第9讲 圆锥曲线的综合问题
一、知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.
由?
????Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元(如消去y )，得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)；
②若a ≠0，Δ＝b 2
－4ac .
a ．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
b ．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
c ．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长： |P 1P 2|＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝1＋k 2
·|x 1－x 2| ＝? ??
??1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]
＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|．
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(3)直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，联立直线方程与曲线方程，消去y 得Ax 2
＋Bx ＋C
＝0，Δ＝B 2
－4AC >0，则|PQ |＝Δ（1＋k 2）
|A |
.
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a y 0；在双曲线x 2
a 2－
y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2
＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p
y 0．在使用根与系数关系时，要注意前提条件是
Δ≥0.
常用结论
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系的特点
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 二、教材衍化
1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选C.过(0，1)与抛物线y 2
＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
2．已知与向量v ＝(1，0)平行的直线l 与双曲线x 2
4－y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |
的最小值为________．
解析：由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 2
4
－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2
)，
所以x 1＝4（1＋m 2）＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2
， 所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2
≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案：4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l 与抛物线y 2
＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2
－y 2
＝1一定相交．( )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 2
4＋y 2
＝1只有一条切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大； (2)不会用函数法解最值问题； (3)错用双曲线的几何性质．
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
解析：选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.
2．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线y 2
＝－2px (0＜p ＜14)和圆(x －4)2
＋y 2
＝9分别交于A ，B 和C ，D ，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB |·|CD |取得最大值时，直线AB 的方程为________．
解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得p
2＝1或7，又0＜p ＜14，故p ＝2，设
直线AB 的方程为x ＝－t (0＜t ＜3)，则直线CD 的方程为x ＝4－t ，则|AB |·|CD |＝
24t ·29－t 2＝8t （9－t 2）(0＜t ＜3)，设f (t )＝t (9－t 2
)(0＜t ＜3)，则f ′(t )＝9－3t 2
(0＜t ＜3)，令f ′(t )＞0?0＜t ＜3，令f ′(t )＜0?3＜t ＜3，故f (t )max ＝f (3)，此时直线AB 的方程为x ＝－ 3.
答案：x ＝－ 3
3．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x
轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，只要∠AF 2B 为钝角即可，所以有b 2
a
＞2c ，
即b 2
＞2ac ，所以c 2
－a 2
＞2ac ，即e 2
－2e －1＞0，所以e ＞1＋ 2.
答案：(1＋2，＋∞)
第1课时 圆锥曲线中的范围、最值问题
最值问题(多维探究) 角度一 数形结合利用几何性质求最值
已知椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点A (2，4)，则
|PA |－|PF |的最小值为________．
【解析】
如图，设椭圆的左焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝4，
所以|PF |＝4－|PF ′|，所以|PA |－|PF |＝|PA |＋|PF ′|－4.当且仅当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |＋|PF ′|取最小值|AF ′|＝（2＋1）2
＋16＝5，所以|PA |－|PF |的最小值为1.
【答案】 1
角度二 建立目标函数求最值
如图，已知抛物线x 2
＝y ，点A ? ????－12，14，B ? ???
?32，94，抛物线上的点P (x ，y )? ??
??－12 (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值． 【解】 (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－ 14x ＋ 12 ＝x －1 2， 因为－12 2，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程?????kx －y ＋12k ＋1 4 ＝0，x ＋ky －94k －3 2＝0， 解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2 ＋4k ＋3 2（k 2 ＋1）. 因为|PA |＝ 1＋k 2? ????x ＋12＝ 1＋k 2 (k ＋1)， |PQ |＝ 1＋k 2 (x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1） 2 k 2＋1 ， 所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3 . 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3 ， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2 ， 所以f (k )在区间? ????－1，12上是增加的，? ????12，1上是减少的， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值27 16. 角度三 构造基本不等式求最值 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2 3 ＝1(a >0)的一个焦点为F (－1，0)，左、右顶点分别为A ， B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于 C ， D 两点． (1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． 【解】 (1)由题意，c ＝1，b 2 ＝3， 所以a 2 ＝4， 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2 3 ＝1， 易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得?????x 24＋y 2 3＝1， y ＝x ＋1， 消去y ，得7x 2 ＋8x －8＝0，Δ＝288＞0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－8 7， 所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2 －4x 1x 2＝ 24 7 . (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0； 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 联立方程，得?????x 24＋y 2 3＝1， y ＝k （x ＋1）， 消去y ，得(3＋4k 2 )x 2 ＋8k 2 x ＋4k 2 －12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 2 3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2 －12 3＋4k 2， 此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 1＋x 2)＋2k |＝ 12|k | 3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝ 123 |k | ＋4|k |≤ 122 3|k | ·4|k |＝12 212＝ 3 ? ?? ?? 当且仅当k ＝±32时等号成立， 所以|S 1－S 2|的最大值为 3. 圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． (2020·河北武邑中学模拟)抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线 交抛物线于A ，B 两点． (1)O 为坐标原点，求证：OA →·OB → ＝－3； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最 小值． 解：(1)证明：依题意得F (1，0)，且直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 联立? ????x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2 －4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1， 故OA →·OB → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 由(1)知2S △AOB ＝2×1 2|OF ||y 1－y 2| ＝（y 1＋y 2）2 －4y 1y 2＝41＋m 2 ， 所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4. 范围问题(多维探究) 角度一 求代数式的取值范围 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2 ，且以原点为圆心，椭圆的焦 距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ－1＝0相切(θ为常数)． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求F 1M →·F 1N → 的取值范围． 【解】 (1)由题意，得?????e ＝c a ＝22 ，1sin 2 θ＋cos 2 θ＝c ， a 2 ＝b 2 ＋c 2 ??????c ＝1，a 2＝2，b 2 ＝1， 故椭圆C 的标准方程为x 2 2＋y 2 ＝1. (2)由(1)得F 1(－1，0)，F 2(1，0)． ①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝1，不妨记M ? ?? ??1， 22，N ? ?? ??1，－ 22， 所以F 1M →＝? ????2，22，F 1N →＝? ????2，－22，故F 1M →·F 1N →＝7 2. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由?????y ＝k （x －1），x 2 2 ＋y 2 ＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2 －2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2 1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2 －21＋2k 2. F 1M →＝(x 1＋1，y 1)，F 1N → ＝(x 2＋1，y 2)， 则F 1M →·F 1N → ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2 ＋(1－k 2 )(x 1＋x 2)＋1＋k 2 ， 代入可得F 1M →·F 1N →＝2（k 4－1）2k 2 ＋1＋4k 2－4k 42k 2＋1＋1＋k 2 ＝7k 2 －12k 2＋1＝72－9 22k 2＋1， 由k 2 ≥0可得F 1M →·F 1N →∈??????－1，72. 综上，F 1M →·F 1N →∈??? ???－1，72. 角度二 求参数的取值范围 已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ? ?? ??3， 32. (1)求椭圆C 的方程； (2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B → ，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围． 【解】 (1)由?????2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得???a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)， 联立方程，得? ????y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，整理得? ????3k 2＋4y 2－6 k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 2 3＋4k 2， 又AF 1→＝λF 1B →，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ（1－λ） 2(y 1＋y 2)2 ， 则 （1－λ） 2 λ ＝ 43＋4k 2，λ＋1λ－2＝4 3＋4k 2， 因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜4 3， 即12≤43＋4k 2 ＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤5 2. 故直线l 的斜率k 的取值范围是? ? ? ??0， 52. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． (2020·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c ， 0)的最大距离是2＋1，且1，2a ，4c 成等比数列． (1)求椭圆的方程； (2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m ，0)，求实数m 的取值范围． 解：(1)由已知可得???a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2 a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，解得???a ＝2， b ＝1， c ＝1， 所以椭圆的方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. (2)由题意得F (1，0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． 与椭圆方程联立得? ????x 2 ＋2y 2 －2＝0，y ＝k （x －1），消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2 －2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2 1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝ －2k 1＋2k 2. 可得线段AB 的中点为N ? ?? ? ?2k 2 1＋2k 2，－k 1＋2k 2. 当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0. 当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ? ? ? ??x － 2k 2 1＋2k 2， 化简得ky ＋x － k 2 1＋2k 2 ＝0.令y ＝0，得x ＝ k 2 1＋2k 2 . 所以m ＝k 2 1＋2k 2＝ 1 1 k 2＋2 ∈? ????0，12. 综上所述，实数m 的取值范围为???? ??0，12. [基础题组练] 1.(2020·河南新乡二模)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3，6)，圆C 2：x 2 ＋y 2 －6x ＋8＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ， N ，则|PN |＋3|QM |的最小值为( ) A ．12＋4 3 B ．16＋4 3 C ．16＋6 3 D ．20＋6 3 解析：选C.设抛物线的方程为y 2 ＝2px (p ＞0)， 则36＝2p ×3，则2p ＝12， 所以抛物线的方程为y 2 ＝12x ，设抛物线的焦点为F ，则F (3，0)， 准线方程为x ＝－3， 圆C 2：x 2 ＋y 2 －6x ＋8＝0的圆心为(3，0)，半径为1，由直线PQ 过抛物线的焦点，则 1 |PF |＋1|QF |＝2p ＝13 . |PN |＋3|QM |＝|PF |＋1＋3(|QF |＋1) ＝|PF |＋3|QF |＋4＝3(|PF |＋3|QF |)? ????1|PF |＋1|QF |＋4＝3? ?? ??4＋3|QF ||PF |＋|PF ||QF |＋4≥3(4 ＋23)＋4＝16＋63? ?? ??当且仅当3|QF ||PF |＝|PF ||QF |时，取等号.故选C. 2．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2 ＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( ) A ．(10，14) B ．(12，14) C ．(10，12) D ．(9，11) 解析：选C.抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1， 圆(x －1)2 ＋y 2 ＝25的圆心为C (1，0)，半径为5， 可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ， 由抛物线y 2 ＝4x 及圆(x －1)2 ＋y 2 ＝25可得交点的横坐标为4，即有x P ∈(4，6)，可得6＋x P ∈(10，12)， 故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C. 3．(2020·湖南湘潭一模)已知F (3，0)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点， 点M ? ????3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且k OA ＋k OB ＝－1 2 (O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率的取值范围． 解：(1)由题意知，椭圆的另一个焦点为(－3，0)， 所以点M 到两焦点的距离之和为 （23）2 ＋? ????122 ＋1 2 ＝4. 所以a ＝2. 又因为c ＝3，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA ＋k OB ＝0，不符合题意． 故设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立?????x 2 4＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ， 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2 －1)＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4（m 2 －1）4k 2 ＋1 . 而k OA ＋k OB ＝y 1x 1＋y 2x 2＝（kx 1＋m ）x 2＋（kx 2＋m ）x 1x 1x 2＝2k ＋m （x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ＋－8km 24（m 2 －1） ＝－2k m 2－1 . 由k OA ＋k OB ＝－12，可得m 2 ＝4k ＋1，所以k ≥－14. 又由Δ＞0，得16(4k 2 －m 2 ＋1)＞0， 所以4k 2 －4k ＞0，解得k ＜0或k ＞1， 综上，直线l 的斜率的取值范围为???? ??－14，0∪(1，＋∞)． 4．(2020·银川模拟)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，直 线l ：x ＝a 2 交x 轴于点A ，且AF 1→＝2AF 2→. (1)试求椭圆的方程； (2)过点F 1，F 2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D ，E ，M ，N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值． 解：(1)由题意知，|F 1F 2|＝2c ＝2，A (a 2 ，0)， 因为AF 1→＝2AF 2→ ，所以F 2为线段AF 1的中点， 则a 2 ＝3，b 2 ＝2，所以椭圆方程为x 23＋y 2 2＝1. (2)当直线DE 与x 轴垂直时，|DE |＝2b 2 a ＝4 3 ， 此时|MN |＝2a ＝23，四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN | 2＝4. 同理当MN 与x 轴垂直时， 也有四边形DMEN 的面积S ＝ |DE |·|MN | 2 ＝4. 当直线DE ，MN 与x 轴均不垂直时， 设直线DE ：y ＝k (x ＋1)(k ≠1)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 代入椭圆方程，消去y 可得(2＋3k 2 )x 2 ＋6k 2 x ＋3k 2 －6＝0， 则x 1＋x 2＝－6k 2 2＋3k 2，x 1x 2＝3k 2 －6 2＋3k 2， 所以|x 1－x 2|＝43×k 2 ＋1 2＋3k 2 ， 所以|DE |＝k 2 ＋1|x 1－x 2|＝43（k 2 ＋1） 2＋3k 2 . 同理|MN |＝ 43???? ??? ????－1k 2＋12＋3? ?? ? ?－1k 2＝ 43? ????1k 2＋12＋ 3 k 2 ， 所以四边形DMEN 的面积S ＝ |DE |·|MN |2＝12×43（k 2 ＋1） 2＋3k 2 ×43? ?? ? ?1k 2＋12＋ 3 k 2 ＝ 24? ?? ??k 2＋1k 2＋26? ?? ??k 2＋1k 2＋13， 令u ＝k 2 ＋1k 2，则S ＝4－413＋6u . 因为u ＝k 2 ＋1k 2≥2，当k ＝±1时，u ＝2，S ＝9625， 且S 是以u 为自变量的增函数，则96 25 ≤S ＜4. 综上可知，9625≤S ≤4，故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为96 25 . [综合题组练] 1．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于22 3，P 是椭圆E 上的 点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→ ＝1. (1)求椭圆E 的方程； (2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围． 解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c . 因为椭圆E 的离心率等于22 3， 所以c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 2 9. 因为以线段PF 1为直径的圆经过F 2， 所以PF 2⊥F 1F 2. 所以|PF 2|＝b 2 a . 因为9PF 1→·PF 2→ ＝1， 所以9|PF 2→ |2 ＝ 9b 4 a 2 ＝1. 由?????b 2 ＝a 2 99b 4a 2 ＝1 ，得? ????a 2＝9b 2 ＝1， 所以椭圆E 的方程为y 2 9 ＋x 2 ＝1. (2)因为直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－1 2相交， 所以直线l 不可能与x 轴垂直， 所以设直线l 的方程为y ＝kx ＋m . 由?????y ＝kx ＋m 9x 2＋y 2 ＝9 ，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋m 2 －9＝0. 因为直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， 所以Δ＝4k 2m 2 －4(k 2 ＋9)(m 2 －9)>0， 即m 2 －k 2 －9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9 . 因为线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， 所以2×x 1＋x 2 2 ＋1＝0， 即 －2km k 2＋9 ＋1＝0. 由? ????m 2－k 2 －9<0－2km k 2 ＋9＋1＝0，得? ??? ?k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. 因为k 2 ＋9>0，所以k 2＋94k 2－1<0，所以k 2 >3， 解得k >3或k <－ 3. 所以直线l 的倾斜角的取值范围为? ????π3，π2∪? ????π2 ，2π3. 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与 BM 的斜率之积为－1 2 .记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接 QE 并延长交C 于点G . (ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形； (ⅱ)求△PQG 面积的最大值． 解：(1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 2 2＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原 点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． (2) (ⅰ)证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)． 由?????y ＝kx ，x 24＋y 22 ＝1得x ＝±2 1＋2k 2 . 记u ＝ 21＋2k 2 ，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u ，0)． 于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k 2 (x －u )． 由?????y ＝k 2 （x －u ）， x 2 4＋y 22＝1 得(2＋k 2 )x 2 －2uk 2x ＋k 2u 2 －8＝0.① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解， 故x G ＝u （3k 2＋2）2＋k 2，由此得y G ＝uk 3 2＋k 2. 从而直线PG 的斜率为uk 3 2＋k 2－uk u （3k 2 ＋2）2＋k 2 －u ＝－1 k . 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． (ⅱ)由(ⅰ)得|PQ |＝2u 1＋k 2 ，|PG |＝2uk k 2 ＋1 2＋k 2 ， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k （1＋k 2 ）（1＋2k 2）（2＋k 2 ）＝8? ?? ??1k ＋k 1＋2? ?? ? ?1k ＋k 2 . 设t ＝k ＋1 k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t 1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大 值为169 . 因此，△PQG 面积的最大值为16 9. 2019-2020年高中数学选修2-1圆锥曲线 教学目标 （1）通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义； （2）通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义； （3）能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义． 教学重点，难点 （1）椭圆、抛物线、双曲线的定义； （2）用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义． 教学过程 一．问题情境 1．情境： 我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。提出问题： 2．问题： 用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？ 二．学生活动 学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线： 对于第一种情况，可在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们 都与截面相切（切点分别为，），且与圆锥面的侧面相切， 两球与圆锥面的侧面的公共点分别构成圆和圆． （图） 设点是平面与圆锥面的截线上任意一点，过M点作圆锥面的一条母 线，分别交圆，圆与，两点，则和，和分别是上下两球的切线．因 为过球外一点作球的切线长相等，所以，， 所以 12 MF MF MP MQ PQ +=+=． 因为，而，是常数，所以是一个常数．即截线上任意一点到两个定 点，的距离的和等于常数． 可直接给出放进双球后的图形，再由学生发现＂到感知、认同即可． 三．建构数学 1．椭圆的定义： 平面内到两定点，的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 说明： 图 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 高中数学选修2-1 圆锥曲线定义练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点， 垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 2.方程表示的曲线是（） Ａ．一条直线和一双曲线Ｂ．两条直线 Ｃ．两个点Ｄ．圆 3.已知点（4，2）是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的 方程是（） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 4.若不论k为何值，直线与曲线总有公共点， 则的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的 横坐标之和等于5，则这样的直线（） Ａ．有且仅有一条Ｂ．有且仅有两条 12 F F ， 22 22 1(0) x y a b a b +=>>M 2 MF 12 60 F MF ∠= 1 2232 22 ()(1)0 x y xy -+-= l 22 1 369 x y +=l 20 x y -= 240 x y +-= 2340 x y ++=280 x y +-= (2) y k x b =-+221 x y -= b ([ (22) -，[22] -， 24 y x =A B ， 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - - - - - - 线 - - - - - - - - - - - - - - 内 - - - - - - - - - - - - - - 请 - - - - - - - - - - - - - - 不 - - - - - - - - - - - - - - 要 - - - - - - - - - - - - - - 答 - - - - - - - - - - - - - - 题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ● 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH = 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞ 1 / 8 选修2-1圆锥曲线与方程（复习） 编者：史亚军 1. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 2. 能解决直线与圆锥曲线的一些问题； 3.激情投入，积极思考，勇于发言，培养科学的态度和正确的价值观。 学习重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质 学习难点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质 使用说明： （1）快速阅读教材第二章和所学导学案； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下 列问题，总结规律方法； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） 一．知识再现 问题1：回忆椭圆、双曲线、抛物线的第一定义及标准方程？ （1）椭圆的定义： 椭圆的标准方程： （2）双曲线的定义： 双曲线的标准方程： （3）抛物线的定义： 抛物线的标准方程： 组长评价： 教师评价： 问题2：根据下面的标准方程，作出相应椭圆、双曲线、抛物线的图形，并说明图像具有的几何性质？ （1）2212516x y += （2）22 12516 x y -= （3）28y x = 问题3：回忆椭圆、双曲线、抛物线的第二定义？ 一动点M 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e ， 如果常数e ∈ ，那么这个点的轨迹是椭圆； 如果常数e ∈ ，那么这个点的轨迹是双曲线； 如果常数e = ，那么这个点的轨迹是抛物线； 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。 请用第二定义推导焦半径公式：（12,F F 分别为左右焦点） （1）点P 是椭圆上一动点：1PF = ；2PF = ； （2）点P 是双曲线左支上一动点：1PF = ；2PF = ； （3）点P 是抛物线上一动点：1PF = ；2PF = ； 高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例 一、椭圆 1.椭圆的定义： 第一定义：平面内到 点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离叫做 第二定义: 平面内到 的距离之比是常数 的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的 ,常数e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 例1. F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A) 1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125 162 2≠=+y y x 例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2 ()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在 例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5 ∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) (A)32 (B)63 (C)22 (D)23 例5. P 点在椭圆 120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 . 例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1 ; ____. (4)离心率为2 3 ，经过点(2，0); 二、双曲线 1.双曲线的定义： 第一定义：平面内到 等于定值 的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点的距离叫做双曲线的 第二定义: 平面内到 距离之比是常数 的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的 ,常数e 叫做双曲线的离心率 标准方程 圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<= 高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 几类圆锥曲线问题 一、弦长问题 圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(11,y x )、B(22,y x )两点，则弦长|AB|为： (2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 例1 过抛物线2 4 1x y - =的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解．解答为： ∵ 抛物线方程为y x 42 -=， ∴焦点为(0，-1)． 设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 将此式代入y x 42 -=中得：0442 =-+kx x ．∴k x x x x 442121-=+-=， 由|AB|=8得:()()41441822 -??--?+=k k ∴1±=k 又有1tan ±=α得:4π α= 或4 3πα= . 分析二:利用焦半径关系.∵2 ,221p y BF p y AF +-=+ -= ∴|AB|=-(1y +y 2)+p=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(1x +x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成． 二、最值问题 方法1：定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解． 例2、已知点F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋ |PA |的最小值为________． 解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5， 即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9. 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 高考数学常用公式及结论 圆锥曲线 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?. 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=. 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部22 00221x y a b ?+>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程 是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=. 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22 00221x y a b ?-<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦 点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦 方程是 00221x x y y a b -=. 圆锥曲线综合--求轨迹方程 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 圆锥曲线综合--求轨迹方程 求轨迹的常用方法： （1）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （2）代入求轨法（坐标平移法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化，并且Q(x 1,y 1) 又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （3）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可 （5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均 用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 1、（1）一动圆过定点)0,1(A 且与定圆16)1(2 2 =++y x 相切，求动圆圆心的轨迹方程； （2）又若定点)0,2(A 定圆为4)2(22 =++y x 呢？ 2、△ABC 中，B （－3，8）、C （－1，－6），另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动，求此三角形重心G 的轨迹方程. 3、在平面直角坐标系中，若}2,{},2,{-=+=y x y x 8=+。求动点),(y x M 的轨迹C 的方程； 一、填空： 1．平面内到点A （0，1）、B （1，0）距离之和为2的点的轨迹为 2．已知M （－2，0）、N （2，0），动点P 满足|PM |－|PN |=4，则动点P 的轨迹方程是____________ 3．已知lg(2),lg |2|,lg(16)x y x -成等差数列，则点(,)P x y 的轨迹方程 __ 4．P 是椭圆15 92 2=+y x 上一点，过P 作其长轴垂线，M 是垂足，则PM 中点轨迹方程为______ 5．点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是 6．动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是 。 7、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 8、倾斜角为 4 π 的直线交椭圆42 x +y 2=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 9、理）两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 二、选择： 10、,a b 为任意实数，若(,)a b 在曲线(,)0f x y =上，则(,)b a 也在曲线(,)0f x y =上，那么曲线(,)0f x y =的几何特征是（ ） （A ）关于x 轴对（B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x －y =0对称 11、方程2 2 2 2 (1)0x x y ++-=的图象是（ ） （A ）y 轴或圆（B ）两点（0，1）与（0，－1）（C ）y 轴或直线y =1±（D ）答案均不对 12、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 三、解答 17、已知动点p 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p 点的轨迹方程。 18、抛物线y 2=x ＋1，定点A （3，1），B 是抛物线上任意一点，点P 在AB 上满足 BP ：P A =1：2，当点B 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程并指出轨迹是什么曲线？ 19、理）过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程。 专题：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则 有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0) 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在， 求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 高二数学第二章圆锥曲 线习题及答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 （数学选修1-1）第二章 圆锥曲线[提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ） A ．1(,4 B ．1(,8 C ．1(4 D ．1(8 2．椭圆 124 492 2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．24 3．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．?? ? ??1,21 C ．() 2,1 D ．()2,2 4．与椭圆14 22 =+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13 322=-y x D ．1222 =-y x 5．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点， 那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315- ） B ．（3 15 ,0） C ．（0,315-） D ．（1,3 15 -- ） 6．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称， 且2 1 21-=?x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．2 5 D ．32019-2020年高中数学选修2-1圆锥曲线
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