经典例题透析
类型一：复数的有关概念
Z 分别为:
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
思路点拨：根据复数Z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用
它们的充要条件可分别求出相应的
a 值.
解析：
（1）当Z 为实数时,
I a - 5a -6=0
Ia = -1或a — 6— 有 2
= = a =6，
a 2 -1 = 0
a =二 1
???当a = 6时，Z 为实数. (2) 当Z 为虚数时，
I a - 5a - 6 = 0
Ia=-I ^且a = 6 —
有 2
=
= a _1 且 a = 6 ,
a -1=0 a - -1
?当 a ∈(-∞,- 1 )U(— 1, 1 )∪( 1, 6)∪( 6, +∞)时，Z 为虚数.
(3) 当Z 为纯虚数时，
?不存在实数a 使Z 为纯虚数.
总结升华：由于a ∈ R ,所以复数Z 的实部与虚部分为
a
：
7a 6
与a 2 - 5a - 6.
a 2 -1
① 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解；
② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；
③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可.
例1已知复数
2
a —7a +6 丄 / 2 Z 2
(a
- 5a - 6)i (a - R), 试求实数a 分别取什么值时,
a 2 _5a _6 = 0 a 2 -7a 6 .a 2-1
-0
a =二 _1^且 a ~^ 6 a =6
举一反三:
【变式1】设复数z=a+bi (a 、b ∈ R ),贝U Z 为纯虚数的必要不充分条件是(
)
A . a=0
B . a=0 且 b ≠ 0
C . a ≠0 且 b=0
D . a ≠0 且 b ≠ 0
【答案】A ;由纯虚数概念可知：
a=0且b ≠ 0是复数z=a+bi (a 、b ∈ R )为纯虚数的充
要条件?而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择
A.
- - .> , 2
【变式2】若复数(a -3a ? 2) ? (a -1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为(
)
A.1
B.2
C.1 或 2
D.-1
2 2
【答案】B ； ?/ (a 2 C 1 i
是纯虚数，??? a -3a ?2=0且a-1 = 0 ,即 a = 2.
【变式3】如果复数(m 2 ?i)(1 ?mi)是实数，则实数 m=(
)
A . 1
B . - 1
C . 、. 2
D .
. 2
【答案】B ；
【变式4】求当实数m 取何值时，复数z = (m 2 - m - 2) ? (m 2 -3m 2)i 分别是:
解析:
同理可得:
(1)实数;
(2)虚数; (3)纯虚数.
【答案】
(1) 2
m -3m 2 =0 即 m=1 或 m=2 时,
复数Z 为实数; (2) 2
m -3m 2=0 即 m 1 且 m = 2 时, 复数Z 为虚数;
(3)
2
m - m -2 = 0
2
即m =—1时，复数
m —3m 2 = 0
Z 为纯虚数.
类型
:复数的代数形式的四则运算
例2. 计算:
(1) i n (n N .);
(1 i)8
⑶(1 2i)P-2i);
(1 - 4i)(1 i) 2 4i
3 4i
⑴??? i 2 ?1 , ? i 3
=i 2 i
i 4 =i 2 i 2 =1,
当 n =4k 1(k N )时, ■ 4k 1 4k 4
、k
=I i =(I ) i = i
当 n =4k 2(k N )时,
.4k
-2 .4k
.2
,
I
I
I LJ
T,
(4)
(I i)3
-(^
i)
2
； (1 i)2 -(^i)2
【答案】
(1) (5 — 6i)+( — 2— i) — (3+4i) =[(5 — 2)+( — 6— 1)i] — (3+4i) =(3 — 7i) — (3+4i)
=(3 — 3)+( — 7— 4)i= — 11i.
(2) (1 2i)(3 -4i)(2 —i) =(11 2i)(2 _i) =24 _7i
当 n =4k 3(k N )时，i 4k J 4k ?i 3 ?i 当 n =4k 4(k? N )时,i 4k =i 4k i 4 =(i 4)k =1,
1
(n = 4k+1, k 壬 N )
(n N)
(2) (1 if =[(1 i)2]4 =(2i)4 =24i 4 =16
(3) (1 2i) “(1 —2i)=匚？ =
(I 2i)(I 2i)
1-2i
(1_2i)(1+2i) ,八(1 -4i)(1 i) 2 4i 1
4-3i 2 4i (4)
3+4i
3+4i
21 4 3i -28i
25 -25i 1 -i.
25
25
总结升华：熟练运用常见结论：
1) i n 的“周期性” (n? N .)
2 2
1 (2i) 4i -3 4i 3 4. = ----------------- = --------- =——-T -
— i
12 -(2i)2 5 5 5
7 i (7 i)(3-4i) _ 3 4i _
32 42
2) (仁i)2 = 2i 3)
(a bi)(a -bi) = a 2 b 2
举一反三： 【变式1】计算：
(1) (5 — 6i)+( — 2— i) —
(3+4i)
(1 2i)(3 -4i)(2 -i) (3) 2?3…
.100
Iii
1
(n -4k 2 , k N ) (n
=4k 3, k N ) (n = 4k
4 , k N )
1 2?3 ?100 ?1 2
川-J 100
?5050 4
、1262?2
?2
彳
\3 丿 i i i i 二 i
二 i 二(i ) i 二 i 二一1
)(1 i)3_(1_i)3
(1 i)2 .(1 i) 一(仁i)2(1_i) 2i(1 i) 2i(1-i) 2i 2
(4) 2 2
(1 i) -(^i)
2
【变式2】复数2i(1+i )=(
4i
4i
A. -4
B. 4
C. -4i
D. 4i
1
【答案】A ; 2i 1 i i ； -2i 1 2i -n-2i 2i 【变式3】复数
1
--3i
等于()
√3-i
A. i
B. -i
C.
,3 i D.
【答案】A ;
1
九
1
'
3i 1
√3-i -i(1 + √3i)
1
【变式4】复数(i --)3等于()
.3-i
A.8
B. — 8
【答案】D; (i _])3 =(j 二I )3 i i
类型三：复数相等的充要条件
-i
诃)3
i ，故选A
C.8i
D. — 8i
=8i 3 - -8i .
例3、已知X 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x —1)+(3 — y)i=y — i ，求X 、
y.
思路点拨：因X ∈ R , y 是纯虚数，所以可设 y=bi (b ∈ R 且b ≠ 0),代入原式，由复数相 等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果
解析：■/ y 是纯虚数，可设 y=bi (b ∈ R,且b ≠ 0), 则(2x —1)+(3 — y)i = (2x —1)+(3 — bi )i =( 2x — 1+b ) +3i ,
y — i =bi — i= (b — 1) i
由(2x —1)+(3 — y)i=y — i 得(2x — 1+b ) +3i= ( b — 1) i ,
由复数相等的充要条件得
2x-1 b=0 ^4 b 十3
= X 「，
I. 2
3 X , y = 4i .
2
总结升华：
1.复数定义：“形如 ^a bi ( a, b? R )的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这
形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实,
把复数问题转化为
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 3． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 4．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 B C ． D ．5i 5．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 7．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．9．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12． 122i i -=+（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个 根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数z a bi =+←???→一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义：
一、复数选择题 1．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ． 12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 3．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 4．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4 6．已知复数z 满足2021 22z i i i +=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ） A ． 4 5 B ． 35 C ． 25 D ． 5 8．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 9．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 10．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 11．已知i 为虚数单位，则43i i =-（ ） A ． 2655 i + B ． 2655 i - C ．2655 i - + D ．2655 i - -
数系的扩充与复数的引入知识点（一） 1．复数的概念： （1）虚数单位i ； （2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环 小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ??????=?????+∈????≠?≠??=?? 3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；
（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算： ① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ； ③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 5．共轭复数与复数的模 （1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0). （2）复数z=a+bi 的模 |Z|=且2||z z z ?==a 2+b 2. 6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相 等规定为a+bi=c+di a c b d =???=?. 由这个定义得到a+bi=0?00a b =??=?. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 7．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。 8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2=－1结合到实际运算过程中去。 如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2
最新高中数学《复数》经典考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。 （3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。 例2若a 为实数， =，则a 等于（ ） A ． B ． C ． D ．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3 223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：???????-=-=+23 220322a a ，所以a ＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此
???≠+=-0 1202b b 所以b ＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。 例4若35ππ44θ??∈ ??? ，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π θθθ+=+，虚部b ＝ )4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4 543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4 sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。
一、复数选择题 1．复数1 1z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ． 1122 i + D ． 1122 i - 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B ． 2 C D ．2 4．i =（ ） A ．i - B ．i C i - D i 5． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 6．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 7． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 8．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．复数12i z i = +（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10． 122i i -=+（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i 11．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i --
12．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i - 14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限15．题 目文件丢失！ 二、多选题 16．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ?= B ．2z z = C ．31z =- D ．2020122 z =- + 17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．2 0z B ．z 的虚部是yi C ．若12z i =+，则1x =，2y = D ．z = 18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足 |1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ） A ．0P 点的坐标为(1,2) B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于 虚轴对称 C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上 D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为 2 19．已知复数122 z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．2 0z B ．2z z = C ．31z = D ．1z = 20．设复数z 满足1 z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12 i - C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限 D ．2 z =
一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65 - 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ） A 2 B ．2 C ．2 D ．8 5．已知i 是虚数单位，则复数 41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z += -，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数z 满足421i z i += +，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 8．若复数z 满足()322i z i i -+= +，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．3 5i - C ．35 D ．35i 9．已知复数()211i z i -=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④ z z ，其结果一定是实数的是（ ）
高中《复数》经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、复数i i ++12的共扼复数是 。 2．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则|+z|= 。 3、若复数Z 满足Z （1-i ）=2+4i （i 为虚数单位），则Z= 。 4、若复数Z 满足Z+2i =i 2i 55++（i 为虚数单位），则Z= 。 5、z=（m 2-4）+（2-m ）i 为纯虚数，则实数m 的值为 。 6、已知m ∈R ，i 是虚数单位，若z=a-2i ，z ?z =6，则m= 。 7、已知z =(x+1)+(x -3)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 。 8、若复数Z 满足2-3i= 3+2Zi （i 为虚数单位），则Z= 。 9、复数Z=i+i 2在复平面对应的点在第 象限。 10、复数Z 满足（Z-1）i=2+i ，则Z 的模为 。 11、若复数Z 满足Z （1-i ）= 2+2i （i 为虚数单位），则Z= 。 12、复数Z=i 1i 32++,则Z ?(z -1)= . 13、若复数i 2i a +的实部与虚部相等，则实数a = 。 14、复数 的虚部 。 15、2．若复数（α∈R ）是纯虚数，则复数2a+2i 在复平面内对应的点在第 象限。 16、设复数z 满足（z+i ）（2+i ）=5（i 为虚数单位），则z=______。 17、如果复数z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______
18、复数z=﹣2i+ 3-i i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在第 象限。 19、设复数z 满足 i i z i (23)4(+=-?是虚数单位），则z 的实部为 。 20、设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则Z1Z2 的模为 。 二、选择题 1、设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若（a+bi ）?i=2﹣5i ，则ab 的值为（ ）。 A 、-5 B 、5 C 、-10 D 、10 2、若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ． A 、 12 B 、 13 C 、 14 D 、 16 3、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为（ ） A 、 4 2 B 、 3 2 C 、 2 2 D 、 2 4、i 是虚数单位，复数 等于（ ） A 、﹣2﹣2i B 、2﹣2i C 、﹣2+2i D 、2+2i 5、若复数()()ai i z -+=11是实数，则实数a 的值是（ ） A 、1± B 、1- C 、0 D 、1 6、设i 为虚数单位，已知复数i i z -= 1，则z 的共轭复数在复平面内表示的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 7、i 是虚数单位， 的值是（ ）。 A 、 1 B 、 -1 C 、 i D 、-i
一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 4．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15 - D ．15 i - 5．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 7．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 8．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 10．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，2i z i ?=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ） A ．5 B C D ．3
一、复数选择题 1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ?? ? 3．若()2 11z i =-，21z i =+，则1 2 z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 4．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ． 12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 5．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B C D ．2 6．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 8．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15 i - 10．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ）
1, 已知复数求k的值。 解： ，∴ 由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评： (i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小 ，均为实数。 （ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此， 对于任意复数z，且R； 且R。 2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。 解：设为该方程的实根，将其代入方程得 由两复数相等的定义得， 消去m得， 故得 当时得，原方程的实根为； 当时得，原方程的实根为。 点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。 3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。
解：设， 。 由得 ① 对应点在第二象限，故有 ② 又由①得③ 由③得， 即， ∴， ∴④ 于是由②，④得，即 再注意到a<0，故得 即所求a的取值范围为 点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。此外，这里对于有选 择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。4, 求同时满足下列两个条件的所有复数： （1）；
（2）z的实部与虚部都是整数。 解：设，则 由题意，∴ ∴y=0或 （Ⅰ）当y=0时，，， ∴由得① 注意到当x<0时，；当x>0时，， 此时①式无解。 （Ⅱ）当时，由得 ∴ 又这里x，y均为整数 ∴x=1，或x=3，， ∴或 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。 （2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。 解： （1） 解法一：
一、复数选择题 1．若()2 11z i =-，21z i =+，则1 2 z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 3．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 4． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 5．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 6．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 7．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12 y 9．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 10．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．11．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．12．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 13．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ）
一、复数选择题 1．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ?+的模长为（ ） A ．6 B C ．5 D 2．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．6．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 11．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i -- 13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i + B ．34i - C ．34i + D ．43i -
高三复数总复习知识点经 典例题习题 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
复 数 一．基本知识 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等 于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标 为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+
复数问题的题型与方法 复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等． 一、数学规律： 1．共轭复数规律， 2．复数的代数运算规律i4n 1=i，i4n 2= 1，i4n 3= i； 1）i 4n=1 n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 （3）i · i · i ·i = 1，i ＋i ＋i ＋i =0； ； 3．辐角的运算规律 （1）Arg（z1·z2）＝Argz1＋Argz 2 3）Argzn=nArgz （n∈N） ?，n 1。 或z∈R 。 要条件是|z|＝|a|。
（6）z 1·z 2 ≠0，则 4．根的规律 复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值 时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 ||z 1| |z 2 ||≤|z 1± z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |的运用。 即|z 1±z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |等号成立的条件是： z 1 ， z 2所对应的向量共线且同向。 |z 1±z 2 |≥|z 1| |z 2 |等号成立的条件是： z 1，z 2 所对立的向量共线且异向。 二、 主要的思想方法和典型例题分析： 1．化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有 机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这 种化归的思想方法应贯穿复数的始终。 分析】这是解答题，由于出现了复数 z 和 z ，宜统一形式，正面求解。 解】解法一 设 z ＝x ＋yi （ x ， y ∈R ），原方程即为 x 2 y 2 3y 3xi 1 3i 用复数相等的定义得： ∴ z 1= 1， z 2 = 1+3i.
复数的代数形式及其运算 例1．计算： i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解：提示：利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式＝0 变式训练1： 2 = （A）1 -（B） 1 22 +（C） 1 22 -+（D）1 解：21 2 ===-+故选C； 例2. 若0 1 2= + +z z，求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解：提示：利用z z z= =4 3,1 原式＝2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ． 解：2 例3. 已知4, a a R >∈，问是否存在复数z，使其满足ai z i z z+ = + ?3 2（a∈R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由 解：提示：设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3：若 (2) a i i b i -=+，其中i R b a, ,∈是虚数单位，则a＋b＝ __________
解：3 例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设 yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ?+=?∴?+=?? 将（2）代入（1） ，整理得281250. x x -+=160,()f x ?=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围. 解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+1z =13. 13，得a 2－8a ＋7<0，1 复数的加减运算 例 计算 （1）)43()53(i i -++； （2）)54()23(i i --+-； （3）)33()22()65(i i i +---+- 分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。 解：（1）.6)45()33()43()53(i i i i +=-++=-++ （2）.77)]5(2[)43()54()23(i i i i +-=--+--=--+- （3）)33()22()65(i i i +---+-i )326()325(---+--=.11i -= 确定向量所表示的复数 例 如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表 示0，i 23+，i 42+-，试求： （1）AO 所表示的复数，BC 所表示的复数. （2）对角线CA 所表示的复数． （3）对角线OB 所表示的复数及OB 的长度． 分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。或者用向量的相等直接给出所求的结论． 解：（1）OA AO -= AO ∴所表示的复数为i 23--． AO BC =Θ， BC ∴所表示的复数为i 23--． （2）OC OA CA -=， CA ∴所表示的复数为i i i 25)42()23(-=+--+ （3）对角线OC OA AB OA OB +=+=，它所对应的复数为 i i i 61)42()23(+=+-++ 3761||22=+=OB 求正方形的第四个顶点对应的复数 例 复数i z 211+=，i z +-=22，i z 213--=，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。 分析1：利用BC AD =或者DC AB =求点D 对应的复数。 解法1：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为yi x +（R y x ∈,）则 OA OD AD -=)21()(i yi x +-+= i y x )2()1(-+-= OB OC BC -=i i i 31)2()21(-=+----= ∵ BC AD =， ∴.31)2()1(i i y x -=-+- ∴ ???-=-=-3211y x 解得? ??-==12y x 故点D 对应的复数.2i - 分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的 中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解． 解法2：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为yi x +（R y x ∈,） 因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心． ∴ 点O 也是B 与D 点的中点，于是由0)()2(=+++-yi x i ∴ .1,2-==y x 故D 对应的复数为.2i - 小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C 对称固形，解题思路较巧． 根据条件求参数的值 例 已知i a a z )5(321++-=，i a a a z )12(12 2-++-=（R a ∈）分别对应向量， 21,OZ OZ （O 为原点） ，若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值． 分析：12Z Z 对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出12Z Z 对应的复数，再利用复 经典例题透析 类型一：复数的有关概念 Z 分别为: （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 思路点拨：根据复数Z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用 它们的充要条件可分别求出相应的 a 值. 解析： （1）当Z 为实数时, I a - 5a -6=0 Ia = -1或a — 6— 有 2 = = a =6， a 2 -1 = 0 a =二 1 ???当a = 6时，Z 为实数. (2) 当Z 为虚数时， I a - 5a - 6 = 0 Ia=-I ^且a = 6 — 有 2 = = a _1 且 a = 6 , a -1=0 a - -1 ?当 a ∈(-∞,- 1 )U(— 1, 1 )∪( 1, 6)∪( 6, +∞)时，Z 为虚数. (3) 当Z 为纯虚数时， ?不存在实数a 使Z 为纯虚数. 总结升华：由于a ∈ R ,所以复数Z 的实部与虚部分为 a ： 7a 6 与a 2 - 5a - 6. a 2 -1 ① 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解； ② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题； ③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可. 例1已知复数 2 a —7a +6 丄 / 2 Z 2 (a - 5a - 6)i (a - R), 试求实数a 分别取什么值时, a 2 _5a _6 = 0 a 2 -7a 6 .a 2-1 -0 a =二 _1^且 a ~^ 6 a =6 举一反三: 【变式1】设复数z=a+bi (a 、b ∈ R ),贝U Z 为纯虚数的必要不充分条件是( ) A . a=0 B . a=0 且 b ≠ 0 C . a ≠0 且 b=0 D . a ≠0 且 b ≠ 0 【答案】A ;由纯虚数概念可知： a=0且b ≠ 0是复数z=a+bi (a 、b ∈ R )为纯虚数的充 要条件?而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A. - - .> , 2 【变式2】若复数(a -3a ? 2) ? (a -1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 2 2 【答案】B ； ?/ (a 2 C 1 i 是纯虚数，??? a -3a ?2=0且a-1 = 0 ,即 a = 2. 【变式3】如果复数(m 2 ?i)(1 ?mi)是实数，则实数 m=( ) A . 1 B . - 1 C . 、. 2 D . . 2 【答案】B ； 【变式4】求当实数m 取何值时，复数z = (m 2 - m - 2) ? (m 2 -3m 2)i 分别是: 解析: 同理可得: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 【答案】 (1) 2 m -3m 2 =0 即 m=1 或 m=2 时, 复数Z 为实数; (2) 2 m -3m 2=0 即 m 1 且 m = 2 时, 复数Z 为虚数; (3) 2 m - m -2 = 0 2 即m =—1时，复数 m —3m 2 = 0 Z 为纯虚数. 类型 :复数的代数形式的四则运算 例2. 计算: (1) i n (n N .); (1 i)8 ⑶(1 2i)P-2i); (1 - 4i)(1 i) 2 4i 3 4i ⑴??? i 2 ?1 , ? i 3 =i 2 i i 4 =i 2 i 2 =1,高中数学 典型例题 复数加减 新课标
复数经典例题
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