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微分几何答案(第二章)

第二章曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r

=}0,cos cos ,sin cos {????a a -

任意点的切平面方程为00

cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------?

?????

?a a a a a a z a y a x

即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；

法线方程为

????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22

221x y a b

+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有

一个切平面。

解椭圆柱面22

221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,

}0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r

。所以切平面方程为：

0cos sin sin cos =----????b a t

z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

5．证明曲面},,{3

uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

证 },0,1{23v

u a r u -= ，},1,0{23uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv

v y u x 。

与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv a 2

3)。于是，四面体的体积为：

9||3||3||361a uv a v u V ==是常数。

§２曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.

解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==

222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=?=

∴ I = +++2222)4(du v b a 22

22222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。

２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12

==u r E ，0=?=v u r r F

，

222b u r G v +==

，∴ I =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为I =2

22sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。解由条件=2

ds 2

sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2

ds 得

=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的弧长

为|sinh sinh ||cosh |

122

v v vdv v v -=?

。

4．设曲面的第一基本形式为I = 2

)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。

分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，2

2a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，0=v F ，2

a G =。

曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?，则有

cos ?=

222211a a v

G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。 5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.

解曲面的向量表示为r ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r ={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r ={x , 0y ,ax 0y }，其切向量x r

={1，

0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为?，则有cos ? = 20

22020

0211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=?

6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.

解对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有

Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的

微分方程为E δu + F δv = 0 .

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .

7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2

dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.

证明因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠0，则所给二次方程可写成为P 2)(dv du + 2Q dv

+ R=0 ,设其二根

dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ，dv du +v

δδ=P Q 2-……①又根据二方向垂直的条件知

E dv du v u δδ + F(dv du +v

u δδ)+ G = 0 ……② 将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .

8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2

du =G 2

dv .

证用分别用δ、*

δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*

δu ＝０，*

δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,

根据题设条件,又交角公式得

22222)()(ds

v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 2

2)()(+=+。展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv ,而EG-2F >0，消去EG-2

F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2

du =G 2

dv .

9．设曲面的第一基本形式为

I =

2222)(dv a u du ++，求曲面上三条曲线u = a ±v, v =1

相交所成的三角形的面积。

解三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城

的三角形的面积是

????+++--1

u a

u dv du a u dv du a u

+10

u a

dv du a u =2du

a u a u

?+-0

22)1(

a u u a a u u a u a

02222223

22|)]ln()(32[++++++- =)]21ln(3

++-a 。 10．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 的面积。

解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r

=}0,cos cos ,sin cos {????a a -

E =2?r =2a ,F=?r ?r

= 0 , G = 2

?r =?22cos a .球面的面积为：

S =

222

220

2422

4|sin 2cos 2cos a a d a d a d π?π??π???π

ππ

ππππ===-

-??

11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r ={tcos ?,tsin ?,12-t } (t>1, 0

分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射? = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.

证明螺面的第一基本形式为I=22

du +2 dudv+(2

u +1)2

dv , 旋转曲面的第一基本形式为

I=?d t dt t t 222

1(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换? =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:

222

222)11)(1(1)11(2dv du u

u du u u u u +++++++ =2222

222)1(211)11(dv u dudv du u

du u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2

dv = I .

所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ? =arctgu + v , t =12+u .

§3曲面的第二基本形式

1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r

={-coshusinv,coshucosv,0}

uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r

={-sinhusinv,sinhucosv,0},

vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F

?==0,2v r G ==cosh 2u.

所以I = cosh 2

2du + cosh 2u 2dv .

n =

F E

G r r v u -? =

}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1

v u v u v u u

--, L=11

sinh cosh 2

-=+-

u , M=0, N=

sinh cosh 2

+u =1 .

所以II = -2

du +2

dv 。

2. 计算抛物面在原点的2

2212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.

解曲面的向量表示为}22

,{22212121x x x x x x r ++=

, }0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r

, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r

, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,

I=2

1dx dx +, II=2

2212

1245dx dx dx dx ++.

3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

，uu r ={0,0,0},

uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F

，

222b u r G v +==

， L= 0, M =

u b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .

4. 求出抛物面)(2

22by ax z +=

在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y

,},0,0{a r xx = ,}0,0,0{=xy r

},0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2

222dy

dx bdy adx k n ++=. 5. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0

解设平面π与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d -,即(C)的曲率为

11d k -=

,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±

21d -,所以(C)的法曲

率为n k k

=±21d -=±1 .

6. 利用法曲率公式I

k n =,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv

Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1222222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类

基本量成比例。

7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}，

},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}，

),,(F

EG r r r uu v u - =0, N=

),,(F

EG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。而u 族曲线是

直线，v 族曲线是螺旋线。

8. 求曲面2

xy z =的渐近线.

解曲面的向量表示为},,{2

xy y x r = ,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r

22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===?=++===

. 4

224

22412,412,0y

y x x N y

y x y M L ++=

++=

渐近线的微分方程为2

2Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242

=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即

1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==.

9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

证在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.

方法二：任取曲线:()r r s Γ=，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+，

()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+，t ρβ=，(1)s t t t ρρκακγ?=-+-

在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ?=,曲面的单位法向量s n EG γ=

=-，即n γ=，所以

曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线.

10. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.

证曲面的向量表示为 r ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。

},0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y

.''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ===

因为0xy r r M r EG ?=?=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭

网。

11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线.

解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}

，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F ，2

22b u r G v +==

， L=0,

u b +- , N=0,曲率线的微分方程为:

012

2222

2=+-+-b u b b u du dudv dv ,即du b

u dv 2

1+±=,积分得两族曲率线方程:

222122)ln()ln(c u b u v c b u u v +-+=+++=和.

12.求双曲面z=axy 上的曲率线.

解 ,1,0,1,,12

a x a a M L x a G y x a F y a E ++=

=+==+=N=0 .

由0

112

222

a x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0得222222)1()1(dy x a dx y a +=+,积分得

两族曲率线为c y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2

13.求曲面}2

),(2),

(2{uv

v u b v u a r +-=

上的曲率线的方程. 解 ,0,4,4,422222222=++=++-=++=

L u b a G uv b a F v b a E M=

2F EG ab

-,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:

积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++:

c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 .

14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证

L 是一平面曲线.

证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d n κ-=,又沿L 有γ ?n

=常数,求微商

得正交与而γγγ r d n d n n n ////,0=?+?,所以0=?n γ,即-τβ ·n =0,则有τ=0,或

·n

=0 .

若τ=0, 则L 是平面曲线；若β ·n

=0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n κ=0 ，这时

d n =0

，n 为常向量，而当L 是渐近线时，γ =±n ，所以γ

为常向量，L 是一平面曲线.

证法二：若γ

⊥n ，则因n ⊥dr ‖α ，所以n ‖β ，所以d n

‖β，由伏雷

内公式知d n ‖（κατβ-+）而L 是曲率线，所以沿L 有d n

‖α，所以有τ=0,从而曲线为平面曲线；

若γ 不垂直于n ，则有γ ?n

=常数,求微商得0,n n γγ?+?=因为L 是曲率线，所

以沿L 有dn ‖dr ⊥γ

，所以0n γ?=，所以0=?n γ，即-τβ ·n =0 ，若τ=0，则问题得

证；否则β

·n =0 ，则因0n α?=，有n ‖γ

，dn ‖d γ‖（-τβ ）‖α ，矛盾。

15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。

证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。

16．求正螺面的主曲率。

解设正螺面的向量表示为r ={u v cos ,u v sin ,bv}.

解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

，uu r ={0,0,0}，

vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F

，222b u r G v +==

， L= 0, M =

u b +- , N = 0,代入主曲率公式

（EG-2

F ）2N

κ-（LG-2FM+EN ）N κ+ LN-2

M = 0 得2N

κ=2

222

)

(a u a +。所以主曲率为 2

22221,a

u a

a u a +-=+=

κκ 。 17．确定抛物面z=a(2

y x +)在（0，0）点的主曲率.

解曲面方程即{0,0,2}yy r a =，22

{,,()}r x y a x y =+，{1,0,2}x r ax ={0,1,2}y r ay =，

{0,0,2}xx r a =，{0,0,0},xy r ={0,0,2}yy r a = 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,

N=2a .所以2

N κ-4a N κ+42

a =0 ，两主曲率分别为 1κ = 2 a , 2κ= 2 a .

18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.

证曲面上的给定点处两主曲率分别为1κ 、2κ，任给一方向?及与其正交的方向?+2

，

则这两方向的法曲率分别为?κ?κ?κ2

221sin cos )(+=n ，

?κ?κπ?κπ?κπ?κ22212221cos sin )2(sin )2(cos )2(+=+++=+n ，即 +)(?κn 21)2

(κκπ?κ+=+n 为常数。

19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.

证由?κ?κκ2

221sin cos +=n 得 2

2κκ?-

=tg ,即渐进方向为 211κκ?-

=arctg ,2?=-21κκ-arctg .又-2?+1?=21? 为常数,所以为1?为常数,即2

1κκ

为常数.

20. 求证正螺面的平均曲率为零. 证由第3题或第16题可知.

21. 求双曲面z=axy 在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=

(222

=-+-F EG NE

FM LG , K =2

EG M LN --=-2

a . 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.

证法一：由H=

1κκ+=0有1κ=2κ=0或1κ=-2

κ≠

0 .

若1κ=2κ=0,则沿任意方向?,?κ?κ?κ2

221sin cos )(+=n =0 ,即对于任意的du:dv ,

0222

2=++++==Gdv

Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若1κ=-2

κ≠

0,则K=1κ2κ<0 ,即LN-M 2

<0,对应的点为双曲点.

证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ，

所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若2

LN M -=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若2

LN M -< 0,则曲面上的点是双曲点。

23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.

证法一：如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点. 若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网. 若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向?满足2

2κκ?-

=tg =1, 即1?=π/4,2?=- π/4, 两渐近线的夹角为2

π,即渐近曲线网构成正交网.

证法二：020H LG FM NE =∴-+=渐近线方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++=

所以2(

)20du du L M N dv dv ++=，所以2,du u N du u M

dv v L dv v L

δδδδ=+=-

，所以

()[()]du u du u

Edu u F du v dv u Gdv v dv v E

F G dv v dv v

δδδδδδδδδ+++=+++ =2[()]0N M

dv v E

F G L L

δ+-+= ，所以渐近网为正交网。证法三：0

M ≠121

()02

H κκ=+= ，所以高斯曲率

120K κκ=≤ ，所以

2LN M -≤0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两

族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若

0M ≠ ，则020H LG FM NE =∴-+= ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为

正交网。

24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,)()(2

a b a z b x =+-,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 r

={(b+acos ?)cos ? , (b+acos ?)sin ? , asin ?},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。

解 E =2

a , F= 0 , G=2

)cos (?a b +, L = a, M = 0, N = cos ?(b+acos ?), LN -2

M =a cos ?(b+acos ?) , 由于b > a > 0 , b+acos ? > 0,所以LN -2

M 的符号与cos ?

的符号一致,当0≤?<2π

和

3π

M >0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外

侧的点为椭圆点；当-2π

3π

，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当

?=2π或 2

3π

时，LN -2M =0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。

25．若曲面的第一基本形式表示为))(,(2

dv du v u I +=λ的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ??=

上存在等温网。

证旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ??=

的第一基本形式为

))((2

2'2'2

?d dt g

f g t g I ++= ，做参数变换dt g f g u ?+=2'2'，v=?,则在新参数下，),)](([222dv du u t g I +=为等温网。

26．两个曲面1S 、2S 交于一条曲线（C ），而且（C ）是1S 的一条曲率线，则（C ）也是

2S 的一条曲率线的充要条件为1S 、2S 沿着（C ）相交成固定角。

证两个曲面1S 、2S 交于曲线（C ），1n 、2n

分别为1S 、2S 的法向量，则沿交线（C ），

1n 与2n 成固定角的充要条件为1n ·2n =常数，这等价于d(1n ·2n

)=0,即

d 1n ·2n +1n ·d 2n =0 ,而（C ）是1S 的一条曲率线，因此d 1n

与（C ）的切向量d r 共线，则与

2n 正交，即d 1n ·2n =0，于是1n ·d 2n =0，又d 2n ⊥2n ，所以1n · d 2n = d 1n ·2n =0的充

要条件为d 2n

// d r ，即（C ）是2S 的曲率线。

27．证明在曲面(S)上的一个双曲点P 处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P 的挠率是K -,另一条在点P 的挠率是-K -，其中K 是(S)在P 点的高斯曲率。

证曲面在双曲点P 处，有两条渐近线过点P ，沿渐近线有n =±γ

，且II=0，于是有d n =±d γ

.则KI KI HII III d n d -=-===22

2γ

，即,22Kds d -=γ

或

K ds

d -=2

)(γ ，所以有K K -±=-==-ττβτ,)(22 。 28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。

证设给出的曲面(S): r =r (u,v)上的点r (u,v)与(u,v)∈D 内的点一一对应，其球面像上的点为n =n (u,v),由于)(v u v u r r k n n ?=?,所以||||v u v u r r k n n

?=?=

2||F EG M LN -- ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M

≠

0,则v

u n n

?≠

0 。

说明球面像上的点n

(u,v)与区域D 内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。

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第四版微分几何第二章课后习题答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面 r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv 0｝＋u {0 cos v , sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={ 0u v cos , 0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面 r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,2 v } 表示过点{ a v , b 0v ,0}以{a,b,2 v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （ u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,2 u } 表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面 r =} sin ,sin cos ,sin cos {a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面222 2 1x y a b 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 222 2 1x y a b 的参数方程为x = cos , y = asin , z = t , } 0,cos ,sin {b a r , } 1,0,0{t r 。所以切平面方程为： 1 0cos sin sin cos b a t z b y a x ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面} , ,{3 uv a v u r 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 } , 0,1{23 v u a r u ，} , 1,0{2 3uv a r v 。切平面方程为： 3 3 z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V 是常数。

微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何主要习题解答第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

微分几何习题解答曲线论

第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r × 'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0 ，由上题知) (t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ，则存在数量函数)(t 、)(t ，使''r = r r + 'r ① 令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×

第四版微分几何第二章课后习题答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。

微分几何第二章矩阵和坐标变换

二、矩阵和坐标变换 2.1 矩阵及矩阵的运算由m n ?个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。如1111 n m m n a a A a a ?? ? = ? ??? ,其中ij a 称为矩阵元素。若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B = 。矩阵的加(减)法两个矩阵A 、B ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵C ,则称为A 与B 之和（差），记为C A B =± 。矩阵加法适合交换律：A B B A +=+ 矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++ 数乘矩阵用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A 之积，记为A λ 或A λ 。数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ= 数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+ 矩阵乘法两个矩阵A 、B ，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和。即 11221 n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++= ∑ 注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。矩阵乘法适合结合律：()()A B C A B C = 矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+ 矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠

2.2坐标变换空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。 2.2.1底失的变换给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ??'''''=? ? ，其中σ称为旧坐标系， σ'称为新坐标系。下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 看成在旧坐标系σ里的一个径失。则新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 在旧坐标系σ里的表达式可写成： 111112213322112222333 311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ?'=++??'=++??'=++?? 这就是σ变换到σ'的底失变换公式。反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。 111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ? '''=++? ?'''=++??'''=++? ? 由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵： 11121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ??? A 表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为： 1 111112132212223223132 33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ??' ???? ???? ??? ????'== ??????? ??????'??????? ?? 2.2.2矢量的坐标变换设一矢量r 在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则： 123r xe ye ze =++ 又 123 r x e y e z e ''''''=++

微分几何第四版习题答案梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条

微分几何陈维桓习题答案

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数），其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ，其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。证明易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -，而1sin cos dv ds a u θθ ==，故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-，并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。证明设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[]

第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么 )('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=2 2'e e - -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠ 0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 令n =r ×'r ，则n ≠ 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。 §3 曲线的概念 1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。解令t cos =1,t sin =0, t =0 得 t =0, 'r (0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1 101z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

微分几何陈维桓新编习题答案

习题答案 2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，2 22u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3) 因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知

微分几何第四版答案

微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间 1.1 向量空间 1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论 2.1 曲线的概念 2.2 平面曲线 2.3 E的曲线 2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论 3.1 曲面的概念 3.2 曲面的第一基本形式 3.3 曲面的第二基本形式 3.4 法曲率与weingarten变换 3.5 主曲率与Gauss曲率 3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理 4.1 活动标架 4.2 自然标架的运动方程 4.3 曲面的结构方程 4.4 曲面的存在惟一性定理 4.5 正交活动标架 4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学 5.1 曲面的等距变换 5.2 曲面的协变微分 5.3 测地曲率与测地线 5.4 测地坐标系 5.5 Gauss-Bonnet公式 5.6 曲面的Laplace算子 5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质 6.1 平面的闭曲线 6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质 7.1 曲面的整体描述 7.2 整体的Gauss-Bonnet公式 7.3 紧致曲面的Gauss映射 7.4 凸曲面 7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面

8.1 常正Gauss曲率曲面 8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理 8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面 9.1 Hopf微分与Hopf定理 9.2 Alexsandrov惟一性定理 9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面 10.1 极小图 10.2 极小曲面的weierstrass表示 10.3 极小曲面的Gauss映射 10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?=0． 3．已知{}4 2 r()d =1,2,3t t -? ，{}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 ()()a r t dt+b a r t dt=???{}3,9,5-. 452 6.贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___ 7.曲率恒等于零的曲线是_________________. 8. 9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_______________. 19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d)与u －曲线的夹角. 21.曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

微分几何第四版习题答案梅向明,DOC

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}的坐标曲线. 解u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0}=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv}为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证u-曲线为r ={a （u+0v ）,b （u-0v ）,2u 0v }={a 0v ,b 0v ,0}+u{a,b,20v }表示过点{a 0v ,b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）,b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u ,b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u ,b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a --，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即xcos ?cos ?+ycos ?sin ?+zsin ?-a=0；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 22 22 1x y a b +=的参数方程为

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。 ⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线 ⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ 确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。 ⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。 ⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ=_ -2_____。 ⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。 ⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分） 11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。 A 、直线 B 、平面曲线 C 、球面曲线 D 、圆柱螺线 12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。 A 、2r r k r '''?= ' B 、3r r k r '''?=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''? 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。 A 、0> B 、0< C 、0≤ D 、0≥

第二章曲线的局部微分几何.

第二章曲线的局部微分几何中心问题：如何确定和使用E3中的曲线的局部理论基本框架．所使用的方法和观点是具有一般性的．具体步骤：首先按照刻划曲线特征的要求而给定相关的基本概念；进一步利用标架的运动公式而给定曲线局部的完全不变量系统；再考虑如何利用一般理论去处理一些具体的几何对象．本章所接触到的对象通常具有较为明显的几何直观；因此，应该注意逐步学会在几何现象与其解析表达之间进行熟练转换，并且注意培养利用几何直观的启示进行严密解析化论证和推导的能力． §1参数化曲线与曲线的参数表示在日常的活动当中，被人们称之为“曲线”的东西不枚胜举．兼有直观和抽象两种属性的一种描述，借用物理学的语言，是将“曲线”视为一个质点在一个时间段内随着时刻的变化而进行位移所形成的轨迹．将这种看法进一步抽象化，便导致数学上对于曲线的一种适当的定义．一．E3中参数化曲线的定义在E3中Descartes直角坐标系O-xyz下，取单位正交向量i,j,k为基向量．给定三个函数x(t), y(t), z(t)∈C k((a, b)) ，作向量值函数 r: (a, b)→E3 t→r(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)k= (x(t), y(t), z(t)) ，则其位置向量终点全体C= {(x(t), y(t), z(t))∈E3∣t∈(a, b)} 称为E3中的一条C k类参数化曲线，简称参数曲线，并将t称为C的参数；C可用其向量形式的参数方程表示为r = r(t) , t∈(a, b) ，或写为分量形式的参数方程x=x(t) y=y(t) , t∈(a, b) ． z=z(t) 参数曲线C上对应于参数值t的点是指向径r(t) =OP(t) 的终点P(t) ，即空间中的点 (x(t), y(t), z(t))∈E3，表示为实点P(t)或向量值r(t) 或参数值t．C0类参数曲线也称为连续曲线，C∞类参数曲线也称为光滑曲线．由于本课程之中微积分工具使用的广泛性，为简便起见，以后不声明时在局部总考虑 C3类参数曲线，并简称为曲线．

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