辅导讲义
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授课
T平行四边形知识回顾 C 三大变换专题T 平行四边形综合运用类型
授课日
期时段
教学容
一、同步知识梳理
知识网络结构图
二、同步题型分析
知识点1：平行四边形的定义
1．如图所示，以不在同一直线上的三点作为平行四边形的三个顶点，可以作出平行四边形的个数为（）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，那么下列说确的有（）．
①四边形ABCD是平行四边形，记做“四边形ABCD是”；
②BD把四边形ABCD分成两个全等的三角形；
③AD‖BC，且AB‖CD；
④四边形ABCD是平行四边形，可以记做“ABDC”．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 平行四边形的性质
3．如图所示，在ABCD 中，∠1=∠B=50°，则∠2=________． 答案：80°
4．如图6所示，在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线BF 交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=________cm ． 答案：3cm
5．在ABCD 中，∠B-∠A=30°，则∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数是（ ）．
A ．95°，85°，95°，85°
B ．85°，95°，85°，95°
C ．105°，75°，105°，75°
D ．75°，105°，75°，105°
6．在ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）．
A ．1：2：3：4
B ．3：4：4：3
C ．3：3：4：4
D ．3：4：3：4
7．如图所示，如果ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，?那么图中的全等三角形有（ ）．
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
8．如图所示，若平行四边形ABCD 的周长为22cm ，AC ，BD 相交于点O ，?△AOD 的周长比△AOB 的周长小3cm ，则AD=_______，AB=_______． 答案：4cm 7cm
知识点3 平行四边形的面积 9．如图所示，ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，∠CAB=30°，AB 的长为6cm.
求ABCD 的面积．
答案：30cm 2
10．如图所示，在ABCD 中，AB=10cm ，AB 边上的高DH=6cm ，BC=6cm ，求BC 边上的高DF 的长．
答案：10cm
知识点4 平行四边形的判定
11．1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．
提示：证明DE ∥BF ，DE=BF
3题图 4题图 7题图 8题图
知识点6 矩形的定义与性质
17．已知在四边形ABCD中，ABCD，请添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，?加上的条件是_______．答案：AC=BD (答案不唯一)
18．如图所示，M是ABCD的边AD的中点，且MB=MC．
求证：ABCD是矩形．
提示：证明△ABM≌△DCM，得到∠A=∠D，又因为∠A+∠D=180°
19．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点D，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形的对角线的长．答案：8cm
知识点7 直角三角形斜边中线的性质
20．已知直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线长．答案：5cm
21．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F?在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．
提示：AE=CE,得到角相等，推出DF∥CE，又DE∥BF，即证
22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求证：DE=DF．
提示：连结CD，证明△ADE≌△CDF
知识点8 矩形的判定
23．下列说法中：
（1）四个角都相等的四边形是矩形．
（2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．
（4）一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形．
正确的个数是（）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．判定一个四边形是矩形可以先判定这个四边形是_______，?再判定这个四边形有一个_______，
或再判定这个四边形对角线________．
25．1已知：如图，A B=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
提示：证明△ABE≌△ACF，得BE=CF，推出BECF，再∠EBC=∠FCB
知识点9 菱形的定义与性质
26．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________．
答案：AC⊥BD（答案不唯一）
27．已知菱形的周长为20cm，则菱形的边长为_________．答案：5cm
28．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（）．
A．对角相等且互补 B．对角线互相平分
C．一组对边平等，另一组对边相等; D．对角线互相垂直
29．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，?求证：AE=AF．提示：证明△ADE≌△ABF
30．如图所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求：
（1）对角线AC的长度;（2）菱形ABCD的面积．
答案：24cm 120cm2
知识点10 菱形的判定
31．下列命题不正确的是（）．
A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
32．如图所示，能说明四边形ABCD是菱形的有（）．
①BD⊥AC ②OA=OC，OB=OD，AB=BC ③AC=BD
④AB∥CD，AB=BC
A．① B．①② C．② D．③④
33．能判定一个四边形是菱形的条件是（）．
A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且平分
C．对角线互相垂直且对角相等; D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角34．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形吗？请说明理由．
35．1如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与两边AB、CD的延长线分别相交于E、F，求证：四边形AECF为菱形
提示：设AC与EF交于点O，证明△AOE≌△COF
知识点11 正方形的定义与性质
36．下列结论：
①有一组对边平行，且两个角是直角的四边形是矩形；
②两条对角线相等的四边形是矩形；
③两组对边分别相等的四边形是矩形；
④有一个角是60°的平行四边形是菱形；
⑤有两边相等的平行四边形是菱形；
⑥有一组邻边相等的矩形是正方形；
⑦有三边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形；
⑧对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形．
其中正确的有（）．
A．2个 B．3个 C．5个 D．877个37．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）．
八年级数学讲义 第11章 三角形 一、 三角形的概念 1． 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC 中，边：AB ，BC ，AC 或 c ，a ，b ． 顶点：A ，B ，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C ．． 二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca 时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 A C B A D
三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 2.2性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）， 可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 五多边形及其内角 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360° ※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。 9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
第一章《二次根式》复习 二次根式为了方便，我们把一个数的算术平方根（如）也叫做二次根式。 二、二次根式被开方数不小于0 1、下列各式中不是二次根式的是 （ ） （A ）12+x （B ）4- （C ）0 （D ） ()2b a - 2、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴21， ⑵16-， ⑶9+a ， ⑷12+x ， ⑸222++a a ， ⑹x -（0≤x ）， ⑺()23-m 。 答：_____________________ 3、下列各式是二次根式的是（ ） A B 4、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A ． B D ． 5、下列各式中，是二次根式是（ ）. （A ）（B （C ） （D ）6、若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A 、0 B 、1 C 、 -1 D 、 2 7、已知1y =，则y x = 。 8、若x 、y 都为实数，且152********+-+-=x x y ，则y x +2=________。 三、含二次根式的代数式有意义（1）二次根式被开方数不小于0 （2）分母含有字母的，分母不等于0 1、x （ ）
（A ）x ＞ 45 （B ）x ＜54 （C ）x ≥54- （D ） x ≤54- 2、如果x --35是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤3 C 、x ＞3 D 、x ＜3 3、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x ； 4、使代数式32 x x -+有意义的x 取值范围是（ ） A ．2x ≠-； B ．32x x <≠-且，； C ．32x x ≠且，；≤ D ．32x x ≠-且，；≤ 5、求下列二次根式中字母x 的取值范围： ⑴ 12-x ， ⑵ 32+x ， ⑶ 52-x ， ⑷ x x --+22， ⑸ 11-+x x ， ⑹ x x -22. 6、二次根式2 12--x x 有意义时的x 的范围是＿＿＿＿＿＿ 7、求下列二次根式中字母的取值范围： （1）3a +； （2）13a --； （3）21a + 8、使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（ ） A 、0>a B 、0 A B C D h t t t t h h h 0 0 0 0 代数复习 基础知识点 1．若二次根式5x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞－5 B ．x ＜－5 C ．x ≠－5 D ．≥x －5 2．下列各式中，最简二次根式是（ ） A ．27 B ．6 C ． a 1 D ．23a 3．在平面直角坐标系中，直线y kx b =+()0, 0k b <>不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．将直线1y kx =-向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ） A ．3y kx =- B ．1y kx =+ C ．3y kx =+ D ．1y kx =- 5．已知()()1122P 3, P 2, y y -， 是一次函数21y x =+的图象上的两个点，则12, y y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．不能确定 6．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值 相同，方差分别为，，，，则二月份白菜价格最稳定的市场是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 7．某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于这组数据描述错误的是（ ） A ．众数是80 B ．平均数是80 C ．中位数是75 D ．极差是15 8．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果以固定流速向这个蓄水池注水，下面能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的变化关系的图象的是（ ） 9．计算：368?-=_________． 10．如图，若设用户上网的时间为x 分钟，A 、B 两种收费方式的费用分别为A y （元）、 B y （元） ，它们的函数图象如图所示，则当上网时间 多于400钟时，选择 种方式省钱． 重点题型1 【二次根式】 例题1：（1）1 2123524 ?÷ （2） () 3482273-÷ 目录 第一节等腰三角形 (1) 第二节直角三角形 (7) 第三节线段的垂直平分线 (12) 第四节角平分线 (16) 第五节一元一次不等式 (20) 第七节一元一次不等式组 (30) 第八节一元一次不等式组的应用 (33) 第十节图形的平移与旋转 (44) 第十一讲中心对称 (49) 第十二讲本章复习 (54) 第一节等腰三角形 知识点一：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等（简写成“等边对等角”） 例1. 等腰三角形的一个角是70°，它的一个底角的度数是。 例2. 已知等腰三角形两边长为4 和3，则周长为。 例3. 如图1，△ABC 中，AB=AC=BD，DA=DC，则∠BAC 的度数是。 图1 图2 知识点二：等腰三角形的三线合一即等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 例4. 如图2，在三角形ABC 中，AB=AC。 若AD⊥BC，则，； 若BD=CD，则，； 若AD 平分∠BAC，则，； 例5. 如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E．求证：∠CBE=∠B AD． 知识点三：两边相等证等腰三角形 例6. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABF 是等腰三角形． 1 知识点四：两角相等证等腰三角形（等角对等边） 例7. 如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线， 且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 例8. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABC 是等腰三角形． 知识点五：角平分线+平行线=等腰三角形 例9. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，交AC 于N，求证：BM+CN=MN 2 c b a C B A P E D C B A E D C B A P F E D C B 21A 直角三角形题型训练（一） 1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF ·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。 ·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。 求证：点O 在∠A 的平分线上。 2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。 如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线， ∴PA=PB ·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。 ·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等， 且P 到∠MON 两边的距离也相等． 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即222 a b c +=。 求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22 b c a =-。 ·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，， ∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。 ·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 O C B A O N M · · A B 八年级数学讲义 第11章三角形 一、三角形的概念 1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b． 顶点：A，B，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C．． 二、三角形的边 1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形. 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和. 2.三角形的主要线段 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点. 三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 第十六章 二次根式 第一节二次根式的相关概念 一、课标导航 二、核心纲要 1．二次根式 形如()0≥a a 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 注:(1)在二次根式中，被开方数a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式. (2) 0≥a 是a 为二次根式的前提条件. (3)形如()0≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积. 2．二次根式的性质 (1) ()00≥≥a a 具有双重非负性. (2) () ()02 ≥=a a a . ()() ()()?? ???<-=>==000032a a a a a a a 或()()?? ?<-≥==002a a a a a a 或()()???≤->==002 a a a a a a ． 注:(1)化简2 a 时，一般先将它化成a ，再根据绝对值的意义进行化简. (2) ()2 a 与 2a 的区别和联系. 区别：以a2中的a可以取任意实数，而(a)2中的“必须是非负数．当a＜0时，(a)2无意义，而a2＝－a． 联系：当a≥0时，(a)2=a2＝a． 3.非负数的三种常见形式 (1)绝对值：|a|≥0． (2)偶次幂：a2n≥0（n为正整数）． (3)二次根式：a≥0(a≥0)． 若|a|＋b2＋c＝0，则a＝b＝c＝0 4.积、商的算术平方根的性质 (1)积的算术平方根的性质：ab＝a?b(a≥0，b≥0) (2)商的算术平方根的性质：a b＝ a b (a≥0，b＞0)． 5.确定二次根式所含字母的取值范围 若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当a≥0时，a有意义. 6.最简二次根式 (1)被开方数中不含分母，即根号内无分母，分母内无根号． (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即开方开得尽. 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 7.同类二次根式 如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式. (2)被开方数相同. 本节重点讲解：两个性质，三个概念 第1讲二次根式 知识点1 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 注意：①“”称为二次根号； ②a（a≥0）是一个非负数． 【典例】 【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤， 一定是二次根式的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【方法总结】 本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可． 【随堂练习】 1．（2018春?滨江区期末）当a=﹣3，则=____． 2．（2018春?东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是____． 知识点2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【典例】 1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________． 【方法总结】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零． 【随堂练习】 1．（2018春?汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___． 2．（2018春?瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____． 3．（2018春?黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____． 知识点3 二次根式的性质与化简 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②=a（a≥0）． ③=|a|= （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=?(a≥0， b≥0)，=(a≥0，b＞0) （3）化简二次根式的步骤： 第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x 2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义 第1讲 二次根式的概念及性质 考点·方法·破译 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一 个非负数时， 才有意义． 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式 记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()( )a aa 20 =≥ 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一 个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥() ()20 3. a a a a a a 200==≥-3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 -4 3 --x x 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y= 解题思路：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014 【变式题组】 1、 ，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 1+取值最小，并求出这个最小值 。 4、已知a b 是1 2 a b + +的值 。 5、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值 . 【例4】若则 ． 【变式题组】 1、若0)1(32 =++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长 为 . 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 【例5】 化简： 的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 【变式题组】 1、在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1-＝ 5-x x -5a 50 ,50x x -≥??-≥? 5x =2 ()x y =+()2 240a c --=，= +-c b a 21a -+ 八年级下册知识点归纳 第十六章 二次根式 1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。 二次根式必须满足： ①含有二次根号“”；②被开方数a 必须是非负数；③非负性 2、最简二次根式满足的条件： ①被开方数不含分母或小数； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3、化最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式有关公式 （1） )0()(2≥=a a a （2）?? ???===）＜（）（）＞（0a a -0a 00a a 2a a （3）乘法公式)0,0(≥≥?=b a b a ab （4）除法公式)0,0(φb a b a b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 第十七章 勾股定理 1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222c b a =+. 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足222c b a =+。，那么这个三角形是直角三角形。 3. 互逆命题：题设、结论正好相反的两个命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半。 （3）如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 222c b a =+. （4）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、摄影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。 ① BD AD CD ?=2 ②AB AD AC ?=2③ AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 第十八章 平行四边形 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质： ⑴平行四边形的对边相等； ⑵平行四边形的对角相等； ⑶平行四边形的对角线互相平分。 第十一章三角形 11．1与三角形有关的线段 11．1.1三角形的边 1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题． 2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系． 重点：三角形的三边之间的不等关系． 难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形． 一、自学指导 自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． (2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． (3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． (4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形． 点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形． 自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟) 总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”，它的边分别是AB，AC，BC(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C． 点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示． 2．图②中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△CDE，△BCD，以E为顶点的三角形是△ABE，△BEC，△CDE，以∠D为角的三角形是△CDE，△BCD，以AB为边的三角形是△ABE，△ABC．3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8. 人教版八年级下册知识点归纳 第十六章二次根式 1、二次根式：形如)0(≥a a 的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。②非负性 2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3、化最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式有关公式（1）) 0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式) 0,0(≥≥?=b a b a ab （4）除法公式)0,0( b a b a b a ≥=4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 第十七章勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b ，斜边长为 c ，那么a 2＋b 2=c 2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.互逆命题：题设、结论正好相反的两个命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。° （2）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半。 （3）如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。 （4）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、摄影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。①BD AD CD ?=2 ②AB AD AC ?=2③AB BD BC ?=26、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 第十八章平行四边形 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质： ⑴平行四边形的对边相等； ⑵平行四边形的对角相等： ⑶平行四边形的对角线互相平分。 3平行四边形的判定： ⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形； 讲义05 勾股定理 课堂练习： 1.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ） A. 13 B. 13或119 C. 13或15 D. 15 2.直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3.如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 42 4.若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为（ ） A. 6㎝ B. 1380㎝ C. 8㎝ D. 13 60㎝ 5.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于( ) A. 24或7 B. 7或41 C. 24 D. 7 6.△ABC 中，若ab c b a 2)(22=-+，则此三角形应是（ ） A.锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D.等腰三角形 7.一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为 h ，斜边长为c ，则以 c+h ，a+b ， h 为边的三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.不能确定 8.直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+b 1=h 1 D. 21a +21b =21h 9.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 10.如图是一个长方体盒子(尺寸如图所示)，在长方体下底部的A 点有一只蚂蚁，它想吃到 上底面B 点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短路程是多少？ 学科教师辅导讲义 一、知识梳理 、等腰三角形的性质定理 2、等腰三角形的判定定理 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 考点一：等腰三角形的性质 例1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 例2、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 例3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 例4、在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2， 则∠BPC等于（ ） A．110° B．120° C．130° D．140° 例5、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ． 例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形 底边长为 ． 例7、如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数． 例8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明． 考点二：等腰三角形的判定 例1、在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60° C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80° 讲义09 平行四边形的性质与判定 1.平行四边形不一定具有的性质是( ) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 2.下列说法正确的是（）． A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平等且相等 3.在四边形ABCD中，从（1）AB∥ CD，（2）BC ∥ AD （3）AB=CD（4）BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（） A 3种 B 4种 C 5种 D 6种 4.若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（） A. 36° B. 108° C. 72° D. 60° 6.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，?那么这个平行四边形较短的边长为 （）． A. 6cm B. 3cm C. 9cm D. 12cm 7.在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有（）． A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 8.一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm和5cm，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（）． A．10cm2 B．103 cm 2 C．5cm2 D ．53cm2 9.如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点．当四边形ABCD满足条件______时，△PBA 的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可）． 10.如图，在ABCD中，∠A的平分线交BC于点E．若AB=16cm，AD=25cm，则BE=______，EC=________． 11.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为________ 12.已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条件是__________________（?填一个你认为正确的条件） 13.一个四边形的边长依次是a、b、c、d且，则这个四边形的形状为；其理由是 . 14.ΔABC的三条边为4cm、5cm和7cm，分别以ΔABC的任意两边为边做平行四边形，这样的平行四边形能做几个？；它们的周长分别为： 15.如图：平行四边形ABCD的周长为32cm，一组邻边AB：BC＝3:5，∠B＝600，E为AB边上的任意一点，则ΔCED的面积为 . bd ac d c b a2 2 2 2 2 2+ = + + + 前言 本资料的编写以新课程标准为指南，以知识与技能、过程与方法为指导思想，通过基础、提高、综合的三级训练，使学生在自主性、独立性、探究性的学习上切实得到提高。学生在老师的辅导下，复习旧知识、巩固新知识，学生对知识的掌握和灵活运用能力、综合运用能力有很大的提高。所有资料对疑难问题点拨到位，是学生正确掌握解题方法、避开思维误区，切实能够提高学生的成绩。 教学进度安排如下： 1、平行四边形 2、矩形 3、菱形 4、正方形 5、梯形 6、梯形2（辅助线） 7、数据的分析 8、二次根式及其乘除 9、二次根式的加减 10、一元二次方程 11、勾股定理 12、反比例函数 说明：1. 老师在教学的过程中，根据学生的具体情况和教学进度灵活的处理资料，要求讲清讲透，不能盲目的赶资料的进度。 2. 为了丰富内容，绝大部分资料按120分钟／次编排，老师可以根据学生实际从中选取80分钟内容讲授，余下的部分作为同学们自由练习用。 A D B C E 第 一 讲 平行四边形 一、课标要求： 1、掌握平行四边形有关概念和性质。 2、探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等对角线互相平分的性质。 3、运用性质证明 二、知识疏理 1、温故知新： 平行四边形是有两组对边分别平行的四边形。 平行四边形有以下性质： 1.平行四边形的对边平行且相等 2.平行四边形的对角相等 3.（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 另外，由上列定义可知：平行四边行的两组对边分别平行 平行四边形的判定方法： 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5.两组分别对边平行的四边形是平行四边形 2、教材解读： 1．平行四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝130 o ，则∠D 的度数是 . 2． ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____. 3．平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 . 4．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠Ｃ＝70°， AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝ 度． （第4题） 5．平行四边形ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ） A ．1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4 6．（08厦门）在平行四边形ABCD 中，60B ∠=o ，那么下列各式中，不能．． 成立的是（ ） 第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 1．平行四边形的概念 定义：两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义既是性质，又是判定． （1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行； （2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形． 平行四边形的基本元素：边、角、对角线． 2．平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角__________； （3）平行四边形的对角线互相__________． 【归纳】(1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据； （2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； （3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决． 3．两条平行线之间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．性质：（1）两条平行线之间的距离处处__________； （2）夹在两条平行线间的平行线段相等． 4．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且__________的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； K—重点 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B=55°，那么∠DAE的角度为 A．25°B．35°C．45°D．55° 【名师点睛】本题主要利用平行四边形对角相等解题． 【例3】在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是 A．2cm人教版数学八年级下册代数部分综合复习讲义
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