复数讲义（绝对经典)
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复数
一、复数的概念
1． 虚数单位i:
(1）它的平方等于1-，即21i =-;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3)i 与-１的关系：
i 就是1-的一个平方根,即方程21x =-的一个根,方程21x =-的另一个根是－i. （4）ｉ的周期性:
41n i i +=， 421n i +=-, 43n i i +=-， 41n i =.
2． 数系的扩充:复数(0)i i(0)
i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =??
+=??+≠??
+≠??
实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：
形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示
4． 复数的代数形式:
通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，,把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.
5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:
对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ;当0b ≠时,复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时,z bi =叫做纯虚数;当且仅当0a b ==时,z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C
7． 两个复数相等的定义:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，
a b d ，，， c ,d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d =
二、复数的几何意义
1． 复平面、实轴、虚轴:
复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ,复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面，x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数.
2． ．对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为()00，
,它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数.
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
3．
复数z a bi =+←???→一一对应
复平面内的点()Z a b ，
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
三、复数的四则运算
1． 复数1z 与2z 的和的定义:
12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++
2． 复数1z 与2z 的差的定义：
12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-
3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+
4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：
设1i z a b =+,2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数, 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把2
i 换成1-,并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数.
6． 乘法运算律:
（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ??=?? (3)()1231213z z z z z z z +=+
7． 复数除法定义:
满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商,记为:()()a bi c di +÷+或者
a bi
c di
++ 8． 除法运算规则:
设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + （c ,d ∈R )，其商为i x y +(x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+
由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=??+=?，解这个方程组,得2222ac bd x c d bc ad y c d +?=??+?
-?=?+?
， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222
ac bd bc ad
i c d c d +-=
+++
②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将
i
i
a b c d ++的分母有理化得: 原式22
i (i)(i)[i (i)]()i
i (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d
++-+?-+-=
==++-+ 222222
()()i i ac bd bc ad ac bd bc ad
c d c d c d ++-+-=
=++++.
∴(()(i)i a b c d +÷+=
2222
i ac bd bc ad
c d c d +-+++
点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -,相当于我们初中学习的32+的对偶式32-，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母
实数化. 把这种方法叫做分母实数化法．
9． 共轭复数:
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于
0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
1． 复数的概念
【例1】 已知2(1a i bi i i -??
=-+ ?+??
为虚数单位）
，那么实数a,b 的值分别为( ) Ａ.２，５ B ．-３，1 C ．－１．1 D.2,3
2
-
【答案】D
【例2】 计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = (i 表示虚数单位)
【答案】952i +
【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+?=+
【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ,则下列命题中一定正确的是( ）
A ．z 的对应点Z 在第一象限
B ．z 的对应点Z 在第四象限 C.z 不是纯虚数 D ．z 是虚数
【答案】D
【解析】
2222(1)10t t t -+=-+≠．
【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ )
①两个复数不能比较大小;
②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数,则实数1x =±; ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；
④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数; ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =. ⑥1z =的充要条件是1
z z
=. Ａ.１
Ｂ．2 ?Ｃ.３? Ｄ.４
【答案】B
【解析】 复数为实数时，可以比较大小,①错；1x =-时, 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错;z 为实数时,也有
z z +∈R ,③错；0a b ==时, ()()0a b a b i -++=,④错;⑤⑥正确．
2． 复数的几何意义 【例5】 复数2i
12i
m z -=
+（m ∈R ,i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ) 例题精讲
Ａ．第一象限 ?Ｂ.第二象限 ?Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
【答案】Ａ 【解析】 由已知2(2)(12)1
[(4)2(1)]12(12)(12)5
m i m i i z m m i i i i ---=
==--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则40
10m m ->??
+
,而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
【例6】 若3
5ππ4
4θ??∈ ???，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在( ）
A.第一象限 Ｂ.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】B
【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当3
5ππ4
4θ??∈ ???，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，．
【例7】 如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是( )
A ．1
B.2 ? C ．2 ??Ｄ.5
【答案】A
【解析】 设复数z 在复平面的对应点为Z ,因为i i 2z z ++-=，
所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段．
i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，
到点(11)--，的距离，其距离为1．
【例8】 满足1z =及13
22
z z +
=-的复数z 的集合是（ ） A.1313i i 2222????-+--?
?????， B.1111i i 2222??+-????， Ｃ.2222i i 2222????+-?
?????， D ．1313i i 2222????
+-?????
?， 【答案】D
【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线12x =
上（1322z z +=-表示z 到点102??- ???，
与点302??
???
，的距离相等，故轨迹为直线1
2
x =
），故选D ．
【例9】 已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，的模为3，则
y
x
的最大值为＿_＿＿＿C
O y
x
＿_.
【答案】3
【解析】
2i 3x y -+=∵， 22(2)3x y -+=∴,故()x y ，在以(20)C ，为圆心,3为半径的圆上，
y
x
表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率.
如图，由平面几何知识，易知
y
x
的最大值为3．
【例10】 复数z 满足条件:21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ )
Ａ.圆
B.椭圆? Ｃ.双曲线??Ｄ.抛物线
【答案】Ａ
【解析】 A ；设i z x y =+,则有(21)2i (1)i x y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ?++=+-,
化简得:2
2
215
339
x y ?
???+
++= ? ??
???，故为圆． 【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离;
②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心,半径为r 的圆上的点.
【例11】 复数1z ，2z 满足120z z ≠,1212z z z z +=-，证明：2
122
0z z <．
【解析】 设复数1z ,2z 在复平面上对应的点为1Z ,2Z ，由1212z z z z +=-知,以1OZ ,2OZ 为邻边的平行四边
形为矩形，12OZ OZ ∴⊥，故可设12
(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2
222122i 0z k k z ==-<．
也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=,
122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++,故2
2112220z z z z ??
=< ???
．
【例12】 已知复数1z ，2z 满足171z =+，271z =-,且124z z -=，求1
2
z z 与12z z +的值. 【答案】47
i 3
+±
；4. 【解析】 设复数1z ,2z 在复平面上对应的点为1Z ,2Z ,由于222(71)(71)4++-=，
故2
2
2
1212z z z z +=-，
故以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则
127147i i 371
z z ++=±=±-;12124z z z z +=-=.
【例13】 已知12z z ，∈C ，121z z ==,123z z +=,求12z z -.
【解析】 设复数12z z ，,12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ ，2OZ 为邻边
的平行四边形是菱形,记O 所对应的顶点为P ,
由123z z +=知， 1120PZ O ∠=?（可由余弦定理得到)，故1260Z OZ ∠=?, 从而121z z -=．
【例14】 已知复数z 满足(23i)(23i)4z z -++--=，求d z =的最大值与最小值. 【答案】max 221
3
d =
,min 1d = 【解析】设i z x y =+,则()x y ，满足方程2
2
(2)14
y x -+=．
2
2
2
2
2
8284[1(2)]333d x y x x x ?
?=+=+--=--+
??
?, 又13x ≤≤，故当10x y ==，时,min 1d =;当82533x y ==±
，时，有max 221
3
d =．
3． 复数的四则运算
【例15】 已知m ∈R ,若6(i)64i m m +=-，则m 等于( )
A ．2-
Ｂ．2±? C ．2-? D ．4
【答案】B
【解析】
66366(i)(2i)8i 64i 82m m m m m m +==-=-?=?=±．
【例16】 计算：121009
100
(22)(23)(13)(123)i i i i +-++
-++.
【答案】511- 【解析】 原式12121001269100
100
9
9
99
2(1i)(i 23)2(2i)1
21511(i)
13[i(i 23)]132(i)
2(i)
22
22
+-=
+
=
+
=-+=-----+-+．
【例17】 已知复数1cos i z θ=-,2sin i z θ=+，则12z z ?的最大值为（ )
A ．
3
2
? B.2?? C ．
62
? D ．3
【答案】Ａ
【解析】 12(cos i)(sin i)(cos sin 1)(cos sin )i z z θθθθθθ?=-+=++-22(cos sin 1)(cos sin )θθθθ=++-
222
1cos sin 2sin 224
θθθ=+=
+， 故当sin21θ=±时, 12z z ?有最大值
13242
+=.
【例18】 对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，
. （1）设z 是方程1
0x x
+
=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数,求其和为零的概率P ;
（2)若集合z M 中只有3个元素,试写出满足条件的一个z 值,并说明理由．
【答案】(１)
13
;(２）13i 22z =--．
【解析】 （１)∵z 是方程210x +=的根,
∴i z =或i z =-,不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，
，，，，，, 于是24
21
C 3P =
=. （2)取13i 22z =-+,则213
i 22
z =--及31z =．
于是23{}z M z z z =，，或取13
i 22
z =--．（说明:只需写出一个正确答案）.
【例19】 解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=. 【答案】123i 2x x =-=，．
【解析】 错解：由复数相等的定义得223
5602220x x x x x x x ?==?-+=??=?
?=-=??
或． 分析:“i i a b c d a c +=+?=,且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，,但本题并未告诉x 是否为实数.
法一:原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=,22(5i)4(62i)2i (1i)?=---=-=-.
由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-=
=-，2(5i)(1i)
22
x ---==．
∴原方程的解为13i x =-，22x =.
法二:设i()x a b a b =+∈R ，,则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=,
2
2
(56)(252)i 0a b a b ab b a ?---++-+-=225602520a b a b ab b a ?---+=?
??-+-=??
①②,
由②得:52
21b a b +=
+，代入①中解得：31a b =??=-?或20a b =??=?
，
故方程的根为123i 2x x =-=，．
【例20】 已知2211z x i x =++,22()i z x a =+,对于任意x ∈R ,均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围. 【答案】112a ?
?∈- ??
?，．
【解析】
12z z >∵,42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立.
当120a -=，即1
2
a =
时，不等式恒成立； 当120a -≠时,2
1201
124(12)(1)0a a a a ->??-<
． 综上，112a ?
?∈- ??
?，．
【例21】 关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【答案】1a =±
【解析】 误:∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a ∴?=---=-≥．
解得52a ≥
或52
a -≤． 析:判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况,而该方程中
2i a -与1i a -并非实数.
正：设0x 是其实根,代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义,得
2
000210
x ax x a ?++=??
+=??，解得1a =±．
【例22】 设方程220x x k -+=的根分别为α,β，且22αβ-=,求实数k 的值． 【答案】1k =-或3k =.
【解析】 若α，β为实数，则440k ?=-≥且2
222()()444(22)k αβαβαβαβ-=-=+-=-=,
解得1k =-.
若α,β为虚数，则440k ?=-<且α，β共轭,
2
222()()444(22)k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．
综上,1k =-或3k =．
【例23】 用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，．
并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．
【解析】 1n =时,结论显然成立；
若对n k =时,有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+, 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++ (cos cos sin sin )i[cos sin()sin cos ]k k k k θθθθθθθθ=-++ cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++,
从而知对1n k =+，命题成立．
综上知,对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，
. 易直接推导知:
(cos isin )(cos isin )(cos()isin())(cos isin )cos0isin01θθθθθθθθ-+=-+-+=+=
故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．
(cos isin )(cos isin )(cos()isin())n n n θθθθθθ-+=-=-+-
cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-.
【例24】 若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++
++=(12n a a a ∈R ，，，)的解，
求证:12sin sin 2sin 0n a a a n ααα++
+=．
【解析】 将解代入原方程得:
11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-++++
+=，
将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有: 12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++
++=,
即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=，
1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα+++
+-++
+=，
由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα++
+=.
【例25】 设x 、y 为实数,且5
11213x y i i i
+=
---，则x y +=________. 【答案】4 【解析】 由
511213x y i i i +=
---知，5
(1)(12)(13)2510
x y i i i +++=+, 即(525)(5415)0x y x y i +-++-=， 故525054150x y x y +-=??+-=?,解得1
5x y =-??=?
,故4x y +=.
【例26】 已知
1
z
z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹. 【答案】以102??
???，为圆心，12为半径的圆,并去掉点(00)，和点(10)，.
【解析】 法一：
设i z x y =+(x y ∈R ，）
， 则222
i (1)i
11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数, 故220(0)x y x y +-=≠,
即z 的对应点的轨迹是以102?? ???，为圆心，12为半径的圆,并去掉点(00)，和点(10)，．
法二：
∵
1
z z -是纯虚数,∴011z z z z ??
+= ?--??（0z ≠且1z ≠） ∴
011
z z z z +=--,∴(1)(1)0z z z z -+-=，得到2
2z z z =+， 设z x yi =+(x y ∈R ，)，则22x y x +=（0y ≠）
∴z 的对应点的轨迹以102?? ???
，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，.
【例27】 设复数z 满足2z =,求24z z -+的最值．
【解析】 由题意,2
4z z z =?=，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．
设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤, 则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．
∴当1
2
a =
时,2min 40z z -+=，此时115i 22z =±;
当2a =-时，2min
4
10z z -+=，此时2z =-．
【例28】 若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -． 【答案】64i --
【解析】 ∵()23i f z z z =+-，
∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴ 22i 63i z z +-=-
设i z a b =+（a b ∈R ，）
，则i z a b =-，∴ 2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-,
由复数相等定义得36
1a b =??-=-?
，解得21a b ==，．∴2i z =+.
故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--.
【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：
①设i z x y =+（x y ∈R ，)的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=; ②z 为实数2
220z z z z z ?=?>?=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ?
④对任意复数有z z =;1212z z z z ±=±;1212z z z z =?,特别地有22()z z =；1122z z
z z ??= ???；
2
z z z =?．
⑤z z =，2
2
z z zz ==．1212z z z z ?=?，
11
22
z z z z =,121222z z z z z z -±+≤≤. 以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．
【例29】 已知虚数ω为1的一个立方根, 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限,证明2ωω=,并求
23111
ωωω++与
2
11ω
ω
++的值． 【答案】0;13
i 22
-+
【解析】 法一：
321(1)(1)0x x x x -=-++=,解得：1x =或13
i 22x =-±．
由题意知13
i 22
ω=-+,证明与计算略；
法二：
由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=?++=．
又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，
. 由韦达定理有1ωω=3
21
ωωωωω
?===.
222331
1
1
1
10ωωωωωωωω
++++==++=. 2
22
1113
i 1221ωωωωω
ωω++-====-++-+. 【点评】利用13
i 22
ω=-+的性质:3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，
，，210ωω++=可以快速计算一??些ω相关的复数的幂的问题.
【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω++++
+=（012213
i 22n n a a a a ω+∈∈=-+N R ，，，，，，),
求证：036147258a a a a a a a a a +++
=+++
=+++
【解析】
23201232n n a a a a a ωωωω+++++
3647258036147258()()()a a a a a a a a a ωωωωωωωω=+++
++++
++++
2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω=+++++++++++
=
设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++
，，,
则有20A B C ωω++=,即1313i i 02222A B C ????
+-++--= ? ? ? ?????
， 2023()02A B C
B C --?=??
??
?-=??，解得A B C ==，即
036147258a a a a a a a a a +++
=+++=+++
.
【例31】 设z 是虚数，1
w z z
=+是实数，且12w -<<.
(1）求z 的值及z 的实部的取值范围; (2）设11z
u z
-=
+,求证：u 为纯虚数； （3）求2w u -的最小值．
【答案】(1）1z =；z 的实部的取值范围是112??
- ???
，；(３)１． 【解析】 (１)设i z a b =+,a b ∈R ，,0b ≠
则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ?
???=++
=++- ? ?+++????
, 因为w 是实数，0b ≠,所以221a b +=，即1z =．
于是2w a =,122w a -<=<，1
12a -<<,
所以z 的实部的取值范围是112??
- ???
，． (２）222211i 12i i 11i (1)1
z a b a b b b
u z a b a b a ------=
===-++++++． 因为112a ??
∈- ???
，,0b ≠,所以u 为纯虚数.
(3)
222
22112
22221(1)(1)11
b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+
++++12(1)31a a ?
?=++-??+??
.
因为112a ??
∈- ???
，，所以10a +>，
故21
22(1)34311
w u a a -?+?-=-=+≥. 当1
11
a a +=
+,即0a =时，2w u -取得最小值1．
【例32】 对任意一个非零复数z ,定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，
. （1）设σ是方程1
2x x
+
=的一个根，试用列举法表示集合M σ； (２）设复数z M ω∈,求证：z M M ω?.
【答案】(1）2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M σ????
=+---+-?
?????
，，，;（２）略 【解析】 (1）∵σ是方程1
2x x
+
=的根, ∴12(1i)2σ=
+或22(1i)2
σ=-， 当12(1i)2
σ=+时,∵2
1i σ=,2211111()i n n n σσσσ-==. ∴11111i 1i 1M σσσσσ??--=????，，，2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222????=+---+-?
?????
，，，, 当22(1i)2
σ=
-时，∵2
2
i σ=-， ∴22222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M σ????
=+---+-?
?????，，，. ∴2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M σ????
=+---+-?
?????
，，，； (2）∵z M ω∈，∴存在m ∈N ,使得21m z ω-=．
于是对任意n ∈N ,21(21)(21)n m n z ω---=.
由于(21)(21)m n --是正奇数,21n z M ω-∈，∴z M M ω?．
【例33】 已知复数01i(0)z m m =->,i z x y =+和i w x y ''=+,其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位,且对
于任意复数z ,有0w z z =?，2w z =．
(1)试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式;
(2)将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平
面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q .当点P 在直线1y x =+上移动时， 试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程;
（３）是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存
在，试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.
【答案】（1）33x x y
y x y
?'=+??'=-??;（2）(23)232y x =--+;
(3)这样的直线存在,其方程为3
3
y x =
或3y x =- 【解析】 （1)由题设,002w z z z z z =?==,∴02z =,
于是由214m +=，且0m >,得3m =，
因此由(13i)(i)3(3)i x y i x y x y x y ''+=-?+=++-，得关系式33x x y
y x y ?'=+??'=-??．
(2)设点()P x y ，在直线1y x =+上,则其经变换后的点()Q x y ''，满足(13)3
(31)1
x x y x ?'=++??
'=--??, 消去x ，得(23)232y x ''=--+,故点Q 的轨迹方程为(23)232y x =--+. (3)假设存在这样的直线，
∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠. ∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点(33)Q x y x y +-，仍在该直线上，
∴3(3)x y k x y b -=++，即(31)(3)k y k x b -+=-+，
当0b ≠时,方程组(31)1
3k k k ?-+=??-=??无解,故这样的直线不存在．
当0b =,由
(31)31k k k -+-=
,得23230k k +-=,解得3
3
k =或3k =-. 故这样的直线存在,其方程为3
3
y x =
或3y x =-．
【习题1】 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则z 的取值范围是（ ）
A ．()15，?
B.()13，??Ｃ．()15，??D ．()
13，
【答案】C
【解析】 21z a =+,而02a <<,∴15z <<
【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角,则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平
面的（ )
A.第一象限 Ｂ．第二象限 C ．第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()
cot tan 0sin cos A B B A B A
+-=<.
【习题3】 复数
45
(22i)(13i)+-等于（ ）
A.13i + ?
B.13i -+ Ｃ．13i -??
D.13i --
【解析】原式4
2522
516(1i)1(2i)2
213i 21313(2)i i 2222ωω+=
=-?===-+??
??
--+-+ ? ? ?
???
??
,选B ．
【习题4】 已知复数12z z ，满足121z z ==,且122z z -=，求证:122z z +=.
【解析】 设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222z z z z -==，以1OZ ,2OZ 为
邻边的平行四边形为正方形,而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122z z +=.
【习题5】 设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ?+?+?=,其中5A =,求12z A z A +?+的值． 【答案】5
【解析】 121212z A z A z A z A z A z A +?+=+?+=+?+
121212()()z A z A z z A z A z A A =++=?+?+?+?，
把12120z z A z A z ?+?+?=代入上式,得2
125z A z A A A A +?+=?==．
课后检测
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个 根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数z a bi =+←???→一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义：
高中平面几何 (叶中豪) 知识要点 几何变换及相似理论 位似及其应用 复数与几何 （1） 复数的意义及运算 （2） 复数与复平面上的点一一对应 （3） 复数与向量 （4） 定比分点 （5） 重心和加权重心，三角形的特殊点 （6） 面积 （7） 90°旋转与正方形 （8） 相似与复数乘法的几何解释 （9） 三次单位根与正三角形 例题和习题 1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△ABC 的重心。 2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为 123::μμμ。求证：12 3 0PA PB PC 。 3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间 的两组中点所构成的三角形的重心重合。 4．（von Aubel ）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂 直。 5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD
＝∠ACE ＝90°。求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。 6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相似的三角形，使得 △A ′MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。 7．（1）如图，在已知△ABC 的周围作三个相似三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。求证： AFDE 是平行四边形。 E B （2）如图，在四边形ABCD 周围作四个相似三角形：△EAB ∽△FCB ∽△GCD ∽△HAD 。求证：EFGH 是平行四边形。 G 8．在△ABC 的外围作三个相似三角形：△DCB ∽△EAC ∽△FBA 。求证：△DEF 的重心是 定点。 9．若在四边形ABCD 内存在一点P ，使得△PAB 、△PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角 三角形。求证：必存在另一点Q ，使得△QBC 、△QDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 10．（上海市高中竞赛）设△ABC 是锐角三角形。在△ABC 外分别作等腰直角三角形： △BCD 、△ABE 、△CAF ，这三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA 是直角。又在 四边形BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG ，∠EFG 是直角。求证：（1）GA AD ；（2）∠GAD ＝135°。 11．（第17届IMO ）已知任意△ABC ，在其外部作△ABR 、△BCP 、△CAQ ，使得 ∠PBC ＝∠CAQ ＝45°， ∠BCP ＝∠QCA ＝30°， ∠RBA ＝∠RAB ＝15°。 求证：（1）∠QRP ＝90°；（2）QR ＝RP 。 12．在复平面上，△ABC 是正三角形的充要条件： （1）2 0A B C 或2 0A B C ； （2）2 2 2 A B C BC CA AB ；
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠?? +≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0 6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ， d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d =
复数讲义(绝对经典) 复数 一、复数的概念 1．虚数单位i: （1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系: i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ． （4）i的周期性： ，， ， ． 2．数系的扩充：复数 3．复数的定义： 形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 4．复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数6．复数集与其它数集之间的关系： 7．两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，
二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数复平面内的点 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1．复数与的和的定义： 2．复数与的差的定义： 3．复数的加法运算满足交换律: 4．复数的加法运算满足结合律: 5．乘法运算规则： 设， ( 、、、 )是任意两个复数，那么它们的积 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律： （1） （2）
一、知识要点 【复数基本概念及运算性质】 1.虚数单位i : 它的平方等于-1，即 2 1i =- 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 ()44142 43 0n n n n i i i i n Z +++ +++=∈ 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合 叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0 时，z 就是实数0. 5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 注意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 6. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 7．复数z 1与z 2的和与差的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 8. 复数的加法运算满足交换律与结合律 9．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数. 10.乘法运算律： (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 11.除法运算规则： (a +bi )÷(c +di )= 2 222d c ad bc d c bd ac +-+++ i .（分母实数化） 12. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 13．复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 14*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 (),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。22||z z a b ==+ 教学内容
高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcos θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模， 也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|； （8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1- θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。
考点一复数的运算 (2) 考点二复数的模 (5) 课后综合巩固练习 (7)
考点一 复数的运算 1．复数的加法与减法 ⑴加法：设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R ，定义12()()i z z a c b d +=+++． 复数的加法运算满足交换律、结合律． ⑵相反数：已知复数i a b +，存在惟一的复数i a b --，使(i)(i)0a b a b ++--=，i a b --叫做i a b +的相反数．i (i)a b a b --=-+．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称． ⑶复数的减法法则：(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d +-+=++--()()i a c b d =-+-， ⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的乘法 设1i z a b =+，2i z c d =+，a 、b 、c 、d ∈R ，定义12()()i z z ac bd ad bc =-++． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方． 复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、，有m n m n z z z +?=，()m n mn z z =， 1212()n n n z z z z ?=?． 在复数的乘方运算中，要记住以下结果： 1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=；41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =． <教师备案> 记12ω=-， 则12ω=-，331ωω==，210ωω++=，1ωω?=，1ωω+=-，2ωω= 3．复数的除法 已知i z a b =+，如果存在一个复数z '，使1z z '?=，则z '叫做z 的倒数，记作1 z ． 22222 1i || a b z z a b a b z =-=++． 两个复数除法的运算法则如下： i (i)(i)i a b a b c d c d ++÷+=+22i (i)c d a b c d -=+?+22()()i ac bd bc ad c d ++-=+2222i ac bd bc ad c d c d +-=+++． 1．（2019春?遂宁期末）设m R ∈，复数(1)()z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()f x mlnx x =+，若曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．{}1 (,] 12 -∞ B ．(-∞，0]{1} C ．(-∞，0]{2} D ．(-∞，0)(2?，)+∞ 【分析】由已知求得m ，得到()f x ，利用导数研究单调性及过(0,1)-的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数k 的取值范围． 【解答】解： (1)()(1)(1)z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上， n
一、知识点梳理: 1、i 的周期性： i4=1，所以，i41, i421, i43, i41 “z i 4n i 4n1 严2 i 4n3 =0 n Z 2、复数的代数形式：a bi a, b R , a 叫实部，b 叫虚部，实部和 虚部都是实数。C = bi|a, 叫做复数集。二二二二. 3、 复数相等： a bi = c di ：= a = c 且b=d ； a ? bi =0：= a =0且b=0 「实数(b=0) 4、 复数的分类： 复数Z 二a bi 士疥 一般虚数(b=0,a = 0) 虚数(b H0)g i 纯虚数(b 式0,a=0) 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3 i,6 2i 也没有大 小。 5、 复数的模：若向量oz 表示复数 乙则称oz 的模r 为复数z 的 模， z =|a bi |二■. a 2 b 2 ； 积或商的模可利用模的性质( Z 1 Z 2 6、 复数的几何意义： 复数|z=a+bi(a,b€R )?-一对复平面内的点 一一对应 复数Z =a +bi(a,b 乏R)㈠ 平面向量O#， 7、 复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做 复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴?，实轴上 的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯 虚数 &复数代数形式的加减运算 复数 1 )乙川厶,=|乙| ：Z 2 HI ：Z n ， ( 2)
复数z1 与z2 的和：z12=()+()=()+()i. a,b,c,d R 复数z1 与z2 的差：z12=()-()=()+()i. a,b,c,d R 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z1，z2 a,b,c,d?R ；OZ= OZ, ON (a , b)+(c , d)=( , ) = ()+()i 复数减法的几何意义：复数z12的差(a - c)+(b - d)i对应.由于 Z2Z^OZ^-OZ2,两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9、特别地，令二一.,|胡=|AB =Z B-Z A为两点间的距离。|z-Z i|=|z-Z2|Z 对应的点的轨迹是线段乙Z2的垂直平分线；|z-Z o|=r , z 对应的点的轨迹是一个圆；|z-z,| |z-z2p2a Z1Z2 : 2a , z 对应的点的轨迹是一个椭圆； |z-Z i I-|z-z2| =2a( Z1Z2 >2a ), z 对应的点的轨迹是双曲线。 乙一乙，兰乙±z2乞乙+z2 10、显然有公式： 2 2 2 2 Zi+Z2 +乙—Z2 =2(|乙+ Z2 ) 11、复数的乘除法运算： 复数的乘法：z1z2= ()()=( - )+()i. a,b,c,d R 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即对z123 € C及€ N*有:,(),(z1z2)12n. 复数的除法：ZL=() -■()旦埋普里巴驾i a,b,c,d?R，分母实 Z2 c+dic+d c+d
复数 一、知识点梳理： 1、i 的周期性： i 4 =1，所以，i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =-i, i 4n =1()n Z ∈ ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈ 2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 {}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C. 3、复数相等：a bi c di a c +=+?=且b=d ；00a bi a +=?=且b=0 4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ?? =+≠≠??≠?? ≠=?? 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。 5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+ 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ?=???L L ，（2）()11 2 22 0z z z z z =≠ 6、复数的几何意义： 复数(),z a bi a b R =+∈←??? →一一对应 复平面内的点(,)Z a b () ,Z a bi a b R =+∈? u u r 一一对应 复数平面向量OZ ， 7其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ， d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i 复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r ，两个 复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A AB z AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的
第2讲 复 数 知识梳理 一．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是 ，虚部是 ，表示方式 ，当b =0时，则a ＋b i 为 ，若b ≠0，则a ＋b i 为 ，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为 ． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?则 ． (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：Z=a ＋b i 则它的共轭复数是 ． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|， 即|z |＝ ． (5)复数的周期性：i = , i 2= , i 3= , i 4= i 4n+1= , i 4n+2= , i 4n+3= , i 4n = 二、复数的几何意义 1． 复数z a bi =+←??? →一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 实轴上的点都表示 实数
三、复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ． (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ． (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝ ． (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ ．(c ＋d i ≠0)．（基本必考） 3、常用结论： (1±i)2＝±2i ， 1＋i 1－i ＝i ， 1－i 1＋i ＝－i. 四、知识应用： 考点一 虚数单位i 的性质 【例1】(2017·新课标全国)已知i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i +++ += ．（用 i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 练习1(2018·辽宁)1i ＋1i 3＋1i 5＋1 i 7＝…………………………………………( )． A 、0 B ．2i C ．－2i D ．4i 考点二 复数的有关概念： 【例2】（2016全国模拟）复数 1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D.1 2 练习1复数 i 2(1＋i)的实部是________． 练习2（2016，聊城质检）复数－i 1＋2i (i 是虚数单位)的共轭复数是________． 练习3 已知复数1＋i i ，它的模是 _______
复数 、复数的概念 1. 虚数单位i: (1)它的平方等于1，即i2 1 ； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i与一1的关系： i就是1的一个平方根，即方程 2 x 2 1的一个根，方程x 1的另一个根是-i (4) i的周期性： 4n 1 i i 4n 2 4n 3 ,i 1 , i i , 4n i 1 . 实数a(b 0) 2.数系的扩充:复数a bi虚数a bi(b 纯虚数bi(a 0) 0) 非纯虚数a bi(a 0) 3.复数的定义: 形如a bi(a , b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部?全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 4. 复数的代数形式： 通常用字母z表示，即z a bi(a ,b R)，把复数表示成a bi的形式，叫做复数的代数形式. 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a bi(a ,b R)，当且仅当b 0时，复数a bi(a ,b R)是实数a ;当b 0时，复数 z a bi叫做虚数；当a 0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当 一送是实数迪3旦￡实数Q 负宴数 二一纯虚数枕 空驚是虚孙 6. 复数集与其它数集之间的关系：N荷Z Q荷R C 7. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果a , a ,b, d , c, d R，那么a bi c di a c , b d a b 0时，z就是实数0
、复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 复数z a bi(a ,b R)与有序实数对 a ,b是一一对应关系.建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z a bi(a ,b R)可用点Z a ,b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实 数. 2..对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0，它所确定的复数是 z 0 0i 0表示是实数. 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3. 复数z a bi 一一对应复平面内的点Z(a ,b) 这就是复数的一种几何意义?也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 三、复数的四则运算 1.复数Z1与Z2的和的定义： Z Z2 a bi c di a c b d i 2.复数Z1与Z2的差的定义： Z z2 a bi c di a c b d i 3.复数的加法运算满足交换律:乙Z2 Z2 乙 4.复数的加法运算满足结合律:(Z1 Z2) Z3 Z (Z2 Z3) 5. 乘法运算规则： 设乙a bi , Z2 c di (a、b、c、d R )是任意两个复数， 那么它们的积ziz2 a bi c di ac bd bc ad i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与 虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6. 乘法运算律： (1 ) zi Z2Z3 Z1Z2 z3 (2) (乙Z2) Z3 乙(Z2 Z3) (3)Z Z2 Z3 ZZ2 ZZ3 7. 复数除法定义： 满足c di x yi a bi的复数x yi (x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为：
题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．() 15， D ．() 13， 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ． 【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部 为 ． 【例6】复数3 2 1i +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1- D ．3 【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位） 2 (1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数
【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ） A ．z 的对应点Z 在第一象限 B ．z 的对应点Z 在第四象限 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ①若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ①z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ①若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ①z ∈R 的一个充要条件是z z =． ①1z =的充要条件是1 z z =． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二：复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
第十五章 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
知识内容 」、复数的概念 1. 虚数单位i: (1) 它的平方等于 1，即i 2 1 ； (2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3) i 与一1的关系： i 就是 1的一个平方根，即方程 2 x 2 1的一个根，方程x 1的另一个根是-i (4) i 的周期性： ?4n 1 . i i .4n 2 4n 3 ,i 1, i i , i 4n 1. 实数a(b 0) 2.数系的扩充: 复数a bi 虚数a bi(b 纯虚数bi(a 0) 0) 非纯虚数a bi(a 0) 3.复数的定义: 形如a bi(a , b R)的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部?全体复数所成的集合叫做 复数集，用字母C 表示 4. 复数的代数形式： 通常用字母z 表示，即z a bi(a,b R)，把复数表示成a bi 的形式，叫做复数的代数形式. 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0的关系： 对于复数a bi(a ,b R)，当且仅当b 0时，复数a bi(a ,b R)是实数a ;当b 0时，复数 z a bi 叫做虚数；当a 0且b 0时，z bi 叫做纯虚数；当且仅当 是里数卫＜ 上H 实数Q 也负宾 数 ［二纯虚毅hi 丝鋼是虚妇 纯虚敬的虚敬 6. 复数集与其它数集之间的关系： N 荷Z Q 荷R C 7. 两个复数相等的定义： a b 0时，z 就是实数0 复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果a , a ,b, d , c, d R，那么a bi c di a c , b d 、复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 复数z a bi( a ,b R)与有序实数对 a , b是一一对应关系.建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z a bi(a ,b R)可用点Z a ,b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实 数. 2..对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0，它所确定的复数是 z 0 0i 0表示是实数. 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3. 复数z a bi 一一对应复平面内的点Z(a ,b) 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 三、复数的四则运算 1.复数Z1与Z2的和的定义： Z Z2 a bi c di a c b d i 2.复数Z1与Z2的差的定义： Z Z2 a bi c di a c b d i 3.复数的加法运算满足交换律:Z1 Z2 Z2 z 4.复数的加法运算满足结合律:(Z Z 2) Z3 Z (Z2 Z3) 5. 乘法运算规则： 设z i a bi , Z2 c di (a、b、c、d R )是任意两个复数, 那么它们的积z,z2 a bi c di ac bd bc ad i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把虚部分 i2换成1，并且把实部与别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6. 乘法运算律： (1) z, Z2Z3 Z1Z2 z a (2)(乙Z2) Z3 乙(Z2 Z3)
考点1 复数 [玩前必备] 1．复数的有关概念 (1)定义： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝?a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R 3．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． [玩转典例] 题型一 复数的概念 例1（2018?福建）若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015?湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则 i =x y +( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省烟台市高三模拟）设i 是虚数单位，若复数5i 2i ()a a + ∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1- 2.已知复数 z = (m 2 - m - 2) + (m 2 - 3m + 2)i 是实数，则实数 m =_________ 3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i - 题型二 复数的代数运算 例5（2016?全国）复数2 2 (12)(2)i i -+的模为( ) A ．1 B ．2 C D ．5 例6（2020?梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2i C ．1i -+ D ．0 例7【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z +-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ， 若12z zz =，则z 的共复数z =（ ） (2i)(1i)a ++i
复数 知识内容 一、复数的概念 1．虚数单位i: （1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3） i 与－ 1 的关系 : i 就是1的一个平方根，即方程 2 1 的一个根，方程 2 1 的另一个根是 -i ．x x （4） i 的周期性： i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ． 实数 a( b0) 2．数系的扩充：复数a bi bi( b0)纯虚数 bi( a0) 虚数 a 非纯虚数 a bi( a0) 3．复数的定义： 形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示 4．复数的代数形式 : 通常用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系： 对于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 0
6．复数集与其它数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C 7．两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，b，d， c ， d R ，那么 a bi c di a c ，b d 二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐 标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实 数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确定的复数是z 0 0i 0 表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b) 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1．复数z1与z2的和的定义： z1z2 a bi c di a c b d i 2．复数z1与z2的差的定义： z1 z2 a bi c di a c b d i 3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z1 4．复数的加法运算满足结合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 ) 5．乘法运算规则： 设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数， 那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，并且把实部与 虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律： （1） z1 z2 z3z1 z2 z3