第 1 页 共 4 页 一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；
2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。 二、学习探究 探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？ 例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处 理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示 问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间 上就是增函数, 在区间 上为减函数; (5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y 一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； 一次型分式函数图象的研究 教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学重点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学难点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学过程 一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识． 二、基本函数作图 例1．作下列函数图象 （1）x y 3=； （2）x y 2-=． 归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称 点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点． 归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0 归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位， 等等． 练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象． 例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系． 归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移． 练习：作函数21++=x x y 的图象． 四．“二线一点”法作图探究 例4．已知函数4 23-+=x x y ． （1）作函数的图象； （2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即 函数的值域）． （3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？ （函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线） （4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、 三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定） （5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？ （6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系． 例5．作函数1 23--=x x y 的图象． 归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法： （1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =； （2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”； （3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象． 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象． 反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示. 第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 苏州市学案 一、课前准备： 【自主梳理】 1．一次分函数的定义 我们把形如y cx d (a ax b 2．一次分函数的图象和性质y cx d ( a 0, ad bc ) ax b 2.1 图象：其图象如图所示 . y x b a b c o x (, ) a a ax+b 一次分式型函数y = cx+d (x∈D) 0, ad bc) 的函数称为一次分函数。 y o c x y a y c b c ( , ) a ad bc a a x b ad bc a 2.2 定义域：2.3 值域：x x b ； a y y c ； a 2.4 对称中心：b , c； a a 2.5 渐近线方程： x b和 y c ； a a 2.6 单调性：当 ad>bc 时，函数在区间 ( , b ) 和 ( b , ) 分别单调递减； 当 ad 【自我检测】 1．函数 y 1 1 ．的图象是 x 1 y y y y 1 1 1 1 O 1 x O 1 -1 O x -1 O x x (A) (B) (C) (D) 2．函数 f ( x) 3x 1 的定义域是 ． 1 x x x 1 3． y 0 的值域是 ． x 4．函数 f ( x) 2x 1 的单调增区间是 ． x 3 5．函数 f ( x) 2x 1 的对称中心是 ． x 3 6．函数 f ( x) x 是 函数．（填 “奇 ”“偶 ”“非奇非 偶 ”） x 二、课堂活动： 【例 1】填空题： （ 1）函数 f ( x) 2x 1 （ x 2,5 ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 2）函数 f ( x) 2x 1 （ x 5, 4 (2,5) ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 3）已知函数 f x 2x 1 ，若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围是 ． x a （ 4）若函数 f (x) 2x 1 的图象关于直线 y ＝ x 对称，则实数 a ＝ . x a 2 】（ 2004 年 江 苏 ） 设 函 数 f ( x) x 【 例 (x R) ， 区 间 M=[a ， b](a 分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，413 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-， sin 23sin 3x y x +=-，y =等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 由此可以画出函数211 x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d x x c ≠- ； （2）值域：{|}a y y c ≠； （3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c -； （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数； 二次分式函数值域的求法 甘肃 王新宏 一 定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法 解题步骤：1 把函数转化为关于x 的二次方程 2 方程有实根，△≥0 3 求的函数值域 1：求y =2 2222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立 由y =2 2222+++-x x x x 得， （y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0 ①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R ②当y-2≠0时，即y ≠2时, ∵x ∈R ∴方程（y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根 ∴△=(y+1)2 -(y-2) ×(y-2) ≥0 ∴3y 2-18y+15≤0 ∴1≤y ≤5 ∴函数值域为[]5,1 练习1：求y =432+x x 的值域 ?? ????-43,43 二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。 先来学习“√”函数。 形如y =x+ x k (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 图像 单调性：在x ∈[] k ,0时，单调递减。在x ∈[] +∞,k 时，单调递减。 值域：[]+∞,2k 解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围 ②把原函数化为关于t 的函数 ③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域 例2 求y =12122-+-x x x （32 1≤ 求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向 摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问 题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数 值域 方法. 1 引言 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?， 因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-， 所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞. 例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+， 因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34， 所以34- ≤21 01 x x -<-+， 故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①， 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以?≥0， 即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7， 又当1y =时，0x =， 故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0， 分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。 分析：此类函数中，当0a 时， 对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)(' 秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数） 【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。 『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化 为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。 秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为 。 【秒杀题型二】：二次函数。 『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明， 分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221 x y x x +=+， 212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221 12x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += - ，y = 等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---， 即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111211 y y y x x x = ??→=??→=+--右上 由此可以画出函数21 1 x y x -= -的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 学案15 一次分式型函数y = ax+b cx+d (x ∈D) 一、课前准备： 【自主梳理】 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数的图象和性质 (0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+ 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域：? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：?? ? ??- a c a b ,； 2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 2．函数31 ()1 x f x x -=+的定义域是 ． 3．()10x y x x -= ≠的值域是 ． 4．函数21 ()3x f x x +=+的单调增区间是 ． 5．函数21 ()3 x f x x -=+的对称中心是 ． 6．函数()x f x x =是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 二、课堂活动： 【例1】填空题： （1）函数21 ()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21 ()3 x f x x -=+（())5,2(4,5?--∈x ），则()x f 的值域是________． （3）已知函数()a x x x f -+=12，若* ∈?N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围 是 ． （4）若函数21 ()x f x x a +=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ . 【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x x x x f ∈+- =，区间M=[a ，b](a 分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿 在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4 ）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x = + ><的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 (0)b y ax a x =+ <的图象（如图所示）和性质（略）： 类型一：( ,, ,) ax b y a b c d R cx d + =∈ + （“一次比一次”型） 备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数 1 1 + - = x y的图象是（） A B C D 例2、画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】 212(1)11 2 111 x x y x x x --+ ===+ --- ，即函数 21 1 x y x - = - 的图像可以经由函数 1 y x = 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111 2 11 y y y x x x =??→=??→=+ -- 右上 由此可以画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,) -∞+∞； 值域：(,2)(2,) -∞+∞ U； 对称中心：(1,2)。 x O y x O y 1 2 x O y 1 ：Y 一次分式型函数(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+ 一、课前准备： 1．一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数的图象是双曲线 3.一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+的性质 ①．定义域：? ? ????-≠a b x x ； ②． 值域：? ?????≠a c y y ； ③．对称中心：?? ? ??-a c a b ,； ④． 渐近线方程：b x a =-和c y a =； ⑤．对称轴方程：[()]c b y x a a -=--和[()]c b y x a a -=--- ⑥单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减； 当ad 第九讲 一次分式函数 【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a d cx b ax y ++= 的函数，叫做一次分式函数。 （1）特殊地，)0(≠=k x k y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c c a y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。 【典例分析】 例1 说明函数13+= x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。 例2 求函数x x y +-= 11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。 例3 将函数x x f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式； （2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。 例4 求函数)0(1 23≥+-= x x x y 的值域。 例5 函数1 )(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)( 一次分式型函数y = ax+b cx+d (x ∈D) 一、课前准备： 【自主梳理】 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数的图象和性质 (0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+ 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域：? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,； 2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 【自我检测】 1．函数1 1 1-- =x y 的图象是 ． 2．函数31 ()1 x f x x -=+的定义域是 ． 3．()10x y x x -= ≠的值域是 ． 4．函数21 ()3x f x x +=+的单调增区间是 ． 5．函数21 ()3 x f x x -=+的对称中心是 ． 6．函数()x f x x =是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 二、课堂活动： 【例1】填空题： （1）函数21 ()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21 ()3x f x x -=+（())5,2(4,5?--∈x ），则()x f 的值域是________． （3）已知函数()a x x x f -+=12，若* ∈?N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围是 ． （4）若函数21 ()x f x x a +=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ . 课题1：一次分式型函数、“耐克”函数 ● 教学目标： 掌握一次分式型函数的定义、图像和性质，常见的分式型符合函数的性质和运算技巧； 掌握赖克函数的定义、图像和性质，常见与赖克函数相符合函数的性质和运算技巧； ● 教学重点：图像和性质 ● 教学难点：性质的灵活运用 ● 教学过程 一、一次分式型函数： 1、定义：形如cx d b y x ax b a +??=≠- ?+?? 的函数，称为一次分式型函数； 2、图像：先分离常数：2d bc c a a y b a x a -=++，再由相应的反比例函数2''d bc a a y x -=平移而得到。 3、性质： （1 （2,b a ?-??，? ?,b a ?-??，? ?（3）对称性：关于',b c O a a ??- ??? 成中心对称； （4）渐近线：直线b x a =- ，c y a =是曲线的两条渐近线； 4、典型例题： 例1、已知函数()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234 f f f f f f f ++++++的值。 例2、已知函数()221x f x x =+，求()111(1)(2)(3)2010()()()232010 f f f f f f f +++++++++L L 的值。 答案：120092 。 二、“耐克”函数： 1、两个重要不等式： 重要不等式１：22 ,,2a b R a b ab ∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号） 重要不等式2：,,a b R a b +∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号） 图一：20d bc a a -> 图二：20d bc a a -< 专题2. 22：一次齐次分式函数图象与性质的研究与拓展 【问题提出】如何绘制)0,()(≠≠++= ad bc ad d cx b ax x f 的图象，并研究它的相关性质？（对称性，值域，奇偶性） 【探究拓展】 探究1：函数1 32+-= x x y 的单调增区间为______________ 变式1：已知函数1 3+-=x ax y 在区间()1,-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围是________ 变式2：若函数2x b y x -=+在(),4(2)a b b +<-上的值域为()2+∞，，则____b a =116 先定单调性，由函数图像可得2,4a b =-=- 探究2：设0a >,0b >,已知函数()1 ax b f x x +=+. （1）当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); （2）当0x >时， （i ）证明2)]([)()1(a b f a b f f =?； （ii ）若ab x f b a a b ≤≤+)(2,求x 的取值范围. 解：（1）由1)(+-+ =x a b a x f ，得 当b a >时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是增函数； ……………2分 当b a <时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是减函数； ……………2分 （2）（i ）∵2)1(b a f +=，ab a b b a b a a b f b a ab a b f =++=+=1)(,2)( …………2分 ∴2])([)()1(a b f ab a b f f ==，∴2)]([)()1(a b f a b f f = …………1分 （ii ）∵ab x f b a a b ≤≤+)(2 ∴由（i ）可知，)()()(a b f x f a b f ≤≤， ……………2分分式函数的图像与性质
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