对“从拉格朗日力学到哈密顿力学”的研究
----2010应用物理学专业
----王兵
本文从达朗贝尔原理出发，导出拉格朗日方程，进而得到哈密顿力学,最后再讨论两者之间的统一性，共包含三大部分。 一 拉格朗日力学体系的形成
已知达朗贝尔公式：
0)(1
=?-∑=i
i
i n
i i
r m F r δ
（1） 仔细观察我们发现达朗贝尔公式存在如下不足：
1.对于一个力学系统共含有n 个部分，单是对矢径r 共需要至少考虑3n 次，由此可见此法考虑的相关量较多，实际问题中比较复杂。
2.始终存在矢量，因此在处理过程中也会增加复杂程度。
针对以上问题，我们提出一种新的思路或方法：
1.能将n 个整体量的研究转化为对另外s 个部分量(广义坐标)的研究, 从而使问题简化。但是对这n 个量的研究意义等价于对这s 个部分量(广义坐标)的研究.
2.能实现将矢量的研究转化为对标量的研究。
基于上面的分析讨论，我们将广义坐标引入,并对达朗贝尔公式做如下修正： 基本关系式：),,,,(21t q q q r r i i α??????= s ,,2,1??????=α由此得到： ααα
δδq q r r s
i
i ∑=??=
1 （2） 首先我们将达朗贝尔公式作如下分解：
0)(1
1
1
=?-?=?-∑∑∑===i
i
n
i i i
n i i
i
i
i n i i
r r m r F r r m F δδδ
接下来将（2）式分别中的两部分分别研究：
第一部分：
i
n
i i
r F δ?∑=1
将（2）式代入有：
ααααα
ααα
δδδδα
q Q q q r F q F r F s
i
s n
i i s
q r n i i
i
n i i
i
∑∑∑∑∑∑====??===????=?=?1111
1
1
)()( （3）
式中：α
αq r F Q i
n
i i ???
=
∑-1，由于其具有力的量纲，所以称其为广义力。 第二步分：
i
i
n
i i r r m δ?∑=
1
首先将（2）式代入：
ααααααδδq q r r m q q r r m i
i
s n i i s
i i n
i i ????=???∑∑∑∑====)()(1111 （4） 式中存在两阶全导数，而且还有矢量，而且还有质量。因此我们尝试将其转化为动能，因此首先想到将其降阶处理，所以尝试用分部求导法，并将括号内的部分提取出来单独研究：
)(d d )(d d 111αααq r t r m q r r t m q r r m i i
n
i i i i n i i i i n
i i ???-???=???∑∑∑=== （5） 观察发现上式两部分中均含有i r
，为了能将其放入到偏导符号内部，我们需要将偏导符号内部的i r 转化为i r
，所以我们尝试做如下分析： 假设有22y x r i
+=
（1）由上式可直接得到：
x x
r i
2=??，x x r
i ?=2 再有：
x x
r
i 2=?? 结果我们发现如下关系式： x r x
r
i i ??=??
因此，我们猜测：
ββq r
q
r i i ??=?? （6）
（2）已知
x x r i
2=??，x x r
i ?=2 则：
x x
r t i
2)(d d =??
再有：
x x
r
i 2=?? 我们仍可以发现：
x
r
x r t i i ??=?? )(d d
同样给出猜测：
β
βq r
q r t i i ??=?? )(d d （7）
接下来，我们分别给出（6）和（7）式的证明：
证：我们已知ααα
q
q r t r r s
i i i ∑=??+??=1 首先将上式代入（6）式得：
αβααααααββq r
q
q q r q q r t r q q r i
s
i s i i i ??=????=??+????=??∑∑== 11)( 证毕
再将其代入（7）式得：
)(d d )()()(11βαβ
ααβαεαββq r
t q
q r q q r t q q r t r q q r i i s i s i i i ??=????+????=??+????=??∑∑== 证毕 现在我们将（6），（7）两式均代入（5）式得：
αααααααααq T
q T t q r m q r m t q r
r m q r r t m q r t r m q r r t m q r r m n
i i i n
i i i i i
n
i i i i n i i i i n i i i i n i i i i n
i i ??-
??=??-??=
???-???=???-???=???∑∑∑∑∑∑∑=======d d )())((d d )(d d )(d d )(d d 1
2
2
1122
111111
式中；2
2
1i i r m T =
，为广义动能。 将上式代入（4）式后，再与（3）式一起代入：
0)(1
1
1
=?-?=?-∑∑∑===i
i
n
i i i
n i i
i
i
i n i i
r r m r F r r m F δδδ
得：
0)d d (1
=???+??-
∑=s
q q T
q
T t Q αααααδ 又由于αδq 通常不为零,所以括号内部应等于零:
αααQ q T
q
T t =??-?? d d ),,2,1(s ??????=α （8）
通常将这一方程组称之为完整系统下的拉格朗日方程。 基于拉格朗日方程，我们考虑主动力全是保守力的情况：
首先我们知道当主动力全是保守力时，存在势能函数),,,,(21t r r r V n ???，使得：V F i i -?= 由广义力的基本关系式得：
α
α
ααααααααq V q z z V q y y V q x x V k q z j q y i q x k z V j y V i x V q r
V q r F Q i i i i i i n
i i i i i i n
i i
n
i i
i i n
i i ??-
=????+????+????-=??+??+????+??+??-=????-=???=∑∑∑∑====)
(
)
)((1
11
1
将上式代入拉格朗日方程可以得到：
0)
(d d =?-?-??α
αq V T q T t ),,2,1(s ??????=α 而势能通常只是广义坐标的函数而与广义速度无关，所以上式又可以改写为：
0)
()(d d =?-?-?-?α
αq V T q V T t ),,2,1(s ??????=α 将上式括号中的部分定义为拉格朗日函数，则：
V T L -=
这样我们就可以得到完整系统下，主动力全是保守力的拉格朗日方程：
0d d =??-??ααq L q
L t ),,2,1(s ??????=α （9） 这里通常将
αq L ??定义为广义动量，记作：ααq L p ??=，而α
q L
??称之为拉格朗日力。 针对（9）式，我们做如下讨论：
1.如果拉格朗日函数不显含广义坐标，即
0=??α
q L
则有：
0d d =??αq
L
t
即：
C q
L
p =??=
αα （常数） 所以就有广义动量守恒。
2.将拉格朗日函数对时间求全导数得：
t
q
q L q
q L t L t L s
s d d d d 11αααααα ∑∑==??+??+??= 在主动力全是保守力的情况下，利用拉格朗日函数
0d d =??-??ααq L q
L t 得到： )(d d d d )(d d d d 111∑∑∑===??+??=??+??+??=s s
s q q L t t L t q
q
L q q L t t L t L ααααααααα 将广义动量带入可得：
t
L
L q
p t s ??-=-∑=)(d d 1ααα 定义广义能量函数：
L q
p H s
-=∑=ααα 1
这样就可以得到：
t
L
t H ??-=d d 如果拉格朗日函数不显含时间，则：
0=??t
L
那么就可以得到广义能量积分：
=H 常数
为了弄清楚广义能量函数的意义，接下来作如下讨论：
首先，我们先证明齐次函数的欧拉定理：
mf x x f
i n
i i
=??∑=1 已知f 是m 次齐次多项式。
证：因为
f 是m 次齐次多项式，所以f
可以表示为
k l k n
i m i i x f )
(1
1
∑∏===，且
m m
n
i i
=∑=1
m f
m f f m x x f f m x m x x f x m x f n
i i n i i n
i i i
i k l k n i m i i i i k
l
k n i m i i i i i ===??∴==??∴=??∴∑∑∑∑∏∑∏=======-1111111
1)()()( 证毕
接下来我们考虑广义能量函数,首先假设势能与广义速度无关，此时我们可以用t
L
??代替
t
H
??. 如果变换式)(q r r i i =不显含时间，则：
ααα
q q r r
s
i
i ∑=??=1 于是;
βαβαβαβββ
αααq q
q r
q r m q q r q r
q m r r
m T i n i s s
i i s
i
i s
n i i i i i n
i ?????=????=?=∑∑∑∑∑∑∑=======11111
112
12121
这是广义坐标的二次齐次多项式，依据齐次函数的欧拉定理可以得到：
T q T
s
21=??∑=αα
由此，我们可以得到广义能量函数：
V T V T T L T H +=+-=-=22
如果约束是非定常的，用同样的方式也可得到相应的广义能量函数。
到此，拉格朗日力学的体系基本已经形成。最后，我再谈谈我个人对广义力，广义动量等的理解；
首先，对于这些广义量，它们都分别具有与相应量相同的量纲。而且其并不是表示一种量，而是一类量。比如广义动量就包含我们常见的角动量，通常的动量等等。
再者，我认为这些广义力并没有什么实在的物理意义，而是人们在用数学解决物理问题时产生的一种产物，仅仅是一种数学形式。
二 哈密顿力学体系的建立
首先，我们先思考这样一个问题:“为什么拉格朗日函数与哈密顿函数都是一个三元函数？”从哲学里我们知道：时空具有不可分割性，即时间和空间是辩证统一的！而物质存在于时空之中，但物质与时空也是辩证统一的。换句话说，空间总是充实的空间，绝不能和充实于其中的物质分离开，即不存在抽象的绝对空间。因此，物质存在必然也具有时空特性，这是物质存在的基本属性之一。然而事物存在并不是孤立的，其必然存在着和其他事物的相互作用。即在物理学中，我们除了研究物质的时空特性之外，还要考虑其与其他物质的相互作用。（在此我们以力学系统为例，即要考虑物体之间的机械相互作用）所以我们在研究力学系统的时候必须以这两大性质或量去描述力学系统。换句话说用于描述物体运动状态的函数必须是二元函数。但由于在通常情况下我们不将时间和空间看成是统一的，所以在研究时将时间与空间分开。因此直接导致了拉格朗如函数和哈密顿函数是三元函数。
在上面的讨论中，我们已经知道：在研究力学系统时，除了时空特性，还要考虑机械相互作用。可以发现在拉格朗日函数和哈密顿函数中分别用速度和动量来描述机械相互作用。那么，速度和动量到底那个更适合描述力学系统的机械相互作用呢？我们首先需要清楚一点：机械运动（或机械相互作用）传递的不是速度，而是物体的动量。对于给定的物体（质量不变），如果其运动的速度不同，则其机械运动的传递本领也不相同；对于不同质量的物体，即使其运动的速度相同，则其机械运动的传递本领也不相同。所以物体机械运动的传递本领不是用速度来表示，而是用动量来描述。所以哈密顿函数比拉格朗日函数更具有一般性。
基于上述讨论，接下来我们的目标是希望将对广义坐标与广义速度的研究转化为对广义坐标与广义动量的研究：
首先，我们可以将拉格朗日函数
0d d =??-??ααq L
q
L t 改写为： ),,2,1(s q L p q L p ??????=???
???
?
??=??=αααα
α 这样就转化为2s 个一阶偏微分方程，此即动力学基本方程。
为了能将拉格朗日函数改写为广义动量的函数，我们从上式的第二个微分方程解出广义速度。 得：
),,(t p q q q
ββ = 将其代入后，得到改写后的拉格朗日函数：
][t t p q q
q L t p q L ),,,(,),,( = 再次按照多元函数求偏导数规则，得：
),,2,1(11s p q q L p L q q
q L q L q L s s ??????=???
????????=
??????+??=??∑∑==αβαββαββββαα
再将动力学基本方程带入得：
),,2,1(11s p q p p L q q p p q L
s s ??????=?????????=????+=??∑∑==αβαββα
ββββαα
观察上式的两项累加项，发现：
αβββα
βαββ
ββββααββ
q q
p p p q p q p q q q p s
s
s
s -??
=????
=??∑∑∑∑====)()(11
11
这样，就可以得到：
),,2,1()()(1
1
s q L q p p p L q p q s
s
??????=???????=-??-=-??∑∑==ααβββαα
βββα 再将哈密顿函数L q p H s
-=
∑=αα
α 1
代入得： ),,2,1(s q p H p q H
??????=??????
?=??-=??ααα
α
α
此即哈密顿正则方程。
基于哈密顿正则方程，再作如下讨论：
1.如果哈密顿函数不含某个广义坐标βp ，则广义动量守恒：
=βp 常数
这就是哈密顿动力学中的广义动量积分。 2.首先对哈密顿函数求时间变化率：
∑∑==??+??+??=s s
t H
p
p H q q H t H 11d d αααα
αα 再将哈密顿正则方程代入得到：
t
H
t H
p q q p t H s s
??=
??++-=∑∑==11
)(d d αααααα 从上式可以看出；如果哈密顿函数不显含时间，则：
0d d =t
H
所以H 就是常熟，即H 守恒，这就是哈密顿力学中的广义能量积分。 此即哈密顿力学的基本体系。
三 拉格朗日力学与哈密顿力学的统一性
我们先考虑这样一个问题：“哈密顿力学是否对拉格朗日力学有依赖性？”在前面的推导中，我们发现似乎只有先得到拉格朗日力学体系之后，才能进而得到哈密顿力学相关体系。但我认为这种想法是不合适的，我认为两者的关系可以归结为“无差别的辩证统一”。即：表象两者存在差异，但内在本质并没有什么区别。但有人可能会有这样一种疑惑“前面在讨论中，我们曾说过两种体系中用来衡量机械相互作用的量‘动量’和‘速度’，动量更适合表征机械相互作用，为什么现在又说两者是无差别的辩证统一？”。在这里我们必须明白一点就是：无论是拉格朗日函数还是哈密顿函数，其用于描述物体运动的函数都只含有两种量（即时空特性与相互作用），在力学系统中，机械相互作用的传递才是我们要研究的。从数学意义上讲，我们只是采取了两种不同的“坐标”来表述而已。从另一个方面研究发现：拉格朗日函数中的广义速度本来就可以变换为广义动量。因此，两者在本质上是一样的，是可以相互转换的。但是由于用动量描述机械相互作用更具一般性，所以这也直接导致了哈密顿力学比拉格朗日力学更具一般性。因此，我认为哈密顿力学对拉格朗日力学并没有依赖性，而从拉格朗日力学推导到哈密顿力学只是我们认识事物的一种途径。
对于两种体系中产生的广义量，比如“广义力”，“广义动量”等。有必要再进一步研究
其意义。在理论力学书上曾有以力学系统的整体平动和转动为例分别对其解释：广义力和广义动量分别是力学系统的力和动量在相应方向上的分量。但我认为这样的解释并没有什么实在的物理意义。我们已经知道：对于每一个广义速度，有一个共轭的广义动量，定义为；在直角坐标系中，广义动量就是物理上的线性动量。在极坐标系中，对应角速度的广义动量物体的角动量。而对于有些广义坐标而言，可能不能找到共轭动量的直观解释。因此，我认为：这些广义量只是我们在使用数学工具解决物理问题时所演化成的产物，只是具有数学形式和相应量的量纲，并没有什么实在的物理意义。
最后，我们必须意识到：“从拉格朗日力学到哈密顿力学只是我们认识事物的一种途径，而且哈密顿力学对拉格朗日力学并没有依赖性”。而且我们有理由相信存在着另一种理论或方法，它可以直接得到哈密顿力学或拉格朗日力学……
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下：I.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.我们把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.II.我们研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.III.基于根树和B-级数理论,我们给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,我们把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.我们证明了,新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.我们利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.IV.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,我们研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,我们用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.我们用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF 方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,我们在空间用Galerkin
拉格朗日乘数法 对于给定二元函数(,)z f x y =和附加条件(,)0x y ?=，为寻找(,)z f x y =在附加条件下的最值，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λ?=+，其中λ为参数．然后分解为几个不同部分，同时利用不等式求最值，再利用等号成立条件求出参数λ的值回代即可．范例：已知ax by k +=，其中a ，b ，x ，y 均为正数，求 d e x y +最小值．步骤：构造拉格朗日函数()(0)d e L ax by k x y λλ=+++->， 则()()d e L ax by k k x y λλλλ=+++-， 当且仅当d ax x λ=，e by y λ=时即x y =L 取得最小值．例3已知11112 x y z ++=，其中x ，y ，z 均为正数，求222x y z ++得最小值．解答：解法一：1 2224() 2x y z x y z ++=++1114()()x y z x y z =++++4(3)x x y y z z y z x z x y =+ +++++4(3)x y x z y z y x z x z y =++++++4(3222)36+++=≥， 当且仅当6x y z ===时等号成立， 所以222x y z ++得最小值为36．解法二：1111222222()2 x y z x y z x y z λ++=+++++-(2(2)(2) 22x y z x y z λλλλλ =+++++-， 当且仅当6x y z ====时等号成立， 所以222x y z ++得最小值为36． 变式1已知正数a ，b 满足1a b +=，求证： 228127a b +≥．解答：解法一引入常数λ(0)λ>， 2222 81812(1)a b a b a b λ++++-=2281()()2a a b b a b λλλλλ=+++++-
对“从拉格朗日力学到哈密顿力学”的研究 ----2010应用物理学专业 ----王兵 本文从达朗贝尔原理出发，导出拉格朗日方程，进而得到哈密顿力学,最后再讨论两者之间的统一性，共包含三大部分。 一 拉格朗日力学体系的形成 已知达朗贝尔公式： 0)(1 =?-∑=i i i n i i r m F r δ （1） 仔细观察我们发现达朗贝尔公式存在如下不足： 1.对于一个力学系统共含有n 个部分，单是对矢径r 共需要至少考虑3n 次，由此可见此法考虑的相关量较多，实际问题中比较复杂。 2.始终存在矢量，因此在处理过程中也会增加复杂程度。 针对以上问题，我们提出一种新的思路或方法： 1.能将n 个整体量的研究转化为对另外s 个部分量(广义坐标)的研究, 从而使问题简化。但是对这n 个量的研究意义等价于对这s 个部分量(广义坐标)的研究. 2.能实现将矢量的研究转化为对标量的研究。 基于上面的分析讨论，我们将广义坐标引入,并对达朗贝尔公式做如下修正： 基本关系式：),,,,(21t q q q r r i i α??????= s ,,2,1??????=α由此得到： ααα δδq q r r s i i ∑=??= 1 （2） 首先我们将达朗贝尔公式作如下分解： 0)(1 1 1 =?-?=?-∑∑∑===i i n i i i n i i i i i n i i r r m r F r r m F δδδ 接下来将（2）式分别中的两部分分别研究：
第一部分： i n i i r F δ?∑=1 将（2）式代入有： ααααα ααα δδδδα q Q q q r F q F r F s i s n i i s q r n i i i n i i i ∑∑∑∑∑∑====??===????=?=?1111 1 1 )()( （3） 式中：α αq r F Q i n i i ??? = ∑-1，由于其具有力的量纲，所以称其为广义力。 第二步分： i i n i i r r m δ?∑= 1 首先将（2）式代入： ααααααδδq q r r m q q r r m i i s n i i s i i n i i ????=???∑∑∑∑====)()(1111 （4） 式中存在两阶全导数，而且还有矢量，而且还有质量。因此我们尝试将其转化为动能，因此首先想到将其降阶处理，所以尝试用分部求导法，并将括号内的部分提取出来单独研究： )(d d )(d d 111αααq r t r m q r r t m q r r m i i n i i i i n i i i i n i i ???-???=???∑∑∑=== （5） 观察发现上式两部分中均含有i r ，为了能将其放入到偏导符号内部，我们需要将偏导符号内部的i r 转化为i r ，所以我们尝试做如下分析： 假设有22y x r i += （1）由上式可直接得到： x x r i 2=??，x x r i ?=2 再有： x x r i 2=?? 结果我们发现如下关系式： x r x r i i ??=?? 因此，我们猜测： ββq r q r i i ??=?? （6） （2）已知 x x r i 2=??，x x r i ?=2 则： x x r t i 2)(d d =??
1 引言 Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论又成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用Hamilton原理推导出了Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.
2 预备知识 2.1 状态空间的基本概念 1）状态 任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在0t 时刻的状态是0t 时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在0t t ≥时的行为. 2）状态变量 状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组. 3）状态向量 设系统有n 个状态变量，用()()()12,, ,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量 ()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为 ()()()()12,, ,T n x t x t x t x t =????. 4）状态空间 以状态变量()()()12,,,n x t x t x t 为轴的n 维实向量空间称为状态空间. 5）状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为： ()()(),,x t f x t u t t =???? 其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量. 6）输出方程 描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一
一、 编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。 “拉格朗日乘子法约束最优化” 拉格朗日乘子法求约束最优化问题实例。采用拉格朗日乘子法如下最优化问题： )(),(min 212121x x x x x l +++=λλ。 在MA TLAB 中编写函数ex1208.m 来进行求解，具体代码如下所示。 %%%ex1208.m 拉格朗日乘子法求最优化解 x=zeros(1,2) %用syms 表示出转化后的无约束函数 syms x y lama f=x+y+lama*(x^2+y^2-2); %分别求函数关于x 、y 、lama 的偏导 dx=diff(f,x); dy=diff(f,y); dlama=diff(f,lama); %令偏导为零，求解x 、y xx=solve(dx,x); %将x 表示为lama 函数 yy=solve(dy,y); %将y 表示为lama 函数 ff=subs(dlama,{x,y},{xx,yy}); %代入dlama 得关于lama 的一元函数 lamao=solve(ff); %求解得lama0 xo=subs(xx,lama,lamao) %求得取极值处的x0 yo=subs(yy,lama,lamao) %取极值处的y0 fo=subs(f,{x,y,lama},{xo,yo,lamao}) %取极值处的函数值 程序运行结果为： xo= 1 -1 yo= 1 -1 fo= 2 -2 流程图：
二、编程解决以下科学计算和工程实际问题。、 1、利用MA TLAB提供的randn函数声称符合正态分布的10 5随机矩阵A, 进行如下操作： （1）A各列元素的均值和标准方差。 （2）A的最大元素和最小元素。 （3）求A每行元素的和以及全部元素之和。 （4）分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排序。 代码： clear all;close all; clc; A=randn(10,5); meanA=mean(A); %(1)A各列元素的均值 stdA=std(A); %(1)A各列元素的标准方差 maxA=max(max(A)); %(2)A的最大元素 minA=min(min(A)); %(2)A的最小元素 rowsumA=sum(A,2); %(3)A每行元素的和 sumA=sum(rowsumA); %(3)A全部元素的和 sort1=sort(A); %(4)A的每列元素按升序排列 sort2=sort(A,2,’descend’); %(4)A的每列元素按降序排列 运行结果：因生成矩阵随机，故无固定结果 流程图：
§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好 方法．可推荐给较好学生． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <==ΛΛ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f Λ 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x . 代入 ) ,() ,()(00000y x y x x g y x ??- =', 就有 0) ,() ,() ,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, ( 以下x f 、y f 、x ?、y ?均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ?—y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?) 线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f ,y f ) + λ(x ?,y ?)0=.亦即 ???=+=+. 0 , 0y y x x f f λ?λ? Lagrange 乘数法 :
对数哈密顿方法及其应用 天体力学数值方法作为天体力学的重要领域之一在辛算法的提出后得到长足发展,辛算法保持哈密顿系统辛结构且计算过程中系统没有能量和角动量的长期误差累积。辛算法适用于哈密顿系统的长期定性演化研究同时也具有数值精度不高、显辛算法要求固定步长的不足。 通常积分计算天体紧密交汇问题或大偏心率轨道运动都需缩短步长来克服天体受引力过大而剧增的加速度,直接变步长将丢失辛算法保持辛结构的优势,考虑时间变换的思路,原时间变量取变步长而新的时间变量仍为固定步长,则既能调节步长又能保持辛算法固有优势。本文的主要内容为构造针对不同哈密顿系统的对数哈密顿算法及论证其在具有更高的数值精度和保证获得有效的混沌判别结果方面的优势。 针对不同的哈密顿系统结构构造不同形式的时间变换辛算法。对于可分解为分别只含状态量广义动量和广义坐标的动能部分和势能部分的哈密顿函数,可构造取时间变换函数为形式不同但等价的两个函数得到显式对数哈密顿方法,其中时间变换作用于哈密顿函数,本文构造了由三个二阶蛙跳算子构成的显式对数哈密顿Yoshida四阶方法。 对于动能部分具有广义动量和广义坐标的交叉项而势能部分仅含位置变量的系统构造显隐式混合对数哈密顿方法,对于动能部分应用隐式中点法。而对于更一般的系统则构造隐式对数哈密顿方法。 隐式方法具有更广泛的应用但也由于算法构造中包括迭代需耗费更多的计算机时间降低计算效率。本文详细论证了显式对数哈密顿方法在应用于牛顿圆型限制性三体问题及相对论圆型限制性三体问题时较于非时间变换辛算法更具数
值精度优势。 且在前一系统的精度优势独立于轨道偏心率的变化。对于后一系统这一现象未能发生但数值精度也明显优越于常规辛算法。 特别对于高偏心率轨道,非时间变换算法得到的虚假的混沌判别指标,如Lyapunov指标和快速Lyapunov指数(FLI)。而通过对数哈密顿方法则可获得可靠地定性分析结果,彻底地解决后牛顿圆型限制性三体问题的高偏心率轨道Lyapunov指数的过度估计和FLI快速增大的问题。 在得到论证后本文应用对数哈密顿方法讨论了动力学参数两主天体间距离的变化对动力学系统有序和混沌转化的影响。本文通过数值模拟验证了对数哈密顿方法具有更高的数值精度及可得到可靠的定性研究成果的优势。 适用于定性研究和定量计算高偏心率问题,为天体力学研究开拓了新思路。在实际的天体紧密交汇处的动力学演化提供反映动力学实质的积分工具。
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。
例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y
拉格朗日方程 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 拉格朗日公式（lagrange formula）包括拉格朗日方程、拉格朗日插值公式、拉格朗日中值定理等。 中文名 拉格朗日公式 外文名 lagrange formula 涉及领域 信息科学、数学 发现者 约瑟夫·拉格朗日 发现者职业 法国数学家，物理学家 包括 拉格朗日方程等 目录 .1拉格朗日 .?生平 .?科学成就 .2拉格朗日方程
.?简介 .?应用 .3插值公式 .4中值定理 .?定律定义 .?验证推导 .?定理推广 拉格朗日 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 生平 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。 到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。 18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。 1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。 1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。
耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用经典力学中所研究大部分系统不是保守系统,所以很难将这类系统表示为经典的哈密顿力学形式(偶数维)以及与此等效的拉格朗日力学形形式或最小作用量变分原理形式。由于这几种数学形式是数值计算方法中辛几何算法的的基础和现代物理学的基础,所以极大地限制了辛几何算法在耗散系统的数值模拟领域的应用以及耗散系统的量子化等理论物理领域中的应用。 耗散动力学系统长时间跟踪问题是当前非线性力学研究领域的难点之一。对于低维耗散动力学系统,可以用各种半解析方法(小参数法,摄动法)求解。 即便如此,对于长时间跟踪,也存在所谓久期项问题(由方法本身的误差累积导致)。对于高维耗散动力系统,直接应用解析方法显然是十分困难的。 因此多采用数值方法求解该类问题。但是不同的数值方法求解的结果可能会有较大偏差,甚至相差甚远,而且大部分问题是缺乏判断其算法偏差量的参考标准的。 所以为这类问题挑选或者创立公认可行的数值积分方法,成为一个问题。我国著名学者冯康先生提出并研究了在保守系统领域的这类问题,给出了辛几何算法的思想并系统的表述构造辛差分格式的一般方法,指出了原有差分格式中的适于长时间跟踪的格式。 钟万勰先生发展了这种思想,进一步提出了时间有限元和精细积分的的思想,并对耗散动力学系统引入辛算法作了尝试。本文的最初的目的是在转子稳定性分析等耗散动力学问题中使用辛数值积分方法(或者说利用辛几何算法的思想找到合适的算法)。 为达到此目的研究了耗散系统和保守系统的一种特殊关系,在此基础上用相
应的保守系统的数值解替代原耗散系统,即将辛数值方法应用求解相应的保守系统来得到所要研究系统的数值解。在这种关系的基础上,借鉴流体力学的广义哈密顿方程和最小作用量变分原理,将耗散系统表示成一种无穷维广义哈密顿系统,相应地带来一种新型的最小作用量变分原理。 可以将冯康文献中广义哈密顿系统辛算法的思想应用于求解这个特殊的无穷维哈密顿系统。上述最小作用量变分原理,可以和路径积分量子力学形式结合,应用于量子力学领域。 以上工作的主要创新点可以归纳如下：1.发现了耗散力学系统和某一保守力学系统相曲线重合原理：对于一个耗散力学系统和它一个初始条件,对应于不同时间区段一定存在一族保守力学系统,这族保守力学系统和耗散力学系统有且仅有一条共同的相曲线；这族保守系统的哈密顿量就是前述耗散力学系统的总能。对于非保守的振动问题来说,这个保守系统就是一个非线性保守力学系统,其中的保守力在某一初始条件下和非保守振子系统的阻尼力和恢复力之和相等,那么其在相空间运动轨迹必然相同。 在此基础上,引入了无穷维广义哈密顿格式来表示耗散力学系统,在其中定义了一个新的哈密顿量,并且引入了新的泊松括号,这个格式类似于表示等离子问题和理想流体的广义哈密顿格式。在这里把耗散力学系统看作是相空间内一种特殊流体(内部无压力),初始条件看作是物质坐标,上述轨迹重合的保守力学系统的哈密顿量看作是哈密顿量密度。 对应于经典的哈密顿变分原理,这个广义哈密顿格式等效于一个新的变分原理。在这个变分原理中作用量为相空间的某一区域中所有微元的作用量之和。 2.从创新点1出发本文研究了有阻尼振动问题的中心差分格式,发现中心差
§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给 较好学生． —————————————————————— 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
《理论力学》一 一．填空题 1. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为( 约束 )。 2．惯性力（ 约束 ）对应的反作用力，（ 称作 ）牛顿第三定律。 3. 如果力只是位置的函数，并且它的旋度等于零，即满足 0F F F z y x )(z y x =?? ???? = ??k j i r F 则这种力叫做( 惯性力 )。 4．真实力与参考系的选取（ 无关 ），而惯性力却与参与系的选取（相关）。 5．质点系的动能等于质心的动能与各质点相对（速度矢量和）的动能之和。 6. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为(约束 )。 7．同一质点系中各质点之间的相互作用力称为（约束反力 ） 二．选择题 1. e a r r θθθθ)2(&&&&+=称为质点的( C )。 a. 法向加速度 b. 切向加速度 c. 横向加速度 d. 径向加速度 2．][)(r F m en '??-=ωω称为A a.平动惯性力 b.离心惯性力 c.科氏惯性力 3． ττdt dv a = 称为质点的( C )。 a. 法向加速度 b. 横向加速度 c. 切向加速度 d. 径加速度 4． 质点系中所有内力对任一力矩的矢量和A a. 等于零 b. 不等于零 c. 不一定等于零 5. e a r r r r )(2θ&&&-=称为质点的( A )。 a.径向加速度 b.横向加速度 c.切向加速度 d.法向加速度 6．质点系内力所作的功A a. 等于零 b. 不等于零 c. 不一定等于零 7. n a v n ρ 2 = 称为质点的( B )。 a. 横向加速度 b. 法向加速度 c. 径向加速度 d. 切向加速度 8．如果作用在质点上的力都是保守力，或虽是非保守力作用但非保守力不作功 或所作功之和等于零。则质点系机械能A
§7-4 哈密顿原理 人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律. 牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架. 哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架. 哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义. 一、变分法简介 1. 函数的变分. 自变量为x 的函数表示为)(x y y =. 函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化. 函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起
的. 这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ. 与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下: )()0,(),(* x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()x x y x y y εηε=?=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动. q t d d →函数的微分. 在曲线I 附近, 存在 着许多相邻曲线, 这些曲 线都满足力学系统的约束 条件, 称为可能运动曲线, 它们的方程表示为 ()()()t t q t q εηε+=0,,* 在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ, ()()()t t q t q q εηεδ=?=0,,*
拉格朗日乘数法
§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等 式，是个好方法．可推荐给较好学生． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为?Skip Record If...?的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为?Skip Record If...?，则水箱容积 ?Skip Record If...?焊制水箱用去的钢板面积为?Skip Record If...?这实际上是求函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件 ?Skip Record If...? 限制下，求函数?Skip Record If...?的极值
条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面?Skip Record If...?被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件?Skip Record If...?之下求函数?Skip Record If...??Skip Record If...?的极值 . 当满足约束条件的点?Skip Record If...?是函数?Skip Record If...?的条件极值点 , 且在该点函数?Skip Record If...?满足隐函数存在条件时, 由方程?Skip Record If...?决定隐函数?Skip Record If...?, 于是点?Skip Record If...?就是一元函数?Skip Record If...?的极限点 , 有 ?Skip Record If...?. 代入?Skip Record If...?, 就有 ?Skip Record If...?,
约束Hamilton 系统的稳定性研究 郑明亮1) 傅景礼 2) 1)(浙江理工大学 机械设计与控制学院 杭州 310018） 2)(浙江理工大学 理学院 杭州 310018） 摘要：本文给出了一种约束Hamilton 系统的稳定性判断方法。首先，提出将因系统奇异性导致的内在限制方程看作是非完整约束方程，采用Routh 方法导出了约束Hamilton 系统的运动正则方程。其次，将约束Hamilton 系统转化成力学梯度系统，给出转化微分方程表示的条件和表达形式；接着，根据梯度系统的性质结合李雅普诺夫的一次近似理论直接来判定约束Hamilton 系统的平衡位置稳定性。最后，举例说明结果的应用。 关键词：约束Hamilton 系统；梯度系统；李雅普诺夫；稳定性 PACS:45.10.Hj,02.30.Hq 1引言 力学系统的运动稳定性在数学、力学、航空、航海、航天、新技术和高技术中得到广泛应用，发挥了越来越大的作用[1]。关于稳定性的问题Lyapunov 首先给出了稳定性的严格数学定义，并提出一种研究运动稳定性的直接方法。Bottema [2]研究了在·ГAO Ⅱ?意义下，各种力学系统平衡位置的稳定性判断方法。Risito [3]和 Laloy [4]总结了保守系统和耗散系统的平衡和运动稳定性，得到线性、齐次、定常非完整系统平衡位置稳定与不稳定的一些更特殊的结果。我国著名力学专家梅凤翔[5]系统地论述了约束力学系统的运动稳定性问题。朱海平 [6]研究了非完整系统的稳定性。傅景礼等[7-8]研究了相对论性和转动相对论性Birkhoff 系统的平衡稳定性。Zhang [9]利用Noether 守恒量构造了Lyapunov 函数，研究了广义Birkhoff 系统的运动稳定性。姜文安等[10]研究了广义Hamilton 系统的运动稳定性。Cheng [11]研究了系统参数对带附加广义力项的约束力学系统运动稳定性的影响。 在Legendre 变换下，奇异Lagrange 系统在过渡到相空间用Hamilton 正则变量描述时,其正则变量之间存在固有约束，称之为约束Hamilton 系统[12]。机械工程和数学物理上许多重要的动力系统是约束Hamilton 系统，如非树形多体机器人系统动力学模型一般为微分/代数方程组形式[13]、光的横移现象和量子电动力学[14]等。但是，关于约束Hamilton 系统的稳定性研究一直鲜有报道。如果一个力学系统能够成为梯度系统，那么就可用梯度系统的特性来研究力学系统的性质, 特别是运动稳定性质[15]。本文研究仅含第二类约束的约束Hamilton 系统的稳定性，将其转化成梯度系统，直接利用Lyapunov 定理来研究其平衡稳定性。 2约束Hamilton 系统的正则方程 设力学系统的位形由n 个广义坐标),...,1(n s q s =来确定，系统的Lagrange 函数为 ),,(q q t L ，广义动量为),...,1(n s q L p s s =??= ，设L 的Hess 矩阵?? ???????k s q q L 2的秩为n r <。 引入系统的Hamilton 函数为),(1q p,t L q p H n i i i -=∑= ，将奇异Lagrange 系统描述过渡到Hamilton 系统描述时，在相空间中正则变量之间存在代数约束方程： ),...,1(,0),(r n j t j -==Φq p, (1)
第八章 经典力学的哈密顿理论 教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。 教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。 教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。 §8.1 正则共轭坐标 坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。 一：坐标的发展历史. 1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用 z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变， 用k j i ,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。 2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变 矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v ,等物理量。从直角坐标到极坐 标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。 下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。
在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。 在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么YC是在用欧拉方法研究流体。 这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。 Understood? 而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。 在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！ 我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。 也就是说，获得爱情有两种方法。一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。 那么，哪种方法更能获得幸福呢？