第八章 经典力学的哈密顿理论
教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。
教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。
教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。
§8.1 正则共轭坐标
坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。
一：坐标的发展历史.
1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用
z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，
用k j i
,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。
2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变
矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v
,等物理量。从直角坐标到极坐
标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。
另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。
下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。
二：正则共轭坐标
1.拉格朗日函数L 的不确定性
如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足
拉格朗日方程
,0)(11=??-??ααq L q L dt d s ,...2,1=α。那么可证明dt
t q df t q q L t q
q L )
,(),,(),,(12ααααα+= 也必然满足拉格朗日方程。
证明：为了简单起见我们假设广义坐标q 只有一个，即s=1，
因t f
q q f dt t q df ??+??= ),(，q t f q q
f dt t q df q ???+??=??∴22
2]),([ ， q
t f
q q f q f dt d dt t q df q dt d ???+??=??=??222)()]),(([ 。将L 2代入拉格朗日方程左边可得
0)(]),([)]),(([)()(111122=??-??=??-??+??-??=??-??α
αααααq L q L dt d dt t q df q dt t q df q dt d q L q L dt d q L q L dt d ， 即L 2与同样L 1满足拉格朗日方程。
因此可以看出虽然L 2≠L 1，但二着均能满足拉格朗日方程且得到的微分方程是完全一致。所以说，在经典力学中一个力学体系的L 并不是唯一的，它们之间可以相差一项
dt
t q df )
,(α。以前我们定义L=T-V 只是这种情况较简单而已，也就是说L 具有不确定性， 2.广义动量αp 的不确定性
如果我们定义L=T-V ，那么由ααq
L
p ??=
得到的αp 与αq 将有一一对应的关系。但如果我们定义满足拉格朗日方程的L 均为拉格朗日函数，那么由ααq
L
p ??=得到的αp 与αq 将无对应关系。原因就是附加项
dt
t q df )
,(α中同样含有αq
项，所以可以说由此得到的αp 与αq 是相互独立的。比较的这两种定义，显然后者更具有理论和实用价值。 3.正则共轭坐标
在保持广义坐标αq 的定义和广义动量α
αq L
p ??=
的定义不变的基础上，对),(t q f α也不做
任何限制，可以使αp 与αq 保持相互独立，因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态，这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。
用这种坐标为基础在分析力学中开拓了一片崭新的领域—哈密顿正则方程和哈密顿原理等。这些结论最终又推广到了物理学别的领域并取得了很大的成就。
三：本节重点：正则共轭坐标（αp ，αq ）的物理意义。
§8.2 哈密顿函数和正则方程
哈密顿正则方程的建立可以有多种途径，本节我们准备从拉格朗日方程入手建立它。 一：哈密顿函数H.
1. H 的定义：用2S 个变量),(ααq p 表示的广义能量),(1
αααααq p H L q
p H s
=-=∑=
被称为哈密顿函数。下面我们来证明这种表示法是可行的。
证明：由),,(t q
q L αα 可得dt t L
dq q L q d q L dL s
s
??+??+??=∑∑==11ααα
ααα ， 另由拉格朗日方程得
)(ααq L dt d q L ??=??αααp p dt
d
q L ==???)(。所以dL 的上述表达式可改写为：
dt t
L
dq p q
d p dL s
s ??++=∑∑==1
1
αααααα ○1 另外∑∑∑===+=s
s
s
dp q q d p q p d 1
1
1
)(ααααααααα ○2
由○2—○1可得 dt t
L
dq p dp q L q
p d s
s
s
??--=-∑∑∑===1
1
1
)(ααααααααα （2.1） 因广义能量∑=-=s
L q
p H 1
ααα ，所以上式实际上可写成dt t
L
dq p dp q dH s
s
??--=∑∑==1
1αααααα 。 在上述∑=-=s
L q p H 1
ααα 的表达式可见其中有αααq q p ,, 共3s 变量，但独立的变量只有2s 个。
由（2.1）式可以看出可以选用2S 个ααq p ,做为独立变量将H 写成),(ααq p H H =。原式中
的αq
可以由),,(),,(t q
q p p q
t q
q L p αααααααα =???=中解出),,(t p q q q αααα =，代回∑=-=s
L q p H 1
ααα 中即可得到∑=-=s
L q p H 1
ααα ，其中L q
,α表示这些量是（ααq p ,）的函数。 2. 哈密顿函数H 的常用求法.
（1）由定义直接求出。在确定体系的广义坐标后αq ，先求出),,(t q
q L L αα =，接着由),,(),,(t q
q p p q
t q
q L p αααααααα =???=中解出),,(t p q q q αααα =，代入),,(t q q L αα 中消去αq 可得),,(t p q L L αα =。将),,(t p q q q
αααα
=、),,(t p q L L αα =代入H 的定义式∑=-=s L q p H 1
ααα 最终可得),,(t p q H H αα=。
（2）由能量守恒求出。当体系所受的约束为稳定约束时，广义能量H 就为体系的能量E
（见§2.7对称性和守恒定律），因此可利用V T E H
+==直接求出哈密顿函数H 。但注意
式中的V T
,应为正则共轭坐标（αp ，αq ）的函数，即),,(),,(),,(t q p V t q p T t q p H αααααα +=。
V T
,的表示方法与方法（1）类似，即先求出),,(t q
q L L αα =，再求出),,(t q q p p αααα =，解出),,(t p q q q αααα
=后代入),,(t q q L αα 、),(ααq q V 中消去αq 就可得),,(t p q L L αα =、),(ααp q V V
=。
二：哈密顿正则方程 1.正则方程
由),,(t q p H H αα=求H 的微分可得 dt t H
dq q H dp p H dH s
s
??+??+??=∑∑==11ααα
ααα （2.4） 比较（2.1）、（2.4）两式可见???
?
???
??-=????-=??=t L
t H q H p p H q ,αααα s ...2,1=α （2.5）
（2.5）式即为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程或正则方程。
2.正则方程和拉格朗日方程的比较。正则方程和拉格朗日方程一样都是力学体系的运动方程，不同之处是前者是2s 个一阶微分方程而后者是s 个二阶微分方程，如果单从数学上讲二者是等价的，但显然求解2s 个一阶微分方程比求解s 个二阶微分方程更简单一些。另外由于前者对于自变量),(ααq p 而言形式是对称的，也就是形式上更优美一些，所以被称为正则方程，),(ααq p 也被称为正则变量。
3.H 守恒的条件
由t H q q H p p H dt dH s
s ??+??+??=∑∑==11αααααα ，将正则方程α
αααq H
p p H q ??-=??= ,代入可得
t H dt dH t H p q q p dt dH s
s ??=???++-=∑∑==1
1αααααα 。另外因t L t H ??-=??，所以有t L
t H dt dH ??-=??=。
从上式可以看出当
0=??-=??t L t H 即H 或L 中不含时间t 时，有0=dt
dH
即C H =，这一点正好与§2.7节的结论一致。 4.正则方程的推广
实际上L 、H 还可能含有别的各种参数，这些参数可能是力学体系本身的特性，也可能是作用在体系上的外场的特性。
设λ为这些参数中的某一个如E 、B 或g 等，则有),,,(t q
q L L λαα =， dt t L
d L q d p dq q L dt d dt t L d L q d q L dq q L dL s
s s s
??+??++??=??+??+??+??=∑∑∑∑====λλλλαααααααααααα1
111)]([ dt t L
d L q d p dq p dL s
s
??+??++=?∑∑==λλαααααα11 ，将其代入dL q
p d dH s
-=∑=)(1
ααα 可得 dt t
L d L dq p dp q
dH s
s ??-??--=∑∑==λλαααααα1
1
， ○A 另一方面有dt t H
d H dq q H dp p H t q p dH s s
??+??+??+??=∑∑==λλλααα
ααααα11),,,(，将正则方程代入可得 dt t
L
d H dq p dp q
t q p dH s
s ??-??+-=∑∑==λλλαααααααα1
1
),,,( ○B
对比○A ○B 可得q q q p L H ,,)()(
λλ??-=??，由此可见q q q
p t
L
t H ,,)()(??-=??只是该式的一个特例而已。 5.非保守体系的正则方程 如果力学体系除了保守力)(α
q V ??-
外，还有广义非保守力αQ ，则由αααQ q L
q L dt d =??-??)( ，类似于以上推导可得出：t
L
t H Q q H p p H q
??-=??+??-=??=,,ααααα 。
三：例题（从略）
从以上两例可看出，正则方程和拉格朗日方程、牛顿方程一样均能描述力学体系的运动状态并给出正确的动力学方程。只要广义坐标选取的一样，由三个方程得出的最终结果必然一致，但正则方程的优越性在这样的例题中确实未能体现。
四：解题步骤
1.选取合适的广义坐标αq ，确定对应的αp ，可得正则变量（αq ，αp ）。
2.求出),,(t q
q T αα 及),(t q V α，并得到),(),,(),,(t q V t q q T t q q L ααααα-= 。 3.由ααq
L
p ??=得到),,(t p q q
q αααα =。 4. 由∑=-=s
L q p H 1
ααα 或V T H
+=，将),,(t p q q
q αααα =代入其中可得),,(t q p H H αα=。 5.代入正则方程α
αααq H
p p H q
??-=??= ,可得2s 个一阶微分方程。 6.联立以上方程消去ααq p
, 可得动力学方程。
五：本节重点：掌握正则方程的物理意义及应用正则方程的解题步骤。
§8.3 变分问题的欧拉方程
一：力学第一性原理或最高原理
在力学中能起“几何公理”作用并可由它推导出全部力学定律的无需证明的原理被称为力学第一性原理或最高原理。
我们已经学习过的第一性原理除了牛顿第二定律外还有虚功原理、达朗贝尔方程和正则方程。我们习惯于将牛顿第二定律作为第一性原理并由此来推导全部力学定律，但要强调这并不是唯一的和最佳的选择。下面我们将介绍经典力学的另一最高原理—哈密顿最小作用原理，它的优点是可以将其结论很方便地推广到物理学别的领域。在介绍之前我们先来学习数学上的变分问题。
二：变分法
1.泛函数。在数学上，变分法是为了解决一个实际的力学问题—最速落径问题而发展起来
的。具体问题如图8.1，在铅直平面内所有连接A 、B 的曲线中，找出一条曲线能使00=v 的质点可以最短的时间从A 点无摩擦地沿此曲线下滑到B 点。很显然这是一个求时间t 的极值问题，但t 是由从A 至B 的曲线的函数形式)(x y y =决定的，这就是数学
上求泛函数的问题。
定义：设)(x y y =为x 的函数，如果)]([x y J J =表示J 的值是由)(x y 的具体形式决定的，那么就称)]([x y J 为)(x y 的泛函数。
注意)]([x y J 的变化不是由自变量x 的变化引起的，这一点与复合函数是不同的。 2.泛函数的极值
首先我们继续分析最速落径的问题，由gy v mgy mv 22
1
2=?=，
另由dx dt y dt dy dx dt ds
v 2221)()('+=+==。联立两式可得dx dt
y gy 212'+=
?
?'+=?B
A
x x T
dx gy y dt 212
0，即有?'+==B A x x dx gy
y x y J T 21)]([2
（3.1）
由（3.1）式可看出，下落时间T 与)(x y 的具体形式密切相关，即T 是)(x y 的一个泛函数，T 取极小值时的)(x y 就是所求的最速落径。
在数学上可以证明，取)]([x y J J =极小值的条件为0=J δ，符号δ为变分符号，下面详细讨论它。
3.变分符号δ及其运算规则
（1）变分符号δ：变分符号δ与微分符号d 的运算规则极为相似。y δ表示由于y 的函数形式发生改变而自变量x 不变时y 的值所发生的微小变化，而dy 是由于自变量x 发生了0≠dx 的变化时y 的值所发生的微小变化。
当二者作用在自变量x 上时0=x δ而一般0≠dx ，除此以外二者的运算规则可以看成完全一致。实际上我们在讨论虚位移时已经接触过该符号，只是当时的自变量x 为时间t ，所以有0=t δ。 （2）运算规则 ○
1)()(y d dy δδ= ○2dx y d dx dy )
()(δδ=
○
3i n
i i
n x x y
x x x y δδ∑=??=121)...,(，这里只证明○1。
如右图曲线APQB 表示某函数)(x y ，曲线B Q P A ''表示另一函数)(1x y 。设P 点的坐标为),(y x P ，当P 点变化到Q 点时，因)(x y 的形式未变所以Q 点的坐标为),(dy y dx x Q ++；当P 点变化到P '点时，因x 未变而)(x y 的形式变成了)(1x y ，所以P '点的坐标为
),(y y x P δ+'。最后若将Q '点可看成是由P '点变化而来，则有)](,[y y d y y dx x Q δδ++++'； 若将Q '点可看成是由Q 点变化而来，则有)](,[dy y dy y dx x Q ++++'δ。因Q '为同一点，所以其坐标应相等，即)()()()(dy y d dy y dy y y y d y y δδδδδ=?+++=+++。
三：欧拉方程 如果?
'==21
),,()]([x x dx x y y f x y J J ，可以证明)]([x y J J =极值的条件0=J δ可转化为
函数),,(x y y f '满足欧拉方程。 1.欧拉方程：
0)
,,(]),,([=?'?-'?'?y
x y y f y x y y f dx d 证明：由0)(
0),,(),,(02
1
2
1
2
1
=''
??+???='='?=???x x x x x x dx y y f
y y f dx x y y f dx x y y f J δδδδδ
0])([0])()([212
12
1
=??-'??-'???='??-'??+?????
x x x x x x ydx y
f
y f dx d y y f dx y y f dx d y y f dx d y y f δδδδδ
因)()(21x y x y δδ=，由0=J δ而y δ的任意性可得
0)
,,(]),,([=?'?-'?'?y
x y y f y x y y f dx d （3.5） （3.5）式即为欧拉方程，它是泛函数?'=21
),,()]([x x dx x y y f x y J 取极小值时),,(x y y f '或者说
)(x y 所必须满足的条件。
2.推论：如果),(y y f f '=满足欧拉方程可证明必有C y
y y f y y y f ='?'?'
-')
,(),(。 证明：如果函数f 中不显含变量x 即),(y y f f '=，代入])
,(),([y y y f y y y f dx d '
?'?'
-'可得 )]([)()]([)()(y f dx d y y f y y y f y y f y f dx d y y f dx y d dx y d y f dx dy y f y f y f dx d '??'+'??''-'''??+'??='??'+'??'-''??+??='??'-0])([)(=??-'??'-='??'-?y
f y f dx d y y f y f dx d ，即C y f y f ='??'-。
如果做以下变换L f q y
q y t x →→→→,,,αα ，那么上述推论可表述为：当L 中不显含t 时，C L q
p q
L
q
L =--=??-)(αααα ，也就是广义能量H 守恒。
四：例题（从略）
五：本节重点：掌握变分符号δ的运算规则及欧拉方程。
§8.4 哈密顿原理
一：哈密顿原理及其数学表达式
由上节分析可知，由泛函数?'=2
1),,()]([x x dx x y y f x y J 取极值的条件0=J δ可推导出函数
)(x y 必然满足欧拉方程
0)
,,(]),,([=?'?-'?'?y
x y y f y x y y f dx d 。如果我们对变量或函数x,y,f 做如下变换：),,(),,(,,,t q q L x y y f q y
q y t x αααα →'→→→，那么欧拉方程就变为我们非常熟悉的拉格朗日方程
0][=??-??α
αq L q L dt d ，只是为了简单起见，我们只取体系的自由度s=1而已。因此我们可将这一结论推广得到哈密顿原理如下。
1.哈密顿原理：在从1t 到2t 的时间内，如果有约束所允许的不同的可能运动曲线)(t q ，限制所有曲线的)(1t q 、)(2t q 分别相同，那么各种可能的)(t q 曲线中由动力学规律（如拉格朗
日方程）所确定的真实运动曲线可由泛函数?=2
1
),,(t t dt t q
q L S （4.1） 取极值的条件?==2
1
0),,(t t dt t q
q L S δδ （4.2） 给出，其中S 被称为哈密顿作用量。
上式为单自由度保守体系的哈密顿原理，对于多自由度非保守体系而言哈密顿原理的表
达式为?∑=-==2
10]),,([1
t t s
dt q Q t q
q T S αααδδδ 。 2.实例
如图8.5所示，质点m 被约束在B A →的直线上运动。01=t 时质点m 从A 点自由下落，在T t =2到达B 点。设221gT h AB ==，那么体系的拉格朗日函数mgx x
m V T L +=-=2
2
1 ，
哈密顿作用量??+==2121)2
1
(),,(2t t t t dt mgx x m dt t q q L S ，可见S 与)(t x 的形式有关。下面我们可以选几种)(t x 来计算作用量S ，可以证明只有22
1
)(gt t x =才能使S 取极小值。当然这不
是严格的证明哈密顿原理，只是为了说明哈密顿原理的意义而已。 如图8.6所示取1、2、3、4、5共5种不同的)(t x 。
（1）曲线1—真实运动：221)(gt t x =
，gt t x
=)( ，3213
1
T mg S = （2）曲线2—全程等速运动：t v t x 0)(=，gT T h v 210==，0)(v t x = ，3
20
28
3T mg Ldt S T ?== （3）曲线3—分段等速运动：
10T →，从C A →以速度1v 运动；T T →1，从B C →以速度1v 运动。
计算可得)(21)()()(212121212211211222111213T T mv T T T v v mg T T mv T mv T mv S -+--+-++=
如果令31T T =，32321192
83
412T mg S gT h h =?==。
（4）曲线4—分段等速运动：在上例中令01→T ，h h =1，可得02=v ，h T v =11。相当于在3S 的表达式中令01→T ，02=v 取极值后有∞→4S 。
（5）曲线5—分段等速运动：在（3）中令T T =1，02=T ，01=h ，可得h T T v =-)(1。相当于在3S 的表达式中令01=v ，∞→2v 取极值后有∞→5S 。 综合上述可见54321,,,S S S S S <，即真实运动的作用量S 最小。
二：哈密顿原理的物理意义及其应用
1.物理意义：我们知道力学体系的真实运动是由其动力学方程决定的，而哈密顿原理可以从各种运动约束所允许的可能运动中将真实运动挑选出来，这说明哈密顿原理本身就是动力学规律的一种表述形式，因此它也被称为力学的第一性原理。实际上也确实可以从它出发推导出牛顿方程和虚功原理等第一性原理。 如上例，2
12
1)(gt t x =
为真实运动，则有F mg x
m g x ==?= ，正好就是牛顿第二定律的表述。 2.应用：理论上可由哈密顿原理推导出虚功原理、达朗贝尔方程、正则方程和牛顿第二定律，下面我们就从它出发来证明正则方程。
证明：在正则方程中，因),(ααq p 相互独立，因而要在（2s+1）维的空间中讨论体系的变化规律，也就是要在（2s+1）维的空间中做端点A 、B 固定的等时变分。为了简单起见我们只在图中画出了一对),(q p 。
由H q p L L q p H s
s
-=?-=∑∑==1
1
αααααα ，将其代入（4.2）式得?∑=-==2
1
0)(1
t t s
dt H q
p S αααδδ
?∑∑=??+??-+=?==2
1
0])()([1
1t t s
s dt q q H
p p H q p q
p S ααα
αααααααδδδδδ ○1 上式的左边首项可写成?∑∑?
∑===-=2
1
2
1
])([1
11
t t s
s
t t s
dt q p
q p dt d dt q p ααααααα
ααδδδ ?∑?∑∑===-=-=2
1
2
1
2
1
)()(1
1
1
t t s
t t s
t t s
dt q p dt q p
q p αααααααα
αδδδ ○2 上式中因0)()(21==t q t q ααδδ，所以02
1
1
=∑=t t s
q p αα
αδ
将○2代入○1可得?
∑∑=??+-??-===2
1
0])()([11t t s
s
dt q q H p p p H q S ααα
αααααδδδ
因),(ααq p 相互独立，要使上式恒成立只有量个圆括号内得项恒等于零，于是可得
α
αααq H
p p H q
??-=??= ,，正好就是正则方程。
三：哈密顿原理和最小作用量原理
哈密顿原理又被称为最小作用量原理，这是因哈密顿断言真实运动会使0=S δ或使S 取极小值而得名的。从历史上看，最小作用原理是莫培督于1744年提出的。但其形式及适
用条件与哈密顿原理有所不同。莫培督把∑?==n
i B A i i i r d v m W 1
称为作用量，他断言：完整、保
守体系在位形空间中确定的始末位置A 、B 之间的一切可能运动中，真实运动的作用量W
取极小值，即01
==∑?=n
i B A i i i r d v m W
??。?被称为莫培督变分符号，与δ有所区别。
1760年拉格朗日证明了上述原理并将其改写为01
==?
∑=B A
s
dq p W αα
α??。后来雅可比又得到了它的另一种表达式：0)
(21
,=-=?
∑=B
A
S
dq dq A V E W β
αβααβ??
哈密顿原理和莫培督原理的主要区别有两处
（1）莫培督原理只适用于保守体系，哈密顿原理对于非保守体系也适用
（2）对保守体系中能量守恒的体系，哈密顿原理比较的是那些始末位置相同、约束所允许的、等时而不等能的一切运动中，真实运动的S 具有极小值。莫培督原理比较的是约束所允许的、始末位置相同的、一切不等时而等能的可能运动中，真实运动的W 具有极小值。 （3）莫培督原理的应用虽不及哈密顿原理广，但因式中不含时间t ，所以讨论体系的运动轨道时比较方便。
四：本节重点：哈密顿原理的表述、数学表达式及简单应用。
§8.5 正则变换
一：动力学方程的一般求解法
从以前解动力学方程的步骤来看，首先都是先列动力学方程然后着手解出这样一组二阶非线性微分方程组，但对于这样的方程组并无一般的通用解法。另外，我们发现无论是用牛顿方程还是拉格朗日方程及哈密顿方程，只要广义坐标选取的一致，那么最终得到的微分方程均一样。而如果选取的广义坐标合适时，可以使方程的求解非常简便。例如在处理中心势场和旋转问题时选取极坐标就比直角坐标要方便的多。所以总结下来对于动力学微分方程还是有以下两种处理方法。
1.消元法：通过选取合适的坐标，使每个方程只含一个变量，这样可方便地解出微分方程。如处理体系的微振动时简正坐标的选取。
2.降次法：选取正则坐标使微分方程从二阶降为了一阶，或者选取循环坐标利用守恒定律来降次。
下面我们就讨论如何选取合适的坐标来求解正则方程。
二：正则变换 1.正则变换的定义。
对于一组广义坐标（s q q q ...,21），如果将其变为另一组广义坐标),...,(21t q q q Q Q s αα=，
s ...2,1=α，那么拉格朗日方程的形式不会有变化。但这样的变换关系并不能确定αp 和αP 的变换关系。对于正则变量),(ααq p 而言，因二者相互独立，要使),(),(ααααQ P q p →B 必须
有以下关系???==),...,...()
,...,...(1111t p p q q P P t p p q q Q Q s s s s αααα （5.2）
按照这样的变换后可得到新的正则变量),(ααP Q 。如果我们维持原来对拉格朗日函数及哈
密顿函数的定义不变，即V T t Q Q L -=),,(* ，),,(),,(**t Q
Q L Q P t P Q H -=∑αα。那么正则方程的对称形式将被破坏，因而我们感兴趣的是下述变换。
如果变换关系（5.2）式可以保持正则方程的形式不变，即ααα
αq H P P H Q ??-
=??=*
*, ，其中s ...2,1=α，那么这样的变换被称为正则变换。 2.正则变换的条件
由于哈密顿原理与正则方程是等价的，因而只要我们能使变换关系满足哈密顿原理，那么该变换自然就会使正则方程的形式不变，这种变换也就必然是正则变换。 （1）从哈密顿原理推导正则变换的条件
对于原变量),(ααq p 和哈密顿函数),,(t q p H α，如果满足正则方程必然满足哈密顿
原理，则有下式成立：??∑=-===2
1
2
1
0]),,([),,(1
t t t t s
dt t q p H dq p dt t q
q L S αααδδδ 但由于L 和dt
t q df L )
,(+
是等价的，为了使αp 完全独立于αq 在上式的积分符号下应再加上一项),(t q df 。由于?=21
0t t df δ，所以f 中还可以含变量p 即),,(t q p f f =。因此上式的最一般形式为：?∑=+-=2
1
0)],,(),,([1
1
t t s
t q p df dt t q p H dq p α
ααδ
（5.4） 同理如果新的正则变量),(ααQ P 及哈密顿函数),,(*
t Q P H 同时满足正则方程和哈密顿原理
则有 ?∑=+-=2
1
0)],,(),,([2*1
t t s
t Q P df dt t Q P H dQ P αααδ （5.5）
由（5.4）、（5.5）式可得?∑∑=--+-==2
1
0])()[(1*
1
1t t s
s dF dt H H dQ P dq p αα
ααααδ 其中),,(),,(121t q p f t Q P f F -=。要使上式恒成立，只需积分符号内的多项式为零即可，因
此有下式成立： 1*
1
1)()(dF dt H H dQ P dq p s
s
=-+-∑∑==αααααα （5.8）
上式中同时存在),,,(q p Q P 四种变量，我们可以任选其中独立的两种做为自变量。例如
),,(11t Q q F F =就表示以),(Q q 为基本变量，这样（5.8）式则变为
),,()()(1*
1
1t Q q dF dt H H dQ P dq p s
s =-+-∑∑==αααααα （5.9）
（2）正则变换的条件
（5.9）式即为正则变换的条件，也就是),,,(q p Q P 以及H H ,*所进行的如等式左边的运算后能否最终表示为一个全微分项。
讨论：如果某变换满足（5.9）式则必有ααq F p ??=
1，αα
Q F P ??-=1，t
F H H ??+=1*
成立。这说明从ααααQ P q p ,,→时，虽然αQ 可以任意确定但一旦确定αQ 后，则只有下列条件成立时的变换才是正则变换。 A ：αP 必须由α
αQ F P ??-
=1
来确定。也就是选定αQ 、),,(1t Q q F 后，就必须由上式来确定αP 。 B ：),,(1t Q q F 不能任意选定，必须满足ααq F p ??-
=1。C ：新的*H 必须由t
F
H H ??+=1*给出。 上述三个条件缺一不可，否则从ααααQ P q p ,,→的变换就不满足哈密顿原理也就不满足正则方程，正则方程的形式就要发生变化。 （3）正则变换条件的推广
在某些情况下，我们可以不取ααQ q ,为独立变量而取ααP p ,为独立变量更为合适。此时正则变换的条件（5.9）式就要有相应的改变如下。
由∑∑∑===-=s
s
s
dP Q Q P d dQ P 1
1
1
)(ααααααααα，代入（5.9）式化简后可得
∑∑∑===+=-++s
s
s
Q P t Q q F d dt H H dP Q dq p 1
1*
11]),,([)()(ααααααααα，
令),,(),,(21
1t P q F Q P t Q q F s
=+∑=ααα，则上式可变为
),,()()(2*
1
1t P q dF dt H H dP Q dq p s
s =-++∑∑==αα
αααα （5.12） （5.12）式也可看成正则变换的条件，并且类似于对（5.9）式的分析可得下列具体条件
ααq F p ??=
2，α
αP F Q ??-=1，t F
H H ??+=2* （5.14） 通常为了区分（5.9）、（5.12）两式，习惯称),,(1t Q q F 为第一类变换母函数，),,(2t P q F 为第二类变换母函数。同理还存在第三、第四类变换母函数),,(3t Q P F 、),,(4t P p F 。
),,()()(3*1
1t Q P dF dt H H dQ P dp q s
s
=-+--∑∑==αααααα
),,()()(4*1
1t P p dF dt H H dp q dP Q s
s =-+-∑∑==αααααα
注意：在上述四种变换中均有t
F H H ??+
=*，特别是当
0=??t
F 时，有H H =*，只要将H
中的ααq p ,用ααQ P ,代替即可得到*
H 。
（4）正则变量（坐标）意义的扩展
从以上讨论可知，经过正则变换以后ααQ P ,分别与ααq p ,都有关系。因此变换以后αQ 已经没有纯粹空间坐标的意义，同样αP 也已经没有纯粹运动动量的意义。例如取
∑==s
Q q t Q q F 11),,(ααα，可得αα
αQ q F p =??=
1，ααα
q Q F P -=??-=1
，这么一个变换使坐标与动量互相交换。
因此可以说：在哈密顿正则方程中，正则变量ααq p ,只是名称上的不同而已，在物理意义上二者并无本质的区别。任意两组变量只要二者相互独立且二者的积有作用量（即能量乘以时间）的量纲，都可以将它们看成正则共轭变量。
又如),...,(21t q q q f Q s αα=可以看成是母函数为∑=ααP t q q q f F s ),...,(212的正则变换，
因为αQ 可由),...,(212
t q q q f q F Q s αα
α=??=
得到。
三：正则变换的意义
正则变换的意义在于可以简化新的哈密顿函数，使广义坐标、广义动量尽量变为循环坐
标，这样将它们代入正则方程α
αααq H
p p H q
??-=??= ,时就可直接得出相应的方程及其解。如21,p q 为循环坐标，则可得222
211110,0C q p H
q C p q H p
=?=??==?=??-= 。
在§2.7中曾指出，自由度为S 的体系共有（2s-1）个运动积分，每个运动积分与一个广义坐标相对应。因此从理论上讲总可以使广义坐标都变为循环坐标，这样正则方程的求解将非常的简单。
四：例题（从略）
五：本节重点：正则变换的条件（5.9）式和正则变换的意义。
§8.6 泊松括号
当我们选定q p ,为正则变量来描述一个力学体系的运动时，任何一个力学量f 均可写成),,(t q p f 。
那么如何才能判定f 是否为运动积分或守恒量哪？如果直接将q p ,代入f 来判定就必须先求出)(),(t q t p ，这显然必须将运动微分方程解出后才可能完成。现在我们提出一种新的方法，可以通过f 与H 的关系来判定f 是否为守恒量。 一：泊松括号及其性质 1. 泊松括号。
由),,(t q p f 求dt
df
可得)(αααααp p f q q f t f dt df s
??+??+??=∑，利用ααααq H p p H q ??-=??= ,可得
)(αααααp f q H q f p H t f dt df s ????-????+??=∑，如果令)(],[ααα
ααp f q H q f p H f H s
????-????=∑， 则上式可进一步简化为：
],[f H t
f
dt df +??= （6.4） ],[f H 被称为泊松括号，它代表f 与H 做的某种运算。
2.函数),,(t q p f 的守恒条件。
由（6.4）式可知，如果f 为运动积分即
0=dt df ，则必有：0],[=+??f H t
f
（6.5） 所以（6.5）式可以做为检验f 是否为守恒量的判据。特别是f 中不显含时间t 即0=??t f
时，
f 的守恒条件简化为：0],[=f H （6.6） 例如当H f =时，因0)(
],[],[=????-????==∑α
ααααp H
q H q H p H H H f H s
，所以必有C H =。（6.5）、
（6.6）式为我们判定一个力学量是否为运动积分或守恒量提供了一种简单有效的方法，这就是泊松括号的应用之一。 例1（从略） 3.泊松括号的性质
首先我们将泊松括号的定义推广为：对于任意力学量),,(t q p f 和),,(t q p g ，做如下定义
)(],[αααααp g q f q g p f g f s
????-????=∑。当然也可以定义)(],[α
ααααp f
q g q g p g g f s
????-????=∑，这与第一
种定义只差一个负号，只要在计算过程中不变更定义就不会出错。
根据泊松括号的定义并考虑到???===??01αββα
δq q
βαβα≠=，αββαδ=??p p ，0=??βαp q ，可得到泊松括号的一些主要性质如下。
（1）],[],[f g g f = （2）0],[=c f （3）],[],[],[2121g f g f g f f +=+ （4）],[],[],[122121g f f g f f g f f += （5）],[],[],[t
g
f g t f g f t ??+??=?? （6.13）
（6）α
αq f q f ??=
],[，ααp f
p f ??-=],[ （7）0],[=βαp p ，0],[=βαq q ，αββαδ=],[q p
以上性质可由泊松括号的定义直接推导出，下面还有一些性质需要做一些说明或证明。 （8）雅可比恒等式：设h g f ,,为用正则变量表示的三个力学量，那么可证明
0]],[,[]],[,[]],[,[=++g f h f h g h g f （6.17）
（9）泊松括号在正则变换下保持不变，即Q P q p g f g f ,,],[],[=
],[g f 本身是经过f ，g 某种运算后得到的关于q p ,的函数，而这个函数可以在正则变换后
保持形式不变，并不是所有函数都具有此性质。例如H 在正则变换后为t
F H H ??+=*。
二：泊松定理及其意义
1.泊松定理：如果g f ,为运动积分，则可以证明],[g f 也为运动积分。
证明：由
]],[,[],[],[g f H g f t
g f dt d +??
=，利用（6.13）及（6.17）雅可比恒等式可得 ]],,[[]],[,[],[],[]],[,[]],[,[],[],[],[g f H g H f t g
f g t f f H g H g f t g f g t f g f dt d ++??+??=--??+??= ],[],[])],[(,[]]),,[[(],[dt
dg f g dt df g H t g f g f H t f g f dt d +=+??++??=? 显然若g f ,为运动积分，则有0==dt
dg dt df ，所以必有0],[],[],[=+=?dt dg
f g dt df g f dt d ，即
],[g f 也为运动积分。
2.例题：例2（从略）
3.泊松定理的意义：该定理为我们提供了一条寻找运动积分的新途径，即可由两个运动积分求出第三个运动积分。但需说明应用泊松定理有时并不能得到新的运动积分，因为运动积分的个数只有2s-1个，而应用泊松定理似乎可以求出无穷个运动积分。在许多情况下得到的结果可能只是几个运动积分的线性组合或恒等式。
三：本节重点：掌握泊松括号的定义和基本性质，掌握泊松定理。
本章习题：8.2、8.3、8.6、8.7、8.8、8.10。
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下：I.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.我们把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.II.我们研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.III.基于根树和B-级数理论,我们给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,我们把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.我们证明了,新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.我们利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.IV.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,我们研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,我们用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.我们用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF 方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,我们在空间用Galerkin
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
对“从拉格朗日力学到哈密顿力学”的研究 ----2010应用物理学专业 ----王兵 本文从达朗贝尔原理出发，导出拉格朗日方程，进而得到哈密顿力学,最后再讨论两者之间的统一性，共包含三大部分。 一 拉格朗日力学体系的形成 已知达朗贝尔公式： 0)(1 =?-∑=i i i n i i r m F r δ （1） 仔细观察我们发现达朗贝尔公式存在如下不足： 1.对于一个力学系统共含有n 个部分，单是对矢径r 共需要至少考虑3n 次，由此可见此法考虑的相关量较多，实际问题中比较复杂。 2.始终存在矢量，因此在处理过程中也会增加复杂程度。 针对以上问题，我们提出一种新的思路或方法： 1.能将n 个整体量的研究转化为对另外s 个部分量(广义坐标)的研究, 从而使问题简化。但是对这n 个量的研究意义等价于对这s 个部分量(广义坐标)的研究. 2.能实现将矢量的研究转化为对标量的研究。 基于上面的分析讨论，我们将广义坐标引入,并对达朗贝尔公式做如下修正： 基本关系式：),,,,(21t q q q r r i i α??????= s ,,2,1??????=α由此得到： ααα δδq q r r s i i ∑=??= 1 （2） 首先我们将达朗贝尔公式作如下分解： 0)(1 1 1 =?-?=?-∑∑∑===i i n i i i n i i i i i n i i r r m r F r r m F δδδ 接下来将（2）式分别中的两部分分别研究：
第一部分： i n i i r F δ?∑=1 将（2）式代入有： ααααα ααα δδδδα q Q q q r F q F r F s i s n i i s q r n i i i n i i i ∑∑∑∑∑∑====??===????=?=?1111 1 1 )()( （3） 式中：α αq r F Q i n i i ??? = ∑-1，由于其具有力的量纲，所以称其为广义力。 第二步分： i i n i i r r m δ?∑= 1 首先将（2）式代入： ααααααδδq q r r m q q r r m i i s n i i s i i n i i ????=???∑∑∑∑====)()(1111 （4） 式中存在两阶全导数，而且还有矢量，而且还有质量。因此我们尝试将其转化为动能，因此首先想到将其降阶处理，所以尝试用分部求导法，并将括号内的部分提取出来单独研究： )(d d )(d d 111αααq r t r m q r r t m q r r m i i n i i i i n i i i i n i i ???-???=???∑∑∑=== （5） 观察发现上式两部分中均含有i r ，为了能将其放入到偏导符号内部，我们需要将偏导符号内部的i r 转化为i r ，所以我们尝试做如下分析： 假设有22y x r i += （1）由上式可直接得到： x x r i 2=??，x x r i ?=2 再有： x x r i 2=?? 结果我们发现如下关系式： x r x r i i ??=?? 因此，我们猜测： ββq r q r i i ??=?? （6） （2）已知 x x r i 2=??，x x r i ?=2 则： x x r t i 2)(d d =??
1 引言 Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论又成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用Hamilton原理推导出了Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.
2 预备知识 2.1 状态空间的基本概念 1）状态 任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在0t 时刻的状态是0t 时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在0t t ≥时的行为. 2）状态变量 状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组. 3）状态向量 设系统有n 个状态变量，用()()()12,, ,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量 ()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为 ()()()()12,, ,T n x t x t x t x t =????. 4）状态空间 以状态变量()()()12,,,n x t x t x t 为轴的n 维实向量空间称为状态空间. 5）状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为： ()()(),,x t f x t u t t =???? 其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量. 6）输出方程 描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一
对数哈密顿方法及其应用 天体力学数值方法作为天体力学的重要领域之一在辛算法的提出后得到长足发展,辛算法保持哈密顿系统辛结构且计算过程中系统没有能量和角动量的长期误差累积。辛算法适用于哈密顿系统的长期定性演化研究同时也具有数值精度不高、显辛算法要求固定步长的不足。 通常积分计算天体紧密交汇问题或大偏心率轨道运动都需缩短步长来克服天体受引力过大而剧增的加速度,直接变步长将丢失辛算法保持辛结构的优势,考虑时间变换的思路,原时间变量取变步长而新的时间变量仍为固定步长,则既能调节步长又能保持辛算法固有优势。本文的主要内容为构造针对不同哈密顿系统的对数哈密顿算法及论证其在具有更高的数值精度和保证获得有效的混沌判别结果方面的优势。 针对不同的哈密顿系统结构构造不同形式的时间变换辛算法。对于可分解为分别只含状态量广义动量和广义坐标的动能部分和势能部分的哈密顿函数,可构造取时间变换函数为形式不同但等价的两个函数得到显式对数哈密顿方法,其中时间变换作用于哈密顿函数,本文构造了由三个二阶蛙跳算子构成的显式对数哈密顿Yoshida四阶方法。 对于动能部分具有广义动量和广义坐标的交叉项而势能部分仅含位置变量的系统构造显隐式混合对数哈密顿方法,对于动能部分应用隐式中点法。而对于更一般的系统则构造隐式对数哈密顿方法。 隐式方法具有更广泛的应用但也由于算法构造中包括迭代需耗费更多的计算机时间降低计算效率。本文详细论证了显式对数哈密顿方法在应用于牛顿圆型限制性三体问题及相对论圆型限制性三体问题时较于非时间变换辛算法更具数
值精度优势。 且在前一系统的精度优势独立于轨道偏心率的变化。对于后一系统这一现象未能发生但数值精度也明显优越于常规辛算法。 特别对于高偏心率轨道,非时间变换算法得到的虚假的混沌判别指标,如Lyapunov指标和快速Lyapunov指数(FLI)。而通过对数哈密顿方法则可获得可靠地定性分析结果,彻底地解决后牛顿圆型限制性三体问题的高偏心率轨道Lyapunov指数的过度估计和FLI快速增大的问题。 在得到论证后本文应用对数哈密顿方法讨论了动力学参数两主天体间距离的变化对动力学系统有序和混沌转化的影响。本文通过数值模拟验证了对数哈密顿方法具有更高的数值精度及可得到可靠的定性研究成果的优势。 适用于定性研究和定量计算高偏心率问题,为天体力学研究开拓了新思路。在实际的天体紧密交汇处的动力学演化提供反映动力学实质的积分工具。
第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程 组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数
耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用经典力学中所研究大部分系统不是保守系统,所以很难将这类系统表示为经典的哈密顿力学形式(偶数维)以及与此等效的拉格朗日力学形形式或最小作用量变分原理形式。由于这几种数学形式是数值计算方法中辛几何算法的的基础和现代物理学的基础,所以极大地限制了辛几何算法在耗散系统的数值模拟领域的应用以及耗散系统的量子化等理论物理领域中的应用。 耗散动力学系统长时间跟踪问题是当前非线性力学研究领域的难点之一。对于低维耗散动力学系统,可以用各种半解析方法(小参数法,摄动法)求解。 即便如此,对于长时间跟踪,也存在所谓久期项问题(由方法本身的误差累积导致)。对于高维耗散动力系统,直接应用解析方法显然是十分困难的。 因此多采用数值方法求解该类问题。但是不同的数值方法求解的结果可能会有较大偏差,甚至相差甚远,而且大部分问题是缺乏判断其算法偏差量的参考标准的。 所以为这类问题挑选或者创立公认可行的数值积分方法,成为一个问题。我国著名学者冯康先生提出并研究了在保守系统领域的这类问题,给出了辛几何算法的思想并系统的表述构造辛差分格式的一般方法,指出了原有差分格式中的适于长时间跟踪的格式。 钟万勰先生发展了这种思想,进一步提出了时间有限元和精细积分的的思想,并对耗散动力学系统引入辛算法作了尝试。本文的最初的目的是在转子稳定性分析等耗散动力学问题中使用辛数值积分方法(或者说利用辛几何算法的思想找到合适的算法)。 为达到此目的研究了耗散系统和保守系统的一种特殊关系,在此基础上用相
应的保守系统的数值解替代原耗散系统,即将辛数值方法应用求解相应的保守系统来得到所要研究系统的数值解。在这种关系的基础上,借鉴流体力学的广义哈密顿方程和最小作用量变分原理,将耗散系统表示成一种无穷维广义哈密顿系统,相应地带来一种新型的最小作用量变分原理。 可以将冯康文献中广义哈密顿系统辛算法的思想应用于求解这个特殊的无穷维哈密顿系统。上述最小作用量变分原理,可以和路径积分量子力学形式结合,应用于量子力学领域。 以上工作的主要创新点可以归纳如下：1.发现了耗散力学系统和某一保守力学系统相曲线重合原理：对于一个耗散力学系统和它一个初始条件,对应于不同时间区段一定存在一族保守力学系统,这族保守力学系统和耗散力学系统有且仅有一条共同的相曲线；这族保守系统的哈密顿量就是前述耗散力学系统的总能。对于非保守的振动问题来说,这个保守系统就是一个非线性保守力学系统,其中的保守力在某一初始条件下和非保守振子系统的阻尼力和恢复力之和相等,那么其在相空间运动轨迹必然相同。 在此基础上,引入了无穷维广义哈密顿格式来表示耗散力学系统,在其中定义了一个新的哈密顿量,并且引入了新的泊松括号,这个格式类似于表示等离子问题和理想流体的广义哈密顿格式。在这里把耗散力学系统看作是相空间内一种特殊流体(内部无压力),初始条件看作是物质坐标,上述轨迹重合的保守力学系统的哈密顿量看作是哈密顿量密度。 对应于经典的哈密顿变分原理,这个广义哈密顿格式等效于一个新的变分原理。在这个变分原理中作用量为相空间的某一区域中所有微元的作用量之和。 2.从创新点1出发本文研究了有阻尼振动问题的中心差分格式,发现中心差
§7-4 哈密顿原理 人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律. 牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架. 哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架. 哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义. 一、变分法简介 1. 函数的变分. 自变量为x 的函数表示为)(x y y =. 函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化. 函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起
的. 这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ. 与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下: )()0,(),(* x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()x x y x y y εηε=?=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动. q t d d →函数的微分. 在曲线I 附近, 存在 着许多相邻曲线, 这些曲 线都满足力学系统的约束 条件, 称为可能运动曲线, 它们的方程表示为 ()()()t t q t q εηε+=0,,* 在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ, ()()()t t q t q q εηεδ=?=0,,*
１ 哈哈密密顿顿原原理理作作业业 1.如图示，质量为m 的复摆绕通过某点O 的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为0I ，质心C 到悬点O 的距离为 ，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振 动周期。 1.解:取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为： θ+θ=-=cos mg I 21 V T L 2 0 其中取悬点O 为零势能点。 于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ?可得：0dt cos mg I 2 121t t 20=??? ??θ+θδ? 即：()0dt sin mg I 2 1t t 0=θδθ-θδθ ? 而δθθ-δθθ=δθθ=θδθ 0 000I )I (dt d )(dt d I I 则：()0dt sin mg I )I (dt d dt sin mg I 212 1t t 00t t 0=??? ??θδθ-δθθ-δθθ=θδθ-θδθ ?? 即：()0dt sin mg I I 212 1t t 0t t 0=δθθ+θ-δθθ ? 而0I 21t t 0=δθθ ，δθ取任意值 所以：0sin mg I 0=θ+θ 即：0sin I mg 0=θ+θ 而θ≈θsin ，则:0I mg 0 =θ+θ ，此即为所求的运动方程。 其中角频率0I /mg =ω 所以振动周期)mg /(I 2/2T 0 π=ωπ=。 2.试用哈密顿原理求质量为m 的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。 2.解:取x,y,z 为广义坐标，则： 体系的动能)z y x (m 2 1 T 222 ++= 势能mgz V =（以地面为零势能点） 拉氏函数mgz )z y x (m 21 V T L 222-++=-=
约束Hamilton 系统的稳定性研究 郑明亮1) 傅景礼 2) 1)(浙江理工大学 机械设计与控制学院 杭州 310018） 2)(浙江理工大学 理学院 杭州 310018） 摘要：本文给出了一种约束Hamilton 系统的稳定性判断方法。首先，提出将因系统奇异性导致的内在限制方程看作是非完整约束方程，采用Routh 方法导出了约束Hamilton 系统的运动正则方程。其次，将约束Hamilton 系统转化成力学梯度系统，给出转化微分方程表示的条件和表达形式；接着，根据梯度系统的性质结合李雅普诺夫的一次近似理论直接来判定约束Hamilton 系统的平衡位置稳定性。最后，举例说明结果的应用。 关键词：约束Hamilton 系统；梯度系统；李雅普诺夫；稳定性 PACS:45.10.Hj,02.30.Hq 1引言 力学系统的运动稳定性在数学、力学、航空、航海、航天、新技术和高技术中得到广泛应用，发挥了越来越大的作用[1]。关于稳定性的问题Lyapunov 首先给出了稳定性的严格数学定义，并提出一种研究运动稳定性的直接方法。Bottema [2]研究了在·ГAO Ⅱ?意义下，各种力学系统平衡位置的稳定性判断方法。Risito [3]和 Laloy [4]总结了保守系统和耗散系统的平衡和运动稳定性，得到线性、齐次、定常非完整系统平衡位置稳定与不稳定的一些更特殊的结果。我国著名力学专家梅凤翔[5]系统地论述了约束力学系统的运动稳定性问题。朱海平 [6]研究了非完整系统的稳定性。傅景礼等[7-8]研究了相对论性和转动相对论性Birkhoff 系统的平衡稳定性。Zhang [9]利用Noether 守恒量构造了Lyapunov 函数，研究了广义Birkhoff 系统的运动稳定性。姜文安等[10]研究了广义Hamilton 系统的运动稳定性。Cheng [11]研究了系统参数对带附加广义力项的约束力学系统运动稳定性的影响。 在Legendre 变换下，奇异Lagrange 系统在过渡到相空间用Hamilton 正则变量描述时,其正则变量之间存在固有约束，称之为约束Hamilton 系统[12]。机械工程和数学物理上许多重要的动力系统是约束Hamilton 系统，如非树形多体机器人系统动力学模型一般为微分/代数方程组形式[13]、光的横移现象和量子电动力学[14]等。但是，关于约束Hamilton 系统的稳定性研究一直鲜有报道。如果一个力学系统能够成为梯度系统，那么就可用梯度系统的特性来研究力学系统的性质, 特别是运动稳定性质[15]。本文研究仅含第二类约束的约束Hamilton 系统的稳定性，将其转化成梯度系统，直接利用Lyapunov 定理来研究其平衡稳定性。 2约束Hamilton 系统的正则方程 设力学系统的位形由n 个广义坐标),...,1(n s q s =来确定，系统的Lagrange 函数为 ),,(q q t L ，广义动量为),...,1(n s q L p s s =??= ，设L 的Hess 矩阵?? ???????k s q q L 2的秩为n r <。 引入系统的Hamilton 函数为),(1q p,t L q p H n i i i -=∑= ，将奇异Lagrange 系统描述过渡到Hamilton 系统描述时，在相空间中正则变量之间存在代数约束方程： ),...,1(,0),(r n j t j -==Φq p, (1)
1哈密顿原理
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
第八章 经典力学的哈密顿理论 教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。 教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。 教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。 §8.1 正则共轭坐标 坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。 一：坐标的发展历史. 1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用 z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变， 用k j i ,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。 2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变 矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v ,等物理量。从直角坐标到极坐 标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。 下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中， 真实运动的主函数具有 稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时） ；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数 L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量 ),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，i q dt dq i /是广义速 度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上 运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有 ,两 个，其中cos sin R x ，cos ,sin sin R z b R y ；一 般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐 标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势 能之差；U T L 哈密顿量H
简单的论述哈密顿原理 摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。 关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程 1.引言 哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间至 之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为 什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。 2.理论 2.1变分运算与积分运算次序的可交换性 假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称 为函数的泛函，记作［］。泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即
显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发生变化，则曲线的形状随 之变化，曲线的长度也随之变化。长度就是的 泛函。 下面证明变分运算与积分运算顺序的可交 换性，该泛函只依赖一个函数，即 自变量为的函数表示为。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由自变量的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。与函数临近但形 式与不同的函数有许多。 假设这些函数可以表示为如下的形式： 其中是非常小的参数，是任意给定的可微函数，因时，函 数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成 引入（2）式的记法（1）可记为 被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数 的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分，记作。现将被积函数
哈密顿系统中混沌的几何判据 【摘要】：用几何方法研究哈密顿系统的混沌是近二十年来出现的新领域。本论文研究了几类典型的哈密顿系统,并给出了一系列哈密顿系统混沌的几何判据,揭示了哈密顿系统内在的几何性质与其混沌行为的本质联系。第二章我们推广了L.Horwitz等人在2007年提出的判断混沌的几何方法,使得该方法不仅适用于标准哈密顿系统,还适用于势能与动量弱耦合的情况。提出了平均不稳定比(MUR)的概念,并对Dicke模型的经典系统做了计算。推广的方法MUR不仅和Poincare 截面方法的结果吻合得很好,而且在数值稳定性上优于人们熟知的最大李雅普诺夫指数方法。第三章主要研究了二维哈密顿系统势能面、等势线与混沌之间的关系。我们发现势能面的凹陷区域是稳定区域,凸起区域和既不凸也不凹的区域都是不稳定的。另外还证明了如果系统的等势线有凹向平衡点的部分,系统将是不稳定的。以此为依据我们提出了判断二维哈密顿系统混沌的平均凸指标(MCI)和凹比率(CR)。我们对典型的混沌模型进行数值计算后,发现MCI、CR和Poincare截面、L.Horwitz等人的新几何方法的数值结果完全一致。MCI和CR直观简洁,为混沌的几何研究方法提供了新观点和新内容。第四章研究了Dicke模型中混沌与几何相位之间的联系。当光场和原子的耦合强度增大至临界点时,Dicke系统的能级间距概率分布从泊松分布变为Wigner分布,而Wigner分布被视为量子混沌的标志,这说明Dicke量子系统在临界点开始出现量子混沌；与Dicke量子系统对
应的经典系统在临界点也从规则运动变为混沌运动。在临界点处Dicke量子系统基态的几何相位即Berry相位也发生了剧烈的变化。我们引入了几何相位阶数的概念,Dicke系统几何相位的阶数在临界点从有限值跃变为∞。我们把Dicke量子系统基态几何相位阶数的跃变作为量子混沌出现的标志。【关键词】：哈密顿系统混沌量子混沌几何方法几何相位 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2011 【分类号】：O415.5 【目录】：中文摘要8-10ABSTRACT10-12第一章绪论12-341.1混沌研究简史12-141.2混沌的基本特征14-171.3哈密顿系统中的混沌17-241.3.1哈密顿力学17-201.3.2KAM定理20-241.4混沌研究的常用方法24-31参考文献31-34第二章混沌研究的几何方法34-502.1混沌研究的几何方法34-372.2混沌的新几何判断方法37-422.3推广的新几何判断方法42-462.4小结46-47参考文献47-50第三章二维哈密顿系统中的势能面、等势线与混沌50-683.1二维哈密顿系统的不稳定判据50-523.2二维哈密顿系统中的势能面与混沌52-573.3二维哈密顿系统中的等势线与混沌57-653.4小结65-66参考文献66-68第四章混
哈密顿原理 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性
1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i q dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x = ， θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义 坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差； U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和 ),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ） 其中 )(/i i q L p ??=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成v p m =。作用量I 定义为 ?=2 1 t t Ldt I 其中，积分上下限是质点初末态I q 、F q 对应的时间。 2.哈密顿原理及轨道稳定性
随机哈密顿系统的变分积分子与生成函数 哈密顿系统具有辛结构，冯康院士等提出了保持这种结构的辛几何算法。变分积分子和生成函数是两种系统性构造辛算法的方法，前者基于确定性系统的作用积分和欧拉-拉格朗日方程，以及一个辛映射的等价形式，后者基于此等价形式和一系列等价的坐标变换，以及哈密顿-雅可比偏微分方程及其近似解。 对于随机系统，Milstein等根据辛结构的保持提出随机哈密顿系统的定义，并给出一些随机辛方法。这些方法主要是将确定性系统的辛方法进行适当调整，使之符合随机系统数值方法相容性及可实现性的要求。相对于确定性系统，随机辛算法的研究尚处于起步阶段，特别是对随机变分积分子和生成函数的探讨在文献中还未见到。 受非保守系哈密顿及拉格朗日方程形式的启发，我们从假定白噪声为影响系统的非保守力出发，构造出随机哈密顿系统的拉格朗日方程和作用积分，证明了随机哈密顿原理，在此基础上，并基于一个随机辛方法的等价形式，提出了随机变分积分子理论。经等价坐标变换，找到三种类型的随机生成函数，并推导了随机哈密顿-雅可比偏微分方程，找到了一种近似求解随机哈密顿-雅可比偏微分方程的方法，从而使利用随机生成函数构造随机辛算法成为可能，并且可以在理论上控制算法的收敛阶。对文献中一些已有的辛算法，我们给出了其生成函数，并将带可加噪声哈密顿系统的随机辛Runge-Kutta方法扩展为应用于一般随机哈密顿系统的辛Runge-Kutta方法，给出了它的三种类型的生成函数。理论分析及数值实验表明，随机变分积分子及生成函数是系统性构造随机辛格式的有效方法，这些构造出的辛格式具有长时间保持随机系统原有结构的优越特性。 关键词:随机哈密顿系统，辛结构，变分积分子，生成函数
由哈密顿原理推导拉格朗日方程 谭建 222010315210236 2010级4班 一、问题重述 试由210t t Ldt δ=?推导()0d L L dt q q αα ???-=?? 二、问题分析及 由于是等时变分，有()d q q dt δδ?= ，和 22 11()0t t t t Ldt L dt δδ==?? (1) 现在来秋L δ。L 是q , q ? , t 的函数，又由于是等时变分，所以有 L L L q q q q δδδ????=+??……………………..（2） ()()()L L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ?????????==?-????……………….（3） 将（3）代入（2）得 ()()d L d L L L q q q dt dt q q q δδδδ?????=?-+???…………………………（4） 将（4）代入（1）得 2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt q q q δδδ??????+-+=????…………………………….（5） 在12,t t 处0q δ=，所以（5）变为 2 1(())0t t d L L q q dt dt q q δδ???-=???………………………………（6）即 2 1[(())]0t t d L L q dt dt q q δ???-+=???……………………………………（7） q 是独立变量，所以有 ()0d L L dt q q ???-+=??即 ()0d L L dt q q ???-=??此式即为拉格朗日方程
48 第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2 k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数