2,???,a m是线性相关的,则a1可由a2,???,
a m线性表示.
解设a1=e1=(1, 0, 0,???, 0),a2=a3=???=a m=0,则a1,a2,???,a m线性相关,但a1不能由a2,???,a m线性表示.
(2)若有不全为0的数λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
成立,则a1,a2,???,a m线性相关, b1,b2,???,b m亦线性相关.
解有不全为零的数λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0,
原式可化为
λ1(a1+b1)+???+λm(a m+b m)=0.
取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,???,a m=e m=-b m,其中e1,e2,???,e m 为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,???,a m和b1,b2,???,b m 均线性无关.
(3)若只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
才能成立,则a1,a2,???,a m线性无关, b1,b2,???,b m亦线性无关.
解由于只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
由λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
成立,所以只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+???+λm(a m+b m)=0
成立.因此a1+b1,a2+b2,???,a m+b m线性无关.
取a1=a2=???=a m=0,取b1,???,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,???,a m线性相关.
(4)若a1,a2,???,a m线性相关, b1,b2,???,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m=0,λ1b1+???+λm b m=0
同时成立.
解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,
λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,
λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,
?λ1=λ2=0,与题设矛盾.
11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.
证明由已知条件得
a1=b1-a2,a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,
于是a1 =b1-b2+a3
=b1-b2+b3-a4
=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1,
从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,
这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.
12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成
??
??
? ??????????????????????????=???100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.
13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由
????
? ??-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.
(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).
解 由
??
??
? ??--????? ??------????? ??------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.
14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1)????
? ?
?4820322513454947513253947543173125; 解 因为
????? ?
?482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---????? ??531053103210431731253423~r r r r --????? ??00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2)????? ??---14
011313021512012211. 解 因为
????? ??---1401131302151201221113142~r r r r --????? ??------222001512015120122112343~r r r r +???
??
? ??---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
15. 设向量组
(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T
的秩为2, 求a , b .
解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为
???
? ??----???? ??---???? ??=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a , 而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.
16. 设a 1, a 2, ? ? ?, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,? ? ?, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关. 证法一 记A =(a 1, a 2, ? ? ?, a n ), E =(e 1, e 2,? ? ?, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使
E =AK .
两边取行列式, 得
|E |=|A ||K |.
可见|A|≠0,所以R(A)=n,从而a1,a2,???,a n线性无关.
证法二因为e1,e2,???,e n能由a1,a2,???,a n线性表示,所以
R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n),
而R(e1,e2,???,e n)=n,R(a1,a2,???,a n)≤n,所以R(a1,a2,???,a n)=n,从而a1,a2,???,a n线性无关.
17.设a1,a2,???,a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,???,a n线性无关,而a1,a2,???,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,???,a n线性表示,且表示式是唯一的.
充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,???,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,???,e n能由a1,a2,???,a n线性表示,于是有
n=R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n)≤n,
即R(a1,a2,???,a n)=n,所以a1,a2,???,a n线性无关.
18.设向量组a1,a2,???,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,???,a k-1线性表示.
证明因为a1,a2,???,a m线性相关,所以存在不全为零的
数λ1, λ2, ? ? ?, λm , 使
λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λm a m =0,
而且λ2, λ3,? ? ?, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使
λk ≠0, λk +1=λk +2= ? ? ? =λm =0,
于是
λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk a k =0,
a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk -1a k -1),
即a k 能由a 1, a 2, ? ? ?, a k -1线性表示.
19. 设向量组B : b 1, ? ? ?, b r 能由向量组A : a 1, ? ? ?, a s 线性表示为
(b 1, ? ? ?, b r )=(a 1, ? ? ?, a s )K , 其中K 为s ?r 矩阵, 且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明 令B =(b 1, ? ? ?, b r ), A =(a 1, ? ? ?, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.
由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有
r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .
因此R (K )=r .
充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使??
? ??=O E KC r
为K 的标准形. 于是
(b 1, ? ? ?, b r )C =( a 1, ? ? ?, a s )KC =(a 1, ? ? ?, a r ).
因为C 可逆, 所以R (b 1, ? ? ?, b r )=R (a 1, ? ? ?, a r )=r , 从而b 1, ? ? ?, b r 线性无关.
20. 设
?????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1
321312321 n n n n ααααβαααβαααβ,
证明向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价. 证明 将已知关系写成
??
???
? ????????????????????????????????=???0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为
0)1()1(0
111101*********||1≠--=???????????????????????????=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价.
21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.
(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为
AP =A (x , A x , A 2x )
=(A x , A 2x , A 3x )
=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )
???
? ??-=110301000) , ,(2x x x A A , 所以???
? ??-=110301000B . (2)求|A |.
解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.
22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:
(1)?????=-++=-++=++-0
2683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得
???+=-=4
3231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .
因此方程组的基础解系为
ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .
(2)?????=-++=-++=+--0
3678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得
???+-=+-=4
32431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .
因此方程组的基础解系为
ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .
(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ? ? ? +2x n -1+x n =0.
解 原方程组即为
x n =-nx 1-(n -1)x 2- ? ? ? -2x n -1.
取x 1=1, x 2=x 3= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-n ;
取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ? ? ? ;
取x n -1=1, x 1=x 2= ? ? ? =x n -2=0, 得x n =-2.
因此方程组的基础解系为
ξ1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0, -n )T ,
ξ2=(0, 1, 0, ? ? ?, 0, -n +1)T ,
? ? ?,
ξn -1=(0, 0, 0, ? ? ?, 1, -2)T .
23. 设??
? ??--=82593122A , 求一个4?2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.
解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为
??? ??---??? ??--=8/118/5108/18/101 82593122~r
A , 所以与方程组A
B =0同解方程组为
???+=-=4
32431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .
方程组AB =0的基础解系为
ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .
因此所求矩阵为????
? ??-=800811511B .
24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .
解 显然原方程组的通解为
????? ??+????
? ??=????? ??01233210214321k k x x x x , 即?????=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得
???=+-=+-0230324
31421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.
25. 设四元齐次线性方程组
I : ???=-=+004221x x x x , II : ???=+-=+-004
32321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.
解 (1)由方程I 得???=-=4
241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .
因此方程I 的基础解系为
ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .
由方程II 得???-=-=4
3241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .
因此方程II 的基础解系为
ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .
(2) I 与II 的公共解就是方程
III : ?????=+-=+-=-=+00004
323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵
??
??
? ??--????? ??---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为
?????==-=4
342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .
因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .
26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明
R (A )+R (A -E )=n .
证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知
R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,
由此R (A )+R (A -E )=n .
27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明
?????-≤-===2
)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有
|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,
所以R (A *)=n .
当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有
AA *=|A |E =0,
即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.
当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.
28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:
(1)?????=+++=+++=+3
223512254321432121x x x x x x x x x x ;
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为
?????=+=--=2
13 8
43231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为
?????==-=0
4323
1x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .
(2)?????-=+++-=-++=-+-6
242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??---???? ??-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为
???--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(4
32431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解
η=(1, -2, 0, 0)T .
与对应的齐次方程组同解的方程为
???-=+-=4
32431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系
ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .
29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且
η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,
求该方程组的通解.
解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得
2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T
为其基础解系向量, 故此方程组的通解:
x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).
30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1,
4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时
(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
1. Children need many things, but ___they need attention. in all for all above all after all 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： in all 标准答案： above all 2. Many people believe we are heading for environmental disaster ___ we radically change way we live. but although unless lest 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： but 标准答案： unless 3. He glanced over at her, ______ that though she was tiny, she seemed very well put together. noting noted to note having noted 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0
用户解答： noting 标准答案： noting 4. Even though he has lived in China for many years, Mark still can not _______ himself to the Chinese customs. adopt adjust adapt accept 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： adopt 标准答案： adapt 5. Sometimes you may even find several children share one patched paper, which has traveled from one hand to ____ driven by the curious nature. the others some others another others 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： the others 标准答案： another 6. ____ hard I tried, I couldn’t catch up with him. No matter how much Although No matter how
第四章 线性方程组 1．线性方程组的基本概念 (1)线性方程组的一般形式为： 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0). 即[] n a a ,,a 21ΛΛ??? ?? ? ??????n x x x M 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a ΛΛ 如下 ????????????= 121111m a a a M α ，????????????=222122m a a a M α，………，????????????=mn n n n a a a M 21α, ? ? ??? ???????=m b b b M 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21ΛΛ线性表示。 矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0). ? ? ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ M O M M Λ Λ 2 122221 11211 ，????????????=n x x x X M 2 1 ???? ? ???????=m b b b M 21β 其中A 为m n ?矩阵，则： ① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。 矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21ΛΛ，β），称矩阵A 为方 程组的增广矩阵。 2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合 c 1η1+ c 2η2+? + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。 性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线 性方程组的一个解。 3.线性方程组解的情况的判别 （1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ). 若有非零解? r(A ) 第五章 线性空间 一、内容提要 ⒈ 线性空间 定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭, 且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间. 线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量. 设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成 数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标 定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ． 注 向量组12,, ,n ααα是V 的一组基?12,, ,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V 中的任一向量α可由12,, ,n ααα线性表示. 向量组12,, ,s ααα生成的空间L (12,, ,s ααα)的一组基就是12,, ,s ααα的一个极大无 关组, 其维数就是向量组12,, ,s ααα的秩. 定义3 设12,, ,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若 1122n n x x x αααα=++ + 则称数12,, ,n x x x 为向量α 在基12,, ,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x . 向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式. 定义4 设12,, ,n ααα和12,, ,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且 （12,, ,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1) 称C 为由基12,,,n ααα到基12,, ,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到 基12,, ,n βββ的基变换公式． 定理1 设12,,,n ααα和12,, ,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,n ααα到基12,, ,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ?)( ,即 线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ； 第四章 二 次 型 练习4、1 1、写出下列二次型的矩阵 （1）),,(321x x x f =32312 221242x x x x x x -+-； （2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。 解：（1）因为 ),,(321x x x f =),,(321x x x ????? ??---01211020 2??? ?? ??321x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：??? ? ? ??---01211020 2。 （2）因为 ),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ?? ? ?? ?? ??010********* 1110 ?????? ? ??4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：?? ? ? ? ? ? ? ?010********* 1110。 2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： （1）??? ??? ?? ??--- - 22 2 12021 212 11； （2）?????????? ? ??---1212102102112121 12101210。 解：（1）设T 321),,(x x x X =，则 ),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ?????? ? ? ?? --- - 22 2 12021212 11????? ??321x x x =3231212 32142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T 4321),,,(x x x x X =，则 ),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ????????? ? ? ? ?---121210 210211************??????? ??4321x x x x =43423231212 4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。 练习4、2 1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。 （1）),,(321x x x f =32212 221442x x x x x x --+； （2）),,(321x x x f =322122x x x x -； （3）),,(321x x x f =32212 322214432x x x x x x x --++。 总结§4.1—§4.3 一、线性表示 1. 向量β可由向量组m ααα ,,21线性表示 ?存在数m k k k ,,,21 使得，m m k k k αααβ ++=2211 ?方程组βααα=++m m x x x 2211有解（即是β=Ax 有解） ? ()=m R ααα ,,21()βααα,,,21m R （即是()()β,A R A R =） 2. 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()=m R ααα ,,21 ()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()(),R A R A B =） 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()12,,l R βββ≤ ()12,,m R ααα （即是()()R B R A ≤） 3. 向量组m ααα ,,21与向量组12,,l βββ 等价?()=m R ααα ,,21 ()12,,l R βββ =()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()()(),R A R B R A B ==） 二、线性相关与线性无关 1. 向量组m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得， .02211=++m m k k k ααα ?方程组02211=++m m x x x ααα 有非零解. ?0=Ax 有非零解. ?()m R m <ααα ,,21 ?()m A R < 其中()m A ααα ,,21= 2. 向量组m ααα ,,21线性无关?如果,02211=++m m k k k ααα 则有 .021====m k k k ?方程组02211=++m m x x x ααα 只有零解 ?0=Ax 只有零解 ?()m R m =ααα ,,21 ?()m A R = 其中()m A ααα ,,21= 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -= 兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 线性代数练习册第四章习题及答案 ： 篇一：线代第四章习题解答 第四章空间与向量运算 习题4.1 4-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离． 解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0) (2) AB? ?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上 C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v． 解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c 4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解： 设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。 4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u 上的投影． ? 解：. p rju ?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r 。 3 ＝23 2 4-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z ） p rjx AB?(2?x0)?4 p rjy AB?(?1? y)??4 p rjz AB?(7?z0)?7 解得： x ??2y?3z0?0 4-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位 第四章复习题答案 一、选择题 1、向量组ααα１２３，，线性无关的充要条件为（ C ） A 、ααα１ ２３，，均不是零向量 B 、ααα１ ２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１ ２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关 解析：（1）线性相关?至少一个向量能由其余两个向量线性表出 （2）线性无关?任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ） A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关 C 、Ａ的两行元素成比例 D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ） A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0 B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关 C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关 D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0 4、设12,s ααα 均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα 线性相关 B 、若向量组12,s ααα 线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示 C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠ k ，则向量组12,s ααα 线性无关 D 、若向量组12,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示 解析：（1）线性相关?至少一有个向量能由其余两个向量线性表出 不是任意 二、填空 1、设12311112010ααα===T T T （，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22 ()33 a a ≠= 2、设Ａ为35?的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2 3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，， 则四阶行列式12312αααββ+= ，，，（）m n + 4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。 5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b = 三、判断 1、若向量组123,,n αααα 线性相关，则1α可有23n ααα ，线性表示。 （ × ） 2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。 （ √ ） 3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。 （ × ） 4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关 （ √ ） 5、向量组12,,m ααα 线性相关，则向量组12,,,m αααβ 也线性相关。 （√ ） 6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示 （√ ） 7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的 （√ ） 8、若12,ξξ为齐次线性方程组 0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解 （√ ） 三、计算及证明 1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。 解：设12345(,,,,)A ααααα= 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 兰州大学网络教育英语作业及答案3 一单选题 1. The result of competition will ________ entirely _________ the opinions of the judges declare...for depend...on adapt...to arrive...at 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： depend...on 标准答案： depend...on 2. Though the long term ____________ cannot be predicted, the project has been approved by the committee. affect effort effect afford 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： effect 标准答案： effect 3. ___________ being used in industry, laser can be applied to operations in the hospital. Except for In addition to Out of In spite of 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：In addition to 标准答案：In addition to 4. We desire that the tour leader ____________ us at once of any change in plans. inform informs informed has informed 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：inform 标准答案：inform 5. This is a group of six boys ________ 14 to 17. aged aging ages age 本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答： aging 标准答案：aged 6. It is generally believed that reaching is ___ it is a science an art much as 兰州大学网络教育英语作业 1. You can take ______ seat you like. no matter what no matter which what whichever 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： whichever 标准答案： whichever 2. Our talk was completely ________out by the roar of the machines. As a result, we had to communicate with gestures. decreased reduced smashed drowned 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： drowned 标准答案： drowned 3. Meeting my uncle after all these years was an unforgettable moment, ___ I will always treasure. that one it what 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： one 标准答案： one 4. Snap judgments, if ________, have usually been considered signs of immaturity or lack of common sense. taking seriously taken seriously take seriously to be taken seriously 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： taken seriously 标准答案： taken seriously 5. He was punished ________ he should make the same mistake again. unless if provided lest 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： lest 标准答案： lest 6. Have you ever noticed that Jack always ________ a picture of quiet self-worth? impresses focuses projects communicates 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 21332123 11542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 201 3514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)???? ??123)321(; 解 ??? ? ??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10). 第四章 （×）1．若向量组123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表示. （√）2．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. （×）3．若向量组123,,ααα线性相关，则1α可由23,αα线性表示. （√）4．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. 5.若齐次线性方程组0AX = 只有零解，则A 的列向量组线性无关. 6．等价的向量组具有相同的秩. （ ） 设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同． （ ） 4．非零向量组的最大无关组存在且唯一． （ ） 5．对于任意参数123,,m m m ，向量组11100m α?? ? ?= ? ???，22102m α?? ? ?= ? ???，3 3123m α?? ? ?= ? ??? 总是线性 无关． （ ） 6. 设V =({)}1,,,,,,212121=+++∈=n n T n x x x R x x x x x x x 满足， 则V 是向量空间. （ ） 7.设21,V V 分别为向量组A ,B 生成的向量空间，且向量组A ,B 等价,则21V V =． 8.若存在一组数120m k k k ==== ，使得 11220m m k k k ααα+++= 成立，则向量组12,,,m ααα （ ） .A 线性相关 .B 线性无关 .C 可能线性相关，也可能线性无关 .D 部分线性相关 9．已知43?的矩阵A 的行向量组线性无关，则=')(A R （ ） .A 1； .B 2； .C 4； .D 3. 10．向量组12,,,m a a a （2m ≥）线性相关，则 （ ） .A 12,,,m a a a 中每一个向量均可由其余向量线性表示； .B 12,,,m a a a 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； .C 12,,,m a a a 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同； 2000年兰州大学考研高等数学（地学类）答案详解 一、填空题 1.βα2 1 + （考查点：求极限。本题直接去掉括号求和做出，也可利用定积分求极限。 ） 2.0c a 3b -2 =+（考查点：拐点，切线。） 3.C t -1ln -t 2-t 2+）（（考查点：代换积分。） 4.π8（考查点：求体积。可利用二重积分求曲顶体积，也可旋转体体积来求体积。） 5.???? ? ? ??12 122 3（考查点：矩阵运算。记住分块矩阵的求逆方法。 ） 二、判断题 1.×（考查点：积分求原函数。注意α取值限制。） 本题α=-1时是无意义的。 2.√（考查点：多元函数的连续性与偏导数存在性的判定。） 3.×（考查点：曲线积分。掌握格林公式条件及用法。） 4.√（考查点：无穷级数。掌握绝对收敛和条件收敛） 5.×（考查点：线性相关、无关的判定。本题可将条件并起来，用行列式的秩来判断。） 考点总结： 三、解下列各题 1.构造辅助函数（考查点：柯西中值定理、拉格朗日中值定理。） 2.33（考查点：求函数极值。） 3. 2 1 （考查点：利用反常积分求平面面积。） 4.平行（考查点：空间平面直线关系。曲线法平面求法，平面与直线的关系。） 四、1-x 2e 1-y y =+ （考查点：一元积分的应用求面积、平面曲线的弧长，求微分方程。） 五、1)(,122)(Q 24-=+-=x x P x x x （考查点：求代数多项式。） 六、)11(),1()1()1(1 1 111≤<-+--+-∑∑∞=+-∞ =-x x x n x n n n n n n n （考查点：函数展开成幂级数及收敛域。 ） 七、 π4 2 3（考查点：多元函数应用求曲面面积。 ） 八、当2 1 = λ时，无解；当121≠≠λλ且时只有零解；当1=λ时，有无穷多解，解为： ()())(1,1-0k 1,0,1为任意常数，，k +（考查点：齐次线性方程的解。）线性代数学习指导第四章线性空间
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