第二章 曲面论
§1曲面的概念
1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.
解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;
v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r
=}0,cos cos ,sin cos {????a a -
任意点的切平面方程为00
cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------?
??
?????
?????
?a a a a a a z a y a x
即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为
?
?
????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22
221x y a b
+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有
一个切平面 。
解 椭圆柱面22
221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,
}0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r
。所以切平面方程为：
01
0cos sin sin cos =----????b a t
z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
5．证明曲面},,{3
uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证 },0,1{23v u a r u -= ，},1,0{23uv
a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv
v y u x 。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv a 2
3)。于是，四面体的体积为：
3
32
9||3||3||361a uv a v u V ==是常数。
§２ 曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.
解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==
2
222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=?=
,
∴ I = +++2
2
2
2
)4(du v b a 22
2
2
2
2
2
)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。
２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解
},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12==u r E
，0=?=v u r r F ，
222b u r G v +==
，∴ I =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =2
2
2
sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。 解 由条件=2
ds 2
2
2
sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2
ds 得
=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的弧长
为|sinh sinh ||cosh |
122
1
v v vdv v v -=?
。
4．设曲面的第一基本形式为I = 2
2
2
2
)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，2
2a u G +=，曲线u
+ v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，
0=v F ，2a G =。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?，则有
cos ?=
22
222211a a v
G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。 5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.
解 曲面的向量表示为r ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r ={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r ={x , 0y ,ax 0y }，其切向量x r
={1，0，a 0y }，设两曲线x = x
与y =0y 的夹角为
?，则有cos ? =
20
22020
0211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=? 6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .
7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2
du + 2Q dudv + R 2
dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠
0，则所给二次方程可写成为P 2
)(
dv
du + 2Q
dv du + R=0 ,设其二根dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ，dv du +v u
δδ=P
Q 2-……①又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ + F(dv du +v
u
δδ)+ G = 0 ……②
将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2
du =G 2
dv .
证 用分别用δ、*
δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*
δu ＝０，*
δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,
根据题设条件,又交角公式得
2
22222)()(ds
v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 2
2)()(+=+。
展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2
dv ,而EG-2F >0，消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2
du =G 2
dv .
9．设曲面的第一基本形式为
I =
2222)(dv a u du ++，求曲面上三条曲线u = a ±v, v
=1相交所成的三角形的面积。
解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是
S=
????+++--1
2
2
1
2
2
a
u a
a
a
u dv du a u dv du a u
=2
??
+10
2
2
a
u a
dv du a u =2du a u a u
a
?+-0
22)1(
=a
a u u a a u u a u a
02222223
22|)]ln()(32[++++++- =)]21ln(3
2
2[
2
++-a 。 10．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 的面积。
解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r
=}0,cos cos ,sin cos {????a a -
E =2?r =2a ,F=?r ?r
= 0 , G = 2
?r =?22cos a .球面的面积为：
S =
222
222
220
2422
4|sin 2cos 2cos a a d a d a d π?π??π???π
ππ
ππππ===-
-
-??
?.
11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r ={tcos ?,tsin ?,12-t } (t>1, 0
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射? = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为I=22
du +2 dudv+(2
u +1)2
dv , 旋转曲面的第一基本形式
为I=?d t dt t t 222
2
)1
1(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换? =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:
2
222
222)11)(1(1)11(2dv du u
u du u u u u +++++++ =2222
222)1(211)11(dv u dudv du u
du u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2
dv = I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ? =arctgu + v , t =12+u .
§3曲面的第二基本形式
1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r
={-coshusinv,coshucosv,0}
uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r
={-sinhusinv,sinhucosv,0},
vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F ?==0,2v r G
==cosh 2u.
所以I = cosh 2
u
2du + cosh 2u 2dv .
n =
2
F E
G r r v u -? =
}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1
2
v u v u v u u
--, L=11
sinh cosh 2
-=+-
u , M=0, N=
1
sinh cosh 2
+u =1 .
所以II = -2
du +2
dv 。
2. 计算抛物面在原点的2
2212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.
解 曲面的向量表示为}22
5,
,{22212121x x x x x x r ++=
, }0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r
, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r
, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
I=2
22
1dx dx +, II=2
2212
1245dx dx dx dx ++.
3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞ 解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}, uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F ，222b u r G v +== ， L= 0, M = 2 2 b u b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面)(2 1 22by ax z += 在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y ,},0,0{a r xx = ,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2 222dy dx bdy adx k n ++=. 5. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0 解 设平面π与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d -,即(C)的曲率为 2 11d k -= ,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于± 21d -,所以(C)的法曲 率为n k k =±21d -=±1 . 6. 利用法曲率公式I II k n = ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。 证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv R Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1222222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类 基本量成比例。 7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}， },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}， L= 2 ),,(F EG r r r uu v u - =0, N= 2 ),,(F EG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。而u 族曲线 是直线，v 族曲线是螺旋线。 8. 求曲面2 xy z =的渐近线. 解 曲面的向量表示为},,{2 xy y x r = ,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r , 22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===?=++=== . 4 224 22412,412,0y y x x N y y x y M L ++= ++= =. 渐近线的微分方程为2 2 2Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242 =+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即 1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线. 方法二：任取曲线:()r r s Γ=，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+， ()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+，t ρβ=，(1)s t t t ρρκακγ?=-+- 在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ?=,曲面的单位法向量s n EG γ= =-，即n γ=，所以曲 线Γ在它的主法线曲面上是渐近线. 10. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网. 证 曲面的向量表示为 r ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。 },0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y .''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g === 因为0xy r r M r EG ?=?=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭 网。 11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. 解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}， uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F ，222b u r G v +== ， L=0, M= 2 2 b u b +- , N=0,曲率线的微分方程为: 00 012 2222 2=+-+-b u b b u du dudv dv ,即du b u dv 2 2 1+±=,积分得两族曲率线方程: 222122)ln()ln(c u b u v c b u u v +-+=+++=和. 12.求双曲面z=axy 上的曲率线. 解 ,1,0,1,,12 2 2 2 2222222y a x a a M L x a G y x a F y a E ++= =+==+=N=0 . 由0 10 112 2 2 222 222 22 2 2 y a x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0得222222)1()1(dy x a dx y a +=+,积分得 两族曲率线为c y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2 2 2 2 . 13.求曲面}2 ),(2), (2{uv v u b v u a r +-= 上的曲率线的方程. 解 ,0,4,4,422222222=++=++-=++= L u b a G uv b a F v b a E M= 2 2F EG ab -,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: 积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++: c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 . 14.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线. 证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d n κ-=,又沿L 有γ ?n =常数,求微商 得正交与而γγγ r d n d n n n ////,0=?+?,所以0=?n γ,即-τβ ·n =0,则有τ=0,或β ·n =0 . 若τ=0, 则L 是平面曲线；若β ·n =0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n κ=0 ，这时d n =0 ，n 为常向量，而当L 是渐近线时，γ =±n ，所以γ 为常向量，L 是一平面曲线. 证法二：若γ ⊥n ，则因n ⊥dr ‖α ，所以n ‖β ，所以d n ‖β，由伏雷 内公式知d n ‖（κατβ-+）而L 是曲率线，所以沿L 有d n ‖α，所以有τ=0,从而曲线为平面曲线； 若γ 不垂直于n ， 则有γ ?n =常数,求微商得0,n n γγ?+?=因为L 是曲率线，所 以沿L 有dn ‖dr ⊥γ ，所以0n γ?=，所以0=?n γ，即-τβ ·n =0 ，若τ=0，则问题得证； 否则β ·n =0 ，则因0n α?=，有n ‖γ ，dn ‖d γ‖（-τβ ）‖α ，矛盾。 15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。 16．求正螺面的主曲率。 解 设正螺面的向量表示为r ={u v cos ,u v sin ,bv}. 解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}， vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F ，222b u r G v +== ， L= 0, M = 2 2 b u b +- , N = 0,代入主曲率公式 （EG-2 F ）2N κ-（LG-2FM+EN ）N κ+ LN-2 M = 0 得2N κ=2 222) (a u a +。 所以主曲率为 2 22221,a u a a u a +-=+= κκ 。 17．确定抛物面z=a(2 2 y x +)在（0，0）点的主曲率. 解 曲面方程即{0,0,2}yy r a =，22 {,,()}r x y a x y =+，{1,0,2}x r ax ={0,1,2}y r ay =， {0,0,2}xx r a =，{0,0,0},xy r ={0,0,2}yy r a = 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , N=2a .所以2 N κ-4a N κ+42 a =0 ，两主曲率分别为 1κ = 2 a , 2κ= 2 a . 18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1κ 、2κ，任给一方向?及与其正交的方向?+2 π ， 则这两方向的法曲率分别为?κ?κ?κ2 221sin cos )(+=n ， ?κ?κπ?κπ?κπ?κ22212221cos sin )2(sin )2(cos )2(+=+++=+n ，即 +)(?κn 21)2 (κκπ?κ+=+n 为常数。 19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由?κ?κκ2 221sin cos +=n 得 2 1 2κκ?- =tg ,即渐进方向为 211κκ?- =arctg ,2?=-21κκ-arctg .又-2?+1?=21? 为常数,所以为1?为常数,即2 1κκ 为常数. 20. 求证 正螺面的平均曲率为零. 证 由第3题或第16题可知. 21. 求双曲面z=axy 在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H= 0) (222 =-+-F EG NE FM LG , K =2 2F EG M LN --=-2 a . 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证法一： 由H= 2 2 1κκ+=0有1κ=2κ=0或1κ=-2 κ≠ 0 . 若1κ=2κ=0,则沿任意方向?,?κ?κ?κ2 221sin cos )(+=n =0 ,即对于任意的 du:dv , 022222 2=++++==Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若1κ=-2 κ≠ 0,则K=1κ2κ<0 ,即LN-M 2 <0,对应的点为双曲点. 证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若2 LN M -=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若2 LN M -< 0,则曲面上的点是双曲点。 23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网. 证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点. 若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网. 若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向?满足2 1 2κκ?- =tg =1, 即1?=π/4,2?=- π/4, 两渐近线的夹角为2 π,即渐近曲线网构成正交网. 证法二：020H LG FM NE =∴-+=渐近线方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++= 所以2( )20du du L M N dv dv ++=，所以2,du u N du u M dv v L dv v L δδδδ=+=- ，所以 ()[()]du u du u Edu u F du v dv u Gdv v dv v E F G dv v dv v δδδδδδδδδ+++=+++ =2[()]0N M dv v E F G L L δ+-+= ，所以渐近网为正交网。 证法三：0 M ≠121 ()02 H κκ=+= ，所以高斯曲率 120K κκ=≤ ，所以 2LN M -≤0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两 族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若 0M ≠ ，则020H LG FM NE =∴-+= ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为 正交网。 24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,)()(2 2 2 a b a z b x =+-,并令其绕轴旋转的圆环面,参 数方程为 r ={(b+acos ?)cos ? , (b+acos ?)sin ? , asin ?},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。 解 E =2 a , F= 0 , G=2 )cos (?a b +, L = a, M = 0, N = cos ?(b+acos ?), LN -2 M =a cos ?(b+acos ?) , 由于b > a > 0 , b+acos ? > 0,所以LN -2 M 的符号与 cos ?的符号一致,当0≤?<2π 和 2 3π 0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆 环面外侧的点为椭圆点；当-2π 3π ，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点； 当?=2π或 2 3π 时，LN -2M =0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。 25．若曲面的第一基本形式表示为))(,(2 2 2 dv du v u I +=λ的形式，则称这个曲面的坐 标曲线为等温网。试证：旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ??= 上存在等温网。 证 旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ??= 的第一基本形式为 ))( (2 22 2 '2'2 ?d dt g f g t g I ++= ，做参数变换dt g f g u ? +=2 '2'，v=?,则在新参数下， ),)](([222dv du u t g I +=为等温网。 26．两个曲面1S 、2S 交于一条曲线（C ），而且（C ）是1S 的一条曲率线，则（C ）也是 2S 的一条曲率线的充要条件为1S 、2S 沿着（C ）相交成固定角。 证 两个曲面1S 、2S 交于曲线（C ），1n 、2n 分别为1S 、2S 的法向量，则沿交线（C ）， 1n 与2n 成固定角的充要条件为1n ·2n =常数，这等价于d(1n ·2n )=0,即 d 1n ·2n +1n ·d 2n =0 ,而（C ）是1S 的一条曲率线，因此d 1n 与（C ）的切向量d r 共线，则与2n 正交，即d 1n ·2n =0，于是1n ·d 2n =0，又d 2n ⊥2n ，所以1n · d 2n = d 1n ·2n =0的充要条件为d 2n // d r ，即（C ）是2S 的曲率线。 27．证明在曲面(S)上的一个双曲点P 处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P 的挠率是K -,另一条在点P 的挠率是-K -，其中K 是(S)在P 点的高斯曲率。 证 曲面在双曲点P 处，有两条渐近线过点P ，沿渐近线有n =±γ ，且II=0，于是有 d n =±d γ .则KI KI HII III d n d -=-===22 2γ ，即,22Kds d -=γ 或 K ds d -=2 )(γ ，所以有K K -±=-==-ττβτ,)(22 。 28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。 证 设给出的曲面(S): r =r (u,v)上的点r (u,v)与(u,v)∈D 内的点一一对应，其球面像上的点为n =n (u,v),由于)(v u v u r r k n n ?=?,所以||||v u v u r r k n n ?=?= 2 2||F EG M LN -- ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M 2 ≠ 0,则v u n n ?≠ 0 。 说明球面像上的点n (u,v)与区域D 内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面 r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv 0｝＋u {0 cos v , sin v ,0}， 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ 0u v cos , 0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面 r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直 母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,2 v } 表示过点{ a v , b 0v ,0}以{a,b,2 v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （ u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,2 u } 表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面 r =} sin ,sin cos ,sin cos {a a a 上任意点的切平面和法线方程。 4．求椭圆柱面222 2 1x y a b 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解椭圆柱面 222 2 1x y a b 的参数方程为x = cos , y = asin , z = t , } 0,cos ,sin {b a r , } 1,0,0{t r 。所以切平面方程为： 1 0cos sin sin cos b a t z b y a x ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值 对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面} , ,{3 uv a v u r 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 } , 0,1{23 v u a r u ，} , 1,0{2 3uv a r v 。切平面方程为： 3 3 z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V 是常数。 §1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 数学必修二第二章解析几何初步 宝鸡铁一中 王芳芳 2010.11 一、选择题： 1.x 轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（C ） A ．2 B ．22+ C ．10 D ．15+ 2.点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（B ） A ．（-6，8） B ．（-6，-8） C ．（-8，-6） D ．（6，8） 3.直线 032=+-y x l ： 关于x y -=，对称的直线方程是（C ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x 4.过点P （2，1），且倾斜角是直线l ：01=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（B ） A ．012=--y x B ．2=x C ．)2(21-=-x y D ．012=--y x 5.以点A （-5，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（C ） A ．25)4()5(22=-++y x B ．16)4()5(22=++-y x C ．16)4()5(22=-++y x D ． 25)4()5(22=++-y x 6.一条直线过点P （-3，23 -），且圆 252 2=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（C ） A ．3-=x B ． 23 3- =-=y x 或 C ．015433=++-=y x x 或 D ．01543=++y x 7.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（B ） A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()1(2 2=-+-y x C ．4)1()3(22=-++y x D ． 4)1()1(22=+++y x 8.已知圆C ：4)2()(2 2=-+-y a x （0 a ），有直线l ：03=+-y x ，当 直线l 被圆C 截得弦长为32时，a 等于（A ） A ．12- B ．2-2 C ．2 D ．12+ 9.直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--，所经过的定点是（B ） A ．（5，2） B ．（2，3） C ．（－21 ，3） D ．(5，9) 10.若直线12++=k kx y 与直线2 21 +-=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的 取值范围是（C ） A ．26-- k B ．0 61 k - C ．061 k - D ． 21 k 11.三条直线 155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形， 则k 的范围是（C ） A ．R k ∈ B ．R k ∈且0,1≠±≠k k C ．R k ∈且10,5-≠±≠k k 第二章流体输送机械 一、名词解释（每题2分） 1、泵流量 泵单位时间输送液体体积量 2、压头 流体输送设备为单位重量流体所提供的能量 3、效率 有效功率与轴功率的比值 4、轴功率 电机为泵轴所提供的功率 5、理论压头 具有无限多叶片的离心泵为单位重量理想流体所提供的能量 6、气缚现象 因为泵中存在气体而导致吸不上液体的现象 7、离心泵特性曲线 在一定转速下，离心泵主要性能参数与流量关系的曲线 8、最佳工作点 效率最高时所对应的工作点 9、气蚀现象 泵入口的压力低于所输送液体同温度的饱和蒸汽压力，液体汽化，产生对泵损害或吸不上液体 10、安装高度 泵正常工作时，泵入口到液面的垂直距离 11、允许吸上真空度 泵吸入口允许的最低真空度 12、气蚀余量 泵入口的动压头和静压头高于液体饱和蒸汽压头的数值 13、泵的工作点 管路特性曲线与泵的特性曲线的交点 14、风压 风机为单位体积的流体所提供的能量 15、风量 风机单位时间所输送的气体量，并以进口状态计 二、单选择题（每题2分） 1、用离心泵将水池的水抽吸到水塔中，若离心泵在正常操作范围内工作，开大出口阀门将导致（） Ａ送水量增加，整个管路阻力损失减少 Ｂ送水量增加，整个管路阻力损失增大 Ｃ送水量增加，泵的轴功率不变 Ｄ送水量增加，泵的轴功率下降 A 2、以下不是离心式通风机的性能参数( ) Ａ风量Ｂ扬程Ｃ效率Ｄ静风压 B 3、往复泵适用于( ) Ａ大流量且流量要求特别均匀的场合 Ｂ介质腐蚀性特别强的场合 Ｃ流量较小，扬程较高的场合 Ｄ投资较小的场合 C 4、离心通风机的全风压等于 ( ) Ａ静风压加通风机出口的动压 Ｂ离心通风机出口与进口间的压差 Ｃ离心通风机出口的压力 Ｄ动风压加静风压 D 5、以下型号的泵不是水泵 ( ) ＡＢ型ＢＤ型 ＣＦ型Ｄｓｈ型 C 6、离心泵的调节阀 ( ) Ａ只能安在进口管路上 Ｂ只能安在出口管路上 Ｃ安装在进口管路和出口管路上均可 Ｄ只能安在旁路上 B 7、离心泵的扬程，是指单位重量流体经过泵后以下能量的增加值 ( ) Ａ包括内能在内的总能量Ｂ机械能 Ｃ压能Ｄ位能（即实际的升扬高度） B 8、流体经过泵后，压力增大?p N/m2，则单位重量流体压能的增加为 ( ) A ?p B ?p/ρ C ?p/ρg D ?p/2g C 9、离心泵的下列部件是用来将动能转变为压能 ( ) A 泵壳和叶轮 B 叶轮 C 泵壳 D 叶轮和导轮 C 10、离心泵停车时要 ( ) Ａ先关出口阀后断电 Ｂ先断电后关出口阀 Ｃ先关出口阀先断电均可 Ｄ单级式的先断电，多级式的先关出口阀 A 11、离心通风机的铭牌上标明的全风压为100mmH2O意思是 ( ) A 输任何条件的气体介质全风压都达100mmH2O B 输送空气时不论流量多少，全风压都可达100mmH2O C 输送任何气体介质当效率最高时，全风压为100mmH2O D 输送20℃，101325Pa空气，在效率最高时，全风压为100mmH2O D 12、离心泵的允许吸上真空高度与以下因素无关 ( ) Ａ当地大气压力Ｂ输送液体的温度 第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。 解析几何初步章末复习 知识网络构建 高频考点例析 考点一直线的方程 例1直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程． [解]解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0， 故设直线l的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a ＝1(a≠0)， 当直线l的方程为x a ＋y a ＝1时， 把P(8,6)代入得8 a ＋6 a ＝1，解得a＝14， ∴直线l的方程为x＋y－14＝0； 当直线l的方程为x a ＋y －a ＝1时， 把P (8,6)代入得8a －6 a ＝1，解得a ＝2， ∴直线l 的方程为x －y －2＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b k . ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝??????－b k . ∵b ≠0，∴k ＝±1. 当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0； 当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 类题通法 常用待定系数法求直线方程 求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况． 2-1 试用网孔电流法求图题2-1所示电路中电流i 和电压ab u 。 图题2-1 解：设网孔电流为123,,i i i ，列网孔方程： 1231231 2332783923512i i i i i i i i i --=??-+-=??--+=?解得123211i i i =??=??=-?，故133i i i A =-=，233()93ab u i i V =--=-。 2-2 图题2-2所示电路中若123121,3,4,0,8,24s s S R R R i i A u V =Ω=Ω=Ω=== 试求各网孔电流。 解：由于10s i =，故网孔电流M20i =。可列出网孔电流方程： M1M1M3M13M3M1M331 247244A (34)4A 88M M M i u i i i i u i i i i i =-?+==-???+=?????=-+=???-=? 2-6电路图如图题2-4所示，用网孔分析求1u 。已知：124535,1,2,2S u V R R R R R μ=====Ω=Ω=。 解：列网孔方程如下： 123123212 342022245i i i i i i u i i i --=??-+-=-??--+=-?， 再加上2132()u i i =-。解得：11113.75, 3.75i A u R i V =-=-= 2-12 电路如图题2-10所示，试用节点分析求各支路电流。 解：标出节点编号，列出节点方程 121111()27212211120()422227a a b a b b u V u u u u u V ??=++-=?????????-++=-=???? ，用欧姆定律即可求得各节点电流。 2-17电路如图题2-14所示，试用节点分析求12,i i 。 解：把受控电流源暂作为独立电流源，列出节点方程 12121 (11)4(11)2u u u u i +-=??-++=-? 控制量与节点电压关系为：111u i =Ω ，代入上式，解得 111222 1.61.610.80.81u i A u V u V u i A ?==?=??Ω???=-??==-??Ω 2-19 试列出为求解图题2-16所示电路中0u 所需的节点方程。 二、矩阵和坐标变换 2.1 矩阵及矩阵的运算 由m n ?个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。 如1111 n m m n a a A a a ?? ? = ? ??? ,其中ij a 称为矩阵元素。若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B = 。 矩阵的加(减)法 两个矩阵A 、B ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个 新矩阵C ,则称为A 与B 之和（差），记为C A B =± 。 矩阵加法适合交换律：A B B A +=+ 矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++ 数乘矩阵 用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A 之积，记为A λ 或A λ 。 数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ= 数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+ 矩阵乘法 两个矩阵A 、B ，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。 矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的 第j 列的对应元素乘积之和。即 11221 n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++= ∑ 注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。 矩阵乘法适合结合律：()()A B C A B C = 矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+ 矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠ 2.2坐标变换 空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。 2.2.1底失的变换 给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ??'''''=? ? ，其中σ称为旧坐标系， σ'称为新坐标系。下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。 首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 看成在旧坐标系σ里的一个径失。则新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 在旧坐标系σ里的表达式可写成： 111112213322112222333 311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ?'=++??'=++??'=++?? 这就是σ变换到σ'的底失变换公式。 反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。 111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ? '''=++? ?'''=++??'''=++? ? 由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵： 11121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ??? A 表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为： 1 111112132212223223132 33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ??' ???? ???? ??? ????'== ??????? ??????'??????? ?? 2.2.2矢量的坐标变换 设一矢量r 在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则： 123r xe ye ze =++ 又 123 r x e y e z e ''''''=++ §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 北师大版必修二第二章解析几何初步综合测试题 一、单选题 1．已知圆C 的标准方程为222 1x y ，则它的圆心坐标是（ ） A ．()2,0- B ．()0,2- C ．()0,2 D ．()2,0 2．直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 3．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2 B ．1 C ．﹣2 D ．12 4．已知直线1l ：210x ay +-=，与2l ：()12102a x ay --+ =平行，则a 的值是（ ） A ．0或1 B ．0或14 C ．0 D ．14 5．已知两条直线()1:3450l a x y ++-=与()2:2580l x a y ++-=平行，则a 的值是（ ） A ．7- B ．1或7 C ．133- D ．1-或7- 6．已知点(2,A 0,1)，(4,B 2,3)，P 是AB 的中点，则点P 的坐标为（ ） A ．(3,1,2) B ．(3,1,4) C ．()0,2,1-- D ．(6,4,5) 7．直线210x y --=与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交且直线过圆心 C ．相交但直线不过圆心 D ．相离 8．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆22:(1)1C x y -+=上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是（ ） A ．2，2 B ．2，2 C ，4 D ． ＋1－1 9．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，圆O 2的圆心坐标为(2，1).若两圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则圆O 2的方程为（ ） A ．(x －2)2＋(y －1)2＝6 第二章解析几何初步 §1直线与直线的方程 1．1直线的倾斜角和斜率 【课时目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素． 1．倾斜角的概念和范围 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°． 2．斜率的概念及斜率公式 一、选择题 1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( ) A．a＝4，b＝0B．a＝－4，b＝－3 C．a＝4，b＝－3D．a＝－4，b＝3 3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( ) A．[0°，90°]B．[90°，180°) C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°] 5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( ) A．k1 第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程 1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 21= 。设M 的坐标),(y x 有 2222)6(2 1)3(y x y x ++=+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(22=+-y x 此轨迹为椭圆 2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动， 是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解： 如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22x y M .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得: 222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a += 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM 中 2 22()a x y AM ++=(1) 在Rt BNM 中222()a x y BM -+=.(2) 由(1)(2)两式得: 22222244 ()2()x y a x y m a +--=-. §2.2 曲面的方程 2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为a 2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 平面解析几何初步检测题 考试时间 45分钟 总分 100分 一、选择题（7’× 5） 1.已知直线的方程是21y x +=--，则 （ ） A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B .直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 2.过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 （ ） A.5x y += B.5x y -= C.5x y +=或40x y -= D.5x y -=或40x y += 3.斜率为－3，在x 轴上的截距为2的直线的一般式方程是 （ ） A.360x y ++= B.320x y -+= C.360x y +-= D.320x y --= 4.直线20x y k -+=与4210x y -+=的位置关系是 （ ） A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合 5.已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ） A.()()221329x y ++-= B.()()22 1329x y +++= C.()()2213116x y ++-= D.()()2213116x y -++= 二、填空题（7’× 2） 6.若直线x ＋2my －1＝0与直线(3m -1)x －my －1＝0平行，那么实数m 的值为_________. 7.点P(5a ＋1,12a )在圆()2 211x y -+=的内部，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（14’ + 17’+ 20’） 8.已知P(3,m )在过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线上，则m 的值是多少？ 9.直线l 过点P(－2,3)且与x 轴、y 轴分别交与A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程. 10．已知点P （0，5）及圆C ：22 412240x y x y ++-+=， （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为l 的方程； （2）求过P 点的弦的中点的轨迹方程. 《解析几何初步》单元测试卷 检测时间：120分钟 满分：150分 一． 单选题：（每小题5分，共50分） 1、已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB |=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 2、方程（x-2）2+(y+1)2=1表示的曲线关于点T （-3，2）的对称曲线方程是： （ ） A 、 (x+8)2+(y-5)2=1 B 、(x-7)2+(y+4)2=2 C 、 (x+3)2+(y-2)2=1 D 、(x+4)2+(y+3)2=2 3、已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为： （ ） A 、7 B 、-5 C 、3 D 、-1 4、方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范围是 ( ) A 、 m ≤2 B 、 m<2 C 、 m<21 D 、 m ≤2 1 5、过直线x+y-2=0和直线x-2y+1=0的交点，且垂直于第二直线的直线方程为 （ ） A 、+2y-3=0 B 、2x+y-3=0 C 、x+y-2=0 D 、2x+y+2=0 6、圆心在直线x=y 上且与x 轴相切于点（1,0）的圆的方程为： （ ） A 、(x-1)2+y 2=1 B 、(x-1)2+(y-1)2=1 C 、(x+1)2+(y-1)2=1 D 、(x+1)2+(y+1)2=1 7、光线沿直线2x-y-3=0经两坐标轴反射后所在的直线是（ ） A 、2x+y+3=0 B 、2x+y-3=0 C 、2x-y+3=0 D 、x-2y-3=0 8、已知直线ax+y+2=0及两点P （-2，1）、Q （3，2），若直线与线段PQ 相 交，则a 的取值范围是 （ ） (第二章平面解析几何初步) 时间：120分钟满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知直线经过点A(1，－5)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为() A．0B．－3 C．2 D．不存在 2．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是() A．x＋6y－10＝0 B．6x－2y＋10＝0 C．x－6y－10＝0 D．2x＋6y－10＝0 3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是() A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 4．已知两直线x－ky－k＝0与y＝k(x－1)平行，则k的值为() A．1 B．－1 C．1或－1 D．2 5．已知圆x2＋y2＝100，则直线4x－3y＝50与该圆的位置关系是() A．相离B．相切 C．相交D．无法确定 6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是() A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0 7．若直线(a＋2)x＋(1－a)y＝a2(a>0)与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于() A．1 B．－1 C．±1 D．－2 8．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于() A ．895 B ．175 C ．135 D ．115 9．直线l 过点M (－1,2)，且与以P (－2，－3)，Q (4,0)为端点的线段PQ 相交，则l 的斜率的取值范围是( ) A ．??????－25，5 B.???? ?? －25，0∪(0,5] C ．??????－25，π2∪? ?? ??π2，5 D ．? ? ? ??－∞，－25∪[5，＋∞) 10．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)，有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为? ?? ??1 2，1，32； ③点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 11．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 12．圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 为圆M 上任一点，过P 作圆O 的切线P A ，若P A 与圆M 的另一个交点为Q ，当弦PQ 的长度最大时，切线P A 的斜率是( ) A ．7或1 B ．－7或1 C ．－7或－1 D ．7或－1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．过两点A (－1,1)，B (3,9)的直线，在x 轴、y 轴上的截距分别是________，________.第四版微分几何第二章课后习题答案
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