一、复数选择题
1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i
z
+=（ ） A ．
3155
i + B ．
1355i + C ．113
i +
D ．
13
i + 2．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1
C ．z =
D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限
3．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ）
A B ．1
C ．2
D ．3
5．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i
C ．76i -
D ．76i +
6．
))
5
5
11--
+＝（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2 7．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ）
A B C ．3
D ．5
8．已知复数5i
5i 2i
z =+-，则z =（ ）
A B ．C ．D ．9．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）
A
．1
B ．i
C i
D i
10．若复数()4
1i 34i
z +=
+，则z =（ ）
A ．
4
5
B ．
35
C ．
25
D ．
5
11．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ）
A B ．2
C ．10
D
12．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
13．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z +=
B ．22z i +=
C ．24z +=
D ．24z i +=
14．已知i 是虚数单位，设复数22i
a bi i
-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75
B ．75-
C ．
15
D ．15
-
15．若复数11i
z i
，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
二、多选题
16．已知复数cos sin 2
2z i π
πθθθ??=+-<< ???（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是
（ ）
A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B ．z 可能为实数
C ．1z =
D ．
1
z
的虚部为sin θ 17．下面是关于复数2
1i
z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）
A ．||z =
B ．22z i =
C ．z 的共轭复数为1i -+
D ．z 的虚部为1-
18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足
1
R z
∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈
D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ?∈，则12z z =
19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．2
0z
B ．z 的虚部是yi
C ．若12z i =+，则1x =，2y =
D ．z =
20．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足
1
R z
∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =
21．下面是关于复数2
1i
z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z =
B ．22z i =
C ．z 的共轭复数为1i +
D ．z 的虚部为1-
22．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
23．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =
，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =
C ．若12z z >则12z z >
D ．若12z z >，则12z z >
24．已知复数122,2z i z i =-=则（ ） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限
C ．123z z +=
D ．12z z =25．以下为真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -
B ．若120z z +=，则12z z =
C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数
D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 26．复数21i
z i
+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A ．|z |=
B ．z 的共轭复数为
3122
i + C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 27．已知复数z 满足23z z iz ai ?+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1
B ．4-
C ．0
D ．5
28．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离
D ．坐标为()2,1--的向量的模
29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=
B ．当1z ，2z
C ∈时，若22
12
0z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==? D ．12z z =
的充要条件是12=z z
30．设(
)(
)
2
2
25322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 一定不为实数
D ．z 对应的点在实轴的下方
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一、复数选择题 1．B 【分析】
利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】 ，. 故选：B. 解析：B 【分析】
利用复数的除法法则可化简1i
z
+，即可得解. 【详解】
2z i =-，()()()()12111313
222555
i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.
2．C 【分析】
利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】 ， ，
则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误； ，故C 正；
对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.
解析：C 【分析】
利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】
()13i z i +=+，
()()()()
3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；
z ==，故C 正；
2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.
故选：C.
3．D 【分析】
先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得，
所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限， 故选：D.
解析：D 【分析】
先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】
由已知得()()()()31231717
1+21+212555
i i i i z i i i i ----=
===--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为1
7,55??
- ???
，在第四象限， 故选：D.
4．A 【分析】
利用复数的模长公式结合可求得的值. 【详解】
，由已知条件可得，解得. 故选：A.
解析：A 【分析】
利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值. 【详解】
0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =
故选：A.
5．D 【分析】
由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ，. 故选：.
【分析】
由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】
()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.
故选：D .
6．D 【分析】
先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.
解析：D 【分析】
先求
)1-和
)
1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.
【详解】
∵
)2
11-=--，
)
2
+1=-，
∴)()4
2
117-=--=-+，)()4
2
+17=-=--，
∴)()5
1711-=-+-=--， )()5
1711+=--+=-，
∴))55
121-+=--，
故选：D.
7．D 【分析】
求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．
【分析】
求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ?． 【详解】 由题意121
22i z i i i
-=
=-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ?=---+=--=．
故选：D ．
8．B 【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.
解析：B 【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】
由题，得()()()
5i 2+i 5i
5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.
9．D 【分析】
先对化简，求出，从而可求出 【详解】 解：因为， 所以， 故选：D
解析：D 【分析】
先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z 【详解】
解：因为1z i i i i =+-==，
所以z i =，
故选：D
10．A
首先化简复数，再计算求模. 【详解】 ， . 故选：A
解析：A 【分析】
首先化简复数z ，再计算求模. 【详解】
()()()2
24
2112434343434i i i z i i i i
??++??====-
++++ ()()()
()4344341216
3434252525i i i i i --=-
=-=-++-，
45z ∴==.
故选：A
11．D 【分析】
求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.
解析：D 【分析】
求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，
所以1z i =-，12z i +=+，
所以()()(
)1123z z i i i ?+=-?+=-== 故选:D.
12．B 【分析】
先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】 设复数， 由得， 所以，解得，
因为时，不能满足，舍去； 故，所以，其对应的
解析：B 【分析】
先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】
设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，
由22z z i +=
得222x yi i +=，
所以2022
x y ??+=?=??
，解得31x y ?=±
???=?
，
因为1x y ?=???=?
时，不能满足20x =，舍去；
故1x y ?=???=?
3z i =-+
，其对应的点3??- ? ???位于第二象限， 故选：B.
13．B 【分析】
利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】
因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B
解析：B 【分析】
利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】
因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+
x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=
故选：B
14．D 【分析】
先化简，求出的值即得解. 【详解】 ， 所以. 故选：D
解析：D 【分析】 先化简345
i
a bi -+=，求出,a
b 的值即得解. 【详解】
22(2)342(2)(2)5
i i i
a bi i i i ---+===++-，
所以341,,555
a b a b ==-∴+=-. 故选：D
15．C 【分析】
由复数除法求出，再由模计算． 【详解】 由已知， 所以． 故选：C ．
解析：C 【分析】
由复数除法求出z ，再由模计算． 【详解】
由已知21(1)21(1)(1)2
i i i
z i i i i ---=
===-++-， 所以1z i =-=． 故选：C ．
二、多选题
16．BC 【分析】
分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】
对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点
解析：BC 【分析】 分02θπ
-
<<、0θ=、02
πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1
z
，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】 对于AB 选项，当02
θπ
-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；
当0θ=时，1z R =-∈； 当02
π
θ<<
时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.
A 选项错误，
B 选项正确；
对于C 选项，1z ==，C 选项正确； 对于D 选项，()()
11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++?-， 所以，复数1
z
的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.
17．ABCD 【分析】
先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】 ，
，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD. 【点睛】
本题考查复数的除法
解析：ABCD 【分析】
先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项. 【详解】
()()()
212
1111i z i i i i --===---+-+--，
z ∴=
=，故A 正确；()2
2
12z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数
为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确； 故选：ABCD. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.
18．AB 【分析】
利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】
对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确； 对选项B ，若复数满足，设，其中，且， 则，则选项B 正确； 对选项C ，若复数满足，设
解析：AB 【分析】
利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】
对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1
a z
=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1
z R a
=
∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈， 但z i R =?，则选项C 错误；
对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ?∈，设1z i =，2z i =，则121z z ?=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB 【点睛】
本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.
19．CD 【分析】
取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，取，则，A 选项错误； 对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；
解析：CD 【分析】
取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A 选项，取z
i ，则210z =-<，A 选项错误；
对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；
对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；
对于D 选项，z =D 选项正确.
故选：CD. 【点睛】
本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.
20．AC 【分析】
根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；
B 选项，设复数，则， 因为，所，若，则；故B 错；
C 选项，设
解析：AC 【分析】
根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；
B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()2
2222z a bi a b abi =+=-+， 因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ?；故B 错； C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则
222222
11a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++，
因为
1R z
∈，所以2
20b
a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈， 则()()()()12
z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，
因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =??=?，2
2c d =??=-?
能满足0ad bc +=，但12z z ≠，
故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.
21．BD 【分析】
把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可. 【详解】 解：， ，A 错误； ，B 正确；
z 的共轭复数为，C 错误； z 的虚部为，D 正确. 故选：BD. 【点
解析：BD 【分析】
把2
1i z =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可. 【详解】
解：
22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--，
||z ∴=A 错误；
22i z =，B 正确；
z 的共轭复数为1i -+，C 错误； z 的虚部为1-，D 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.
22．BD 【分析】
先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，
因此或，所以对应的点为或， 因此复
解析：BD 【分析】
先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】
设复数(),z a bi a b R =+∈， 则2222724z a abi b i =+-=--， 所以2222724z a abi b i =+-=--，
则227224
a b ab ?-=-?=-?，解得34a b =??=-?或34a b =-??=?，
因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-， 因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.
23．BCD 【分析】
根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】
因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小
解析：BCD 【分析】
根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的
概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】
因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，
比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确； 故选：BCD. 【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.
24．AD 【分析】
利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确. 【详解】
利用复数的相关概念可判断A 正确； 对于B 选项，对应的
解析：AD 【分析】
利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确. 【详解】
利用复数的相关概念可判断A 正确；
对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；
对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +=
=，故C 错；
对于D 选项，()122224z z i i i ?=-?=+，则12z z ==D 正确.
故选：AD 【点睛】
本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.
25．AD 【分析】
根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项. 【详解】
解：对于A ，若为纯虚数，可设，则， 即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；
对于B
解析：AD 【分析】
根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项. 【详解】
解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-， 即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；
对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；
对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误； 对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.
26．CD 【分析】
根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】
由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一
解析：CD 【分析】
根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数22(2)(1)1313
1(1)(1)122
i i i i z i i i i i ++++=
===+--+-，可得
||z ==
，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13
222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22
，位于第一象限，
则D 正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】
本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.
27．ABC 【分析】
设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案. 【详解】 设，∴， ∴，
∴，解得：， ∴实数的值可能是. 故选：ABC. 【点
解析：ABC 【分析】
设z x yi =+，从而有22
2()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方
程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案. 【详解】
设z x yi =+，∴22
2()3x y i x yi ai ++-=+，
∴2222
23,23042,x y y a y y x a ?++=?++-=?
=?
， ∴2
44(3)04
a ?=--≥，解得：44a -≤≤，
∴实数a 的值可能是1,4,0-.
故选：ABC. 【点睛】
本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
28．ACD 【分析】
由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】
由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B
解析：ACD 【分析】
由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D
由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以
()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；
()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；
()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距
离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确, 故选:ACD 【点睛】
本题考查复数的几何意义,考查复数的模
29．AC 【分析】
根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是. 【详解】
解：由复数乘法的运算律知，A 正确； 取，；，满足，但且不
解析：AC 【分析】
根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取
11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .
【详解】
解：由复数乘法的运算律知，A 正确；
取11z =，；2z i =，满足22
12
0z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确； 由12z z =
能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =， 因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.
故选：AC 【点睛】
本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.
30．CD 【分析】
利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】
所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误
解析：CD 【分析】
利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】
2
2
549
492532488t t t ?+?= ???
+-->-，()2222110t t t ++=++>，
所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；
当222530220
t t t t ?+-=?++≠?，即3t =-或1
2t =时，z 为纯虚数，故B 错误；
因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；
由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】
本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 3． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 4．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 B C ． D ．5i 5．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 7．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．9．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12． 122i i -=+（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个 根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数z a bi =+←???→一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义：
一、复数选择题 1．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ． 12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 3．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 4．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4 6．已知复数z 满足2021 22z i i i +=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ） A ． 4 5 B ． 35 C ． 25 D ． 5 8．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 9．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 10．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 11．已知i 为虚数单位，则43i i =-（ ） A ． 2655 i + B ． 2655 i - C ．2655 i - + D ．2655 i - -
数系的扩充与复数的引入知识点（一） 1．复数的概念： （1）虚数单位i ； （2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环 小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ??????=?????+∈????≠?≠??=?? 3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；
（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算： ① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ； ③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 5．共轭复数与复数的模 （1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0). （2）复数z=a+bi 的模 |Z|=且2||z z z ?==a 2+b 2. 6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相 等规定为a+bi=c+di a c b d =???=?. 由这个定义得到a+bi=0?00a b =??=?. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 7．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。 8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2=－1结合到实际运算过程中去。 如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2
最新高中数学《复数》经典考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。 （3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。 例2若a 为实数， =，则a 等于（ ） A ． B ． C ． D ．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3 223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：???????-=-=+23 220322a a ，所以a ＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此
???≠+=-0 1202b b 所以b ＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。 例4若35ππ44θ??∈ ??? ，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π θθθ+=+，虚部b ＝ )4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4 543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4 sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。
一、复数选择题 1．复数1 1z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ． 1122 i + D ． 1122 i - 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B ． 2 C D ．2 4．i =（ ） A ．i - B ．i C i - D i 5． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 6．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 7． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 8．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．复数12i z i = +（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10． 122i i -=+（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i 11．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i --
12．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i - 14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限15．题 目文件丢失！ 二、多选题 16．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ?= B ．2z z = C ．31z =- D ．2020122 z =- + 17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．2 0z B ．z 的虚部是yi C ．若12z i =+，则1x =，2y = D ．z = 18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足 |1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ） A ．0P 点的坐标为(1,2) B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于 虚轴对称 C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上 D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为 2 19．已知复数122 z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．2 0z B ．2z z = C ．31z = D ．1z = 20．设复数z 满足1 z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12 i - C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限 D ．2 z =
一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65 - 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ） A 2 B ．2 C ．2 D ．8 5．已知i 是虚数单位，则复数 41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z += -，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数z 满足421i z i += +，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 8．若复数z 满足()322i z i i -+= +，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．3 5i - C ．35 D ．35i 9．已知复数()211i z i -=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④ z z ，其结果一定是实数的是（ ）
高中《复数》经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、复数i i ++12的共扼复数是 。 2．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则|+z|= 。 3、若复数Z 满足Z （1-i ）=2+4i （i 为虚数单位），则Z= 。 4、若复数Z 满足Z+2i =i 2i 55++（i 为虚数单位），则Z= 。 5、z=（m 2-4）+（2-m ）i 为纯虚数，则实数m 的值为 。 6、已知m ∈R ，i 是虚数单位，若z=a-2i ，z ?z =6，则m= 。 7、已知z =(x+1)+(x -3)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 。 8、若复数Z 满足2-3i= 3+2Zi （i 为虚数单位），则Z= 。 9、复数Z=i+i 2在复平面对应的点在第 象限。 10、复数Z 满足（Z-1）i=2+i ，则Z 的模为 。 11、若复数Z 满足Z （1-i ）= 2+2i （i 为虚数单位），则Z= 。 12、复数Z=i 1i 32++,则Z ?(z -1)= . 13、若复数i 2i a +的实部与虚部相等，则实数a = 。 14、复数 的虚部 。 15、2．若复数（α∈R ）是纯虚数，则复数2a+2i 在复平面内对应的点在第 象限。 16、设复数z 满足（z+i ）（2+i ）=5（i 为虚数单位），则z=______。 17、如果复数z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______
18、复数z=﹣2i+ 3-i i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在第 象限。 19、设复数z 满足 i i z i (23)4(+=-?是虚数单位），则z 的实部为 。 20、设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则Z1Z2 的模为 。 二、选择题 1、设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若（a+bi ）?i=2﹣5i ，则ab 的值为（ ）。 A 、-5 B 、5 C 、-10 D 、10 2、若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ． A 、 12 B 、 13 C 、 14 D 、 16 3、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为（ ） A 、 4 2 B 、 3 2 C 、 2 2 D 、 2 4、i 是虚数单位，复数 等于（ ） A 、﹣2﹣2i B 、2﹣2i C 、﹣2+2i D 、2+2i 5、若复数()()ai i z -+=11是实数，则实数a 的值是（ ） A 、1± B 、1- C 、0 D 、1 6、设i 为虚数单位，已知复数i i z -= 1，则z 的共轭复数在复平面内表示的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 7、i 是虚数单位， 的值是（ ）。 A 、 1 B 、 -1 C 、 i D 、-i
一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 4．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15 - D ．15 i - 5．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 7．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 8．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 10．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，2i z i ?=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ） A ．5 B C D ．3
一、复数选择题 1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ?? ? 3．若()2 11z i =-，21z i =+，则1 2 z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 4．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ． 12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 5．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B C D ．2 6．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 8．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15 i - 10．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ）
1, 已知复数求k的值。 解： ，∴ 由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评： (i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小 ，均为实数。 （ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此， 对于任意复数z，且R； 且R。 2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。 解：设为该方程的实根，将其代入方程得 由两复数相等的定义得， 消去m得， 故得 当时得，原方程的实根为； 当时得，原方程的实根为。 点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。 3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。
解：设， 。 由得 ① 对应点在第二象限，故有 ② 又由①得③ 由③得， 即， ∴， ∴④ 于是由②，④得，即 再注意到a<0，故得 即所求a的取值范围为 点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。此外，这里对于有选 择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。4, 求同时满足下列两个条件的所有复数： （1）；
（2）z的实部与虚部都是整数。 解：设，则 由题意，∴ ∴y=0或 （Ⅰ）当y=0时，，， ∴由得① 注意到当x<0时，；当x>0时，， 此时①式无解。 （Ⅱ）当时，由得 ∴ 又这里x，y均为整数 ∴x=1，或x=3，， ∴或 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。 （2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。 解： （1） 解法一：
一、复数选择题 1．若()2 11z i =-，21z i =+，则1 2 z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 3．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 4． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 5．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 6．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 7．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12 y 9．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 10．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．11．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．12．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 13．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ）
一、复数选择题 1．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ?+的模长为（ ） A ．6 B C ．5 D 2．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．6．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 11．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i -- 13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i + B ．34i - C ．34i + D ．43i -
高三复数总复习知识点经 典例题习题 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
复 数 一．基本知识 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等 于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标 为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+
复数问题的题型与方法 复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等． 一、数学规律： 1．共轭复数规律， 2．复数的代数运算规律i4n 1=i，i4n 2= 1，i4n 3= i； 1）i 4n=1 n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 （3）i · i · i ·i = 1，i ＋i ＋i ＋i =0； ； 3．辐角的运算规律 （1）Arg（z1·z2）＝Argz1＋Argz 2 3）Argzn=nArgz （n∈N） ?，n 1。 或z∈R 。 要条件是|z|＝|a|。
（6）z 1·z 2 ≠0，则 4．根的规律 复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值 时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 ||z 1| |z 2 ||≤|z 1± z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |的运用。 即|z 1±z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |等号成立的条件是： z 1 ， z 2所对应的向量共线且同向。 |z 1±z 2 |≥|z 1| |z 2 |等号成立的条件是： z 1，z 2 所对立的向量共线且异向。 二、 主要的思想方法和典型例题分析： 1．化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有 机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这 种化归的思想方法应贯穿复数的始终。 分析】这是解答题，由于出现了复数 z 和 z ，宜统一形式，正面求解。 解】解法一 设 z ＝x ＋yi （ x ， y ∈R ），原方程即为 x 2 y 2 3y 3xi 1 3i 用复数相等的定义得： ∴ z 1= 1， z 2 = 1+3i.
复数的代数形式及其运算 例1．计算： i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解：提示：利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式＝0 变式训练1： 2 = （A）1 -（B） 1 22 +（C） 1 22 -+（D）1 解：21 2 ===-+故选C； 例2. 若0 1 2= + +z z，求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解：提示：利用z z z= =4 3,1 原式＝2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ． 解：2 例3. 已知4, a a R >∈，问是否存在复数z，使其满足ai z i z z+ = + ?3 2（a∈R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由 解：提示：设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3：若 (2) a i i b i -=+，其中i R b a, ,∈是虚数单位，则a＋b＝ __________
解：3 例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设 yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ?+=?∴?+=?? 将（2）代入（1） ，整理得281250. x x -+=160,()f x ?=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围. 解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+1z =13. 13，得a 2－8a ＋7<0，1 复数的加减运算 例 计算 （1）)43()53(i i -++； （2）)54()23(i i --+-； （3）)33()22()65(i i i +---+- 分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。 解：（1）.6)45()33()43()53(i i i i +=-++=-++ （2）.77)]5(2[)43()54()23(i i i i +-=--+--=--+- （3）)33()22()65(i i i +---+-i )326()325(---+--=.11i -= 确定向量所表示的复数 例 如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表 示0，i 23+，i 42+-，试求： （1）AO 所表示的复数，BC 所表示的复数. （2）对角线CA 所表示的复数． （3）对角线OB 所表示的复数及OB 的长度． 分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。或者用向量的相等直接给出所求的结论． 解：（1）OA AO -= AO ∴所表示的复数为i 23--． AO BC =Θ， BC ∴所表示的复数为i 23--． （2）OC OA CA -=， CA ∴所表示的复数为i i i 25)42()23(-=+--+ （3）对角线OC OA AB OA OB +=+=，它所对应的复数为 i i i 61)42()23(+=+-++ 3761||22=+=OB 求正方形的第四个顶点对应的复数 例 复数i z 211+=，i z +-=22，i z 213--=，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。 分析1：利用BC AD =或者DC AB =求点D 对应的复数。 解法1：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为yi x +（R y x ∈,）则 OA OD AD -=)21()(i yi x +-+= i y x )2()1(-+-= OB OC BC -=i i i 31)2()21(-=+----= ∵ BC AD =， ∴.31)2()1(i i y x -=-+- ∴ ???-=-=-3211y x 解得? ??-==12y x 故点D 对应的复数.2i - 分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的 中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解． 解法2：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为yi x +（R y x ∈,） 因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心． ∴ 点O 也是B 与D 点的中点，于是由0)()2(=+++-yi x i ∴ .1,2-==y x 故D 对应的复数为.2i - 小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C 对称固形，解题思路较巧． 根据条件求参数的值 例 已知i a a z )5(321++-=，i a a a z )12(12 2-++-=（R a ∈）分别对应向量， 21,OZ OZ （O 为原点） ，若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值． 分析：12Z Z 对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出12Z Z 对应的复数，再利用复 经典例题透析 类型一：复数的有关概念 Z 分别为: （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 思路点拨：根据复数Z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用 它们的充要条件可分别求出相应的 a 值. 解析： （1）当Z 为实数时, I a - 5a -6=0 Ia = -1或a — 6— 有 2 = = a =6， a 2 -1 = 0 a =二 1 ???当a = 6时，Z 为实数. (2) 当Z 为虚数时， I a - 5a - 6 = 0 Ia=-I ^且a = 6 — 有 2 = = a _1 且 a = 6 , a -1=0 a - -1 ?当 a ∈(-∞,- 1 )U(— 1, 1 )∪( 1, 6)∪( 6, +∞)时，Z 为虚数. (3) 当Z 为纯虚数时， ?不存在实数a 使Z 为纯虚数. 总结升华：由于a ∈ R ,所以复数Z 的实部与虚部分为 a ： 7a 6 与a 2 - 5a - 6. a 2 -1 ① 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解； ② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题； ③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可. 例1已知复数 2 a —7a +6 丄 / 2 Z 2 (a - 5a - 6)i (a - R), 试求实数a 分别取什么值时, a 2 _5a _6 = 0 a 2 -7a 6 .a 2-1 -0 a =二 _1^且 a ~^ 6 a =6 举一反三: 【变式1】设复数z=a+bi (a 、b ∈ R ),贝U Z 为纯虚数的必要不充分条件是( ) A . a=0 B . a=0 且 b ≠ 0 C . a ≠0 且 b=0 D . a ≠0 且 b ≠ 0 【答案】A ;由纯虚数概念可知： a=0且b ≠ 0是复数z=a+bi (a 、b ∈ R )为纯虚数的充 要条件?而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A. - - .> , 2 【变式2】若复数(a -3a ? 2) ? (a -1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 2 2 【答案】B ； ?/ (a 2 C 1 i 是纯虚数，??? a -3a ?2=0且a-1 = 0 ,即 a = 2. 【变式3】如果复数(m 2 ?i)(1 ?mi)是实数，则实数 m=( ) A . 1 B . - 1 C . 、. 2 D . . 2 【答案】B ； 【变式4】求当实数m 取何值时，复数z = (m 2 - m - 2) ? (m 2 -3m 2)i 分别是: 解析: 同理可得: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 【答案】 (1) 2 m -3m 2 =0 即 m=1 或 m=2 时, 复数Z 为实数; (2) 2 m -3m 2=0 即 m 1 且 m = 2 时, 复数Z 为虚数; (3) 2 m - m -2 = 0 2 即m =—1时，复数 m —3m 2 = 0 Z 为纯虚数. 类型 :复数的代数形式的四则运算 例2. 计算: (1) i n (n N .); (1 i)8 ⑶(1 2i)P-2i); (1 - 4i)(1 i) 2 4i 3 4i ⑴??? i 2 ?1 , ? i 3 =i 2 i i 4 =i 2 i 2 =1,高中数学 典型例题 复数加减 新课标
复数经典例题
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