高中数学圆锥曲线难题
高中数学圆锥曲线难题
一．选择题（共10小题）
1．已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：
|AB|等于（）
A．B．C．D．
2．设点P与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，则点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
3．（2010?密云县一模）如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）
A．
y2=x B．y2=9x C．
y2=x
D．y2=3x
4．（2011?海珠区一模）一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
5．（2012?模拟）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）
A．B．C．1D．
6．（2014?二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）
A．随着角度θ的增大，e
1
增大，e1e2为定值
B．随着角度θ的增大，e
减小，e1e2为定值
1
C．随着角度θ的增大，e
增大，e1e2也增大
1
D．随着角度θ的增大，e
减小，e1e2也减小
1
7．（2014?三模）从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中
任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）
A．B．C．D．
8．（2013?二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C 三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有（）
A．B．C．D．
9．（2014?和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）
A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）
10．（2012?模拟）下列四个命题中不正确的是（）
A．
若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分
B．
设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点的轨迹是抛物线的一部分
C．已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
D．已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
二．解答题（共10小题）
11．（2008?）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值围．
12．（2013?）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
13．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，）为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
14．（2011?）设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x 轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．
15．（2013?南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2为定值．
16．（2013?）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P
为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|?|BF|的最小值．
17．（2008?）已知双曲线．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记．求λ的
取值围；
（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．
18．（2011?三模）过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
（2013?）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．19．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
20．（2014?模拟）已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF
面积之比的取值围（O为坐标原点）．
高中数学圆锥曲线难题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：
|AB|等于（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：本题适合于特值法．不妨取直线的斜率为1．由此推导出|NF|：|AB|的值．
解答：
解：取直线的斜率为1．右焦点F（2，0）．直线AB的方程为y=x﹣2．联立方程组，
把y=x﹣2代入整理得14x2﹣36x﹣9=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴AB中点坐标为（），则AB的中垂线方程为，
令y=0，得，∴点N的坐标（）．
∴|NF|=，|AB|==，
∴|NF|：|AB|=，
故选B．
点评：特值法是求解选择题和填空题的有效方法．
2．设点P与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，则点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
考点：抛物线的定义．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，M∈C
D1，N∈A1B1，故平面EFMN的点
1
到AD和BC的距离相等．PM为P到C1D1的距离．根据P到BC的距离等于P到点M的距离，可得点P的轨迹．
解答：解：由题意可得AD和BC平行且相等，设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，且M∈C1D1，N∈A1B1，则平面EFMN与AD也平行，故平面EFMN的点到AD和BC的距离相等．
由正方体的性质可得平面EFMN垂直于平面CDD1C1，故有 D1C1垂直于平面EFMN，
故PM为P到C1D1的距离．
由此可得P到BC的距离等于P到点M的距离，故点P的轨迹是抛物线，
故选D．
点评：本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题．
3．（2010?密云县一模）如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）
A．
y2=x B．y2=9x C．
y2=x
D．y2=3x
考点：抛物线的标准方程．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，
从而得a=1，
∵BD∥FG，
∴=求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x．
故选D．
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．
4．（2011?海珠区一模）一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
考点：双曲线的定义．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
分析：根据CD是线段AQ的垂直平分线．可推断出|PA|=|PQ|，进而可知|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．
解答：解：由题意知，CD是线段AQ的垂直平分线
∴|PA|=|PQ|，
∴|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|（定值），
∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以Q、O两点为焦点的双曲线，
故选B．
点评：本题主要考查了双曲线的定义的应用，考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用，属于基础题．5．（2012?模拟）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）
A．B．C．1D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|AB|的围，进而可得答案．
解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，
得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b）2﹣2ab，
又a b≤，
∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣
得到|AB|≥（a+b）．
所以≤=，即的最大值为．
故选A．
点评：本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．6．（2014?二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）
A．随着角度θ的增大，e
增大，e1e2为定值
1
B．随着角度θ的增大，e
减小，e1e2为定值
1
C．随着角度θ的增大，e
增大，e1e2也增大
1
D．随着角度θ的增大，e
减小，e1e2也减小
1
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：
连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．
解答：解：连接BD，AC设AD=t
则BD==
∴双曲线中a=
e1=
∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减
小，即e1减小
∵AC=BD
∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）
AC+AD=+t，∴a'=（+t）
e2==
∴e1e2=×=1
故选B．
点评：本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意基础知识的积累和练习．
7．（2014?三模）从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中
任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：计算题；压轴题．
分析： m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率
解答：解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）
其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个
∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为
故选B
点评：本题考查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决本题的关键
8．（2013?二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C 三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的标准方程；等差数列的通项公式；直线的斜率．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据抛物线方程求出点C（﹣，0），可得直线AB方程为y=k（x﹣），将其与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到x1+x2和x1x2关于p、k的式子，结合两点间的距离公式算出
|AB|=?．再利用抛物线的定义，得到|AF|+|BF|=x1+x2+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差数列得出|AF|+|BF|=2|AB|，从而建立关于p、k的等式，化简整理得?=，即可解出，得到本题答案．
解答：
解：∵抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，
∴准线与x轴的交点C坐标为（﹣，0）
因此，得到直线AB方程为y=k（x﹣），与抛物线y2=2px消去y，
化简整理，得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得
∴|AB|==?
=?=?
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根据抛物线的定义得|AF|=x1+，|BF|=x2+，
因此，得到x1+x2+p=2?，即+p=2?，
化简得=，约去得?=
∴（1+k2）（1﹣k2）=，解之得k2=
故选：D
点评：本题给出抛物线准线交对称轴于点C，过点C的直线交抛物线于A、B两点，A、B与焦点F构成的三角形的三边成等差数列，求直线AB的斜率．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质，直线与抛物线位置关系等知识点，属于中档题．
9．（2014?和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）
A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）
考点：抛物线的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．解答：解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1）
两点连线的斜率k=
对于y=x2+ax﹣5
y′=2x+a
∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1
在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4）
切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0
直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径
解得a=4或0（0舍去）
抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）
故选A．
点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．
10．（2012?模拟）下列四个命题中不正确的是（）
A．
若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分
B．
设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点的轨迹是抛物线的一部分
C．已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
D．已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
考点：椭圆的定义；轨迹方程．
专题：证明题；压轴题．
分析：利用直译法，求A选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项B 中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项C中动点的轨迹；
利用椭圆定义，由定义法判断D中动点的轨迹即可
解答：
解：A：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴×=，化简得9y2=4x2﹣64，
即（x≠±4），∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，A正确；
B：∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴==，设P（x，y），则y=，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，B正确；
C：由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相切
∴MA=r+1，MB=5﹣r
∴MA+MB=6＞AB=2
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，C正确；
D设此椭圆的另一焦点的坐标D （x，y），
∵椭圆过A、B两点，则 CA+DA=CB+DB，
∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，
∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，D错误
故选 D
点评：本题综合考查了求动点轨迹的两种方法：直译法和定义法，考查了圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，有一定难度
二．解答题（共10小题）
11．（2008?）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值围．
考点：双曲线的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值围．
解答：
解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．
由题设得，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．
此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．
整理得m2+5﹣4k2＞0．③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．从而线段MN的垂直平分线方程为．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．
由题设可得．
整理得，k≠0．
将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．
解得或．
所以k的取值围是．
点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．
12．（2013?）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
考点：椭圆的简单性质；两点间的距离公式．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（I）先根据条件得出线段OB的垂直平分线方程为y=，从而A、C的坐标为（，），根据两点间的距离公式即可得出AC的长；
（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，只须证明若OA=OC，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．设
OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，从而解得，则A、C两点的横坐
标相等或互为相反数．于是结论得证．
解答：解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴线段OB的垂直平分线为y=，
将y=代入椭圆方程得x=±，
因此A、C的坐标为（，），如图，
于是AC=2．
（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA=OC，
设OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，
故，x2=（r2﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．
从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．
于是结论得证．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查等价转化思想，属于基础题．
13．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，）为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
考点：双曲线的标准方程；轨迹方程；双曲线的简单性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：
（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为，C的一
个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|；若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|，根据双曲线的定义|TF2|=2，再利用相关点代入法求出轨迹方程即可．
解答：解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx﹣y=0
∵该直线与圆相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）
故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为
∴2a2=2，a2=1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2=1…（6分）
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|…（8分）
根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
①…（10分）
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（x T，y T）
则…（12分）
代入①并整理得点N的轨迹方程为…（14分）
点评：本题主要考查双曲线的有关性质与定义，以及求轨迹方程的方法（如相关点代入法）．
14．（2011?）设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x
轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．
考点：抛物线的应用；轨迹方程．
专题：综合题；压轴题．
分析：设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得到各点的坐标关系；
表示出B点的坐标；将B的坐标代入抛物线方程求出p的轨迹方程．
解答：
解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x，y），Q（x，y0），M（x，x2）则
x2﹣y0=λ（y﹣x2）即y0=（1+λ）x2﹣λy①
再设B（x1，y1）由得
将①代入②式得
又点B在抛物线y=x2
将③代入得（1+λ）2x2﹣λ（1+λ）y﹣λ=（（1+λ）x﹣λ）2
整理得2λ（1+λ）x﹣λ（1+λ）y﹣λ（1+λ）=0因为λ＞0所以2x﹣y﹣1=0
故所求的点P的轨迹方程：y=2x﹣1
点评：本题考查题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程．
15．（2013?南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2为定值．
考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；压轴题．
分析：
（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x ﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．
解答：
解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）
∴．∴a2=5．…（4分）
∴椭圆C的方程为．…（5分）
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．
又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．…（7分）
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．…（8分）
∴．…（9分）
又∵．（11分）
∴．…（12分）
点评： 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准
方程是解答本题的关键．
16．（2013?）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P
为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；
（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|?|BF|的最小值．
考点：
抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质． 专题：
压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：
（1）利用焦点到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程； （2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜
率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程； （3）根据抛物线的定义，有
，
，从而表示出|AF|?|BF|，再由（2）得x 1+x 2=2x 0，
x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|?|BF|的最小值． 解
答：
解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1
所以抛物线C 的方程为x 2
=4y （2）设
，
由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为
，
所以PA ：
①PB：
②
联立①②可得点P 的坐标为
，即
，
又因为切线PA 的斜率为，整理得
直线AB 的斜率
所以直线AB 的方程为 整理得
，即
因为点P （x 0，y 0）为直线l ：x ﹣y ﹣2=0上的点，所以x 0﹣y 0﹣2=0，即y 0=x 0﹣2 所以直线AB 的方程为
（3）根据抛物线的定义，有，
所以
=
由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2 所以
=
所以当
时，|AF|?|BF|的最小值为
点评： 本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．
17．（2008?）已知双曲线．
（1）求双曲线C 的渐近线方程；
（2）已知点M 的坐标为（0，1）．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记
．求λ的
取值围；
（3）已知点D ，E ，M 的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P 为双曲线C 上在第一象限的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．
考点： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题；压轴题． 分析：
（1）在双曲线，把1换成0，就得到它的渐近线方程．
（2）设P 的坐标为（x 0，y 0），则Q 的坐标为（﹣x 0，﹣y 0），先求出，然后运用向量数量积的坐标
运算能够求出λ的取值围．
（3）根据P 为双曲线C 上第一象限的点，可知直线l 的斜率
再由题设条件根据k 的不同
取值围试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．
解答：
解：（1）在双曲线，把1换成0，
所求渐近线方程为
（2）设P 的坐标为（x 0，y 0），则Q 的坐标为（﹣x 0，﹣y 0），
=
∵
∴λ的取值围是（﹣∞，﹣1]．
（3）若P 为双曲线C 上第一象限的点，
则直线l的斜率
由计算可得，当；
当
∴s表示为直线l的斜率k的函数是
点评：本题是直线与圆锥曲线的综合问题，解题要熟练掌握双曲线的性质和解题技巧．
18．（2011?三模）过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
考点：抛物线的简单性质；向量在几何中的应用．
专题：综合题；压轴题．
分析：
（1）设出过A点的切线方程，确定出D点，分别表示出，，根据λ1+λ2=1，求出λ的值．
（2）设C（x0，y0），P（x，y），用x0，y0表示出x，y，代入抛物线方程，进而确定P点的轨迹．
解答：解：（1）过点A的切线方程为y=x+1．…（1分）
切线交x轴于点B（﹣1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点．
所以．（1）…（3分）
由?=（1+λ）?．（2）
同理由=λ1，得=（1+λ1），（3）
=λ2，得=（1+λ2）．（4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得．