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分式函数(附答案)

分式函数 1. 382

x y x +=

+ （1）08x ≤≤ （2）63x -≤≤-

7[,4]2

2. 3205

x y x -=

- （1）10x ≥ （2）075x x ≤≤≠且

[2,3)

1(,][4,)2

-∞+∞

结论：对于 ()ax b y ad bc cx d +=≠+类型的一次分式函数，图像类似于1y x =或1y x =- 分析步骤如下：

①分离常数：

2()11= a ad cx d b ax b a bc ad a bc ad c c y cx d cx d c c cx d c c x d c

++-+--==+?=+?++++ ②确定对称中心： , a d c

c ??- ??? ③若0bc a

d ->，则函数在( , )d c -∞-和( , )d c -+∞单调递减；

若0bc ad -<，则函数在( , )d c -∞-和( , )d c -+∞单调递增；

④结合单调性和图像确定在某区间的值域。

16[,4]5

3. 4y x x

（1）0x > （2）0x <

[4,)+∞

(,4]-∞-

4. 4y x x

（1）28x ≤≤ （2）61x -≤≤- 15[0,

]2 16[,3]3

结论：a y x x

=+形式的函数，0a >时，函数在(0 , )+∞先减后增，在x =

y =( , 0)-∞先增后减，在x =y =-

0a <时，函数在( , 0)-∞和(0 , )+∞都是单调递增，值域为( , )-∞+∞

5. 224x x y x

++= 6. 28193x x y x ++=+ 7. 28113

x x y x ++=+(31)x -<≤ (,2][6,)-∞-+∞

(,2][6,)-∞-+∞ (,5]-∞

By 郭晓凌

8. 211

y x x =

++ （1）x R ∈ （2）13x -≤≤ 4(0,]3

14[,]133

9. 2123

y x x =

-- 1(,](0,)4

-∞+∞

10. 23819

x y x x +=

++ 11[,]26

11. 2224723

x x y x x +-=++

9[,2)2

思考：

某厂进行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即为年产量）x 万件与投入的促销费m 万元（m 0）满足31

k x m =-+，其中k 为某常数，当投入3万元促销费用时，销量为2.5万件。已知该厂该年生产的固定投入为8万元，每生产1万件要再投入16万元，每件产品的销售价格为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和再投入两部分）

（1）将该年利润y 万元表示为投入促销费m 万元的函数

（2）当投入多少万元促销费时，利润最大？此时利润为多少？

解：（1）3 2.5231

k k -

=?=+ 每件产品的成本为：816x x

+ 816161.5(816)28 (0)1x y x x m m m x m +=??-++=--≥+

（2）21629[(

1y m m =-+++

=m=3时，y 有最大值，此时y=21

初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题一次函数)0k (b kx y ≠+=在自变量x 允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论：（1）如果m x n ≤≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图1）：当0k >时，b km y +=最大，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大，b km y +=最小。图1 （2）如果n x ≥，那么b kx y +=有最小值或最大值（如图2）：当0k >时，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大。图2 （3）如果m x ≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图3）当0k >时，b km y +=最大；当0k <，b km y +=最小。图3 （4）如果m x n <<，那么b kx y +=既没有最大值也没有最小值。凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供同学们参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A 楼，B 楼，C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40m ，B 楼与C 楼之间的距离为60m ，已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站

方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站距离之和。（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A 楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B 楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。解：（1）设取奶站建在距A 楼xm 处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当40x 0≤≤时， 8800 x 110)x 100(60)x 40(70x 20y +?-=-+-+= ∴当x=40时，y 的最小值为4400。 ②当100x 40≤<时， )x 100(60)40x (70x 20y -+-+= 3200x 30+=，此时y 的值大于4400。因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处。（2）设取奶站建在距A 楼xm 处。 ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x 20-=-+，解得03 320x <- =（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x 20-=-+ 解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80m 处。（3）设A 楼取奶人数增加a （22a 0≤≤）人， ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x )a 20(-=-++，解得30 a 3200x +-=（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x )a 20(-=-++，解得a 1108800x -=，当a 增大时，x 增大。 ∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。

附录2(分式函数求值域方法总结)

分式型函数求值域的方法总结一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时，对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常其图像例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥-

分式函数

第 1 页共 4 页一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质【教学过程】一、知识梳理： 1．一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2．一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域；【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且；【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；

分式函数求最值班班

分式函数的图象及性质和值域（4，13班）耿9.2 在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{y 调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4中心：渐近线为直线, d a x y c c =-=，（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（6）图象：如图所示。 2．函数(0,0) b y ax a b x =+>>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）{|y y y ≥≤-或（3 单调性：在区间+),(,∞-∞间上是减函数（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x =+><的图象和性质：

（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 4．函数(0)b y ax a x =+<的图象（如图所示）和性质（略）：类型一：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+（ “一次比一次”型）备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。例1。函数1 1 +- =x y 的图象是（） A B C D 例2、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】212(1)112111x x y x x x --+= ==+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

分式函数的图像与性质

y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质一、概念提出 1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。二、学习探究探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当时为奇函数; (6)图象:如图所示问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间上就是增函数, 在区间上为减函数; (5)渐近线:以轴与直线为渐近线; (6)图象:如右图所示例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y

有理函数之积分(部分分式法)

☆3一3 有理函數之積分(部分分式法) ●部分分式法部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下 (1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式 =+被除式餘式商式除式除式將原分式化成帶分式的形態 (2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現下面四種可能 ①ax b + ②2 ax bx c ++ ③()n ax b + ④2 ()n ax bx c ++ (3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的 12 11221122 () ()() () n n n n n A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b = ++ + ++++++ ②重複的一次因式 122 ()()() () n n n A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++ ++++ ③所有的因式都是二次不重複的 222 111222() ()() () n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++ 1122 22 2 111222n n n n n A x B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++

④重複的二次因式 2()()n P x ax bx c ++112 2222 2() () n n n A x B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++ ++++++ 例題1. 求21 4 x dx x +-? Sol ： 24(2)(2 )x x x -=+- 令 2 1422 x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2 4(2)(2)x x x -+-或】 ?1(2)(2) x A x B x +=-++ 令2x =-代入? 41A -=-1 4 A ∴= 令2x =代入?43B =34 B ∴= ∴原式143413 ()ln 2ln 22244 dx x x C x x =+=++-++-? 提示：公式 11 ln dx ax b C ax b a =+++? 例題2. 求32232 x x dx x x -++?

有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠ 单调区间为(,),(,+)d d c c -∞-- ∞（4）直线,d a x y c c =- = ，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b =+ ><的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数1 1+- =x y 的图象是（） A B C D 2．函数23 (1)1 x y x x += <-的反函数是（） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2 2 2 2 x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++= <= ≠=<= ≠---- 3．若函数2()x f x x a +=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是（） . 1 . 1 . 2 .2A B C D -- 4．若函数21 ()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为（） 11. 1 . 1 . .2 2 A a B a C a D a ≠-≠≠ ≠- 5．不等式14x x > 的解集为（） 1111111. (,0)( ,) . (-,)( ,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0, ) 22 2 2 2 2 2A B C D - +∞∞- +∞-∞- 6．已知函数2 ()ax b f x x c += +的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为（） . . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>> 7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2 34 x y x = +的值域是。 9．若函数1 a x y x a -= --的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数 a = 。 10．函数11 x x e y e -= +的反函数的定义域是。 11．不等式 2113 x x ->+的解集是。 12．函数2 2 1 x x y x x -= -+的值域是。

求分式函数值域的几种方法-精品

求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数值域方法. 1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?，因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.

例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+，因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34，所以34- ≤21 01 x x -<-+，故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数，所以?≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0，解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0，

分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。分析：此类函数中，当0a 时，对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)('，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y