第1讲 等差数列与等比数列
高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.
真 题 感 悟
1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n
D.S n ＝1
2
n 2－2n
解析 设首项为a 1，公差为d .
由S 4＝0，a 5＝5可得???a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得???a 1＝－3，d ＝2.
所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2
×2＝n 2
－4n . 答案 A
2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它
的前一个单音的频率的比都等于12
2.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频
率为( )
A.3
2f
B.3
22f
C.12
25
f
D.
12
27f
解析 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
12
2，第一个单音的频率为f .由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个
首项为f ，公比为
12
2的等比数列，记为{a n }.则第八个单音频率为a 8＝f ·(12
2)8－1
＝
12
27f .
答案 D
3.(2019·全国Ⅰ卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝1
3，a 24＝a 6，则S 5＝________.
解析 由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1
q 5，整理得q ＝1a 1
＝3.
所以S 5＝a 1（1－q 5
）1－q ＝13（1－35）1－3＝121
3.
答案
1213
4.(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n
＋1
＝3b n －a n －4.
(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式.
(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝1
2(a n ＋b n ).又因为a 1＋b 1＝1， 所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为1
2的等比数列. 由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，
所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝
1
2
n －1，a n －b n ＝2n －1，
所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －1
2， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.
考 点 整 合
1.等差数列
(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）
2
d ； (3)性质：
①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ；
③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列. 2.等比数列
(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；
(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q
1－q ；
(3)性质：
①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ；
③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.
温馨提醒 应用公式a n ＝S n －S n －1时一定注意条件n ≥2，n ∈N *.
热点一 等差、等比数列的基本运算
【例1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A.16 B.8 C.4
D.2
(2)(2019·北京卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.
①求{a n }的通项公式；
②记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. (1)解析 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意q >0. 由a 5＝3a 3＋4a 1，得q 4＝3q 2＋4. ∴q 2＝4，则q ＝2.
又S 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15，所以a 1＝1. 故a 3＝a 1q 2＝4. 答案 C
(2)解 ①设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，
所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ).解得d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. ②法一 由①知，a n ＝2n －12.
则当n ≥7时，a n >0；当n ＝6时，a n ＝0，当n <6时，a n <0； 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.
法二 由①知，S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n (n －11)＝? ?
???n －1122－1214，又n ∈N *，
∴当n ＝5或n ＝6时，S n 的最小值S 5＝S 6＝－30. 探究提高 1.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a 1和公差d (公比q ).
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.
2.第(2)题求出基本量a 1与公差d ，进而由等差数列前n 项和公式将结论表示成“n ”的函数，求出最小值.
【训练1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10
S 5
＝________.
(2)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.
①求{a n }的通项公式；
②记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . (1)解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×9
2d ＝100a 1， S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10
S 5
＝4.
答案 4
(2)解 ①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. ②若a n ＝(－2)
n －1
，则S n ＝1－（－2）n
3
，
由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
热点二 等差(比)数列的性质
【例2】 (1)在等比数列{a n }中，a 6，a 10是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8的值为( ) A.2 B.－2或 2 C. 2
D.－ 2
(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n a 7 <－1，则( ) A.S n 的最大值是S 8 B.S n 的最小值是S 8 C.S n 的最大值是S 7 D.S n 的最小值是S 7 解析 (1)由题意a 6a 10＝2，且a 6＋a 10＝－6，所以a 6<0，a 10<0，又数列{a n }为等比数列，所以a 8<0，所以a 8＝－a 6a 10＝－ 2. (2)由(n ＋1)S n （n ＋1）n （a 1＋a n ）2 2 ， 整理得a n 所以等差数列{a n }是递增数列， 又a 8 a 7 <－1，所以a 8>0，a 7<0， 所以数列{a n }的前7项和为负值，即S n 的最小值是S 7. 答案 (1)D (2)D 探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解. 2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题. 【训练2】 (1)(2019·山东省实验中学调研)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A.30 B.20 C.10 D.5或40 (2)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和S 8为( ) A.4 B.2 C.3 D.5 解析 (1)由题设得(a 4－2)2＝a 2a 6， 因为{a n }是等差数列，且a 1＝1，d ≠0， 所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝3. 从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30. (2)设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 5＝5，a 4＝2， 得5＝2q ，∴q ＝52. ∴a n ＝a 4·q n －4＝2·? ? ? ??52n －4 ， 从而lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52， 则数列{lg a n }是等差数列， ∴S 8＝1 2(lg a 1＋lg a 8)×8＝4lg(a 1a 8)＝4lg(a 4a 5)＝4lg 10＝2. 答案 (1)A (2)B 热点三 等差(比)数列的判断与证明 【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2 n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ 为常数. (1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ； (2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由. (1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1， ∴S 2n ＝(S n ＋1－S n )2－λS n ＋1， 则S n ＋1(S n ＋1－2S n －λ)＝0. ∵a n >0，知S n ＋1>0，∴S n ＋1－2S n －λ＝0， 故S n ＋1＝2S n ＋λ. (2)解 由(1)知，S n ＋1＝2S n ＋λ， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋λ， 两式相减，a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n }从第二项起成等比数列，且公比q ＝2. 又S 2＝2S 1＋λ，即a 2＋a 1＝2a 1＋λ， ∴a 2＝a 1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1. 因此a n ＝???1，n ＝1，（λ＋1）· 2n －2 ，n ≥2. 若数列{a n }是等比数列，则a 2＝1＋λ＝2a 1＝2. ∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{a n }是等比数列. 【迁移】 若本例中条件“a 1＝1”改为“a 1＝2”，其他条件不变，试求解第(2)问. 解 由题意，得a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *). 又S 2＝2S 1＋λ，∴a 2＝a 1＋λ＝2＋λ>0. ∴a n ＝(2＋λ)·2n －2(n ≥2). 若{a n }是等比数列，又a 1＝2， ∴a 2＝(2＋λ)·20＝2a 1＝4，∴λ＝2. 故存在λ＝2，此时a n ＝2n ，数列{a n }是等比数列. 探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n ≥1，n ∈N *，验证a n ＋1－a n ? ?? ?? 或 a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数；(2)中项公式法. 2.a n ＋1 a n ＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判定 时还要看各项是否为零. 【训练3】 (1)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”. (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项 和，判断数列{b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式. (1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0. 由???a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得???a 21q 4＝a 1q 4 ，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1 ＝0， 解得???a 1＝1，q ＝2. 因此数列{a n }为“M －数列”. (2)解 因为1S n ＝2b n －2 b n ＋1，所以b n ≠0. 由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2 b 2 ，则b 2＝2. 由1S n ＝2b n －2 b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）. 当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得 b n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）－b n －1b n 2（b n －b n －1）， 整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .又b 2－b 1＝1， 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *). 热点四 等差数列与等比数列的综合问题 【例4】 (2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比 数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6. (1)求S n 和T n ； (2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值. 解 (1)设等比数列{b n }的公比为q (q >0). 由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1. 所以，T n ＝1－2n 1－2＝2n －1. 设等差数列{a n }的公差为d . 由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4. 由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1， 故a n ＝n .所以，S n ＝n （n ＋1） 2. (2)由(1)，有 T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2×（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 得 n （n ＋1）2 ＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1 ， 整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4. 所以，n 的值为4. 探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. 2.数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题. 【训练4】 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ； (2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围. 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6， 得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ， 从而S n ＝n （9－n ）2(n ∈N * ). (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1 ＝1 2， ∴T m ＝ 4? ??? ??1－? ??? ?12m 1－12 ＝8? ??? ?? 1－? ??? ?12m ， ∵? ???? 12m 随m 的增大而减小， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n （9－n ）2＝－ 12(n 2 －9n ) ＝－12?????? ? ????n －922 －814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10， 若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n 1.在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算. 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.在应用性质时要注意前提条件，有时需要进行适当变形. 3.应用关系式a n ＝???S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求 出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 巩固提升 一、选择题 1.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12 B.－10 C.10 D.12 解析 设数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4， ∴3? ? ???3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ， 解得d ＝－3 2 a 1. ∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B 2.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A.13 B.12 C.11 D.10 解析 设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n ＝2， ∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212 ， ∴n ＝12. 答案 B 3.(2019·东营调研)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( ) A.24 B.32 C.48 D.64 解析 由已知有a n a n ＋1＝2n ， ∴a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，则a n ＋2 a n ＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项均是公比为2的等比数列，由a 1a 2＝2可以求出a 2＝2， ∴数列{a n }的项分别为1，2，2，4，4，8，8，16，16，32，32，…，而b n ＝a n ＋a n ＋1， ∴b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64. 答案 D 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为( ) A.60里 B.48里 C.36里 D.24里 解析 由题意，每天走的路程构成公比为1 2的等比数列.设等比数列的首项为a 1， 则a 1? ? ???1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 4＝192×18＝24，a 5 ＝24×12＝12，a 4＋a 5＝24＋12＝36.所以此人第4天和第5天共走了36里. 答案 C 5.(2019·郑州模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)，设b n ＝na n ，则数列{b n }的项的最大值为( ) A.8164 B.2716 C.32 D.2 解析 由条件可知：3a n ＋S n ＝4，3a n －1＋S n －1＝4(n ≥2).相减，得a n ＝3 4a n －1.又3a 1＋S 1＝4a 1＝4，故a 1＝1. 则a n ＝? ?? ? ? 34n －1 ，b n ＝n ? ?? ? ? 34n －1 . 设{b n }中最大的项为b n ，则???b n ≥b n －1， b n ≥b n ＋1. 即?????n ? ????34n －1≥（n －1）? ????34n －2，n ? ????34n －1≥（n ＋1）? ????34n . 解之得3≤n ≤4. ∴{b n }的项的最大值为b 3＝b 4＝27 16. 答案 B 二、填空题 6.(2019·泰安模拟)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a n ＝________. 解析 由a 23＝a 2a 7，得(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d ) ① 又2a 1＋a 2＝1，得3a 1＋d ＝1 ② 联立①②，解得a 1＝23且d ＝－1，从而a n ＝5 3－n . 答案 53－n 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“???a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0 ”的________条件. 解析 若S n 的最大值为S 8，则???a 8≥0，a 9≤0；若???a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则?? ?a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0， a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，所以???a 8>0， a 9<0.所以“S n 的最大值是S 8”是“???a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0”的必要不充分条件. 答案 必要不充分 8.(2019·湖南雅礼中学质检)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *).令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________. 解析 由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 所以数列{a n ＋1)是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n ， a n ＝3n －1. 所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ， 因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100（1＋100）2 ＝5 050. 答案 5 050 三、解答题 9. (开放题)已知数列{a n }的首项为a 1＝1，________，求其通项公式. 在①a n ＋1＝a n ＋ln ? ? ???1＋1n ，②a n ＋1＝2n a n ，③a n ＋1＝3a n ＋2这三个条件中任选一个， 补充在上面的问题中并求解. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 选条件①：∵a n ＋1＝a n ＋ln ? ? ???1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ? ? ???1＋1n －1＝ln n n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1＋a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln n n －1＋ln n －1n －2 ＋…＋ln 3 2＋ln 2＋1 ＝1＋ln ? ????n n －1·n －1 n －2·…·32·2＝1＋ln n (n ≥2)， 又a 1＝1也适合上式，故其通项公式为a n ＝1＋ln n . 选条件②：∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n － 1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2 ·…·2×1 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2 . 又a 1＝1也适合上式，故a n ＝2n （n －1）2(n ∈N * ). 选条件③：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝2×3n －1， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ∈N *). 10.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a 5. (1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得9a 1＋9×8 2d ＝－(a 1＋4d )，即a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ， 故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d 2 . 由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n （n －9） 2≤n －5， 即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }. 能力突破 11.(2019·青岛质检)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列.若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A.4 B.3 C.23－2 D.92 解析 由题意a 1，a 3，a 13成等比数列，得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2. 故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. 因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－ 2≥2 （n ＋1）×9n ＋1 －2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4. 答案 A 12.(2019·成都诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，a ·b ＝24， 得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2， 因此数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *). (2)因为2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3， 所以T n ＝4n λ＋2λ，当n ＝1时，b 1＝6 λ； 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1 λ， 此时有b n b n －1 ＝4，若{b n }是等比数列， 则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12 λ，彼此相矛盾， 故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列. 创新预测 13.(多填题)(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________. 解析 由题意得a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， 解得a 1＝－4，d ＝1， 所以a 5＝a 1＋4d ＝0， 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5. 令a n ≤0，则n ≤5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后项为正. ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案 0 －10 14.(多选题)已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，公比为q (q ≠0)，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e a 1＋a 2＋a 3.若a 1>1，则下列选项可能成立的是( ) A.0 D.a 1>a 2>a 3>a 4 解析 构造函数f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x －1＝0，x ＝0，得极小值f (0)＝0，故f (x )≥0，即e x ≥x ＋1恒成立(x ＝0取等号).a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e a 1＋a 2＋a 3>a 1＋a 2＋a 3＋1?a 4>1?q >0，且a 2>1，a 3>1. 若公比q ∈(0，1]， 则4a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e a 1＋a 2＋a 3>e2＋a 1>7e a 1>7a 1＋7>4a 1，产生矛盾. 所以公比q >1，故a 1 答案BC 等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。 例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思： 江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合 填空题 1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 ．已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---， 则1a = ． 【答案】2-或 126 6 ．观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如 下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 ．若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上 第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和 知识提要 1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A （1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）. 如果n n a ∞ →lim =A ，n n b ∞ →lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； ②B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n n a a A B b b B →∞ →∞→∞ ==≠. （2）数列极限的几种类型： ①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和. ③指数型0(1) 1(1)lim ;(1)(1)n n q q q q q →∞ ? 不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞?????表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和 2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1 lim 1n n a S S q →∞ == -存在. （1）1 1,0;1q q a S q <≠???=?-? 注意区别： (a)11lim ≤<-?∞→q q n n 存在; (b)1||0lim 选讲1 等差数列求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习4：计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分 等差数列与等比数列综合问题（3）教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题． 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式． 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和，求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0，= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理，仅供供参考 知数列{an}的通项公式为an= .求证：对于任意的正整数n，均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．（a）1 （b）2 （c）3 （d）4 2 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．（a）－5 （b）7 （c）9 （d）14 3 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是． 4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又cn ＝an－bn（n∈n+），已知试求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式． ————来源网络整理，仅供供参考 2 第五讲 数列综合题 例题讲解 例1、在公差为(0)d d ≠的等差数列{}n a 和公比为q 的等比数列{}n b 中，已知 11221,a b a b ===，83a b =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）是否存在常数,a b ，使得对于一切正整数n ，都有log n a n a b b =+成立？若存在， 求出常数a 和b ，若不存在，说明理由. 2、已知：f(x)＝4 12 -x （x <—2），,点An(1 1+- n a ,n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且a 1 ＝1. （1）证明数列{ 21 n a }为等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）设n b ＝ 1 111++n n a a ,记S n ＝b 1＋b 2＋……＋n b ，求n s . （4）数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足 3816221 21--+=++n n a T a T n n n n ，设定1b 的值，使得数列{}n b 是等差数列； 例3、已知数列{}n a 中，n s 是其前n 项和，并且)(24* 1N n a s n n ∈+=+且11=a . (1) 设)(2*1N n a a b n n n ∈-=+,求证数列{}n b 成等比数列. (2) 设)(2 * N n a c n n n ∈= ,求证：数列{}n c 是等差数列. (3) 求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和. 例4、已知数列{}n a ，3654=a ，且1331-+=-n n n a a )2(≥n . （1） 求1a ，2a ，3a ； （2） 若存在一个实数λ使得? ?? ?? ?+n n a 3λ为等差数列，求λ； （3） 求数列{}n a 的前n 项的和. 随堂练习 已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足)()()(q f p f q p f ?=+且3 1)1(=f 。 （1）、当+∈N n 时求)(n f 的表达式 （2）、设k n k n a N n n nf a 1 * ),)((=∑∈=求。 变式 1、若将题目中的条件“)()()(q f p f q p f ?=+”改为 【知识概述】 1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即 a n a n 1 d(n N ,n 2). 2.通项公式：a n a 1 (n 1)d (n N 4.递推公式：a n+1 a n +d (n N ) 5.中项公式：若a 、M 、b 成等差数列, 2M a+b ，称M 为a 、b 的等差中项, a+b 即M 丁 ；若数列a n 是等差数列，则 2a n 6.等差数列的简单性质：(m 、n 、p 、q 、k 若 m n p q ，则 a m a n a p a q ； m n 2p ,则 a m a n 2a p ； 2a m a m 1 a m 1 ； 2a m a m k + a m k a m a n ( m n)d ; S 2m 1 (2 m 1)a m ； 那么这 3.前n 项和公式：S n nd 血卫d n(a i a n ) a n i + a n 1( n 2). (6) S m , S 2m S m ,S 3m S 2m 仍为等差数列. f(n) ' an b n f(n)是n 的一次函数 f(n) 成等差数列. n 数列 ｛ a n ｝ 为等差数列 2 S n an bn 是n 的二次函数且常数项为零 【学前诊断】 已知等差数列｛a n｝中, (1)若a7 a9 16 ,a4 1 ,则a12= 已知数列a n是等差数列, 则k= 已知等差数列a n的前n项和为S n, (〔)右a3 a? a10 g, an a4 4,则S13 (2)若S2 2,S4 10, S6 【经典例题】 n的值. 求S n的最大值及相应的n值; T n a i a2 1. ［难度］易 2. (2)若a12,a2 a313, 贝U a4 a s a6= ［难度］中 (〔)右a4 a? a10 17 ,a4 a5 a6 L a12 a13 a14 77 且a k =13, 3. (2)若公差为-2，且a-i a4a97 5°,则a3 *6 a? a99 ［难度］中 例1 .在等差数列a n中, a2 9, a533,求a g. 例2.设S n表示等差数列a n的前n项和，且S9 18, S n 240,若a n 4 30(n 9)，求例3 ?在等差数列a n中, S m 30, S2m 100 ,求S3m. 例4.已知数列a n是一个等差数列，且a2 1,a5 5,S n 为其前n项和. (1) 求a n的通项a n ； 【最新整理，下载后即可编辑】 等差数列与等比数列的综合问题 【知识要点】 （一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质 （1）a m =a k +（m －k ）d ，d =k m a a k m --. （2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d . （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列. （6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ， 奇 偶S S = n n a a 1+， S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）； 若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ， 奇 偶S S =n n 1-，S 2n － 1 =（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质 （1）a m =a k ·q m －k . （2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2. （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列. （二）对于等差、等比数列注意以下设法： 1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路， 第五讲等差数列的基本认识 1、数列定义 （1） 1，2，3，4，5，6，7，8，… （2） 2，4，6，8，10，12，14，16，… （3） 1，4，9，16，25，36，49，… 若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8， (100) 2、等差数列 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差，例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。 3、计算等差数列的相关公式 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 项数＝（第几项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 例1、求等差数列3，5，7，…的第10项，第100项，并求出前100项的和。 例2、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。例3、计算：6＋7＋8＋9＋……＋74＋75 例4、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？ 例5、计算：（2＋4＋6＋......＋2000）－（1＋3＋5＋ (1999) 例6、有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？ 例7、求100以内（包括100）所有被5除余0的自然数的和。 例8、小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？ 课堂练习: 1、求所有除以4余1的两位数的和。 2、已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的偶数项之和与奇数项之和的差是多少？ 等差数列与等比数列的综合运用 班别： 坐号： 姓名： 1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。 2． 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列， 则这三个数分别是 。 3． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是 。 4． 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （ ） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列 5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （ ） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6． 已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ ， 则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7． 如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠） 8． 如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150， 则这个等差数列的公差为 。 9． 在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和：（1）21 123n n S x x nx -=++++ （2）23123n n S x x x nx =+++++ 第五讲 等差等比 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．在等差数列 } {n a 中， 8 36a a a +=，则 = 9S （ A ） A.0 B.1 C.1- D. -1或1 2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为q ，则2q 的值为（ D ） A.2 B. 21 5- C. 21 5+ D. 215± 3.已知数列{ n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且745 3n n A n B n += +，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5.设等差数列 {}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为1 3． ★★★高考要考什么 等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a 等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+=------该公式整理后是关于n 的一次函数 等差数列的前n 项和 1． 2)(1n n a a n S += 2. d n n na S n 2) 1(1-+= 3.Bn An S n +=2 等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即： 2b a A += 或 b a A +=2 等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项， m a 是等差 数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= 对于等差数列 {} n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。也就是： 《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业， 一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ） 第五讲 充要条件概念 【知识概要】 【例题及习题】 充要条件是高中数学的重要概念之一，数学思维的推证，总要从它开始.(反思：充要条件是逻辑用语，如何理解条件与 结论的相对性，教材安排的意图是什么) 一、 判断条件P 与结论q 的关系 1. 1应用充要条件的定义，直接判断 例1 “ a=1”是“函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为π”( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件 例 2 函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ） A a ∈(-∞,1] B a ∈[2,+)∞ C [1,2] D a ∈(-∞,1]?[2,+)∞ 例3 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 例 4 一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A a<0 B a>0 C a<-1 D a>1 例 5函数f(x)=ax 3+x+1有极值的充要条件为( ) A a>0 B a ≥0 C a<0 D a ≤0 例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 例 7在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,αβ是两个相交平面，空间两条直线l 1、l 2在α上的射影是直线 s 1,s 2,l 1,l 2在β上的射影是t 1,t 2.用s 1与s 2,t 1与t 2的位置关系，写出一 个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：_______ 等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A S 4 专 题2 数列 知识网络图解 一、数列的概念、性质 例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（ ） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（ ） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列 知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1， 要点 热点 探究 例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） （3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=Q 三点共线1 C.a 4>a 3>a 2>a 1
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第五讲 充要条件概念
等差数列与等比数列
+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 (7) 数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列｛a n ｝为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0等差、等比数列的综合问题
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