第1讲二次根式
知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤，
一定是二次根式的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【方法总结】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】
1．（2018春?滨江区期末）当a=﹣3，则=____．
2．（2018春?东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是____．
知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
【典例】
1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________．
【方法总结】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．
【随堂练习】
1．（2018春?汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___．
2．（2018春?瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____．
3．（2018春?黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____．
知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0；a≥0（双重非负性）．
②=a（a≥0）．
③=|a|=
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=?(a≥0，
b≥0)，=(a≥0，b＞0)
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【典例】
1.实践与探索
（1）填空：=_______；=______；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时=___；当a＜0时，=____；（3）利用你总结的规律计算：+，其中2＜x＜3．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|=，进而化简求出即可．
【随堂练习】
1．（2018春?金乡县期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=，则把x±2变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2=1+2+2=12
+（）2+2×1×=（1+）2
∴==1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
2．（2018春?新罗区校级月考）实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣
2|+．
3．（2017秋?延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a 且
mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2
+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1）（2）．
知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：=?（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：?=（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质?=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b ＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
3．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①==；②==．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
【方法总结】
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．2.计算(1)?（a≥0）=；（2）÷=．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则：=（a≥0，b＞0）．
3.已知：a=，b=，则a与b的关系是（）
A. ab=1
B. a+b=0
C. a﹣b=0
D.a2=b2
【方法总结】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【随堂练习】
1．（2018春?遵义期中）观察思考：（）2=，（）2=，（）2=，（）2=…由此得到：
（1）（）2=_______．
（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．
2．（2017春?分宜县校级期中）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
×___，×____，
×____，×____…
用，，表示上述规律为：_______；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x=，y=试用含x，y的式子表示．
知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
1.下列各式中，与是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
【方法总结】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
2.计算﹣6+的结果是（）
A.3﹣2
B.5﹣
C.5﹣
D.2
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．3.计算
（1）
（2）
（3）
（4）．
【方法总结】
本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．
【随堂练习】
1．（2018春?石家庄期中）计算：
（1）÷×
（2）﹣（4﹣）
（3）（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2
（4）|﹣|+|﹣2|+
2．（2018春?东莞市校级月考）计算；5﹣+2﹣（+3）2．
3．（2018春?常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）=3、?=a（a≥0）、（+1）（﹣1）=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣
1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；=．
解答下列问题：
（1）3﹣与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【典例】
1.已知x=3+2，y=3﹣2，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2；（2）．
【方法总结】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y），变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【随堂练习】
1．（2018春?兴义市期中）阅读下面的问题：
﹣1；
=；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
2．（2018春?包河区期中）已知：a=﹣1，求÷（2﹣）的值．3．（2018春?琼中县期中）已知x+1=，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
综合运用
1.计算：?=___，×=_________；÷=_____．
2.化简的结果是____________．
3.已知x=3+2，y=3﹣2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．
4.求下列式子有意义的x的取值范围
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
5.计算：3．
6.计算：①（3﹣）（3+）+（2﹣）②÷﹣×+
7.已知x=+，y=﹣．
求（1）x3y+xy3；
（2）3x2﹣5xy+3y2的值．
第2讲勾股定理
知识点1 勾股定理的图形计算问题
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
a2+b2=c2
1.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN 的值.
【方法总结】
连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据三角形的面积公式即可求得MN的长．
特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
【随堂练习】
1.如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是_____
2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=______
【典例】
1.观察下列图形，回答问题：
问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为____．
问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）
问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．
【方法总结】
（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理可得大正方形的面积是两个小正方形的面积和；（2）分别表示出S1、S2、S3，结合勾股定理即可得出关系式．（3）根据半圆的面积公式以及勾股定理可得：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而得出阴影部分的面积=直角
三角形的面积．
本题考查了勾股定理及圆的面积公式，解答此类题目关键是仔细观察所给图形的特点，不要盲目作答．
【随堂练习】
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）
2.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得枝繁叶茂，在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）
知识点2 勾股定理的应用
解勾股定理实际问题的一般步骤：
①仔细审题，读懂题意；
②找出或构造出与问题有关的直角三角形；
③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；
④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；
⑤作答.
解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.
【典例】
1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？
【方法总结】
要求树的高度，就要求BD的长度.在直角三角形ACD中运用勾股定理可以用BD表示出AD，根据路程相同即可列出关于BD的方程，求解即可得出BD的长度，最后由CD=CB+BD 得出答案．
本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．
【随堂练习】
1.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设
筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是_______
【典例】
1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．
【方法总结】
根据题意画出长方体按不同方式展开后的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．
本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理的应用，能找出符合条件的所有情况是解题的关键．
【随堂练习】
1.2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为_____