2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义
第1讲 二次根式的概念及性质
考点·方法·破译
1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一
个非负数时，
才有意义．
非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式
记住，后面根式运算中经常用到．
2. ()(
)a aa 20
=≥ 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一
个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a
a =≥()
()20
3. a a a a a a 200==≥-
?
||()()
注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根
号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4.
公式a a a
a a a 200==≥
-
?
?
||(
)()与()()a aa 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．
经典·考题·赏析
【例1】下列各式1， 其中是二次根式的是_________（填序号）．
【变式题组】
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A D
2______个
【例2】有意义，则x 的取值范围是 ． 【变式题组】 1、使代数式有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2x 的取值范围是
-4
3
--x x
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y=
解题思路：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014
【变式题组】
1、
，则x
－y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y
都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、当a
1+取值最小，并求出这个最小值 。 4、已知a b 是1
2
a b +
+的值 。 5、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求
y x 1
2+
的值 .
【例4】若则 ．
【变式题组】
1、若0)1(32
=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A ．3
B ．– 3
C ．1
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长
为 . 4、若
1
a b -+()
2005
_____________
a b -=。
【例5】 化简：
的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4
【变式题组】 1、在实数范围内分解因式:
2
3x -= ；4244m m -+=
429__________,2__________x x -=-+=
2、 1-＝
5-x x -5a 50
,50x x -≥??-≥?
5x =2
()x y =+()2
240a c --=，=
+-c b a 21a -+
3、已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为
【例6】已知2
x<,则化简244
x x
-+
的结果是( )
A 、2
x- B、2
x+C、2
x
--D、2x
-
【变式题组】
1、根式2
(3)
-的值是( ) A．-3 B．3或-3 C．3 D．9
2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（） A．－a B．a C．－3a D．3a
3、若23
a
p p，则()()
22
23
a a
---等于（）
A. 52a
- B. 12a
- C. 25
a- D. 21
a-
4、若a－3＜0，则化简
a
a
a-
+
+
-4
9
6
2
的结果是（）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a
5、化简()2
2
44123
x x x
-+--得（）（A）2 （B）44
x
-+（C）－2（D）44
x-6、当a＜l且a≠0时，化简a
a
a
a
-
+
-
2
21
2
＝．
7、已知0
a<，化简求值：
22
11
4()4()
a a
a a
-+-+-
＝
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结果等于（）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
【变式题组】
1、实数a在数轴上的位置如图所示：化简：2
1(2)______
a a
-+-=．
2、化简2
1816
x x x
---+的结果是2x-5，则x的取值范围是（）
（A）x为任意实数（B）1≤x≤4 （C）x≥1 （D）x≤1
3、若代数式22
(2)(4)
a a
-+-的值是常数2，则a的取值范围是（）
Ａ．4
a≥Ｂ．2
a≤Ｃ．24
a
≤≤Ｄ．2
a=或4
a=
【例8】如果1
1
a2
a
a2=
+
-
+，那么a的取值范围是（）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a≤1
【变式题组】
2
a
2
()
a b
+
o
b a
1
、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2
=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3 2 a a a +- 的结果是（ ） （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 4、把二次根式a a -1 化简，正确的结果是（ ） A. -a B. --a C. -a D. a 5、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时， x x b ＝ ；a a --11)1(＝ 。 【例9】观察下列各式： 22 3 8 322333 8 278 3 38 += =+ == 441564154415 +==，……你能得出怎样的结论？并给出证明。 解析：仔细观察，不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的整数、 根号内的分数的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得结论为 n n n n n n n n n +-=-=->23 22 1111() 的整数 【变式题组】 1、 观察下列分母有理化的运算： 112121 23 231 34 341 20012002 200120021 20022003 20022003+=-++=-++=-++=-++=-+，，，……， ， ， 利用上面的规律计算： 112123134120012002120022003 ++++++++++? ? ??? …()12003+=__________。 2、化简( )( )( )235 235 235 2 2 2 ++++-+-+( ) +-++2352 【例10】（2010.全国初中数学联赛）若实数a,b,c 满足2＋3︳b ︳=6，4－9︳b ︳=6c, C 可能取的最大值为﹙ ﹚A . 0 B . 1 C . 2 D. 3 【变式题组】 1.（武汉竞赛）已知实数a 满足|2006-a|＋=a,那么a －20062 的值是（ ） A . 2005 B . 2006 C .2007 D. 2008 2、((华师一中招生）已知实数满足＋+|10-2b|＝2，则代数式ab ＋bc 的值为 。 演练巩固· 反馈提高 1、已知y=+,+3，则x y = . 2、(华师一中招生）把（a -b) a b -1 根号外的因式移到根号内结果为（ ） A . B . C . － D. － 3、（2010.湖北荆门）计算+= 。 a a 2007-a c b a ++)6)(2008(2 -+b a 42 -x 2 4x -b a -a b -a b -b a -1-x x -1 4、 代数式a a 1 - 化简为（ ） A . B . － C . D. － 5、（2010.荆门）若a,b 为实数，且满足︳a －2︳＋2 b -=0,则b －a 的值为（ ） A .2 B . 0 C .－2 D. 以上都不对 6.已知△ABC 三边a,b,c 满足a 2＋b ＋︳－2︳＝10a ＋2－22,则△ABC 为（ ） A .等腰三角形 B . 等边三角形 C .直角三角形 D. .等腰直角三角形 7、（2010.自贡）已知n 是一个正整数，是 整数，则n 的最小值是（ ） A . 3 B . 5 C . 15 D. 25 8- ）A ． B C D ． 93a =-的正整数a 的值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 等式)6()4(2 x x --=（x -4）x -6成立的条件是（ ） A ． x ≥4 B. 4≤x ≤6 C. x ≥6 D.x ≤4或x ≥6 11.（2012台州）已知xy ＜0,则化简x 的正确结果是（ ） A ． B. C. － D. － 12、（2012烟台市市）若=1-2a,则 。 13、已知n -17是整数，求自然数n 的值= 。 14、(2010.湖北孝感）使是整数的最小整数n= 。 15.（2012绵阳） 要使x -3+ 1 21-x 有意义，则x 应满足 。 16．（2012凉山）已知y=52-x +x 25--3,则2xy 的值为 。 培优升级· 奥赛检测 1、 ﹙2010.湖北黄石﹚已知x ﹤1，则化简的结果是﹙ ﹚ A ． x －1 B. x ＋1 C. －x －1 D. 1 －x 2.﹙2010.呼和浩特﹚已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜＜b,则a ＋b ＝ . a -a -a a 1-c 4- b n 1352 x y y y -y y -2 )1 2(-a n 12122 +-x x 15 3.﹙2010.福建德化﹚若整数m 满足条件＝m ＋1,且m ＜ ，则m 的值是 。 4、已知a,b,c 是△ABC 的三边，化简＋－＝ 。 5、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2 22)(b a b a ---＝ 。 6、如果 2(5)a -+│b-2│=0，求以a 、b 为边长的等腰三角形的周长 ＝ 。 7、计算： 2(12)-+2(23)-+2(34)-+…+2 (20042005)-= 。 8、观察下列等式:(1)211-= 21;(2) 5 2 2-= 2 52;(3) 1033- = 3103 ;(4) 17 44-= 4174根据你发现的规律填空:(1) 第5个等式是_________________; (2) 第n 个等式是__________________; 9、（2010年嘉兴市）当时，代数式的值是 。 10、(2010年荆门市)若a 、b 为实数，且满足|a －2|＋＝0，则b －a 的值为 . 11、（2010年义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆 AB 在地面上的投影BC 长为24米，则旗杆AB 的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732） 2 )1(+m 5 22)(c b a --2)(c a b --2 )(b a c --2-=x 1352 --x x 2b -A 30 第11题图 第2讲最简二次根式及化简求值 考点·方法·破译 1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 3．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 4．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这 两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用 a = 来确定，如： ，b a-与b a-等分别互为有 理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。 如a 与a- ， 5．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 6.根式比较大小1、根式变形法当0,0 a b >>时，①如果a b > > a b < < 2、平方法当0,0 a b >>时，①如果22 a b >，则a b >；②如果22 a b <，则a b <。 3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法 6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0 a b a b ->?>；②0 a b a b -0，b>0时，则：① 1 a a b b >?> ；② 1 a a b b 经典·考题·赏析 【例1】在根式 ，最简二次根式是（） A ．1) 2) B．3) 4) C． 1) 3) D．1) 4) 【变式题组】 1、) b a( 17 , 54 , b 40 , 2 1 2 , 30 ,a 452 2 2+中的最简二次根式是。 2、下列根式中，不是 ．．最简二次根式的是（）A． B． C． D． 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) C. 4 731 2 2 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6) xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2) b a 2 45 (3)x y x 2 【例2】下列根式中能与3是合并的是( )A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 【变式题组】 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 2、在二次根式：①12；② 32；③ 3 2 ；④27中，能与3合并的二次根式是 。 3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 【例3】 把下列各式分母有理化 （1 （2 （3（4）【变式题组】 1．把下列各式分母有理化 （1 （2（3） （4） 2.把下列各式分母有理化： （1 （2 （3 3、已知x =，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +- （2）22 3x xy y -+ 4、把下列各式分母有理化： （1)a b ≠ （2 （3 【例4】化简 15 2 5? ,0≥ ≥y x) 【变式题组】 1.计算（1）（2）（3） （4）（5）（6）2.化简： (1) )0 ,0 (≥ >b a )0 ,0 (> ≥y x)0 ,0 (> ≥y x 【例5】 = 成立的的x的取值范围是（） A、2 x> B、0 x≥ C、02 x ≤≤ D、无解 【变式题组】 1.计算（1）（2） ? - ? ； 2.计算（1）（2 （33 a（4） 2 ? -- ? （55-（6+- 3.计算 1、a b b a ab b 3)23(235÷-? 2、 2 2 (212 +4 1 8 －348 ) 3、 13 （16、673)3 2272(-?++ 【例6】 已知： ，求的值=__________. 【变式题组】 1．已知，求的值=__________ 2．已知：，求 的值=__________. 3．求 的值=__________. 4．已知、是实数，且，求的值=__________. 【例7】 比较与的大小。（用两种方法解答） 【变式题组】 1. 2.- 3.的大小。 4.33的大小 【例8】（2010.福建德化）化简﹙＋2﹚－ =__________. 【变式题组】 1.（2010.江西中考）化简－﹙1－﹚的结果是﹙ ﹚ A. 3 B. － 3 C. D. － 2.﹙全国联赛﹚化简2＋=__________. 3.﹙2010.初中数学竞赛﹚若a ≠b ，化简b a ab --2的结果为﹙ ﹚ A. － B. － － C. ＋ D. 0 【例9】 已知x ＝ ,y ＝ ,求x 4＋y 4的值=__________。 【变式题组】 1. 已知a ＝,求－的值=__________ 2. ﹙2010.黄冈竞赛﹚若a,b 是实数，且a ＝＋＋4,则a ＋b 的值﹙ ﹚ A. 3或－3 B. 3或－1 C. － 3或－1 D. 3或1 3.﹙.天津竞赛﹚已知x ＋ ＝7﹙0＜x ＜1﹚,则－的值为﹙ ﹚ A . － B . － C . D. 4.﹙天津竞赛﹚若 －|m|＝1, 则＋|m|的值为﹙ ﹚ A . B . － C . － D. 5. 已知a －＝，则a ＋的值为﹙ ﹚ A . B . － C . ± D. 6 【例10】﹙2010.全国竞赛﹚已知a ＝－1,求2a 3＋7a 2－2a －12的值=__________。 a a b b a 233333223-21217-a b a b a -b -1 313+-1 313-+3 21 +1212-+-a a a a a a a -+-2 2122 1-b b 22-x 1x x 17575m 1m 1 252 5 55a 12a 1 6665 【变式题组】 1. 设a ＝ ,求a 5＋2a 4－17a 3－a 2＋18a －17的值=__________。 2（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 3．（x ≥0） 4．_________． 5. 已知?xy 0，化简二次根式_________． 【例11】=0，求a 2004+b 2004 的值_________．． 【变式题组】 1，求x y 的值_________．． 2.2440y y -+=，求xy 的值值_________．．。 3．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 4．若│1995-a │，求a-19952 的值_________．．（提示：先由a-2000≥0，判 断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值） 【例12】设55+=x ，55-=y ，求66y x +的值_______。 【变式题组】 1、设1 2121 212-+= +-= y x ，，求2 2y xy x +-的值_______。 2、已知3 21 3 21 -= += y x ，，求 ()() 2 211 11+++y x 的值_______。 3、已知32-=x ，求432 565x x x x -+-的值_______。 【例13】已知21=+x x ，那么 1 91322 ++-++x x x x x x 的值等于______________。 【变式题组】 1 1716+ 1、若a a x -= 1，则24x x +的值为（ ） A.a a 1- B.a a -1 C.a a 1 + D.不能确定 2、已知51=+ x x ，求 1 1 22+-- ++x x x x x x 的值______________。 3．已知b a 、是实数，且()()1112 2 =++++b b a a ，问b a 、的关系是______________。 4.已知( )()2008200820082 2 =++++ y y x x ，求5866432 2 +----y x y xy x 的值。 5.已知b a 、均为正数，且2=+b a ，求1422+++=b a U 的最小值______________。 6.求代数式()912422 +-+ +x x 的最小值______________。 演练巩固· 反馈提高 1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2．在、、是同类二次根式的有______ 3．若最简根式3a 求a 、b 的值______． 4.n 是同类二次根式，求m 、n 的值______． 5.+的有理化因式是________； x-的有理化因式是_________． -- _______． 6．（1）当x_________．在实数范围内有意义？（2）当x_________．时， + 1 1 x +在实数范围内有意义？（3）当x_________+x 2在实数范围内有意义？ （4）当__________ 7．已知，求x y 的值_________．． 8__． 9. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 10. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│．。 11.当求x 2-xy+y 2 的值=_________ 12．已知 a 2 b-ab 2 =_________． 13.已知 求a 3+2a 2 -a 的值=_________ 14．已知4x 2+y 2 -4x-6y+10=0 ，求（23+y ）-（x 15．先化简，再求值．（ -（ ，其中x=32，y=27． 16．当 ____． 17. 已知2 310x x -+= ____ 18．若01x << _____． 20 ．已知( ) ) 2006 2007 22 2 2a =+-+ ，求24a a +的值____ ． 21．已知y x ,是实数，且3 2 9922+--+-= x x x y ，求y x 65+的值____. 22．若42--y x 与()2 12+-y x 互为相反数，求代数式3 2 3 4 1y y x x + +的值____. 23．若a b S 、、 满足7,S ==，求S 的最大值和最小值____. （结果用最简二次根式表示） 培优升级· 奥赛检测 1. ﹙2010.山东潍坊﹚已知＋＝0，则x －y 的值为（ ） A. 2 B. 6 C .2或－2 D. 6或－6 2. ﹙2010.黄冈预选赛﹚已知﹙＋﹚＝3﹙ ＋4﹚，其中ab ≠0, 42 -x y x +2a a b b a 3 2 b 则的值为﹙ ﹚ A. B. C D. 以上答案均不对 2.a 、b 、c 为有理数，且等式a ＋b ＋c ＝成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是﹙ ﹚ A.1999 B. 2000 C 2001 D. 不能确定 3·若式子＋化简结果为2x －3，则x 的取值范围是﹙ ﹚ A ．x ≤1 B. x ≥2 C. 1≤ x ≤2 D. x ＞0 4． a 、b 、c 为有理数，且等式a ＋b ＋c ＝成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是﹙ ﹚ A ． 1999 B. 200 0 C. 2001 D. 不能确定 5.已知a 为实数，则代数式－＋＝ 。 6.设x ＝ ,a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，则a 3＋b 3＋3ab ＝ . 7. ﹙武汉CASIO 杯竞赛﹚已知a ＝－，b ＝－,c ＝－,则a,b,c 三者的大小关系为 。 8. ﹙全国联赛﹚已知实数x,y 满足﹙x －﹚﹙y －﹚＝2008,则 3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为 。 9. 观察下列各式：＝2，＝3，＝4，…请你将发现的规律用含自然数n ﹙n ≥1﹚的形式表示出来 。 10．化简∶﹙﹚ = 。 11．若x ＋y ＝,x －y ＝,则xy ＝ . 12．已知x ＝ ,y ＝ ,则x ＋12xy ＋y ＝ . 13．已知实数x 、y 满足﹙x －﹚﹙y －﹚＝2008,则3x －2y ＋ 3x －3y －2007＝ . 14．计算：＝ .15·已知x ＝,那么＝ . 75767 4 23625+2)1(-x 2 )2(-x 23625+2+a a 48-2 a -1 21-20062005200720062008200720082 -x 20082-y 311+ 31412+41513+5 1 371004 2008 20082008 200835 7153++253-523-3 21+3 21-33 20082 -x 20082-y 2215 10635 3+--+374-124 2 ++x x x 16.计算:⑴﹙＋ ＋ ＋…＋﹚﹙＋1﹚ ⑵﹙五市联赛﹚ 第3讲 勾股定理 考点·方法·破译 1．会用勾股定理解决简单问题. 2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证. 经典·考题·赏析 【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( ) A ．13 B ．26 C ．47 D ．94 【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ． 【变式题组】 01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________. 02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______. 03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行 1 21+2 31+3 41+201021 15141021151410+++--+l A 1 D C B 2 第1题图 第2题图 第3题图 A C B l 1 l 2 l 3 的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC的长是( ) A．217B．25C．42D．7 【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根 细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm； 如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm. 【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段 的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，2 2916n +. 【变式题组】 01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( ) A．521B．25 C．1055 +D．35 02．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm)，在 上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与 AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为 _____cm.(精确到个位，参考数据:2＝1．4，3＝1．7:5＝2．2) 03．(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁 圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm.(铁丝粗细忽略不计) 【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处， 点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是( ) A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2 ＝42＋x2 x＝5.故选C 【变式题组】 01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD． 02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5 ，D为BC边的中点.求S△ABC． 03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝3 2 .求AC． B A3cm1cm 6cm B 10 15 A 2 C 第1题 第2题图 A B 吸管 10 6 5 A D B E C F M N A B C D 【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB 是一次函数y ＝－2x 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 坐标. 【解法指导】求C 点坐标需分类讨论. (1)若以O 为顶点，OA 为腰，则C 在以O 为圆心，OA 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处. (2)若以A 为顶点，AO 为腰，则C 在以A 为圆心， AO 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处. (3)若以C 为顶点，则C 在OA 的中垂线与y ＝－2x 的交点处. 【解】⑴若以O 为顶点，OA 为腰，如图设C (t ，－2t )，则在Rt △COD 中， OC 2＝OD 2＋CD 2 4＝t 2＋(－2t )2 5t 2＝4 t ＝25 5 ± ∴C 1(255- ，455），C 2(255，45 5 -） ⑵若以A 为顶点，AO 为腰，如图，设C (t ，－2t )，在Rt △ACE 中 AC 2＝CE 2＋AE 2 22＝t 2＋(－2t －2) 2 t ＝0（舍去），t ＝85-∴ C 3(85-，16 5) ⑶若C 为顶点，C 在OA 的中垂线上.∴C 4(1 2 - ，1) 【变式题组】 01．若A （3，2），B 为x 轴上一点，O 为坐标原点.若△AOB 是等腰三角形.求B 点坐标. 02．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为等腰三角形.求B 点坐标. 03．如图.在平面直角坐标系中，A (0，4)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为直角三角形.求B 点坐标. 【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点.问题：在直线l 上确定一点P ，使PA ＋PB 的值最小.方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交l 于点P ，则PA ＋PB ＝A 'B 的值最小(不必证明). 模型应用：⑴如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 A O B y x y ＝－2x A y x D O C A O C y x E A (4,0) y ＝2x x y O A y ＝2x x y O BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P ，则PB ＋PE 的最小值 是__________； (2)如图2，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值. 【解】 (1)5 (2)如图2，作P 关于OB 的对称点P 1，关于OA 的对称点P 2， 连接P 1P 2，交OB 于R ，交OA 于Q ，则△PRQ 的周长最小，且此时△PRQ 的周长为PR ＋RQ ＋QP ＝P 1P 2．连接OP 1，OP 2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45° ∴∠P 1OP 2＝90°，OP 1＝OP ＝OP 2，在Rt △OP 1P 2中，P 1P 22 ＝OP 12 ＋OP 22 ，∴P 1P 2＝102 【变式题组】 01．(荆门)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）.⑴求该函数的解析式；⑵O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标. 02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD 的AB ＝12，AD ＝3，E 、F 分别是AB ，DC 上的点，则折 线AFEC 长的最小值为____________. 03．(陕西)如图，在锐角△ABC 中，AB ＝45，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点 D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是___________. 【例6】求x +2 4＋ () 2 816x -+的最小值. 【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而 无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x 2＋4＝x 2＋22，(8－x)2 ＋16 ＝(8－x)2 ＋42 均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以22 2x +， ()2 284x -+为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问 题来解决. 【解】如图，作AB ＝8，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝2，BD ＝4.E 是AB 上一动点.设AE ＝x.则BE ＝8－x .∴CE ＝ 2 2 2x +， DE ＝()2 284x -+.所以求代数式最小值问题转化为在 AB 上求一点E ，使CE ＋DE 值最小.根据线段公理，连接CD 交AB 于H ，则CD 为所求.作CF ⊥DB 交DB 延长线于F .在Rt △CDF 中，CD ＝ 22CF DF +＝10.∴所求最小值为10. A A P B l B D C A P E 图1 O A Q P B R 图2 O A Q P B R P 1 P 2 O C A x y B D P C A B D M N A C 2 F B 4 D x H 8－x E 第一讲二次根式专题复习 一、知识要点 1、二次根式的概念：一般地，形如 a 的式子叫做二次根式. 注意：这里被开方数 a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式. 2 、二次根式 a 有意义：，二次根式无意义：. 3、二次根式的性质： ( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2. 4 、乘法法则： a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： ( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、 b 都必须是非负数；( 在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). ( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0); 若二次根式相乘的结果能写成a2的形式，则应化简，如16 4 . 5、除法法则：a b a( a≥0，b>0)．即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. ( 1 )在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意， a 0， b 0，因为b在分 母上，故 b 不能为0. ( 2 ) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 6 、最简二次根式 概念：①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式．要点诠释： ( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ( 2 )根号下不含分母，分母中不含根号. 两者必须同时满足. 分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型： ① m a 与；② a b 与；③ a b 与；④ m a n b 与. 7 、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式. 说明：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 22 8、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2，同时它 `新人教版八年级数学下册辅导资料（01） 姓名：________ 得分：_____ 一、知识点梳理： 1、二次根式的定义. 一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0 2、二次根式的性质： （1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2） () =2 a __________（a ≥0） （3）()() () ?? ? ???=?==0_______0_______ 0_______2a a a a a 3、二次根式的乘除： 积的算术平方根的性质： )0,0(≥≥?=b a b a ab ，二次根式乘法法则： __________=?b a （a ≥0,b ≥0） 商的算术平方根的性质： b a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥= b a b a b a 1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号； 3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题： 例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵ x x -+2) 1(0 ⑶13-+-x x ⑷12+x （5） 1 2 -+x x 小结： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简： （1）|21|)22(2-+- （2）|3 254|)3253(2-+- 例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求 x y 的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值． 新人教版八年级数学上册培优资料（中考题 型） 第16讲认识三角形经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围 是______________，周长l的取 值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝ 13，则以a，b，c为边的三角形， 共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全 部用完，能摆出不同形状的三角 形个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为 5818 2 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长 是( ) A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中 能作为第三条边的是( ) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10 两部分，则此等腰三角形的腰长 为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________. 【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC ＝16. 【变式题组】 01．如图，已知点D、E、F 分别是BC、AD、BE的中 点，S△ABC＝4，则S△EFC＝ ______________. 02．如图，点D是等腰△ABC底边BC 上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若一腰上的高为4cm，则 DE+DF＝______________. 03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD ＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD， DF⊥AE于F，则DF与AB的数量 关系是______________. 【例４】已知，如图，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ______________. 【解法指导】这是本章的一个基 本图形，其基本方法为构造三角形或 四边形内角和，结合八字形角的关系 (第2题图) 数学培优 （一） 1. 如果x x >，且0 八年级下“勇攀高峰”第1期（2015年3月）命题人：张志欣 一．选择题（共7小题） 1．如果关于x的不等式（a+2）x＞a+2的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 3．已知不等式组的解集是x＞5，则m的取值范围是（） A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤5 4．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 5．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如 =1×4﹣2×3=﹣2，如果＞0，则x的解集是（） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3 6．如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数） 的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式 ﹣x+2≥ax+b的解集为（） A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3 7．已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．0≤a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1 二．填空题（共5小题） 8．不等式组的最小整数解是． 9．已知不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是． 10．已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为． 11．如果1＜x＜2，则（x﹣1）（x﹣2）0．（填写“＞”、“＜”或“=”） 三．解答题（共5小题） 12．代数式的值不大于的值，求x的取值范围． 13．解不等式组：14．解不等式组，并求其整数解．15. 某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商 场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且 AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。 2018年春八年级数学下册培优辅差计划 石牌镇初级中学张光柱 为顺利完成本学期的教学任务,提高教学质量,根据我班学生的实际情况,围绕教学目标,除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外,本人采取课内外培优辅差措施,制定培优补差计划,以高度的责任心投入到紧张的教学及培优补差工作中,力争取得好成绩。 一、班级情况分析: 133班共有学生45人,少数学生对数学有着浓厚的兴趣,大部分学生数学基础较差,学习目的性不明确。 二、辅导内容 对优等生主要进行技能技巧、逻辑思维、综合题解答的训练;对学困生主要进行基础知识、基本概念、基本计算能力的辅导。 三、培优辅差目标: 针对以上情况,本学期除了对优等生提高要求,培养他们的创新思维,教会他们灵活解题的思路和方法外。重点对班级中的一些学困生进行帮扶。学困生的教育是一个不断反复的过程,耐心显得尤为重要,对于学困生,不对他们进行挖苦、讽刺,并尽力给他们创造施展才能的机会,也使他们找到不断进步的动力。 四、培优辅差对象: 培优对象:田玉瑶、方月姣、罗早早、李师友 补差对象:彭毅、张国超、陈蕊芳、李兆 - 1 - 五、培优辅差时间: 每周星期三中午、晚饭后 六、培优辅差地点: 八年级办公室 七、主要措施: l.课外辅导,利用课余时间。 2.采用一优生带一后进生的一帮一行动。 3.课堂上创造机会,用优生学习思维、方法来影响后进生。 4.对后进生实施多做多练措施。优生适当增加题目难度,并安排课外作品阅读,不断提高做题和写作能力。 5.采用激励机制,对后进生的每一点进步都给予肯定,并鼓励其继续进取;在优生中树立榜样,给机会表现,调动他们的学习积极性和成功感。 6.充分了解后进生现行学习方法,给予正确引导,朝正确方向发展,保证后进生改善目前学习差的状况,提高学习成绩。 7.积极利用家长这一重要资源,及时和家长保持联系,孩子有了进步,向家长报告好的消息,孩子有了错误,积极和家长寻找好的教育方法,争取每个孩子都成为性格健全的健康人。 2018年2月 八年级数学下培优卷：因式分解 知识点一、因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（ ） ①a 2﹣9=（3）（a ﹣3） ②（2）（m ﹣2）2﹣4 ③a 2﹣b 2=（）（a ﹣b ）+1 ④2π2π2π（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ． a 2x ﹣（﹣1） B ． a 2﹣32（a ﹣3）+2 C ． 2x （x ﹣1）=2x 2﹣22x D ． x 21=（1）2 知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2和； ②5m （a ﹣b ）和﹣； ③3（）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 22；其中有公因式的是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 2．把多项式9a 2b 2﹣182分解因式时，应提出的公因式是（ ） A ． 9a 2b B ． 92 C ． a 2b 2 D ． 182 3．分解因式﹣22+6x 3y 2﹣10时，合理地提取的公因式应为（ ） A ． ﹣22 B ． 2 C ． ﹣2 D ． 2x 2y 4．把多项式p 2（a ﹣1）（1﹣a ）分解因式的结果是（ ） A ． （a ﹣1）（p 2） B ． （a ﹣1）（p 2﹣p ） C ． p （a ﹣1）（p ﹣1） D ． p （a ﹣1）（1） 5．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） A ． 8﹣12a 2x 2=4（2﹣3） B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12﹣6x （x 2﹣2） C ． 4x 2﹣622x （2x ﹣3y ） D ． ﹣3a 29﹣6﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-； （2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x 7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是 ． 8、不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+- （3）-+-41222332m n m n mn （4）2 1222+ +x x 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的 定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2 第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x 超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= = ?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() 对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨： 八年级上数学培优试题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表： 在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第 三边x的长． 状元笔记 【知识要点】 1．三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性． 【温馨提示】 1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种． 2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线． 【方法技巧】 1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边． 2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等． 参考答案: 1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D． 2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21． 3．解：填表如下： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015) 解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015． 4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B． 5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4， 2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义 第1讲 二次根式的概念及性质 考点·方法·破译 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一 个非负数时， 才有意义． 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式 记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()( )a aa 20 =≥ 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一 个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥() ()20 3. a a a a a a 200==≥-3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 -4 3 --x x 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y= 解题思路：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014 【变式题组】 1、 ，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 1+取值最小，并求出这个最小值 。 4、已知a b 是1 2 a b + +的值 。 5、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值 . 【例4】若则 ． 【变式题组】 1、若0)1(32 =++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长 为 . 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 【例5】 化简： 的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 【变式题组】 1、在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1-＝ 5-x x -5a 50 ,50x x -≥??-≥? 5x =2 ()x y =+()2 240a c --=，= +-c b a 21a -+ 河南省固始县第三中学八年级数学培优作业 （考查内容:整式的乘除与因式分解） 命题人：吴全胜 一、 选择题 1、化简23()a -的结果是（ ） A ．5a - B ．5a C ．6a - D ．6 a 2、下列计算错误的是 ( ) A ．2m + 3n=5mn B ．4 26a a a =÷ C ．632)(x x = D ．32a a a =? 3、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）. A 、2222)1(xy y x x xy -=-； B 、)3)(3(92-+=-x x x ； C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-； D 、c b a x c bx ax ++=++)(. 4、下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①ab b a 523=+； ②n m mn n m 33354-=-； ③5 236)2(4x x x -=-?； ④a b a b a 2)2(423-=-÷； ⑤523)(a a =； ⑥2 3)()(a a a -=-÷- 其中正确的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x 6、 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A 、4x 2+1 B 、4x 2－4x －1 C 、x 2+xy +y 2 D 、x 2 －4x +4 7、△ABC 的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab ＝c+2bc ，△ABC 是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8、 把（－2）2009＋（－2）2010分解因式的结果是（ ）. A. 22008 B. －2 2008 C. －2 2009 D. 22009 9、一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2 ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 二、填空题 2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义 第一讲认识三角形 考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边为20， 20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC 的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________. 期末复习培优练习题（一） 一．选择题 1．下列各式计算正确的是（） A．3﹣2＝B．＝× C．＝4a（a＞0）D．÷＝ 2．式子有意义的x的取值范围是（） A．x≥﹣且x≠1B．x≠1C．D．x＞﹣且x≠1 3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34 B．26 C．8.5 D．6.5 4．下列说法不正确的是（） A．平行四边形对边平行 B．两组对边平行的四边形是平行四边形 C．平行四边形对角相等 D．一组对角相等的四边形是平行四边形 5．在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结果多（） A．9 B．10 C．19 D．2 6．甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的（） A．平均数B．中位数C．众数D．方差 7．下列命题中，正确的命题是（） A．一组对边平行但不相等的四边形是梯形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．有一个角相等的两个等腰三角形相似 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 8．在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，得到的直线的函数表达式为（） A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣5 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 9．若y关于x的函数关系式为y＝kx+1，当x＝1时，y＝2，则当x＝﹣3时函数值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 10．在四边形中，给出下列四个条件： ①四边都相等，有一个内角是直角； ②四个内角都相等，有一组邻边相等； ③对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角； ④对角线互相垂直平分且相等； 其中能判定这个四边形为正方形的所有条件分别为（） A．①②B．③④C．①②④D．①②③④ 11．若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x ﹣5）+3＝0的解为（） A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝5 12．如图，在直角坐标系中，已知点A（6，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值（） A．B．3 C．2D．3 二．填空题 13．计算：（5+）（5﹣2）＝． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝． 15．直线y＝﹣2x+1不经过第象限． 16．若直线y＝（m2﹣4m+1）x+（2m+1）与直线y＝﹣2x+3平行．则m的值为．17．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝°．（点A，B，C，D，P 是网格线交点） 第十九章四边形 测试1 平行四边形的性质(一) 学习要求 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问 题． 课堂学习检测 一、填空题 1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______． 3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______． 4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______． 5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______． 6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______． 6题图 7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______． 7题图 8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______． 二、选择题 9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立 ．．．．．的是( )． (A)AF＝EF (B)AB＝EF (C)AE＝AF (D)AF＝BE 10．如图，下列推理不正确的是( )． (A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180° (B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC (C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4 (D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD 11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )． (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 综合、运用、诊断 一、解答题 12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．2020年八年级下册数学培优第一讲二次根式专题
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