《圆锥曲线解题十招全归纳》
招式一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
招式二：动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>，
且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
招式三：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；
(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。
招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.
2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
14
y x =的焦点，离心率
为
5
.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.
3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ，
2)14
6
(
,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。
类型1——求待定字母的值
例1设双曲线C ：)0(12
22>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交
于点P ，且PA=PB 12
5
，求a 的值
类型2——求动点的轨迹
例2如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32-=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。
类型3——证明定值问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线。设M 为椭圆上任意一点，且OB OA OM μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：2
2
μλ+为定值。
类型4——探索点、线的存在性
例4在△ABC 中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD ⊥BC 于D ，△ABC 的垂心H 分有向线段AD 。所成的比为3
1设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H |
|||||HQ PQ HP 成等差数列，为什么？
类型5——求相关量的取值范围
例5给定抛物线C ：x y 42=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且
[]9,4∈=λλAF ，求l 在y 轴上截距的变化范围。
存在、向量例6、双曲线()()0,20,01:22
2
2a Q x A b a b y a
x C 轴上存在一点，的右顶点为>>=-，若C 上
存在一点，求离心率的取值范围使PQ AP P ⊥。
定值问题例7：,A B 是抛物线2
2(0)y px p =>上的两点，满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），求证：（1）
,A B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB 经过一定点。
招式五：面积问题
例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3
6
短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
，求△AOB 面积的最大值。
3、已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200
132
x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．
招式六：弦或弦长为定值、最值问题
2、已知椭圆14
22
2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=?PF PF ，过P
作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值.
当且仅当()
22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。
3、已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相
切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
4、已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12
-
．（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、
F 之间），试求ODE ?与ODF ?面积之比的取值范围（O 为坐标原点）．
5、已知椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆1C 的方程；
（II ）设点P 在抛物线
2C ：2()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N ．当线
段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．
招式七：直线问题
例题1、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点M ，且着焦点为1(F
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上
2、已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()1F 和)
2
F 的距离之和为4．（1）求曲线Γ的方程；
（2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ?=（O 为坐标原点），求直线l 的方程．
3、设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点。 （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·
2PF 的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。
招式八：轨迹问题
轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；
例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点,02p ??
???
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.
求动圆圆心C 的轨迹的方程；
◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。
三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
◎◎已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，
0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与
该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF
求点T 的轨迹C 的方程；
四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
例4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
◎◎如图，设抛物线2
:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.
五、交轨法：
例5 、抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦在直线AB 上的射影M 的轨迹。
1、已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0==?（1）动点N 的轨迹方程；
（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.
招式九：对称问题
1、例：若椭圆13
22
2=+y x 上存在两点A,B 关于l ：m x y +=4对称，求m 的取值范围 2、已知实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线S 的焦点在x 轴上，直线x y 3-=是双曲线S 的一条渐近线，
而且原点O ，点A （a ，0）和点B （0，-b ）使等式2
22||3
4||||OA OB OA =+·2||OB 成立.
（I ）求双曲线S 的方程；
（II ）若双曲线S 上存在两个点关于直线4:+=kx y l 对称，求实数k 的取值范围.
招式十：存在性问题
1、设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2 ，两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若
存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
3、设1F 、2F 分别是椭圆22
154
x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？
若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
4、椭圆G ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四
点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k≠0）
的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，3
3
）、
5、已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
（I ）求a ，b 的值；
（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
6、已知直线220x y -+=经过椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>> 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶
点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线
10:3l x =
分别交于,M N 两点。 （I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ?的面积为1
5？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由
7、已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．
（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中
O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
8、在平面直角坐标系xoy
中，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点
O ．椭圆22
219
x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C 的方程；
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
9、设椭圆E: 22
221x y a b +=（a ，b>0）过M （2
） ，
，1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存
在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。