向量空间
一 判断题
(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域
R
上的向量空间.
( ) .
(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域
R 上
的向量空间. ( ).
(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间.
( ).
(4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间.
( ).
(5) 121
{(,,
,)|1,}n
n i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ).
(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间.
( ).
(7)11{(,0,
,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ).
(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++
是V
的一组基.
( ).
(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基.
( ).
(10)设12,,
,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,
,n ααα
线
性
表
示
,
则
12,,,n
ααα是
V
的一组基
.
( ).
(11) 设12,,
,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ与12,,,n ααα等价,
则
12,,
,n
βββ也是
V
的一个基.
( ).
(12)
3
x 关于基
332,,1,1
x x x x x +++的坐标为
(1,1,0,0)
.
( ).
(13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若
12dim dim dim s V V V n
++
+=,
则
12s
V V V +++为直和
.
( ).
(14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++
+. 若121230,()0,
V V V V V =+=121,()0,S s V V V V -++
+= 则12s V V V ++
+为直
和.
( ).
(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++
+. 若
(){0},
i
j j i
V V ≠=∑
则
12s
V V V +++为直和
.
( ).
(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++
+. 若
(){0},,i
j V V i j =≠则
12s
V V V +++为直和
.
( ).
(17) 设12,,
,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++
+. 零向量表法是
唯一
的
,
则
12s
V V V +++为直
和
.
( ).
(18) 设12,,
,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的
一个
基
是
12(),(),,()
n f f f ααα.
( ).
(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F
上的
n
维向量空间.
( ).
(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类.
( ).
答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正
确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误
(17)正确
(18)正确 (19)正确 (20)错误
二 填空题
(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间. (2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量
空间.则此空间的零向量为___.
(3) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量
空间.
则a R +
∈的负向量为________.
(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:
2
(,)(,)(,),
(1)(,)(,),
2
a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.
(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:
2
(,)(,)(,),
(1)(,)(,),
2
a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.
(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于
_____.
(7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________.
(8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,
它的维数等于_____.
(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===
4(0,1,1,1)α=--的坐标为__________.
(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________. (13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=
在此基下的坐标为 _______.
(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件
__________________________________________, 就叫做一个同构映射.
(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.
(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===, 则123W W W ++
________直和.
答案
(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)
1a
(4)(0,0) (5)2
(,)a a b -- (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)
2
n n + (11)(1,0,1,0)- (12)(0,0,1,2)
(13)(1,1,1)- (14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对
任意,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n
F (16)不一定是 三 简答题
(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么 1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ;
2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;
(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义
()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈
对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间 为什么
1) 所有连续函数的集合1W ;
2) 所有奇函数的集合2W ;
3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=
(3) 下列集合是否为n R 的子空间 为什么 其中R 为实数域. 1) 11212{(,,
,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈;
2) 21212
{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈;
3) 312{(,,
,)|n W x x x α==每个分量i x 是整数};
(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ???矩阵, 问AX b =的所有解向量是F 上的向量空间吗 说明理由.
(5) 下列子空间的维数是几
1) 3
((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R --?; 2)2
2
(1,1,)[]L x x x x F x ---?
(6) 实数域R 上m n ?矩阵所成的向量空间()m n M R ?的维数等于多少 写出它的一个
基.
(7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少
(8) 若12,,,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，122311,,
,,n n n αααααααα-++++ 也是V 的一个基吗
(9) 1,2,(1)(2)x x x x -+-+是向量空间2[]F x 的一个基吗
(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-.求4R 的一个含12,αα的基. (11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==-=-到基
123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===-的过渡矩阵.
(12) 在中4F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==--=--
4(1,1,1,1)α=--的坐标.
(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为
过原点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则1
2W W 与12W W +是什么 12
W W +
能不能是直和
(14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中
123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=--==-; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=-=--
(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.
(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ??
=∈=∈ ???
都是实数域R 的向量空间.问V
与W 是否同构 说明理由.
(17) 设12,,,n ααα为向量空间的一个基, 令12,1,2,
,i i i n βααα=++
+=且
()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕
⊕.
答案(1)
1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭.
2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A -≠, 但|()|0A A +-=, 对加法不
封闭.
(2)
1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数.
2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数. 3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有 ()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);
(0)((0))((1))()(1),
f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+===
故3,.f g f W λ+∈
(3)
1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x ++
+=的全体解向量.
2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭. 3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.
(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是
AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量空间.
(5)
1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)-线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)-=-+.
2) 维数是2. 因易证21,1x x --线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x -+-+-=.
(6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ?矩阵. 那么易证ij E 这m n
?个矩阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ?的一个基, 故()m n M R ?的维数是m n ?.
(7) ,,,1,2,3,
,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一
个基,其中共有12(1)n n +++
+-个向量, 故此向量空间的维数
(1)
2
n n +. (8) 解 由
121112(,
,,)(,,
,)n n n n A ααααααααα-+++=.
得1
||1(1)
n A +=+-. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它
不构成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.
(9) 解 在基21,,x x 之下有
2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x --??
?-+-+= ? ???
.
因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x -+-+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.
(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于
1
100010010,12100
01
-=-≠
因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4
R 的一个基.
(11) 解 由
123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε==
推出 1
123123(,,)(,,)A B βββααα-=
因此所求过渡矩阵为
1
0113201001100021112210211111122A B -??
?
???? ? ? ?
?=-= ? ? ? ? ?-- ????? ?-- ???
.
(12) 解 取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为
1111111111111111A ?? ?--
?= ?-- ? ?--??
于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为
1541124114114A -??
?
???
? ? ?
?= ? ? ?- ? ? ?
??
? -???
. (13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重
合, 则
121121,W W W W W W =+=. 若1W 与2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直线, 而 12W W V +=, 但12W W +不能是直和.
(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈为交空间的任意向量.由
11223311220,k k k t t αααββ++--= 得齐次线性方程组
123121212
123121231232025206702530
k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +--+=??+--=??
-++++=??-++--=? 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为
122232424896
,,,7777
k t k t k t k t =-=-=-=-因此维12()1W W =, 维12()4W W +=.
取27t =,令1267ξββ=-+便有1
2()W W L ξ=, 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.
(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n n V F W F ??所以V W ?.
反之, 若V W ?, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基
12,,,n ααα, 易证12(),(),,()n f f f ααα是W 的一个基, 故dim W n =.
(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等. (17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=++
+, 那么
12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ--=---+---+-+
因此12n V W W W =+++, 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故
12n V W W W =⊕⊕
⊕
四 计算题
(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=-=--=--, 生成4R 的子空间.W 试
从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==-=--=-中找出W 的生成元.
(1) 解 以123,,ααα及1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.
112323123111472020024
21533161510011/20201001/21100111/21000
0040
0A B -??
?---
?=→ ?-- ? ?---?
??? ?-- ?= ? ? ?-?
?
由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知,
113323412,,2βααβααβαα=+=-+=+从而134(,,).L W βββ?但由B 还知134
,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.
(2) 在向量空间4R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=-=-=--
4(1,5,3,1)α=-生成的子空间的一个基和维数.
(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
2
41106391515151533330126181111042600001302.0000021
3----????
? ? ? ?
→→
? ?
----- ? ? ? ?--?
???
?? ? ? ? ? ??
?
此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此
1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.
(3) 在4R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向
量.
这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===--45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==-.
(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
211101
010********
01123031123
0311*******
1015000130
0013101121
010*******
00001101511002---????
?
?
-- ? ?
→
→
? ?
---- ? ?
? ??
???
--????
?
?
--- ? ?→
? ?
-- ? ?
? ?????
.
由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有 1235234,253ααααααα=-=++.
(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中
100010.312A ??
?
= ? ???
(4) 解 设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里
000000311B ?? ?
= ? ???
因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而 3{()|}W X M F BX XB =∈=.
任取,()ij C W C c ∈=. 由BC CB =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=
122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组
21113133
22123233
333c c c c c c c c =--+??
=--+?
的解. 于是我们得到如下矩阵
100010000300,030,100000000100?????? ? ? ?--- ? ? ? ? ? ???????
000000010,310010001???? ? ?- ? ? ? ?????
它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.
(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.
其中
210000,00A ωωω??
?
== ? ?
?? (5) 解 因31ω=, 所以
2
2311,11A A I ωω???? ? ?=== ? ? ? ?????
易证2
,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2
,,I A A 线性表示, 故2
,,I A A 为的一个基, dim 3V =.
(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α=
4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,
221332442,,.y x x y x x y x x =-=-=-求基1234,,,ββββ.
(6) 解 因1122123412343344(,,,)(,,,)x y x y
x y x y ξααααββββ????
? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????且
11122233344410
0011
00011001
01y x x y x x P y x x y x x ??????
?? ? ? ? ?- ? ?
?
?== ? ?
? ?- ? ? ?
? ? ? ? ?-????????
则
112
2123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ααααββββ????
? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?????
于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即
1
12341234(,,,)(,,,)P ββββαααα-=
故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====.
(7) 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++也是
V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,
,2,1)n n -, 求ξ关于后一个基
的 坐标.
(7) 解 基12,,,n ααα到后一个基的过渡矩阵为
11110
111001100
1P ?? ? ?
?= ? ? ??
?
. 那么
12
1110
01101101120001211000
111n n n y n n y P y --????????
?? ?
??? ?--- ? ? ??? ? ?
? ??? ?=== ? ?
??? ?- ? ? ??? ?
?
?? ? ??? ????
?????
故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,
,1).
(8) 已知3R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=-
关于这个基的坐标.
(8) 解 设112233x x x ξααα=++, 的方程组
1132
3538222
x x x x x =?
?
+=??+=-?
解得1235,2,1x x x ==-=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)-.
(9) 已知1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)αααα=-===是4R 的一个基.
求4
R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.
(9) 解 由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为
20561
33611211013P ??
?
?
= ?
- ?
???
设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则
112
23344,x x x x P x x x x ????
? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?????
即得齐次线性方程组
1341334
12341345602360020
x x x x x x x x x x x x x x ++=??+++=??-+++=??++=?
解得1234x x x x ===-, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=---即为所求.
(10)已知4R 的一个基123(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1)ααα=-==4(6,6,1,3)α=.
求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.
(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为
2
0561
33611211013P ??
?
?
= ?
- ?
??
?
那么
11221
123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ξεεεεαααα-????
? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????
故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里
11122213334444/9
1/3111/91/274/91/323/271/3002/37/271/91/326/27y x x y x x P y x x y x x ---???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?== ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ? ? ?
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???????.
五 证明题
(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. 1)证明: 12W W 是V 的子空间.
2)12W W 是否构成V 的子空间, 说明理由. (1) 证明
1) 显然1
20W W ∈, 即12W W ≠Φ, 任取1212,,W W k F αα∈∈, 易知
1212112,W W k W W ααα+∈∈, 故12W W 是V 的子空间.
2) 不一定. 当12W W ?或21W W ?时, 12W W 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含
时,
12W W 不是V 的子空间. 因为总存在1112,W W αα∈?及2221,W W αα∈?使
1212,W W αα∈, 而1212W W αα+?, 因为这时121122,W W αααα+?+?, 否则与选
取矛盾.
(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的
最小子空间.
(2) 证明 易知12121122{|,}W W W W αααα+=+∈∈为V 的子空间, 且112212,.W W W W W W ?+?+
设W 为V 的包含1W 与2W 的任一子空间, 对任意1122,W W ξξ∈∈,有12W ξξ+∈, 即
12W W W +?, 故12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.
(3) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. ,αβ是V 的两个向量, 其中2W α∈,
但1W α?, 又2W β?. 证明:
1)对任意2,k F k W βα∈+?;
2)至多有一个,k F ∈使得1k W βα+∈. (3) 证明
1) 任意,k F ∈若2k W βα+∈, 则2()k k W ββαα=+-∈矛盾, 故1)成立.
2) 当1W β∈时, 仅当0k =时, 有1k W βα+∈; 当1W β?时, 若存在1212,,k k F k k ∈≠使得111221,k W k W αβααβα=+∈=+∈, 则12121()k k W ααα-=-∈,
因此1W α∈, 矛盾, 故2)成立.
(4) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明 若1212W W W W +=, 则12W W ?或 21W W ?.
(4) 证明 因1
2W W 含1W 与2W 中所有向量, 12W W +含一切形如
121122(,)W W αααα+∈∈的向量, 因为1212W W W W +=, 所以121W αα+∈或122W αα+∈
. 若121W αα+∈, 令12ααβ+=, 则21αβα=-, 故21W W ?; 若122W αα+∈, 令
12ααγ+=, 则12αγα=-, 故12W W ?.
(5) 证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的向量都可作为V 的一个基. (5) 证明 设12,,,n ααα是V 中线性无关的向量, 取V 的单位向量12,,
,n εεε, 则
12(,,
,)n V L εεε=, 且12,,,n ααα中每一个可由12,,
,n εεε线性表示. 由替换定理知
12,,,n ααα与12,,,n εεε等价, 所以V 中每一个向量可由12,,
,n ααα线性表示, 又
12,,
,n ααα线性无关, 故12,,
,n ααα可作为V 的一个基.
(6) 设V 为n 维向量空间, V 中有m 组线性无关的向量, 每组含t 个向量, 证明: V
中存在n t -个向量与其中任一组组成V 的一个基.
(6) 证明 设V 中m 组线性无关的向量分别为12,,
,(1,2,
,),i i it i m t n ααα=≤. 令
12(,,
,)i i i it V L ααα=, 则dim i V t n =<. 因存在1,(1,2,
,)i V i m ξ?=, 使
121,,
,,i i it αααξ线性无关, 若1t n +<,令/
121(,,,,)i i i it V L αααξ=, 则/
i V 也为V 的非
平凡子空间, 同理存在/
2,1,2,,i V V i m ξ=-=, 而且1212,,
,,,i i it αααξξ线性无关, 如
此继续下去, 可找到12,,,n t ξξξ-使得12,,,,i i it ααα12,,
,n t ξξξ-线性无关, 故对每个i ,
它们都是V 的一个基.
(7) 设n 维向量空间V 的向量组12,,,n ααα的秩为r , 使得
11220n n k k k ααα++
+=全体n 维向量12(,,
,)n k k k 的集合为W . 证明W 是n F 的
n r -维子空间.
(7) 证明 显然12dim (,,
,)n L r ααα=, 今设每个i α在12(,,,)n L ααα的某个基下的坐
标为
12
[]i i i ir a a a α?? ? ?= ? ? ???
,1,2,
,i n =
那么由11220n n k k k ααα++
+=可得
1122[][][]0n n k k k ααα+++=.
它决定了一个含n 个未知量12,,
,,n k k k r 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵
12([],[],,[])n ααα的秩为r , 故解空间即W 的维数为n r -.
(8) 设12,,
,n a a a 是数域F 中n 个不同的数, 且12()()()
()n f x x a x a x a =---.
证明多项式组()
()(1,2,
,)()
i i f x f x i n x a =
=-是向量空间1[]n F x -的一个基.
(8) 证明 因1dim []n F x n -=, 所以只需证12,,
n f f f 线性无关. 设有12,,
,n k k k F ∈,
使
1220n n k f k f k f ++
+= (*)
由()0,,()0j i i i f a i j f a =≠≠, 因此将i a 带入(*)得()0i i i k f a =, 从而
0,(1,2,)i k i n ==故12,,n f f f 线性无关, 为1[]n F x -的一个基.
(9) 设W 是n R 的一个非零子空间, 而对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说, 或者
120n a a a ==
==, 或者每一个i a 都不等于零. 证明: dim 1.W =
(9) 证明 由W 非零, 我们总可以取12(,,,)n b b b W β=∈, 且0β≠, 那么每个
0i b ≠且β线性无关. 今对任意12(,,
,)n a a a W α=∈, 若0α=当然α可由β线性表示;
若0α≠而11a W b αβ-
∈, 由于其第一个分量为0, 由题设知11
a
b αβ=. 故β可作为W 的一个基,且dim 1.W =
(10) 证明: 22,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基, 并求2273x x ++关于这个基的坐标. (10) 证明: 2dim []3,F x =22,,1x x x x x +-+由基21,,x x 表示的演化矩阵为
001111110A ??
?
=- ? ???
但A 可逆, 故2
2
,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基.
2273x x ++关于这个基的坐标(3,1,3)-,
因为
13371.23A -????
? ?=- ? ? ? ?????
(11) 若123,,W W W 都是V 的子空间, 求证: 1
1231213(())()()W W W W W W W W +=+.
(11) 证明: 任意1
123(())W W W W α∈+, 则1W α∈, 且123()W W W α∈+, 因此
1311233,,W W W ααααα=+∈∈, 但1W α∈, 知313W W α∈, 故 1213()()W W W W α∈+.
反之, 任意1
213()()W W W W β∈+, 12112213,,W W W W βββββ=+∈∈, 则
1W β∈, 且123()W W W β∈+, 故1123(())W W W W β∈+.
(12) 设12,,
,s W W W 是n 维向量空间V 的子空间. 如果12s W W W ++
+为直和.
证明:{0},,,1,2,
,i
j W W i j i j s =≠=.
(12) 证明: 由12s W W W +++为直和, 有(){0},,,1,2,
,i
j i j
W W i j i j s ≠=≠=∑, 而
(){0},,,1,2,
,i j i
j i j
W W W W i j i j s ≠?=≠=∑. 故
{0},,,1,2,
,i
j W W i j i j s =≠=.
(13) 设12,W W 分别是齐次线性方程组120n x x x ++
+=与12n x x x ===的解空间.
证明: 12n
F W W =+.
(13) 证明 因120n x x x +++=的解空间的维数为1n -, 且一个基为
12(1,1,0,,0),(1,0,1,0,,0),
αα=-=-1,(1,0,
,0,1)n α-=-, 又12n x x x ==
=
即方程组
1223
1000
n n x x x x x x --=??-=????-=?
的系数矩阵的秩为1n -, 其解空间的维数为1, 且一个基为(1,1,
,1)β=, 但
121,,,n αααβ-线性无关, 它是n F 的一个基, 且12dim dim dim n F W W =+, 故
12n F W W =+.
(14) 证明 每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和. (14) 证明: 设12,,
,n ααα是n 维向量空间V 的一个基, 那么12(),(),,()n L L L ααα
都是一维子空间. 显然 12()()()n V L L L ααα=++
+
于是由V 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.
(15) 证明n 维向量空间V 的任意一个真子空间都是若干个1n -维子空间的交. (15) 证明: 设W 是V 的任一子空间, 且设12,,
,s ααα为W 的一个基, 将其扩充为V
的一个基12,,
,s ααα1,,,s n αα+, 那么令 12111(,,
,,,
,,,
,)i s s s i s i n W L ααααααα++-++=
于是这些,1,2,i W i n s =-, 均为1n -维子空间, 且12n s W W W W -=.
(16)设:f V W →是数域F 上向量空间V 到W 的一个同构映射, 1V 是V 的一个子空
间. 证明: 1()f V 是W 的一个子空间.
(16) 证明:
因1(0)()f f V ∈, 所以1()f V 非空. 对任意//
1,()f V αβ∈, 由于f 是1V 到1()f V 的满射, 因此存在1,V αβ∈, 使//(),()f f ααββ==, 对任意,a b F ∈, 有 1a b V αβ+∈, 于是//1()()()()f a b af bf a b f V αβαβαβ+=+=+∈, 故1()f V 是W
的一个子空间.
(17) 证明: 向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构.
(17) 证明:
记数域F 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V , 显然[]V f x ?, 且V 中有形式()xf x , 这里()f x ∈[]F x . 定义 :[]
;F x V σ()()f x xf x →, 显然σ是[]F x 到V 的双射, 且对于任意
(),()f x g x ∈[],,,F x a b F ∈
(()())(()())
()()(())(())
af x bg x x af x bg x axf x bxg x a f x b g x σσσ+=+=+=+
故σ是[]F x 到V 的同构映射. 从而V 是[]F x 的一个真子空间, []F x V ?.
(18) 设,αβ是复数, {()[]|()0},{()[]|()0}V f x R x f W g x R x g αβ=∈==∈=,
证明: ,V W 是R 上的向量空间, 并且V W ?.
(18) 证明: 易证,V W 是R 上的向量空间,
设V 中次数最低的多项式为()h x , 则对任意()f x V ∈, 都有()[]s x R x ∈, 使
()()()f x h x s x =, 因此{()()|()[]}V h x s x s x R x =∈
同理, 设W 中次数最低的多项式为()k x , 则{()()|()[]}W k x s x s x R x =∈. 定义:()()
()()h x s x k x s x σ
易证σ是V 到W 的同构映射, 故V W ?.
(19) 证明 实数域R 作为它自身上的向量空间与全体正实数集R +对加法: