空间向量试题
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空间向量的概念解析
例1、下列说法中正确的是（ ）
A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r
练习
1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
2、下列四个命题：
（1）方向相反的两个向量是相反向量
（2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b （3）不相等的两个空间向量的模必不相等
（4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜ 其中正确命题的序号为（ ）
A.（1）（2）（3）
B.（4）
C.（3）（4）
D.（1）（4） 空间向量的线性运算
例1、 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’
,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量
（1）AA CB '-u u u r u u u r （2）AB B C C D '''''++u u u r u u u u r u u u u r （3）111222
AD AB A A '+-u u u
r u u u r u u u r
练习
1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ）
①1()AB BC CC ++u u u r u u u r u u u u r ②11111()AA A D DC ++u u u r u u u u r u u u u r ③111()AB BB BC ++u u u r u u u r u u u u r ④11111()AA A B BC ++u u u r u u u u r u u u u r
A.1个
B.2个
C.3个
D.4 个
2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若
11111,,A B a A D b A A c ===u u u r u u u u r u u u r ，则下列向量中与1B M u u u u r
相等的向量是（ ）
A.1122a b c -
++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D.11
22
a b c --+
用已知向量表示未知向量
例1、已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x,y 的值：
（1）OQ PQ xPC yPA =++u u u r u u u r u u u r u u u r
（2）PA xPO yPQ PD =++u u u r u u u r u u u r u u u r
练习：
1、本例中若PQ xBA yBC zBP =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x,y,z 为何值？
2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 1,,AB a AD b AA c
===u u u r u u u r u u u r
M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN:NA 1=4：1，用a, b, c 表示以下向量：
（1）AM u u u u r （2）AN u u u r
共线向量定理
例1、 如图所示，已知四边形ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面，M,N 分别是AC,BF 的
中点，判断CE u u u r 与MN
u u u u
r 是否共线
练习：
1、已知空间向量a,b ，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r u u u r u u u r
，则一定共线的三点
是（ ）
A. A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
2、已知四边形ABCD 是空间四边形，E,H 分别是边AB,AD 的中点，F,G 分别是边CB,CD 上的
点，且22,33
CF CB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
求证：四边形EFGH 是梯形
共面向量定理
例1、 对于任意空间四边形ABCD ，E,F 分别是AB,CD 的中点，试证：EF u u u r 与,BC AD u u u
r u u u r 共面
_
练习：
1、 在下列条件下，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ）
A. 32OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r
B. 0OM OA OB OC +++=u u u u r u u u r u u u r u u u r
C. 0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r
D. 1142
OM OB OA OC =-+u u u u r u u u r u u u r u u u r
2、已知A,B,C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足111333
OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r
（1）判断,,MA MB MC u u u r u u u r u u u u r
三个向量是否共面
（2）判断M 是否在平面ABC 内
基底的判断
例1、若｛a, b, c ｝是空间的一个基底，试判断｛a+b,b+c,c+a ｝能否作为该空间的一个基底 练习：
1、设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛a, b, c ｝是空间的一个基底，给出下列向量组：
①｛a, b, x ｝, ②｛x, y, z ｝, ③｛b, c, z ｝, ④｛x, y, a+b+c ｝ 其中可以作为空间的基底的向量组有______个 2、已知｛e 1, e 2, e 3｝是空间的一个基底，且
1231232,32OA e e e OB e e e =+-=-++u u u r u u u r 123,OC e e e =+-u u u r
，试判断{}
,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 能否作
为空间的一个基底? 空间向量分解定理及应用
例1、空间四边形OABC 中，G,H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r
，试用向量a,b,c 表示向量OG GH u u u r u u u r
和
练习
1、本例题中条件不变，若E 为OA 的中点，试用a,b,c 表示DE EG u u u r u u u r
和
2、四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC,设,,OA a OC b OP c ===u u u r u u u r u u u r
，E,F 分别
是PC 和PB 的中点，试用a,b,c 表示：,,,BF BE AE EF u u u r u u u r u u u r u u u r
数量积的运算
例1、如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E,F 分别是OA,OC 的中点，求下列向量的数量积：
（1）OA OB ?u u u r u u u r （2）EF CB ?u u u r u u u r
（3）()()OA OB CA CB +?+u u u r u u u r u u u r u u u r
练习
1、如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，
则下列向量的数量积等于a 2
的是（ ）
.2.2.2.2A BA AC
B AD BD
C FG CA
D EF CB
????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2、已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中心，
求下列向量的数量积11(1);(2)BC ED BF AB ??u u u r u u u u r u u u r u u u r
用数量积求夹角
例1、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA 1=2,求异面直角BA 1与AC 所成角的余弦值
练习：
1、已知a,b 是异面直线，A ∈a,B ∈a,C ∈b,D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b,且AB=2，CD=1，则a 与b 所成的角是（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2、已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E 、F 分别为AB 、OC 的中点，求OE BF u u u r u u u r
与所成角的余弦值
利用数量积求两点间距离
例1、如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长
练习：
1、如图，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）
A.62
B.6
C.12
D.144
2、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD 成60°角，求B,D间的距离
利用数量积证明垂直问题
例1、已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD,求证：AD⊥BC
练习：1、已知向量a,b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l 上，则
g g
==
且是l⊥α的（）
c a c b
0,0
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC,M,N分别是OA、BC的中点，G是M、N的中点，求证：OG⊥BC
1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1
高中空间向量试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高二数学单元试题 1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A ． 1 B ． 51 C ． 53 D ． 5 7 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．3 1 21++ =D ．3 1 3131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ） A ． 0° B ． 45° C ． 90° D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3 7．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则?→ ?AB +1 ()2 BD BC +等于（ ） A ．?→ ?AG B ． ?→ ?CG C ． ?→ ?BC D ．21?→? BC 8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A ． +-a b c B ．-+a b c C ． -++a b c D ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( ) A ．715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 107(,1,)33- D ．573(,,)222 - 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=?，则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平 面EFG 的距离为（ ） A ． 1010 B ． 11112 C ． 5 3 D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ． 14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()??=??a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,??d b ＝ ．
一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，
的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-， ，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055?? - ??? ，，
高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1
课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对 【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且 异面直线所成角的围为? ????0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为52266 . 【答案】 A
3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD → ＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E ? ????0，12，12， ∴AE → ＝? ????0，12，12， 易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴ cos AD →，AE →＝22 ， ∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．(2014·师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
学业分层测评(七) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2016·广州高二检测)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【解析】 由a·b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a·b ＝±|a ||b |.故a·b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件． 【答案】 A 2．如图2-2-7所示，已知三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC → ，则x ，y ，z 的值分别为( ) 图2-2-7 A ．x ＝13，y ＝13，z ＝1 3 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1 6 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝1 3 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1 3
【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON → ＝? ????12－13OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 【答案】 D 3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( ) A.12 B ．14 C ．1 D ．2 【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝0. 又e 1⊥e 2，∴e 1·e 2＝0. ∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2， ∴4λ－8＝0，∴λ＝2. 【答案】 D 4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) 【导学号：32550026】 A. 2 B ． 3 C. 5 D ．7 【解析】 依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5＋4×? ????－12＝3，则|a ＋2b | ＝ 3. 【答案】 B
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
空间向量与空间角试题
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课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对 【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为? ? ? ??0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.522 66 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD → ＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD → |AB →||CD →|＝53×22＝522 66， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为522 66. 【答案】 A 3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝
AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD → ＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E ? ? ???0，12，12， ∴AE →＝? ?? ??0，12，12， 易知AD →是平面P AB 的法向量，AE → 是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE →＝22， ∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )
五河二中高二数学测试卷（理科） 一、选择题: 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异 面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定 也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 c z b y a x p ++=．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ． 2 D ．3 2．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于 （ ） A ．627 B ．637 C ．647 D ．65 7 3．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若c CC b CB a CA ===1,,， 则1A B =u u u r （ ） A ．a +b －c B ．a －b +c C ．－a +b +c D ．－a +b －c 4．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角>空间向量及立体几何练习试题和答案解析
. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．
高二数学单元试题 1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A ． 1 B ． 51 C ． 53 D ． 5 7 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．3121++ =D ．3 1 3131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ） A ． 0° B ． 45° C ． 90° D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3 7．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则?→ ?AB +1 ()2 BD BC +等于（ ） A ．?→ ?AG B ． ?→ ?CG C ． ?→ ?BC D ．21?→? BC 8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A ． +-a b c B ．-+a b c C ． -++a b c D ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( ) A ．715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 107(,1,)33- D ．573(,,)222 - 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=?，则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4， E 、 F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面 EFG 的距离为（ ） A ． 1010 B ． 11112 C ． 5 3 D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ． 14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()??=??a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,??d b ＝ ．
A A 1 D C B B 1 C 1 图 高二（2）部数学《空间向量与立体几何》单元测试卷一 班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿ 一、选择题：（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝ 2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4 1 1B A ，则BE 1 与DF 1所成角的余弦值是 （ ） A ． 1715 B ．2 1 C ． 17 8 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别 是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ） A ． 10 30 B ． 21 C ．1530 D ．10 15 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离 （ ） A ． 5 15 B ． 5 5 C ． 5 5 2 D ． 10 5 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 （ ） A ． a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2 2 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ） A ． 6 3 B ． 3 3 C ． 3 3 2 D ． 2 3 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2 1 PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 （ ） A ． 6 21 B ． 3 3 8 C ． 60210 D ． 30 210 图 图
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 13OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D -- M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,
祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题 一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为1 2的是 （ ） A. BC AB ? B. BD AB ? C.DA AB ? D.AC AB ? 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 5．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( ) A ．a B ．b C ．c D ．2a 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ）