所以等差数列{a n}是递增数列，
又a8
a7<－1，所以a8>0，a7<0，
所以数列{a n}的前7项为负值，所以S n的最小值是S7.
(2)因为对任意的m，n∈N*，a m·a n＝a m＋n恒成立，
令m＝1，则a1·a n＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，
∴数列{a n}为等比数列，公比为a1，
由等比数列的性质有a3a5＝a24，因为a3·a5＋a4＝72，则a24＋a4＝72，
∵a4＞0，∴a4＝8，
∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7
＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2a74＝log287＝21.
答案(1)D(2)21
热点三等差、等比数列的判断与证明
【例3】已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n>0，S2n＝a2n＋1－λS n＋1，其中λ为常数.
(1)证明：S n＋1＝2S n＋λ；
(2)是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.
(1)证明∵a n＋1＝S n＋1－S n，S2n＝a2n＋1－λS n＋1，
∴S2n＝(S n＋1－S n)2－λS n＋1，
则S n
(S n＋1－2S n－λ)＝0.
＋1
∵a n>0，知S n＋1>0，∴S n＋1－2S n－λ＝0，
故S n
＝2S n＋λ.
＋1
(2)解由(1)知，S n＋1＝2S n＋λ，
当n≥2时，S n＝2S n－1＋λ，
＝2a n(n≥2，n∈N*)，
两式相减，a n
＋1
所以数列{a n }从第二项起成等比数列，且公比q ＝2. 又S 2＝2S 1＋λ，即a 2＋a 1＝2a 1＋λ， ∴a 2＝a 1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1. 因此a n ＝???1，n ＝1，
（λ＋1）·
2n －2，n ≥2.
若数列{a n }是等比数列，则a 2＝1＋λ＝2a 1＝2. ∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{a n }是等比数列.
探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n ≥1，n ∈N *，验证a n ＋1－a n ?
????
或
a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数；(2)中项公式法. 2.a n ＋1
a n ＝q 和a 2
n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判
定时还要看各项是否为零.
【训练3】 (2020·安徽六校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3n
＋1
＋3(n ∈N *).
(1)设b n ＝a n
3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝a n n －a n
3n ，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，求T n . (1)证明 由已知2S n ＝3a n －3n ＋1＋3(n ∈N *)，① n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－3n ＋3，②
①－②得：2a n ＝3a n －3a n －1－2·3n ?a n ＝3a n －1＋2·3n ， 故a n 3n ＝a n －1
3
n －1＋2，则b n －b n －1＝2(n ≥2).
又n ＝1时，2a 1＝3a 1－9＋3，解得a 1＝6，则b 1＝a 1
3＝2. 故数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴b n ＝2＋2(n －1)＝2n ?a n ＝2n ·3n . (2)解 由(1)，得c n ＝2·3n －2n
T n ＝2(3＋32＋33＋…＋3n )－2(1＋2＋…＋n )
＝2·3（1－3n ）1－3－2·（1＋n ）n 2＝3n ＋1－n 2－n －3.
热点四 等差、等比数列的综合问题
【例4】 (2020·北京西城区二模)从①前n 项和S n ＝n 2＋p (p ∈R )；②a n ＝a n ＋1－3；③a 6＝11且2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列{a n }中，a 1＝1，________，其中n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1，a n ，a m 成等比数列，其中m ，n ∈N *，且m >n >1，求m 的最小值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选择①：
(1)当n ＝1时，由S 1＝a 1＝1，得p ＝0. 当n ≥2时，由题意，得S n －1＝(n －1)2， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2). 经检验，a 1＝1符合上式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)
(2)由a 1，a n ，a m 成等比数列，得a 2n ＝a 1a m ， 即(2n －1)2＝1×(2m －1).
化简，得m ＝2n 2－2n ＋1＝2? ?
???n －122
＋12.
因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n ＝2时，m 有最小值5. 选择②：
(1)因为a n ＝a n ＋1－3，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以数列{a n }是公差d ＝3的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2(n ∈N *). (2)由a 1，a n ，a m 成等比数列，得a 2n ＝a 1a m ， 即(3n －2)2＝1×(3m －2).
化简，得m ＝3n 2
－4n ＋2＝3? ??
??n －232＋23.
因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n ＝2时，m 取到最小值6. 选择③：
(1)因为2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， 所以数列{a n }是等差数列. 设数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 6＝a 1＋5d ＝11， 所以d ＝2.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *) .
(2)因为a 1，a n ，a m 成等比数列，所以a 2n ＝a 1a m ， 即(2n －1)2＝1×(2m －1).
化简，得m ＝2n 2－2n ＋1＝2? ?
???n －122
＋12.
因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n ＝2时，m 有最小值5.
探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.
2.数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.
【训练4】 (2020·海南诊断)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________.是否存在正整数k ，使得S k >2 020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由.
从①q ＝2，②q ＝1
2，③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面横线处并作答. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选择①：存在满足条件的正整数k . 求解过程如下：
因为a 3＝12，所以a 1＝a 3
q 2＝3.
所以S n ＝3（1－2n ）
1
－2
＝3(2n －1).
令S k >2 020，则2k >2 023
3.
因为29<2 023
3<210，所以使S k >2 020的正整数k 的最小值为10. 选择②：不存在满足条件的正整数k . 理由如下：
因为a 3＝12，所以a 1＝a 3
q 2＝48. 所以S n ＝48×? ?
???1－12n 1－12
＝96
? ?
???1－12n . 因为S n <96<2 020，所以不存在满足条件的正整数k . 选择③：存在满足条件的正整数k . 求解过程如下：
因为a 3＝12，所以a 1＝a 3
q 2＝3.
所以S n ＝3×[1－（－2）n ]
1－（－2）＝1－(－2)n .
令S k >2 020，则1－(－2)k >2 020， 整理得(－2)k <－2 019. 当k 为偶数时，原不等式无解.
当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2 019. 所以使S k >2 020的正整数k 的最小值为11.
A 级 巩固提升
一、选择题
1.(2020·武汉质检)在正项等比数列{a n }中，若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝( ) A.2
B.4
C.1
2
D.8
解析 设数列{a n }的公比为q .
由已知得?????a 1（q 4－1）＝15，a 1q （q 2－1）＝6，即q 4－1q （q 2－1）
＝52，解得q ＝12或q ＝2.当q ＝1
2时，a 1
＝－16，不符合题意；当q ＝2时，a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4，故选B. 答案 B
2.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( ) A.12
B.24
C.30
D.32
解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3
＝2
1＝2，
所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.故选D. 答案 D
3.(多选题)(2020·潍坊一模)已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S
4.下列四个命题正确的是( ) A.数列{S n }中的最大项为S 10 B.数列{a n }的公差d <0 C.S 10>0 D.S 11<0
解析 因为S 5>S 6>S 4，所以a 6<0，a 5>0且a 5＋a 6>0，所以数列{S n }中的最大项为S 5，A 错误；数列{a n }的公差d <0，B 正确；S 10＝（a 1＋a 10）×102＝5(a 5＋a 6)>0，
C 正确；S 11＝（a 1＋a 11）×11
2＝11a 6<0，D 正确.故选BCD.
答案 BCD
4.(2020·安徽十四校联盟段考)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 020这2 020个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
{a n }，则此数列的项数为( ) A.167
B.168
C.169
D.170
解析 由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以a n ＝12n －11，n ∈N *，由a n ≤2 020，得n ≤1691
4.因为n ∈N *，所以此数列的项数为169. 答案 C
5.(多选题)(2020·浙江卷改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且a 1
d ≤1.记b 1＝S 2，b n ＋1＝S 2n ＋2－S 2n ，n ∈N *，下列等式可能成立的是( ) A.2a 4＝a 2＋a 6 B.2b 4＝b 2＋b 6
C.a 24＝a 2a 8
D.b 2
4＝b 2b 8
解析 由题意，知b 1＝S 2＝a 1＋a 2，b n ＋1＝S 2n ＋2－S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2， 可得b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ＞1，n ∈N *). 由{}a n 为等差数列，可知{}b n 为等差数列.
选项A 中，由a 4为a 2，a 6的等差中项，得2a 4＝a 2＋a 6，成立. 选项B 中，由b 4为b 2，b 6的等差中项，得2b 4＝b 2＋b 6，成立. 选项C 中，a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，a 8＝a 1＋7d .
由a 24＝a 2a 8，可得(a 1＋3d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，
化简得a 1d ＝d 2
，又由d ≠0，可得a 1＝d ，符合a 1
d ≤1，成立.故A ，B ，C 均符合题
意要求，
b 2＝a 3＋a 4＝2a 1＋5d ，b 4＝a 7＋a 8＝2a 1＋13d ， b 8＝a 15＋a 16＝2a 1＋29d .
由b 24＝b 2b 8，知(2a 1＋13d )2
＝(2a 1＋5d )(2a 1＋29d )，
化简得2a 1d ＝3d 2，又由d ≠0，可得a 1d ＝32.
这与已知条件a 1
d ≤1矛盾.D 错. 答案 ABC 二、填空题
6.(2020·新高考山东、海南卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.
解析 (观察归纳法) 数列{2n －1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5. 故前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n .
答案 3n 2－2n
7.(2020·湖北四城七校联考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，a 3＋a 6＝2，则a 9＝________.
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，所以2S 9＝S 3＋S 6，显然q ＝1不满足此式，所以q ≠1，所以2a 1（1－q 9）
1－q
＝
a 1（1－q 3）
1－q
＋
a 1（1－q 6）
1－q
，整理得1＋q 3＝2q 6，即(2q 3＋1)(q 3－
1)＝0，解得q 3＝－12.又a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝a 1q 2(1＋q 3)＝1
2a 1q 2＝2，所以a 1q 2＝4，所以a 9＝a 1q 8＝a 1q 2·q 6＝4×? ????－122
＝1.
答案 1
8.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________.
解析 由题意得a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， 解得a 1＝－4，d ＝1，
所以a 5＝a 1＋4d ＝0， 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.
令a n ≤0，则n ≤5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后项为正. ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案 0 －10 三、解答题
9.(2020·滨州一监)在①b 2b 3＝a 16，②b 4＝a 12，③S 5－S 3＝48这三个条件中任选一个，补充至横线上.若问题中的正整数k 存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 设正数等比数列{b n }的前n 项和为S n ，{a n }是等差数列，________，b 3＝a 4，a 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，是否存在正整数k ，使得S k ＋1＝S k ＋b k ＋32成立？ (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 在等差数列{a n }中，∵a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30， ∴a 5＝10，∴公差d ＝a 5－a 15－1＝2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ， ∴b 3＝a 4＝8.
假设存在正整数k ，使得S k ＋1＝S k ＋b k ＋32成立，即b k ＋1＝b k ＋32成立.设正数等比数列{b n }的公比为q (q >0). 若选①. ∵b 2b 3＝a 16，
∴b 2＝4，∴q ＝b 3
b 2
＝2，∴b n ＝2n .
∵2k ＋
1＝2k ＋32，解得k ＝5.
∴存在正整数k ＝5，使得S k ＋1＝S k ＋b k ＋32成立. 若选②.
∵b 4＝a 12＝24，∴q ＝b 4
b 3
＝3，∴b n ＝8·3n －3.
∵8·3k －2＝8·3k －3＋32，∴3k －3＝2，该方程无正整数解， ∴不存在正整数k ，使得S k ＋1＝S k ＋b k ＋32成立.
若选③.
∵S 5－S 3＝48，即b 4＋b 5＝48， ∴8q ＋8q 2＝48，即q 2＋q －6＝0， 解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，∴b n ＝2n . ∵2k ＋1＝2k ＋32，解得k ＝5.
∴存在正整数k ＝5，使得S k ＋1＝S k ＋b k ＋32成立.
10.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n . (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列??????
????4a n （a n ＋2）的前
n 项和为T n ，求证：1
2≤T n <1.
(1)解 因为2S n ＝(n ＋1)a n ， 所以2S n －1＝na n －1(n ≥2).
两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1(n ≥2)， 即(n －1)a n ＝na n －1(n ≥2)，
所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 1
1.
因为a 1＝2，所以a n ＝2n .
(2)证明 a n ＝2n ，令b n ＝4
a n （a n ＋2）
，n ∈N *，
则b n ＝42n （2n ＋2）＝1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1.
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ??
??1n －1n ＋1 ＝1－1
n ＋1.
因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1
<1.
因为y ＝1
n ＋1
在N *上是递减函数，
所以y ＝1－1
n ＋1
在N *上是递增函数.
所以当n ＝1时，T n 取得最小值12.所以1
2≤T n <1.
B 级 能力突破
11.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列.若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16
a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )
A.4
B.3
C.23－2
D.92
解析 由题意a 1，a 3，a 13成等比数列，得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2. 故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. 因此
2S n ＋16a n ＋3
＝2n 2＋162n ＋2
＝n 2＋8n ＋1
＝
（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9
n ＋1
＝(n ＋1)＋
9n ＋1
－2≥2（n ＋1）×
9n ＋1
－2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4.
答案 A
12.(2020·淄博模拟)已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；
(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝1
2
，
∴T m ＝4??????1－? ????12m
1－12＝8??????1－? ????12m
， ∵? ????
12m
随m 的增大而减小， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8.
又S n ＝n （9－n ）2＝－12??????
? ????n －922
－814， 故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，
若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n 2. 故实数λ的取值范围为(2，＋∞).
等差数列和等比数列的总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：
等差、等比数列知识点总结
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122，， 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义： q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ，则 四、求数列}{n a 的最大的方法： 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法： 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。 例：已知数列}{n a 的通项公式为：n n n n a 10) 1(9+=，求数列}{n a 的最大项。
小学奥数五年级精讲选讲1 等差数列求和
选讲1 等差数列求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习4：计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推导过程：叠加法 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项： 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
第01讲等差数列及其性质
【知识概述】 1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即 a n a n 1 d(n N ,n 2). 2.通项公式：a n a 1 (n 1)d (n N 4.递推公式：a n+1 a n +d (n N ) 5.中项公式：若a 、M 、b 成等差数列, 2M a+b ，称M 为a 、b 的等差中项, a+b 即M 丁 ；若数列a n 是等差数列，则 2a n 6.等差数列的简单性质：(m 、n 、p 、q 、k 若 m n p q ，则 a m a n a p a q ； m n 2p ,则 a m a n 2a p ； 2a m a m 1 a m 1 ； 2a m a m k + a m k a m a n ( m n)d ; S 2m 1 (2 m 1)a m ； 那么这 3.前n 项和公式：S n nd 血卫d n(a i a n ) a n i + a n 1( n 2). (6) S m , S 2m S m ,S 3m S 2m 仍为等差数列. f(n) ' an b n f(n)是n 的一次函数 f(n) 成等差数列. n 数列 ｛ a n ｝ 为等差数列 2 S n an bn 是n 的二次函数且常数项为零
【学前诊断】 已知等差数列｛a n｝中, (1)若a7 a9 16 ,a4 1 ,则a12= 已知数列a n是等差数列, 则k= 已知等差数列a n的前n项和为S n, (〔)右a3 a? a10 g, an a4 4,则S13 (2)若S2 2,S4 10, S6 【经典例题】 n的值. 求S n的最大值及相应的n值; T n a i a2 1. ［难度］易 2. (2)若a12,a2 a313, 贝U a4 a s a6= ［难度］中 (〔)右a4 a? a10 17 ,a4 a5 a6 L a12 a13 a14 77 且a k =13, 3. (2)若公差为-2，且a-i a4a97 5°,则a3 *6 a? a99 ［难度］中 例1 .在等差数列a n中, a2 9, a533,求a g. 例2.设S n表示等差数列a n的前n项和，且S9 18, S n 240,若a n 4 30(n 9)，求例3 ?在等差数列a n中, S m 30, S2m 100 ,求S3m. 例4.已知数列a n是一个等差数列，且a2 1,a5 5,S n 为其前n项和. (1) 求a n的通项a n ；
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，
《等差数列》第一课时教案
《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A S 4+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 (7) 数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列｛a n ｝为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)
等差数列与等比数列的类比 一、选择题（本大题共1小题，共5.0分） 1.记等差数列{a n}的前n项和为S n，利用倒序求和的方法得S n=n(a1+a n) 2 ； 类似地，记等比数列{b n}的前n项积为T n，且b n>0(n∈N?)，类比等差数列求和的方法，可将T n表示成关于首项b1，末项b n与项数n的关系式为( ) A. (b1b n)n B. nb1b n 2C. nb1b n D. nb1b n 2 1. A 二、填空题（本大题共9小题，共45.0分） 2.在公差为d的等差数列{a n}中有：a n=a m+(n?m)d(m、n∈N+)， 类比到公比为q的等比数列{b n}中有：______ ． 2. b n=b m?q n?m(m，n∈N?) 3.数列{a n}是正项等差数列，若b n=a1+2a2+3a3+?+na n 1+2+3+?+n ，则数列{b n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n}，若d n=______ 则数列{d n}也为等比数列． 3. (c 1 c22c33…c n n)1 4.等差数列{a n}中，有a1+a2+?+a2n+1=(2n+1)a n+1，类比以上性 质，在等比数列{b n}中，有等式______ 成立． 4. b1b2…b2n+1=b n+1 2n+1 5.若等比数列{a n}的前n项之积为T n，则有T3n=(T2n T n )3；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n项之和为S n，则有______ ． 5. S3n=3(S2n?S n) 6.已知在等差数列{a n}中，a11+a12+?+a20 10=a1+a2+?a30 30 ，则在等比数列{b n} 中，类似的结论为______ 10b11?b12?…?b20=30b1?b2?b3?…?b30 7.在等比数列{a n}中，若a9=1，则有a1?a2…a n=a1?a2…a17?n(n< 17，且n∈N?)成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7=0，则有______ ． b1+b2+?+b n=b1+b2+?+b13?n(n<13，且n∈N?)
(完整版)高考等差等比数列知识点总结
高考数列知识点 等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = + 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数） 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列 7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值 法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性 *n N ∈。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由?? ?≤≥+0 1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001>等差数列与等比数列十大例题
等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，
第1讲 等差数列与等比数列
第1讲 等差数列与等比数列 高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 真 题 感 悟 1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝1 2n 2－2n 解析 设首项为a 1，公差为d . 由S 4＝0，a 5＝5可得?????a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得?????a 1＝－3， d ＝2. 所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ×(－3)＋n （n －1） 2×2＝n 2 －4n . 答案 A 2.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n ＝( ) A.2n －1 B.2－21－n C.2－2n －1 D.21－n －1
解析 法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝24 12＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －1 2n － 1＝2－21－n . 法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则?????a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，② ②①得a 4 a 3 ＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3 q 2＝1，下同法一. 答案 B 3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝3 4，则S 4＝ ________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝3 4， 则4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－1 2， ∴S 4＝ 1×? ??? ??1－? ??? ?－124 1－? ????－12＝58. 答案 58 4.(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1 ＝3b n －a n －4. (1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式.
等差数列与等比数列的基本运算
一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②
等差等比数列知识点梳理及经典例题
A 、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由n a 与n S 的关系求n a 由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段 函数的形式表示为1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。 解答：（1） （2） …… 累乘可得， 故 （3）
二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2 n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差 数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2 n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{ 1 n S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g → 1n S 与1 1n S -的关系→结论； （2）由 1 n S 的关系式→n S 的关系式→n a
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即 d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项： （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为： ()d n a a n 11-+= 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．
高中数学必修5：等差数列与等比数列知识对比表
高中数学必修5：等差数列与等比数列知识比较一览表等差数列等比数列 定义一般地,如果一个数列{} n a从第2项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫 做等差数列．这个常数d叫公差． 等差数列的单调性： 数列{} n a为等差数列,则 当公差0 d>，则为递增等差数列， 当公差0 d<，则为递减等差数列， 当公差0 d=，则为常数列． 一般地，如果一个数列{} n a从第2项起，每一项 与它的前一项的比等于同一个常数q，那么这个数 列就叫等比数列．这个常数q叫公比． 等比数列的单调性： 数列{} n a为等比数列,则 当1 q>时，1 1 0{} 0{} {n n a a a a > < ，则为递增数列 ，则为递减数列； 当1 q< 0<时，1 1 0{} 0{} {n n a a a a > < ，则为递减数列 ，则为递增数列 当q=1时,该数列为常数列，也为等差数列; 当q<0时,该数列为摆动数列. 判定方法等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n = - -1 或 d a a n n = - +1 (常数* ∈N n)?{}n a是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a是等差数列 )2 ( 2 1 1- ≥ + = ? + n a a a n n n2 1 2 + + + = ? n n n a a a （3）通项公式：b kn a n + =（b k,是常数） ?数列{}n a是等差数列 （4）前n项和公式：数列{}n a是等差数列 ?2 n S An Bn =+,（其中A、B是常数）。 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意n,都有 1 1 (0) n n n n n a a qa q q a a + + ==≠ 或为常数， ?{} n a为等比数列 （2）等比中项：2 11 n n n a a a +- =（ 11 n n a a +- ≠0） ?{} n a为等比数列 （3）通项公式：()0 n n a A B A B =??≠ ?{} n a为等比数列 （4）前n项和公式： () '',,',' n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=- 或为常数 ?{} n a为等比数列 证明方法等差数列的证明方法：只能依据定义： 定义法：若d a a n n = - -1 或d a a n n = - +1 (常数* ∈N n)?{}n a是等差数列． 等比数列的证明方法：只能依据定义： 若()()* 1 2, n n a q q n n N a - =≠≥∈ 0且或1 n n a qa + = ?{} n a为等比数列 递推关系① 121 n n a a a a + -=-（* n N ∈） ② 1 n n a a d + -=（* n N ∈） ③ 11 n n n n a a a a +- -=-（* 2, n n N ≥∈） ①12 1 n n a a a a +=（ * n N ∈） ②1n n a q a +=（* 0, q n N ≠∈） ③1 1 n n n n a a a a + - =（* 2, n n N ≥∈） 通项公式① 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-=b kn+ 推广：()d m n a a m n - + =（m、* n N ∈） 特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式． 此公式比等差数列的通项公式更具有一般性． m n a a d m n - - =， 1 1 - - = n a a d n，()d n a a n 1 1 - - = ② n a pn q =+（* ,, p q n N ∈ 为常数） 是关于n的一次函数，且斜率为公差d ③由 n S的定义， n a= ? ? ? ≥ - = - )2 ( )1 ( 1 1 n S S n S n n （* n N ∈） ①() 11 1 n n n n a a a q q A B A B q - ===??≠ 推广：m n m n q a a- ? =（m、* n N ∈） 特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式．, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性． n m n m a q a -=， 1 1 a a q n n= -，n n q a a- ? =1 1 ②n n q p a? =（* ,,0,0, p q q p n N ≠≠∈ 是常数） ③由 n S的定义， () () ? ? ? ? ? ≥ = = - 2 1 1 1 n S S n S a n n n （* n N ∈）
