线性空间试题
向量空间
一 判断题
(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈o 作成实数域R 上的向量空间. ( ) .
(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈o 作成实数域R 上
的向量空间. ( ).
(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ).
(4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).
(5) 121{(,,,)|1,}n
n i i i x x x x x R ==∈∑L 为n R 的子空间. ( ).
(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).
(7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈L 为n R 的子空间. ( ).
(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么
122334,,,αααααα++
是V 的一组基. ( ).
(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ).
(10)设12,,,n αααL 是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由
12,,,n αααL
线性表示, 则12,,,n αααL 是V 的一组基. ( ).
(11) 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββL 与12,,,n αααL 等价, 则
12,,,n βββL 也是V 的一个基. ( ).
(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ).
(13)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L .若12dim dim dim s V V V n +++=L , 则12s V V V +++L 为直和. ( ).
(14)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若121230,()0,V V V V V =+=I I 121,()0,S s V V V V -+++=L L I 则12s V V V +++L 为直和.
( ).
(15) 设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若(){0},i j j i
V V ≠=∑I
则12s V V V +++L 为直和. ( ).
(16)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若(){0},,i j V V i j =≠I 则12s V V V +++L 为直和. ( ).
(17) 设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 零向量表法是唯一的, 则12s V V V +++L 为直和. ( ).
(18) 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()n f f f αααL . ( ).
(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上的n 维向量空间. ( ).
(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ).
答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)正确
(10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确
(18)正确 (19)正确 (20)错误
二 填空题
(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.
(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==o 构成R 上的向量空间.则此空间的零向量为___.
(3) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==o 构成R 上的向量空间. 则a R +
∈的负向量为________. (4) 全体实二元数组对于如下定义的运算: 2(,)(,)(,),
(1)(,)(,),2
a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+o 构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.
(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算: 2(,)(,)(,),
(1)(,)(,),2
a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+o 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.
(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____.
(7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________.
(8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.
(9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.
(10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间, 它的维数等于_____.
(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===
4(0,1,1,1)α=--的坐标为__________.
(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________.
(13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=
在此基下的坐标为 _______.
(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件
__________________________________________, 就叫做一个同构映射.
(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.
(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===I I I , 则123W W W ++ ________直和.
答案
(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)1a
(4)(0,0) (5)2(,)a a b -- (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)2
n n + (11)(1,0,1,0)- (12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)- (14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n F (16)不一定是
三 简答题
(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么?
1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ;
2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;
(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义
()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈
对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么? 1) 所有连续函数的集合1W ;
2) 所有奇函数的集合2W ;
3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=
(3) 下列集合是否为n R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域.
1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈L L ;
2) 21212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈L L ;
3) 312{(,,,)|n W x x x α==L 每个分量i x 是整数};
(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ???矩阵, 问AX b =的所有解向量是F 上的向
量空间吗? 说明理由.
(5) 下列子空间的维数是几?
1) 3
((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R --?;
2)22(1,1,)[]L x x x x F x ---? (6) 实数域R 上m n ?矩阵所成的向量空间()m n M R ?的维数等于多少? 写出它的一个基.
(7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？
(8) 若12,,,n αααL 是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，122311,,,,n n n αααααααα-++++L 也是V 的一个基吗？
(9) 1,2,(1)(2)x x x x -+-+是向量空间2[]F x 的一个基吗？
(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-.求4R 的一个含12,αα的基.
(11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==-=-到基
123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===-的过渡矩阵.
(12) 在中4F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==--=-- 4(1,1,1,1)α=--的坐标.
(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为过原点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则12W W I 与12W W +是什么? 12W W +能不能是直和?
(14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W I 和12W W +. 其中
123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=--==-; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=-=--
(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.
(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ??=∈=∈ ???
都是实数域R 的向量空间.问V 与W 是否同构? 说明理由.
(17) 设12,,,n αααL 为向量空间的一个基, 令12,1,2,,i i i n βααα=+++=L L 且
()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕⊕L .
答案(1)
1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭.
2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A -≠, 但|()|0A A +-=, 对加法不封闭.
(2)
1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数.
2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数.
3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有
()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);(0)((0))((1))()(1),
f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+=== 故3,.f g f W λ+∈
(3)
1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x +++=L 的全体解向量.
2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.
3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.
(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是 AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量空间.
(5)
1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)-线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)-=-+.
2) 维数是2. 因易证21,1x x --线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x -+-+-=.
(6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ?矩阵. 那么易证ij E 这m n ?个矩阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ?的一个基, 故()m n M R ?的维数是m n ?.
(7) ,,,1,2,3,,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠L 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,其
中共有12(1)n n ++++-L 个向量, 故此向量空间的维数(1)2
n n +. (8) 解 由
121112(,,,)(,,,)n n n n A ααααααααα-+++=L L .
得1||1(1)n A +=+-. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.
(9) 解 在基21,,x x 之下有
2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x --?? ?-+-+= ? ???
.
因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x -+-+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.
(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于 1
100010010,12
100001
-=-≠ 因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4R 的一个基.
(11) 解 由
123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε==
推出 1123123(,,)(,,)A B βββααα-=
因此所求过渡矩阵为 10113201001100021112210211111122A B -?? ????? ? ? ? ?=-= ? ? ? ? ?-- ????? ?-- ???
. (12) 解 取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为
1111111111111111A ?? ?-- ?= ?-- ? ?--??
于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为
1541124114114A -?? ? ??? ? ? ? ?= ? ? ?- ? ? ??? ? -???
. (13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重合, 则 121121,W W W W W W =+=I . 若1W 与2W 不重合, 则12W W I 为一条过原点的直线, 而 12W W V +=, 但12W W +不能是直和.
(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈I 为交空间的任意向量.由
11223311220,k k k t t αααββ++--=
得齐次线性方程组
12312121212312123123202520670
2530
k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +--+=??+--=??-++++=??-++--=? 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为
122232424896,,,7777
k t k t k t k t =-=-=-=-因此维12()1W W =I , 维12()4W W +=. 取27t =,令1267ξββ=-+便有12()W W L ξ=I , 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.
(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n n V F W F ??所以V W ?.
反之, 若V W ?, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基
12,,,n αααL , 易证12(),(),,()n f f f αααL 是W 的一个基, 故dim W n =.
(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等.
(17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=+++L , 那么
12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ--=---+---+-+L L
因此12n V W W W =+++L , 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故
12n V W W W =⊕⊕⊕L
四 计算题
(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=-=--=--, 生成4R 的子空间.W 试从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==-=--=-中找出W 的生成元.
(1) 解 以123,,ααα及1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.
11232312311147202002421533161510011/2020
1001/21100111/2100000400A B -?? ?--- ?=→ ?-- ? ?---???? ?-- ?= ? ? ?-??M M M M M M M M
由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知, 113323412,,2βααβααβαα=+=-+=+从而134(,,).L W βββ?但由B 还知134,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.
(2) 在向量空间4R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=-=-=-- 4(1,5,3,1)α=-生成的子空间的一个基和维数.
(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
241106391
515151533330126181111042600001
302.00000213----???? ? ? ? ?→→ ? ?----- ? ? ? ?--?????? ? ? ? ? ???
此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.
(3) 在4R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量. 这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===--45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==-.
(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
21110101051
2111210112303112303112110151101500013000131
01121010500026000001101511002---???? ? ?-- ? ?→→ ? ?---- ? ? ? ?????--???? ? ?--- ? ?→ ? ?-- ? ? ? ?????
. 由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有
1235234,253ααααααα=-=++.
(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中
100010.312A ?? ?= ? ???
(4) 解 设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里
000000311B ?? ?= ? ???
因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而
3{()|}W X M F BX XB =∈=.
任取,()ij C W C c ∈=. 由BC CB =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=
122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组
2111313322
123233333c c c c c c c c =--+??=--+? 的解. 于是我们得到如下矩阵
100010000300,030,100000000100?????? ? ? ?--- ? ? ? ? ? ???????
000000010,310010001???? ? ?- ? ? ? ?????
它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.
(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中
2100100,.200A ωωω??-+ ?== ? ???
(5) 解 因31ω=, 所以
22311,11A A I ωω???? ? ?=== ? ? ? ?????
易证2,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2
,,I A A 线性表示, 故2,,I A A 为的一个基, dim 3V =.
(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α= 4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,
221332442,,.y x x y x x y x x =-=-=-求基1234,,,ββββ.
(6) 解 因1122123412343344(,,,)(,,,)x y x y x y x y ξααααββββ???? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????
且 11122233344410001100011001
01y x x y x x P y x x y x x ???????? ? ? ? ?- ? ? ? ?== ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ? ? ?-????????
则 1122123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ααααββββ???? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?????
于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即
1
12341234(,,,)(,,,)P ββββαααα-=
故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====. (7) 设12,,,n αααL 是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++L L 也是 V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,,2,1)n n -L , 求ξ关于后一个基的 坐标.
(7) 解 基12,,,n αααL 到后一个基的过渡矩阵为
111101
1100
110001P ?? ? ? ?= ? ? ??
?
L L L L L L L . 那么 12111001101101120001211000111n n n y n n y P y --?????????? ? ??? ?--- ? ? ??? ? ? ? ??? ?=== ? ? ??? ?- ? ? ??? ? ??? ? ??? ????
?????L
L
M L L L
M M M L
L
故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,,1)L .
(8) 已知3R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=- 关于这个基的坐标.
(8) 解 设112233x x x ξααα=++, 的方程组
1132
3538222x x x x x =??+=??+=-?
解得1235,2,1x x x ==-=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)-.
(9) 已知1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)αααα=-===是4R 的一个基. 求4
R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同. (9) 解 由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为
2056133611211013P ?? ? ?= ?- ? ???
设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则
11223344,x x x x P x x x x ???? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?????
即得齐次线性方程组
1341334123413456023600
20
x x x x x x x x x x x x x x ++=??+++=??-+++=??++=?
解得1234x x x x ===-, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=---即为所求.
(10)已知4R 的一个基123(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1)ααα=-==4(6,6,1,3)α=. 求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.
(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为
2056133611211013P ?? ? ?= ?- ? ??
?
那么 11221123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ξεεεεαααα-???? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????
故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里
11122213334444/91/3111/91/274/91/323/271/3002/37/271/91/326/27y x x y x x P y x x y x x ---???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?== ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ? ? ?--?
???????.
五 证明题
(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间.
1)证明: 12W W I 是V 的子空间.
2)12W W U 是否构成V 的子空间, 说明理由.
(1) 证明
1) 显然120W W ∈I , 即12W W ≠ΦI , 任取1212,,W W k F αα∈∈I , 易知
1212112,W W k W W ααα+∈∈I I , 故12W W I 是V 的子空间.
2) 不一定. 当12W W ?或21W W ?时, 12W W U 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含时, 12W W U 不是V 的子空间. 因为总存在1112,W W αα∈?及2221,W W αα∈?使1212,W W αα∈U , 而1212W W αα+?U , 因为这时121122,W W αααα+?+?, 否则与选取矛盾.
(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.
(2) 证明 易知12121122{|,}W W W W αααα+=+∈∈为V 的子空间, 且
通过这一个学期建筑结构选型将建筑结构分类如下:●平面结构 梁柱结构(框架结构 桁架结构 单层钢架结构 拱式结构 ●空间结构 薄壁空间结构 网架结构 网壳结构网格结构 悬索结构 薄膜结构 ●高层建筑结构 ●平面结构 平面屋盖结构空间跨度相比较小,节点、支座形式较简单。 2008年奥运会摔跤比赛馆总建筑面积约23950平方米,比赛馆平面是一个82.4*94米平面,屋面是反对称的折面,采用巨型门式钢钢架结构,将建筑塑造为富有韵律感的
造型,如图所示。三维整体模型工程屋盖由12榀空间门式钢钢架组成,跨度82.4米,中心距8,0米,钢刚架为四肢组合的格构式结构。构件间的连接节点均为相贯节点,钢架柱(钢管连接于看台部分的钢筋混凝土柱,屋盖结构外形简洁、流畅,节点形式简单,刚度大,几何特性好。 单榀空间门式钢刚架单榀空间门式钢刚架(有连系杆单榀空间门式钢刚架(有连系杆
刚架柱支座 ●空间结构 ●网格结构 ?网架结构 一:2008奥运会国家体育馆 国家体育馆位于北京奥林匹克公园中心区,建筑面积80 476m2 ,固定座席118 万座,活动座2 000座,用于举办2008 年奥运会的体操、手球比赛,赛后用于举办体育比赛和文艺演出。虽然体育馆在功能上划分为比赛馆和热身馆两部分,但屋盖结构在两个区域连成整体,即采用正交正放的空间网架结构连续跨越比赛馆和热身馆两个区域,形成一个连续跨结构。空间网架结构在南北方向的网格尺寸为815m,东西方向的网格有两种尺寸,其中中间(轴a和○K之间的网格尺寸为1210m,其他轴的网格尺寸为815m。按照建筑造型要求,网架结构厚度在11518~31973m之间。不包括悬挑结构在内,比赛馆的平面尺寸为114m ×144m,跨度较大,为减小结构用钢量,增加结构刚度,充分发挥结构的空间受力性能,在空间网架结构的下部还布置了双向正交正放的钢索,钢索通过钢桅杆与其上部的网架结构相连,形成双向张弦空间网格结构。其中最长桅杆的长度为91237m,钢索形状根据桅杆高度通过圆弧拟合确定。在
1空间结构的特点：1）空间结构具有合理形体，三维受力特性，内力均匀，结构整体刚度大，抗震性能好。对集中荷载的分散性较强，能很好的承受不对称荷载或较大的集中荷载。2）自重轻，经济性好。3）便于工业化生产4）形式多样化，造型美观。5）有较大的跨越能力，为建筑功能提供较大的空间。6）建筑，结构和使用功能的统一。 2大跨度空间结构分类按大跨度空间结构的受力特点可分为刚性，柔性空间结构和杂交结构体系按单元划分分为板壳单元，梁单元，杆单团，索单元和膜单元。 3刚性空间结构体系包括薄壳，空间网络和立体桁架结构。薄壳结构多为钢筋混凝土整体浇灌而成 4空间网格结构一般是由钢杆件按一定规律组成的网格状高次超静定空间杆系结构。空间网格结构根据外形分：网架——外形呈平板状，网壳——其外形呈曲面状 5立体桁架结构是以钢管通过焊接有机连接而成的一种空间结构。 6柔性空间结构体系是指由柔性构件构成，通过施加预应力而形成的具有一定刚度的空间结构体系（包括：悬索结构，膜结构，张拉整体结构）。 7杂交空间结构体系：第一类为刚性结构体系之间的组合，第二类为柔性结构体系于刚性结构体系的组合，第三类为柔性体系之间的组合。 8单层网壳由梁单元组成，而双层网壳由杆单元组成 9网架结构具有空间三维受力、整体性好、刚度好、施工简单、快捷等优点。优点：1，应用范围广2，建筑高度小，能更有效的利用建筑空间，获得良好的经济效益。3，网格结构的刚度大，整体性好，抗震性好。4，网格尺寸小，可采用小规模的杆件界面，并为采用轻型屋面提供了便利的条件。5）便于制造定型化，网格可做成少数几种标准尺寸的组合单元，节点和零件，在工厂大量生产。组合单元若采用螺栓连接，网架可装可拆，也可任意加长或缩短，灵活性更大。6）由于网架杆件与节点的单一性，一般结构设计所需的施工图纸比较少。 10网架结构形式按结构组成分有双层和三层网架；按支承情况，可分为周边支承、点支承、三边支承和两边支承，周边支承与点支撑相结合的混合支承，按网格组成情况，可分为有两向或三向平面桁架组成的平面桁架体系和由三角锥、四角锥组成的空间桁架体系。根据搁置方式不同，可分为周边支承、点支撑、三边支撑和两边支承，以及周边支承与点支撑相结合的情况。 11双层网架由上下两个平放的平面构架做表层，上、下表层设有层间杆件相联系。组成上下表层的杆件称为网架的上弦杆或下弦杆，位于两层之间的杆件称为副杆。 12三层网架由3个平放的平面构架及层间杆件组成。三层网架结构的稳定性能比双层网架好，杆件密集，传力路径众多，结构有更好的安全储备，致使结构有很好的延性。三层网架结构杆件内力分布均匀。三层网架也存在不足之处是节点和杆件数量增多，中层节点上的链接的杆件较密。 13常用的柱帽形式有3种：1柱帽设置在网架下弦平面下，就是在支点处向下延伸一个网架高度，这种柱帽能很快将柱顶反力扩散，由于假设柱帽将占据一部分室内空间。2柱帽在网架上弦平面之上，就是在支点处向上延伸一个网架高度，其优点是不占室内空间，柱帽上凸部分可兼作采光天窗。3柱帽布置在网架内，将上弦节点直接搁置于柱顶，使柱帽呈伞形，其优点是不占室内空间，屋面处理较简单。这种柱帽承载力较低，适用轻屋盖或中小跨度网架。 14按网格形式分类,网架可分为平面桁架系和空间桁架系。平面桁架体系由平行斜架组成，杆件较多，刚度较大，适用与各种跨度。平面桁架体系分为1两向正交正放网架2两向正交斜放网架3两向斜交斜放网架空间桁架体系分为四角锥体系和三角锥体系四角锥体系是由许多四角锥按一定规律组成，组成的基本单位为倒置四角锥，这类网架上下弦平面均为方
大跨空间结构的学习心得 上大学以来，我总是喜欢看一些建筑类的书籍，每每看到那些对我来说不可思意的建筑，我都会被她们的雄伟气势、美妙绝伦的造型所深深吸引和被她们的设计者所完全折服。当然对于一个即将成为建筑人的我来说，这更是一种自豪。在这其中大跨空间结构，印象尤为深刻。这一学期的《大跨空间结构》课程让我更进一步的认识了空间结构。 记得小时候和朋友交换着把绳子在手指间支成各种各样的空间形状，那时侯的小游戏---“玩翻绳”，仔细想来它其实附含着一个很深的哲理---结构是变化的、是简单和复杂的综合体。两点一线、三点一面，面和面组合成空间。任何结构物本质上都是空间性质的，只不过出于简化设计和建造的目的，人们在许多场合把它们分解成一片片平面结构来进行构造和计算。与此同时，无法进行简单分解的真正意义上的空间体系也始终没有停止其自身的发展，而且日益显示出一般平面结构无法比拟的丰富多彩和创造潜力，体现出大自然的美丽和神奇。空间结构的卓越工作性能不仅仅表现在三维受力，而且还由于它们通过合理的曲面形体来有效抵抗外荷载的作用。当跨度增大时，空间结构就愈能显示出它们优异的技术经济性能。事实上，当跨度达到一定程度后，一般平面结构往往已难于成为合理的选择。从国内外工程实践来看，大跨度建筑多数采用各种形式的空间结构体系。 大跨空间结构的类型和形式十分丰富多彩，可分为如下这些类型：钢筋混凝土薄壳结构、平板网架结构、网壳结构、悬索结构、膜结构和索－膜结构。钢筋混凝土薄壁结构在50年代后期及60年代前期在我国有所发展，当时建造过一些中等跨度的球面壳、柱面壳、双曲扁壳和扭壳，在理论研究方面还投入过许多力量，制定了相应的设计规程。但这种结构类型日前应用较少，主要原因可能是施工比较费时费事。平板网架和网壳结构，还包括一些未能单独归类的特殊形式，如折板式网架结构、多平面型网架结构、多层多跨框架式网架结构等，总起来可称为空间网格结构。这类结构在我国发展很快，且持续不衰。悬索结构、膜结构和索-膜结构等柔性体系均以张力来抵抗外荷载的作用，可总称为张力结构。这类结构富有发展前景。 薄壳结构也叫实体结构。从某些方面可以说他是拱的演变，这与他的受力和造型特点有关。早在古罗马时代，人们就建造了万神殿，其中央大殿为直径43.5米的半圆球型穹顶。与传统的平面结构相比，薄壳结构造型优美、传力路线直接、受力性能良好。薄壳结构除了承重结构作用外又是维护结构，
大跨空间结构(答案整理) 一、单项选择题（共20分,每小题2分） 1. 下列哪一种空间结构在高空作业时施工费用最高（ B ） A. 网格结构 B. 折板结构 C. 平板结构 D. 混合结构 2. 下列哪一种网架结构的刚度最差（ D ） A. 两向正交正放网架 B. 两向正交斜放网架 C. 三向网架 D. 单向折线形网架 3. 若三角锥网架的全部杆件等长（其中h 为网架高度，s 为弦杆长度），必须满足下列哪 一种条件（ D ） A. 腹杆与高度方向的夹角为33arccos B. 腹杆与高度方向的夹角为2 3arccos C. 腹杆与高度方向的夹角为32arccos D. A 、B 、C 都不对 4. 下列哪种网架的节点处杆件汇交的数量最少（ B ） A. 两向正交正放网架 B. 蜂窝形三角锥网架 C. 棋盘形四角锥网架 D. 抽空三角锥网架 5. 下列哪种网架的节点处杆件汇交的数量最多（ A ） A. 三向网架 B. 三角锥网架 C. 四角锥网架 D. 星形四角锥网架 6. 下列哪一种网架屋面构造最为复杂（ D ） A. 星形四角锥网架 B. 棋盘形四角锥网架 C. 斜放四角锥网架 D. 两向斜交斜放网架 7. 正放四角锥网架须满足下列哪种条件方能做到所有杆件等长（ A ） A. 网架腹杆与弦杆的夹角为60° B. 网架腹杆与竖向的夹角为60° C. 网架腹杆与腹杆的夹角为60° D. 以上答案均不正确。 8. 下列哪一种网架受力的均匀性较差（ C ） A. 正放四角锥网架 B. 正放抽空四角锥网架 C. 星形四角锥网架 D. 棋盘形四角锥网架 9. 有一间接承受动力作用的网架，其受拉杆的容许长细比[]λ为（ D ） A. 180 B. 200 C. 250 D. 300
第六章 线性空间练习题参考答案 一、填空题 1.已知0000,,00V a b c a b c R c b ?????? ? =+∈?? ??? ?+???? 是33R ?的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? . 2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2, ,}n i W a x x x P i n =∈= 是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++. 5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基 123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010?? ? ? ???，而α在基321,,εεε下的坐标是 321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110?? ? ? ??? . 6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n -维线性空间，数域P 上n 级上
四、简答题（共20分,每小题5分） 1.在进行网架节点设计时，有哪些基本要求？ 答：①牢固可靠，传力明确简捷；（1分） ②构造简单，制作简单，安装方便；（1分） ③用钢量省，造价低；（1分） ④构造合理，使节点尤其是支座节点的受力状态符合设计计算假设。（2分） 2.确定网架结构的网格尺寸时，需要考虑哪些因素？ 答： 1)与屋面材料有关。钢筋混凝土板尺寸不宜过大，否则安装有困难，一般不宜超过 3m；当采用有檩体系构造方案时，网架一般不超过6 m。（3分） 2)与网架高度有一定比例关系。夹角过大、过小，节点构造会产生困难。（2分） 3. 当网架只承受恒载、活载、风载作用时，应考虑哪些荷载组合？ 答： ①永久荷载+可变荷载（1分） ②②永久荷载+半跨可变荷载（2分） ③网架自重+半跨屋面板+施工荷载（2分） 4．在螺栓球节点网架中杆件的计算长度L0等于杆件几何长度L，而在焊接球节点网架中杆件的计算长度L0小于杆件几何长度L，试说明理由。 答：在焊接球网架中，焊接球通过焊缝与杆件连接，由于焊接抗弯刚度大，工作性能接近于刚节点，故计算长度L0 市场常供钢管。（4）考虑到杆件材料负公差的影响，宜留有适当的余地。 6.用有限单元法对网架进行分析时，采用了哪些基本假设？ 答：①假定节点为铰节点，每个节点有三个自由度，忽略节点刚度的影响；②荷载作用在网架节点上，杆件只承受轴力；③材料在弹性阶段工作，符合胡克定律；④假定网架的变形很小，由此产生的影响予以忽略。 7.屋面排水坡度的做法共有几种方式？这几种方式有何特点？ 答：（1）上弦节点上加小立柱找坡：当小立柱较高时，应注意小立柱自身的稳定性，此法构造比较简单。（2）网架变高度：当网架跨度较大时，会造成受压腹杆太长的缺点。（3)支承柱变高：采用点支撑的网架可用此法找坡。（4）整个网架起拱：一般用于大跨度网架。网架起拱后，杆件、节点的规格明显增多，使网架的设计、制造、安装复杂化。 8．焊接球节点有哪些优缺点？ 答：优点：构造和制造均较简单，球体外型美观、具有万向性，可以连接任意方向的杆件。缺点：用钢量较大，节点用钢量占网架总用钢量的20%~25%；冲压焊接费工，焊接质量要求高，现场仰焊、立焊占很大比重；杆件下料长度要求准确；当焊接工艺不当造成焊接变形过大后难于处理。 9.空间结构与平面结构有何不同？ 答：平面结构,荷载作用方向平行于结构中面并沿结构中面方向均匀分布,或不同平面的结构单一在各向平面内的平行荷载作用下相互间的合作效应没有影响或影响很小。空间结构，具有不宜分解为平面结构体系的三维形体,具有三维受力特性,在荷载作用下呈空间工作的结构。 10.空间结构有哪几种基本类型？各类基本类型有哪些主要形式？ 答：（1）实体结构（薄壳、折板、平板）。（2）网格结构（网架、网壳、立体桁架）。（3）张力结构（悬索、薄膜）。（4）混合结构（张弦梁（桁架）、斜拉网架（网壳）、索承网壳） 11.何为实体结构、网格结构、弦力结构、混合结构？ 答：实体结构：用钢筋混凝土材料建造，内部无空洞或空洞率很小的结构，特点①以薄膜压力为主，能充分发挥混凝土强度；②折板抗弯刚度大，可作为受弯和压弯构件；③既是承重结构，又是维护结构；④曲面壳体模板复杂，耗工、耗材、耗时。网格结构：由标准化的刚构件和加大组成，并按一定规律相连而成的高次超静定空间网状结构。张力结构：通过对 第六章 线性空间测验 一、填空题 1、已知是的一个子空间，则dim＝ ， 的一组基是 ___________ _. 2、在中，若线性无关，则的取值范围是____________. 3、已知是数域P中的一个固定的数，而 是的一个子空间，则＝__________，而维()＝__________. 4、设是数域P上的维列向量空间，记 则1、2都是的子空间，且1＋2＝____________，＝____________. 5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T ＝__________，而在基下的坐标是__________. 6、在中, 在基的坐标是________________. 7、令，，，，则是的一组基，判定是否在中，若在，求在基下的坐标____________. 8、已知，则dim=_____，的一组基_______________. 二、判断题 1、 设，则是的子空间. 2、已知为上的线性空间，则维(）＝2. 3、设，是的解空间，1是的解空间，2是的解空间，则. 4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维()＝. 5、设是线性空间的子空间，如果但则必有 三、计算题 1、设，，其中 ，，；， 求与的基和维数。 2、在线性空间中，求由基到基的过渡矩阵， 在基下的坐标，其中 四、证明题 1、前4个埃尔米特多项式为1， ，和，这些多项式是在研究数学物理中的某种重要的微分方程时产生的．证明这前4个埃尔米特多项式构成的一组基． 2、在中，令 证明： (1) 都是的子空间；(2) 3、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令 证明：1、2皆为的子空间，且 向量空间的定义教案 (50分钟) “向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。 即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。 模拟试题二 一、填空题 1. 球节点是网架、网壳结构的一类基本节点形式， 和焊接球节点最为常用。正确答案：螺栓球 2. 正确答案：零 / 0 3. 正确答案：空间桁架位移法 / 空间桁架有限元法 4. （酸洗）除锈三种。正确答案：喷砂除锈 / 机械喷砂除锈 5. 正确答案：结构找坡 / 短柱找坡 / 支托找坡 6.对于张力结构，所谓的“形”指结构的曲面形状，所谓的“态”指结构内部的 正确答案：预张力 7. 正确答案：钢丝缆索 8. 织物膜材的基材种类有：正确答案：玻璃纤维 9. 2008 的气枕，这种膜材属于非织物膜材。正确答案：ETFE膜材 尽可能精确地拟合空间曲 面上的相应条块。其实质是研究一定约束条件下的空间曲面的平面展开问题。正确答案：剪裁 二、简答： 网架结构外形一定是平面吗？是否可能是曲面形式？为什么？（5分） 正确答案：不一定，可能是曲面。（2分）因为网架结构在荷载下是以受弯为主的，只要符合网架结构的受力特点，无论是平面的或曲面的，都可称之为网架结构。（3分）或答：工程中也有一些实例是曲面的，例如折板网架或曲板网架。（可给2分） 三、简答： 列举网架结构支承布置的几类主要形式，并简述其特点或适用范围。（5分） 正确答案：（1）周边支承，传力直接，受力均匀。适用于周边支承条件好的情况。（2）点支承，受力与无梁楼盖近似，支座处受力大。适用于开敞建筑。（3）周边与点支承结合，受力合理，可有效减小网架内力峰值及挠度。适用于工业厂房、展览建筑，仓库等。（4）三边或两边支承，自由边的存在对网架内力分布和挠度都不利。在飞机库、影剧院、工业厂房、干煤棚等中应用。（5）单边支承，受力与悬挑板相似。多用于挑篷结构。 四、简答： 列举一些影响网壳结构稳定性的因素。（5分） 正确答案：影响网壳稳定性的因素极其复杂，（1）材料的物理特性如弹性模量、强度；（2）结构的几何形体组成，杆件的截面尺寸；（3）支承条件以及荷载类型；（4）结构的初始缺陷；（5）网壳稳定性进行分析所采用的方法。 五、简答： 单层悬索体系的形状稳定性不好体现在哪方面？应采用哪些措施提高其形状稳定性？（5分） 正确答案：单层悬挂体系是一种可变体系，其平衡状态随外荷载分布的变化而变化，抗风能力差。提高稳定性措施：（1）采用重屋面；（2）采用钢筋混凝土悬挂薄壳；（3）增加横向加劲构件。 六、论述： 形效结构的定义，并说明实腹式梁，拱和悬索是不是形效结构。（5分） 正确答案：形效结构是指结构构件沿纵轴的形状与外荷载的分布形式有关，以实现构件以受轴力为主的目的。实腹梁不是形效结构；悬索是典型的手拉形效结构。 七、论述： 如图（1）为Geiger体系的索穹顶，（2）是以Geiger体系为基础改进而成的，请指出图（3）是什么体系的索穹顶，它的优点是什么？（5分） 正确答案：（2）是Levy体系的悬索穹顶。其优点是：1）膜单元为菱形双曲抛物面，可自然绷紧成形；2）整体空间作用加强，在不对称荷载作用下，强度有较大的提高。 第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号: 施工技术：大跨空间结构学习小结 国培学员：SXF 大跨度空间结构是国家建筑科学技术发展水平的重要标志之一。世界各国对空间结构的研究和发展都极为重视，例如国际性的博览会、奥运会、亚运会等，各国都以新型的空间结构来展示本国的建筑科学技术水平，空间结构已经成为衡量一个国家建筑技术水平高低的标志之一。 随着科技水平的提高，我国空间结构理论分析近年来得到了长足的发展，计算方法由连续化分析到离散化分析，由近似计算到精确分析，由等效静力分析到直接动力分析，由线性分析到非线性分析。研究方法向理论、试验与大量计算机分析相结合的方向发展。 近年来，由于现代技术的支撑和新型材料的加盟，网架、网壳、管桁结构等大跨空间钢结构获得了广泛应用。然而，要保证大跨空间钢结构得以健康发展，还必须加快一系列空间结构行业标准的制定，加强钢结构企业资质认证与管理，提升大跨空间钢结构的设计、制作、安装水平。 上世纪60年代网架在我国开始获得应用以来，到80～90年代大、中、小跨度的网架几乎已遍及各地。以1990年北京亚运会为例，兴建的场馆中有7个馆采用了网架、网壳结构。在此期间机械、汽车、化工、轻工等行业先后兴建许多大面积工业厂房，也大量采用了多种形式的大跨空间钢结 构。近年来兴建的大型公共建筑大多采用了钢管杆件直接汇交的管桁结构，它们外型丰富、结构轻巧、传力简捷、制作安装方便、经济效果好，是当前应用较多的一种结构体系。 据专家介绍，在大跨度空间结构中引入现代预应力技术，不仅使结构体形更为丰富而且也使其先进性、合理性、经济性得到充分展示。通过适当配置拉索，使结构获得新的中间弹性支点或使结构产生与外载作用反向的内力和挠度而卸载，前者即为斜拉结构体系，后者则为预应力结构体系。这一类“杂交”结构体系改善了原结构的受力状态，降低内力峰值，增强结构刚度，技术经济效果明显提高。目前我国已在80余项大跨空间钢结构工程中应用了预应力技术。 弓式支架结构是我国科技人员研制开发的一种新型预应力空间钢结构，它具有传力明确、自重较轻、施工快捷以及可拆卸的特点，既可用于永久性建筑也可用于可拆卸的临时性建筑，还具有应用于开启式屋盖结构的可能。目前许多高校对索托结构、索网结构等以高强钢索与钢材为主承重结构的预应力钢结构新体系，正在进行理论研究，积极准备工程实践，可以预期新型的预应力大跨空间钢结构不久将涌现在各类建筑中。 结构新材料的应用进一步推动了大跨空间钢结构的发展。在普通碳素钢获得大量应用的同时，不锈钢、铝合金、膜材也在许多大跨度建筑中获得了应用。国际上已有许多专 第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ { 大跨度空间结构复习题（一） 一、单项选择题 1. 焊接球网架中的某根受压腹杆（注：不是支座腹杆，也不是直接承受动力荷载的腹杆）， 其长度为3m ，请问下列何种圆管可满足最小截面规格的要求（ ） A. 476?φ B. 5.348?φ C. 489?φ D. 4114?φ 2. 螺栓球网架中的某根受拉杆件，其截面规格为4114?φ，截面为A=1 3.82cm 2 ,承受250kN 的轴力，考虑到钢管一般都存在负公差，请问下列那一种应力最为合理（ ） A. 181N/mm 2 B. 201N/mm 2 C. 213N/mm 2 D. 以上答案均不正确 3. 螺栓球网架结构中，当最大弦杆截面与最小腹杆截面会交于一点时，可能会出现是么情 况（ ） A. 高强螺栓被剪断 B. 腹杆被拉断 C. 腹杆弯曲 D. 以上说法不正确 4. 网架中的某根压杆，截面规格为489?φ，其毛截面面积为2 cm 10.68 A =,净截面2n cm 9.612A =，稳定系数为95.0=?，承受150kN 的压力，则该杆件的应力为（ ） A. 156N/mm 2 B. 148N/mm 2 C. 140N/mm 2 D. 以上答案均不正确 5. 在网格尺寸、平面尺寸不变的情况下，下列哪种网架的杆件数量最少（ ） A. 两向正交正放网架 B. 正放四角锥网架 C. 棋盘形四角锥网架 D. 三角锥网架 6. 在网格尺寸不变的情况下，下列哪种网架的杆件夹角最大（ ） A. 三向网架 B. 三角锥网架 C. 正放四角锥网架 D. 星形四角锥网架 7. 下列哪种说法是正确的（ ） A. 在重力荷载作用下，正交正放网架的下弦截面规格不大于上弦 B. 正放四角锥网架的支承平面内需增加斜撑杆方能保证结构几何不变 C. 螺栓球网架的支座腹杆，其计算长度系数可取0.9 D. 以上答案均不正确。 第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 重庆大学建筑构造(下)(第四版)期末试题(有详 细答案) 班级： 姓名；考试时间：120分钟 一、单项选择题（每小题1分，共30分） 1、抹灰层的总厚度应符合设计要求；当抹灰总厚度大于或等于（ C ）时，应采取加强措施。 A、15 B、20 C、35 D、502、在不同基体材料相接处表面抹灰时应先铺钉金属网，金属网与各基体的搭接宽度不应小于（ A ） A、100 B、150 C、250 D、300 93、当设计条件相同时，下列吊顶中，哪一种的耐火极限最高？ A、厚 1、5cm的板条抹灰 B、钢丝网抹灰(1:4水泥石棉浆，厚2cm) C、各厚0、8cm的双层石膏板 D、1cm厚的石棉板答案：（D）5内墙面抹灰每遍适宜厚度的表达，哪一条是错误的( ) A、涂抹水泥砂浆每遍适宜厚度为5～7mm B、涂抹水泥混合砂浆每遍适宜厚度为7～9mm C、纸筋石灰面层赶平压实后的厚度不得大于4mm D、石膏灰面层赶平压实后的厚度不得大于2mm答案：C6下列关于轻钢龙骨纸面石膏板的表述错误的是（ ） A、固定板材的次龙骨间距不得大于600mm，在潮湿地区和场所，间距宜为300－400 B、石膏板板材的固定有螺钉固定、胶粘固定、插结固定三种 C、轻钢龙骨常用分主、次龙骨的双层构造，但轻型吊顶时可省略主龙骨用吊筋直接吊挂次龙骨及面层的单层构造方式 D、纸面石膏板厚度有面石膏板厚度有9ｍｍ和12ｍｍ两种，9ｍｍ主要用于墙面，12ｍｍ主要用于吊顶。答案：D7顶棚抹灰最大允许平均总厚度的表述，哪一条是错误的( ) A、现浇混凝土顶棚15mm B、预制混凝土板顶棚18mm C、金属网抹灰顶棚20mm 第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（U ），交（I ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使 x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运 算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 试卷号：9375 课程：建筑构造＃2015 客观题共22题（满分44分） 一、单项选择题（共10题，每题2分） 第1题. 我国建筑统一模数中规定的基本模数为( )。 A. 10mm B. 100mm C. 300mm D. 600mm 第2题. 单层厂房纵向轴线之间的距离称为( )。 A. 柱距 B. 跨度 C. 进深 D. 高度 第3题. 单层厂房纵向轴线之间的距离称为( )。 A. 柱距 B. 跨度 C. 进深 D. 高度 第4题. 我国建筑统一模数中规定的基本模数为( )。 A. 10mm B. 100mm C. 300mm D. 600mm 第5题. 受刚性角限制的基础称为( )。 A. 刚性基础 B. 柔性基础 C. 桩基础 D. 条形基础 第6题. 下列开启式不占用室内外空间的窗子是( )。 A. 立转窗 B. 平开窗 C. 悬窗 D. 推拉窗 第7题. 结构的承重部分是由钢筋混凝土或型钢组成的梁柱体系，墙体只起围护和分隔作用的建筑结构是( )。 A. 砌体结构 B. 框架结构 C. 空间结构 D. 剪力墙结构 第8题. 普通楼梯的坡度不宜超过( )。 A. 30° B. 38° C. 45° D. 60° 第9题. 下列开启式不占用室内外空间的窗子是( )。 A. 立转窗 B. 平开窗 C. 悬窗 D. 推拉窗 第10题. 建筑物的耐火等级主要取决于( )。 A. 非主要构件的燃烧性能 B. 主要构件的耐火极限和燃烧性能 C. 建筑物的设计年限 D. 建筑物的高度 二、判断题（共12题，每题2分） 第11题. 楼板层是用来分隔建筑空间的竖直承重构件。( ) 对错 第12题. 工业建筑是指用于从事工业生产的各种房屋(一般称厂房)。( ) 对错 第13题. 试卷A （前6题每题10分，后2题每题20分，下同） 1．简述大跨空间结构的基本结构形式及其共同特点。 答案：薄壳结构、网格结构（网架结构、网壳结构）、张力结构（悬索结构、薄膜结构）、混合结构等。共同特点是：三维受力，通过合理的曲面形体抵抗外荷载作用。 2．简述空间桁架位移法的计算原理和步骤。 答案：基于空间杆系有限元理论，具体步骤为：1）建立基本方程及单元刚度矩阵; 2) 建立整体刚度矩阵；3）边界条件处理；4）内力计算及平衡校核；5）根据收敛条件来进行结构重分析。 3．简述两向正交正放网架、两向正交斜放网架、两向斜交斜放网架的受力特点和应用范围。 答案：1）两向正交正放网架：构造简单，刚度较弱，适用中小跨度、平面形状为矩形情况。 2）两向正交斜放网架：各榀桁架刚度各异，形成良好空间作用，适用于大跨度建筑。3）两向斜交斜放网架：构造复杂，受力欠佳，适用于矩形平面，有特殊建筑要求时采用。 4．简述张力结构的三个基本要素，及其对结构力学性能的影响。 答案：张力结构的三个基本要素为互反曲面、初始预张力、几何非线性。互反曲面的作用是维持结构的形状稳定性；初始预张力的作用是增强结构刚度；几何非线性的作用是使结构具有刚度硬化的特点，使结构的刚度不仅与材料的弹性伸长有关，还与构件的刚体转动有关。 5．试列举3种增强索结构形状稳定性的措施。 答案：设置重屋面、形成混凝土薄壳、施加稳定索、采用劲性构件、与刚性结构结合形成混合体系。 6．简述织物类膜材的基本构成以及各部分的作用。 答案：基材、涂层、面层。基材决定了材料的力学性能，如抗拉强度、抗撕裂强度等；涂层起密实和保护基材的作用，决定了材料的物理性能，如防火、防潮、透光等。面层起自洁和防紫外线辐射的作用。 7. 论述哈尔滨国际会展体育中心主馆结构体系的受力特点。 答案：1）128米跨度的预应力张弦桁架由前端的人字形摇摆柱和后端的刚性柱支承，桁架与刚性柱之间连接为固定铰支座，摇摆柱使桁架与下部结构间形成了理想的可动铰支座，使超大跨度的张弦桁架的整体受力形成理想的简支形式，这样可以很好的释放桁架中的温度应力。2) 前端的人字柱既可以传递竖向力，又可以为建筑物提供提供足够强大的纵向刚度，从建筑造型和结构受力上看都是比较理想的。3）大厅前立面玻璃幕墙的支撑桁架（抗风柱）上端与张弦桁架连接在一起，并采用了一种专门设计的连接构造，使两者间仅传递水平向力，竖直向 大跨空间结构的发展 摘要：大跨空间结构是目前发展最快的结构类型。大跨度建筑及作为其核心的空间结构技术的发展状况是代表一个国家建筑科技水平的重要标志之一。本文就空间网格结构和张力结构两大类介绍了国内外空间结构的发展现状和前景。对这一领域几个重要理论问题，包括空间结构的形态分析理论、大跨柔性属盖的动力风效应、网壳结构的稳定性和抗震性能等问题的研究提出了看法。 一、概述 在这实际的三维世界里，任何结构物本质上都是空间性质的，只不过出于简化设计和建造的目的，人们在许多场合把它们分解成一片片平面结构来进行构造和计算。与此同时，无法进行简单分解的真正意义上的空间体系也始终没有停止其自身的发展，而且日益显示出一般平面结构无法比拟的丰富多彩和创造潜力，体现出大自然的美丽和神奇。空间结构的卓越工作性能不仅仅表现在三维受力，而且还由于它们通过合理的曲面形体来有效抵抗外荷载的作用。当跨度增大时，空间结构就愈能显示出它们优异的技术经济性能。事实上，当跨度达到一定程度后，一般平面结构往往已难于成 为合理的选择。从国内外工程实践来看，大跨度建筑多数采用各种形式的空间结构体系。 近二十余年来，各种类型的大跨空间结构在美、日、欧等发达国家发展很快。建筑物的跨度和规模越来越大，目前，尺度达150m以上的超大规模建筑已非个别；结构形式丰富多彩，采用了许多新材料和新技术，发展了许多新的空间结构形式。例如1975年建成的美国新奥尔良“超级穹顶”，直径207m，长期被认为是世界上最大的球面网壳；现在这一地位已被1993年建成夏径为222m的日本福冈体育馆所取代，但后者更著名的特点是它的可开合性：它的球形屋盖由三块可旋转的扇形网壳组成，扇形沿圆周导轨移动，体育馆即可呈全封闭、开启1／3或开启2／3等不同状态。1983年建成的加拿大卡尔加里体育馆采用双曲抛物面索网屋盖，其圆形平面直径135m，它是为1988年冬季奥运会修建的，外形极为美观，迄今仍是世界上最大的索网结构。70年代以来，由于结构使用织物材料的改进，膜结构或索-膜结构获得了发展，美国建造了许多规模很大的气承式索-膜结构；1988年东京建成的“后乐园”棒球馆，也采用这种结构技术尤为先进，其近似圆形平面的直径为204m；美国亚特兰大为1996年奥运会修建的“佐治亚穹顶”采用新颖的整体张拉式索一膜结构，其准椭圆形平面的轮廓尺寸达192mX241m。许多宏伟而富有特色的大跨度建筑已成为当地第六章 线性空间
最新向量空间的定义教案(50分钟)
大跨空间结构 2014期末考试 模拟1 哈工大
高等代数北大版教案-第6章线性空间
学习小结：大跨空间结构
第六章线性空间自测练习
大跨空间结构复习题
线性空间与子空间
重庆大学建筑构造(下)(第四版)期末试题(有详细答案)
01 线性空间与子空间
2015电大建筑构造答案
大跨空间结构模拟复习题
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