第二章曲面论
§ 1曲面的概念
1.求正螺面7 ={ u cosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.
解 u-曲线为 r={u cosv o ,u sin v o ,bv o }= {0,0 , bv °} + u { cosv o , sin v °,0}，为曲线的直母线；v- 曲线为?={u o cosv , U o sinv,bv }为圆柱螺线.
2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为 r={ a (u+v o ) , b (u- v o ) ,2u v o }={ a v °, b v °,0}+ u{a,b,2 v o }表示过点{ a v °, b v °,0} 以{a,b,2 v o }为方向向量的直线；
v-曲线为 r = {a ( u o +v ) , b ( u o -v ) ,2 u o v } = {a u °, bu o ,0 } +v{a,-b,2 u o }表示过点(a u o , bu o ,0)
以｛a,-b,2 u o ｝为方向向量的直线
3. 求球面r=｛acos ；：sin , a cos' sin :
, asi n ；：｝上任意点的切平面和法线方程。
解 r 、={—asin 、：cos ；—asin ；sin 「，acos ：} , r .：={—acos ； sin :, acos L cos ,0}
即 xcos : cos + ycos : sin + zsin 二-a = 0 x - a cos 、： cos : _ y - a cos ：： sin : _ z - a sin 二 cos 、： cos ： cos 、： sin ' sin 二
2 2
4 .求椭圆柱面 务?岭=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面
a b
x 「a cos 、： cos ‘ 任意点的切平面方程为 -a sincos :
-a cos 二 sin :
y -a cos ；： sin ‘ -asin 二 sin : z - a s in 9 a cos^ = 0
法线方程为
§2曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的第一基本形式 解 r u ={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =
打=a 2 b 2 4v 2,
F = r u r v = a 2
- b 2
4uv, G = r v 2
二 a 2
b 2
4u 2
,
1 = (a 2
b 2
4v 2
)du 2
2(a 2
-b 2
4uv)dudv (a 2
b 2
4u 2
)dv 2
。
2 .求正螺面r ={ u cosv ,u sinv, bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直
2 ' ■
"2 2 2
解 r u ={cosv,sin v,0}, r v 二{—usin v, u cosv, b}， E =1， F
r v =0， G =r v =u b ，二 I
=du 2
(u 2 b 2)dv 2，：F=0，.?.坐标曲线互相垂直。
3 .在第一基本形式为I = du 2
■ sinh 2
udv 2
的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。
2 2
解 椭圆柱面x 2
y
2 =1的参数方程为 x = cos 二，y = asin 二，z =
t ,
q - { -a sin 、：, bcos 、： ,0}
r t 工｛0,0,1｝。所以切平面方程为:
x -
acos 、： -asin 、：
y —bsi n 9 z —t bcos9 0 =0 ,即卩 x bcos 9 + y asin 9 — a b = 0
0 1
此方程与t 无关，对于二的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 二的每一数值对应一条直母线，说明沿 每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
3
5?证明曲面r =｛u,v,—｝的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数
UV
3
证 r u 二{1,0,-刖 u v 3
，r v 二｛0,1,-毛｝。切平面方程
为:
与三坐标轴的交点分别为 (3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,
3a 2
)
uv
于是，四面体的体积为:
3
V
4
3|u|3|v|
^9a
3是常数。
解由条件ds?二du2? sinh2udv2 ,沿曲线u = v有du=dv ,将其代入ds2得
ds2二 du2si nh2udv2 = cosh2vdv2，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从 v1至U v2的弧长为
V2
| v c o s\hd vis i n^ -s intij。
4.设曲面的第一基本形式为I = du2(u2a2)dv2，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u - v = 0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基
本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E=1 , F v=0 , G = u2，a2，曲线u + v = 0与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0, 交点处的第一类基本量为E=1，F v=0，G=a2。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u - v = 0的方向为S u=S v ,设两曲线的夹角为「，则有
2
巾Edu6u+Gdv6u 1 -a
cos ^―
jEdu2+Gdv2 jE6u2+ G和 2 1 + a
5.求曲面z = axy上坐标曲线x = x ° ,y = y的交角.
解曲面的向量表示为7 ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y }，其切向量
r y={0，1，ax。};坐标曲线y =y°的向量表示为r ={x , y°,ax y。}，其切向量r x={1，0，a y。}，设两曲线
2
x = x 0与y = y o的夹角为?，则有cos? =、3 : 2 2
|r x||r y | E+a2x2、；1 + a2y：
6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为S u: S v ,则有
EduS u + F(du S v + dv S u)+ G d v S v = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为 E S u + F S v = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为FS u + G S v = 0 .
7.在曲面上一点，含du ,dv的二次方程P du2+ 2Q dudv + R dv2 =0,确定两个切方向(du : dv) 和(S u : S v)，证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明因为du,dv不同时为零，假定dv= 0,则所给二次方程可写成为P(虫)2+ 2Q屯+ R=0 ,设其
dv dv
二根理，巴则巴巴=R
,巴+兰=_竺……①又根据二方向垂直的条件知E典三+ F(竺+已)+ G dv 、v dv、v P
dv 、v P dv、v dv ：v
=0 ……②
将①代入②则得ER - 2FQ + GP = 0 .
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为
E du2=G dv2.
证用分别用3、厂、d表示沿u —曲线，V —曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u—曲线S U- 0, 3 v =0,沿v—曲线"u=0, ”v = 0 .沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
(Edu创+ Fdv^u)2(Fdu Sj+Gdv6*v)2冃口(Edu+Fdv)2(Fdu+Gdv)2
E、u2ds2一 G、v2ds2， E 一 G 。
展开并化简得E(EG-F2) du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F2>0,消去EG-F 2得坐标曲线的二等分角线的微分方
程为E du 2=G dv2.
9 .设曲面的第一基本形式为I = 曲面上三条曲线
u = — av, v =1相交所成的三角
解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲是
0 1 a 1
S= u2 a2 du dv 亠I 一u2 a2 du dv
-a u 0 u
a a
a 1 a
=2 ,u2 a2du dv=2 (1 -?) . u2 a2du
0 u 0
a
a
3 ___________ _________________________________
=[ 2 (u2a2)2u . u2a2a2ln(u . u2a2)] $ 3a
2 2 - 2 —
= a2[ In(1 、2)] o
3
10.求球面r={acos 二 si n，,acos 二 s in :, a si n「：}的面积。du2(u2a2)dv2，求
形的面积。
线围城的三角形的面积
解 r ：={_as in 、：cos,_asi n ：si n :,acos ：} , r ：={_acos 、：s in :, a cos ： cos :,0}
E = r ?=a 2 ,F=心心=0 , G =
r $ = a 2 cos 2
* .球面的面积为：
it 2兀， ________ n
匹
S = 2
_.d i !-；a 4
cos 2
；：d =2”：a 2 2
…cos 、d ： =2二a 2
sin 、：|2
…= 4：a 2
. T o P 11. 证明螺面 r ={ucosv,usi nv,u+v} 和旋转曲面 7 ={tcos 「： ,tsin 二，..,t 2
_1} (t>1,0< 二 <2 二)之间可建立等距映射 二=arctgu + v , t= , u 2 1 .
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 二=arctgu + v , t= , u 2
1,可在 一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数 ，然后证明在新的参数下，两曲面
具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为1=2 du 2 +2 dudv+( u 2 +1) dv 2
匸(1、七)
dt 2
在旋转曲面上作一参数变换=
arctgu + v
, t
=
u 2
1
,则其第一基本形式
为：
u 1 2
1
2
222
22
=( 2
1)du r
du 2dudv (u 1)dv =2du +2 dudv+( u +1)dv = I .
u
1 u
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射
二=arctgu + v , t = u 2 1 .
§ 3曲面的第二基本形式
1.计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}
的第一基本形式，第二基本形式.
解 r u ={sinhucosv,sinhusinv,1}, r v ={-coshusinv,coshucosv,0}
r uu ={coshucosv,coshus inv, 0}, r uv ={-s in hus inv,sin hucosv,0},
rw={-coshucosv,-coshusinv,0},
E =r u 2= cosh 2 u,
F 二 r u r v =0,
G r v 2 =cosh 2 u.
所以 I = cosh 2 u du 2+ cosh 2u dv 2 .
旋转曲面的第一基本形式为
2 2
u 1\ u
, 2
(1
厂)
du
2 1 2
(u 1)(
-du dv) 1 +u
所以 II = - du 2 +dv 2
2. 计算抛物面在原点的2x 3 =5x1 4x 1x 2 2x ；第一基本形式，第二基本形式.
解 曲面的向量表示为r = {x 1, x 2, — x 2 - 2x 1x 2 x ；},
2
L 珂1,O,5X
1
2x 2
}?。）={1,0,0} , L 二{
0,1,
2x 1 2X 2}
（O ,。）
-
{0,1,0
}
,
g ={0,0,5}
,
r x 1x 2
={0,0,2} , J?
=
{0,0,2}
, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,
2 2 2 2
I= dx-i dx 2,11= 5dx 1
4dx 1dx 2 2dx 2.
3. 证明对于正螺面 r ={u cosv ,u sinv,bv},- s 解 r u ={cosv,sin v,0}, r v ={ -u sin v, u cos v, b} , r uu ={0,0,0}, r u V ={-uucosv,cosv,0}, r w ={-ucosv,-usinv,0}, E 二 g = 1, F 二 4 g = 0, G 二 g 二 u b , L= 0, M =一-b 一 , N = 0 . 所以有 EN - 2FM + GL= 0 . ,u 2 b 2 1 4. 求出抛物面z = —（ax 2，by 2）在（0,0）点沿方向（dx:dy ）的法曲率. 2 解 J = {1,0, ax } （0,0） = {1,0,0} , r y 二 {0,1, by } （0,0） ={0 ,1,0} ,很- {0,0, a} , 5 = {0,0,0} 5. 已知平面-到单位球面(S)的中心距离为d(0 n 」_J .EG -F 2 cosh 2 -{ u _cosh u cos v, _ cosh u sin v,sinh u sin v} L= coshu ,sin h 2 二-1, M=0, N= —。。 血―=1 . sinh 2 1 r yy ={0,0,b} ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 k n adx 2 bdy 2 2 2 dx dy 解设平面二与(S)的交线为(C),则(C)的半径为-d2 ,即(C)的曲率为 k=「2 ,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于士 J i - d 2 ,所以(C)的法曲率为 ..1 - d 2 心=k.1—d 2二二 1 . 6. 利用法曲率公式k n =￥，证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例 证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径 R 的倒数1/R 即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv 7 ?求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面 r={u cosv ,u sinv,bv}， r u ={cos v, sin v,0}, ={ -u sin v, u cos v,b}， r uu ={0,0,0} ， r w ={-ucosv,-usinv,0} ， L= (r u ,r v , r uu \ =Q , N= (；u 」 v , rw \=0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。而u 族曲线是直线，v 族曲线 、EG -F 2 EG - F 2 是螺旋线。 8.求曲面z=xy 2 的渐近线. 解 曲面的向量表示为 r ={x, y,xy 2}, r x {1,0, y 2}, r y 二{0,1,2xy}, q ={0,0,0}, _ _ _2 2 _ 2 2 2 r xy 二{0,0,2y}, q 二{0,0,2x}, E % 1 4y ,^r x r y =2xy ,G =r y ^1 4x y . 渐近线的微分方程为Ldx 2 2Mdxdy Ndy 2 ,即4ydxdy ? 2xdy 2 =0, —族为dy=0,即丫^“，“为常数.另一 族为 2ydx=-xdy, 即 ln x 2y =c 2,或x 2y =c,c 为常数.. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面 与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线. k n 2 2 II Ldu 2 2Mdudv Ndv 2 2 2 I Edu 2Fdudv Gdv 所以「譽肖詁)，即第一、第二类基本量成比例 L =0, M y 1 4x 2y 2 y 4 2x y 4 R R 4x 2y 2 方法二：任取曲线::r =r(s)，它的主法线曲面为s：「T(s,t)=r(s)t：(S), 2 = ："(s) - t 扌(s) = ：? t( - ：? ) = (1 -t ' )E T，?t = 在曲线:上, t = 0 , ?s J J曲面的单位法向量瞎-s t「，即n ="，所以曲线丨在它的主 JEG -F2 法线曲面上是渐近线? 10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数，y=常数构成共轭网. 证曲面的向量表示为r ={x,y, f(x)+g(y)},x= 常数,y=常数是两族坐标曲线。 r x <1,0, f'} , r y{0,1,g'}.乙二{0,0, f"},己二{0,0,0}, I 二{0,0, g"}, 因为M =乙ry -0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族x=常数，y=常数构成共轭网 JEG -F2 11.确定螺旋面7={u cosv,usinv,bv}上的曲率线. 解r u ={cos v,sin v,0}, r v ={ _u sinv,ucosv,b} ，r uu={0,0,0} ， r vv={-ucosv,-usinv,0} r U v={-s in v,cosv,0}, E=「2=1，F=仃吒=0，G = r7=u2+b2，L=0, M= _ b—, N=0,曲率线的微 .u2 b2 分方程为: ：,?s 2 - -y(1 一r dv2 1 0 -dudv -b u2b2 du2 u2 b2 1 =0'即"士孟k du‘积分得两族曲率线方程 v 二In(u u2b2) c1ft v = ln( . u2b2 - u) c2. 12.求双曲面z=axy上的曲率线. 2 2 2 2 2 2 2 E=1 a y , F 二ax y ,G=1a x 丄=0, M ,N=0 . a
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