《初等数学研究》
一、课程的性质目标与任务
初等数学研究是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程，分初等代数和初等几何两部分。本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等数学的基础理论、基础知识和基本技能；了解数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。本课程主要讲授初等几何部分，初等代数部分作为自学内容。
二、课程的内容与基本要求
本课程的基本要求是：从中学数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高；对各专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练；要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
初等几何部分
第一章绪论
1．几何学的历史简介
2．初等几何研究的对象和目的
了解几何学发展的四个基本阶段以及初等几何研究的对象和方法
第二章几何的证明
1．几何证明的概述
2．证度量关系
3．证位置关系
掌握常用的证题方法和技巧
第三章几何量的计算
1．线段度量
2．面积计算
3．解三角形
掌握勾股定理推广和斯蒂瓦尔特定理及其应用，会计算面积和解三角形。
第四章初等变换
1．合同变换及其间的关系
2．位似变换和相似变换
3．初等变换的应用
理解合同变换、位似变换和相似变换等概念，能利用初等变换解题。
第五章轨迹
1．基本概念（轨迹的概念与证明方法，轨迹命题的类型）
2．常用轨迹命题及其证明
3．轨迹的探求
理解轨迹的概念，并掌握轨迹命题的证明方法。掌握常用的几个轨迹命题。
第六章立体图形的一些性质
1．直线与平面（直线与平面的各种位置关系，空间作图公法，简单作图题）
2．三面角（三面角及其性质，三面角的相等）
3．多面体（四面体的一些性质，凸多面体的欧拉定理，正多面体，截面图的画法）4．体积计算（体积概念，拟柱体体积公式，体积计算）
掌握空间直线与平面的各种位置关系。掌握三面角、四面体的性质，会计算体积。
三、学时分配
四、教学方法与教学手段说明
主要采用讲解法、讲练结合法和研讨法。
五、考核方式
考核方式：开卷考试。
六、教材与主要参考书目
建议选用教材：
张尊宙沈文选《中学代数研究》高等教育出版社 2008年
张尊宙沈文选《中学几何研究》高等教育出版社 2008年
主要参考书目：
1．程晓亮、刘影《初等数学研究》北京大学出版社 2011年1月
2．朱德祥《初等几何研究》高等教育出版社 1985年
3. 李长明、周焕山《初等数学研究》高等教育出版社 1995年6月
2011年12月10日
初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
初等数学研究期末专题论文 函数方程与函数的奇偶性 摘要 函数的奇偶性是函数的一种重要性质，也是高中数学教学中的重点内容，如何让学生正确理解函数的奇偶性并能灵活应用，是每位数学教师不断探论的问题。本文详细讲述了函数奇偶性的判断方法，以及应该注意的地方，对比较抽象的题目给出合适的证明方法。 关键词：函数 奇偶性 方程 性质 1.关于函数奇偶性的定义 （1）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意一个x 都有 ()()0 f x f x --=（()()x f x f =-），那么函数()x f 就叫做偶函数，如：2)(x x f =，()x x f =。 （2）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意任意一个x 都有()()0=-+x f x f (()()x f x f -=-)，那么函数()x f 就叫做奇函数，如：()x x f = , ()x x f 1 = 。 例1：判断函数())1lg(2x x x f -+=的奇偶性。 解：x x x ≥>+221 ∴函数()x f 的定义域为R 又()())1lg()1lg(22x x x x x f x f +++-+=-+ 01lg )1lg(22==-+=x x 。 ∴ ()x f 为奇函数。 例2：判断函数x x e e x f -+=)(的奇偶性。 解：显然)(x f 的定义域为R 又)()(x f e e x f x x -=+=- ∴)(x f 为偶函数。
2.函数奇偶性的几个性质 2.1 对称性 函数的定义域关于原点对称 如： 2.2 整体性 奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立。 2.3 可逆性 )()()(x f x f x f ?=-是偶函数 )()()(x f x f x f ?-=-是奇函数 2.4 等价性 0)()()()(=--?=-x f x f x f x f 0)()()()(=-+?=-x f x f x f x f 2.5 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 2.6 可分性 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。 3.判断函数奇偶性的方法 3.1定义法 1．任取自变量的一个值x ，x -是否有定义，如果存在一个属于定义域的0x 但在0x -没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若)(x f -存在，则进行下一步。 2．)()(x f x f ±=-着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方便可转而验证 0)()(=-±x f x f ， 1)() (±=-x f x f ，???=-+偶函数 奇函数)(20)()(x f x f x f 判断步骤如下： ① 定义域是否关于原点对称；
1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =；
5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。
8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和
15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++=
18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++
《初等数学研究》教学大纲Research on elementary mathematics 课程名称：初等数学研究英文名称：课程性质：专业必修课 4 学分： 64 理论学时： 64 总学时：适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何一、教学目的与要求应使学生在掌握近、通过本课程的开设，初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。现做到初等与高等相结合。系统深入掌握中学数学内容有关的初等数学知识，代数学的基础上，以填补学生在中学数现代数学思想方法，尽量反映近、一方面，通过初等数学内容的研究，处学与高等数学之间的空白；另一方面，试图用近、现代数学的思想方法居高临下地分析、为当好一名使学生对中学数学内容有个高屋建建瓴的认识与理解，研究中学数学内容，理、使学生进行解题策略的训练，同时通过本课程的开设，中学数学教师打下扎实的知识基础。具有一定的解题能力。由于学生对初等数学内容并非一无所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。在每章、以帮助学生形成自主探索、研究，每节之后提出若干问题让学生进行探索、合作交流的学习方式，以便他们将来走向教学岗位后，能较快地适应课程改革的形势。必要时运用小组合作的方式进行适学生自学为辅的教学方法，本课程主要采用以讲授为主、当的专题讨论。周，有32八学期开设，安排---初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第七课时。64共,周36条件时可安排二、教学内容与学时分配序
号章节名称学时分配 1 第一章绪论 2 2 第二 章集合与逻辑 6 3 第三章数与式的理论 8 4 第四章函数的理论 8 5 第五章方程、不等式 8 6 公理化方法与演绎推理 6 7 第七章几何变换 8 8 第八章几何的向量结构及坐标 法 6 9 第九章排列、组合 6 10 第十章中学数学解题策略 6 合计学时数 64 三、各章节主要知识点与教学要求课时） 2第一章绪论（中学数学与初等数学的关系，中学数学的特点，中学数学的发展历程，包括数学研究的对象，本课程的研究 对象，学习本课程的目的意义，等等本章重点：中学数学的 特点本章难点：无掌握中学数学的特点，中学数学的发展历程；要求学生了解数学研究的对象，本章教学要求：中学数 学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的 目的意义课时）6第二章集合与逻辑（集合集合的特性， 集合的运算。集合的运用命题的逻辑演算命题的特征，简 单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算 命题中的量词假言命题的四种形式，量词的否定，存在量词， 全称量词，开语句的复合，真值集，开语句，充分条件与必要 条件集合与逻辑的关系本章重点：复合命题的真值定义， 等价命题，假言命题的四种形式本章难点：假言命题的四种 形式，开语句的复合，本章教学要求：要求学生掌握假言命题
姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把
习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则
（2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即：
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合C A ?的基数c a +大于集合D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155 )25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''' '===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）
高中版 2013年1月 这样一个话题“课堂上我们是期望学生完美展示还是希望看见他们出点问题呢？”这实质上是针对“真实”的课堂来说的.通过两次试教和打磨推敲，X 老师的课上的还是不错的，教学流程顺畅自然，学生表现也相当好.也许正因为“好”，市教科院副院长兼数学教研员王开合老师比较委婉地提出了课堂真实性的质疑：整个教学过程学生积极配合，回答问题、上台板演几乎都堪称完美，除了一位男生在表述线面平行判定定理时把“直线a 埭α，b 奂α”读成了“直线a 不属于面α，直线b 属于面α”，老师和同学还及时纠正了读法，其他地方好象没出错，没碰上什么困难.学生真的理解的如此完美吗？ 事后X 老师“坦白交代”：怕教学过程出现偏差，所以回答问题和上黑板板演的大都是“优生”.笔者的思考是：高效的课堂应基于真实.要立足解决一般学生的主要困难和疑难，学生“代表”从中等生甚至中等偏下生产生更为适宜；其次，要把代表大多数学生想法的东西多角度多层次呈现出来，并作为重要的课程资源和操作载体，引导所有学生参与讨论.实际上我 们在下边听课，就观察到旁边的学生有书写不规范的，有不知如何组织语言表述的，可惜老师都“没发现”，在虚拟的情境中，教师用“经验”导演着课堂的“精彩”，这种现象在各级竞赛课、示范课还在不断上演，而质疑声似乎也不曾停息. 修正：我们理解人们“藏拙露巧”心理，但课堂的“真” 是第一要素，缺乏“真”就很难谈教学的有效性.真实的课堂需要学生将真实的学习困惑、疑难勇敢地拿出来，集师生之力和智慧去解决它、弄懂它、深化它.过程可能是不太顺畅的，离完美甚至有大的差距，但它确实解决了学生真切的发展需要，关注了学生真实的心灵诉求.要真正发挥好数学的育人功能，不能忘了陶行知老先生的名言：千教万教教人学真，千学万学学做真人. 参考文献： 1.鲍建生.谈谈数学教师的特点与发展［J ］.数学教学，2009，4.■ 初等数学研究问题四议 筅浙江省宁波市北仑明港中学 甘大旺（特级教师） 我于2012年8月初在厦门参加第八届全国初等数学研究学术交流会，开阔了眼界.至今我仍以“局内人”与“局外人”的角色变换在遐思、沉思着我国初等数学研究的来龙去脉，查阅佐料后写成本文，期能引起有兴趣读者的共鸣或争鸣！ 1.初等数学研究的萌芽 “初等数学”并不是一个新词，早在1960年就出现在人民教育出版社出版发行的高师教材《初等数学复习及研究》丛书的书名中.几十年来，我们约定俗成的初等数学研究的主要内容是指当时不属于高等数学、 近代数学、现代数学的内容，而且当时中小学数学教材没有介绍或表述粗浅的夹层、 边缘的数学内容.早在我国解放初期，傅种孙于1952年2月在《中国数学》 杂志一卷二期发表“从五角星谈起”开始，到华罗庚于1984年10月在上海教育出版社 《华罗庚科普著作选集》重新发表“从杨辉三角谈起”为止，中间经历了一些数学史 专家、数学翻译专家在《数学通报》和《数学通讯》等期刊发表的初等数学研究、 翻译的文章，前后33年我国初等数学研究在总体上处于萌芽状态，而对于中小学数学教师（极个别教师除外）来说则处于滞留、静眠期. 2.初等数学研究的兴起 1984年全国高考理科数学试卷第18题是一道以递推数列为条件的不等式证明题： 设a>2，给定数列{a n }，其中x 1=a ，x n+1=x 2 n 2（x n －1）（n=1，2， …）.求证：（1）x n >2， 且x n+1 x n <1；（2）如果a ≤3，那么x n ≤2+ 12n －1 ；（3 ）如果a>3，那么当n ≥lg a 3 lg 43 时，必有x n+1<3.教育纵横 数坛在线 60
第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 《初等数论》教学大纲 Elementary number theory 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、课程性质与目的 1. 课程目标 初等数论是数学与应用数学专业一门专业选修课。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除、不定方程、同余、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的实际工作打下良好基础。 2. 与其它课程的关系 本课程是初等数学研究、C语言程序设计A，近世代数等课程的后续课程。 3. 开设学期 按培养方案规定的学期开设。 三、教学方式及学时分配 四、教学内容、重点 第一章整数的可除性 1. 教学目标 理解整数整除的概念、最大公约数的概念、最小公倍数的概念，掌握带余除法与辗转相除法；理解素数与合数的概念；理解和掌握素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；掌握函数[x]和 {x} 的性质。 2. 教学内容 （1）整数整除、剩余定理：带余除法与辗转相除法；最大公约数的概念、性质及求最大公约数的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。（2）素数与合数：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数 的求法；函数[x] {x} 的性质及其应用。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 辗转相除法，整数的素数分解定理。 5. 本章难点 求最大公因子的方法。 第二章不定方程 1. 教学目标 理解不定方程的概念，理解和掌握元不定方程有整数解的条件，会求一次不定方程的解。 2. 教学内容 （1）一次不定方程，多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解条件，求简单的多元一次不定方程的解。（2）二元一次不定方程有整数解的条件，求一次不定方程的解。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 多元一次不定方程有解条件，二元一次不定方程有整数解的条件。 5. 本章难点 不定方程的整数解的形式，求多元不定方程的整数解。 第三章同余、同余式 1. 教学目标 理解整数同余的概念，理解和掌握同余的基本性质、整数具有素因子的条件函数相关性质；理解剩余类与完全剩余系的概念，理解欧拉函数的定义及性质；掌握欧拉定理、费马定理、孙子定理。 2. 教学内容 （1）整数同余：整数同余的概念、同余的基本性质；整数具有素因子的条件；利用同余简单验证整数乘积运算的结果。（2）剩余类与完全剩余系：剩余类与完全剩余系的概念；判断剩余系的方法；欧拉函数的定义及性质；欧拉定理、费马定理。（3）同余式的基本概念、孙子定理。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理。 5. 本章难点 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 初等数学研究期末复习题：选择题与填空题 一．选择题 1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )． A C B D A ．2 B ．4 C ． 6 D ． 8 2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数 3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．设A =22211148()34441004 ?++???+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25 5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b <<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182 6 的结果是( )． A ．无理数 B ．真分数 C ．奇数 D ．偶数 7．设4r ≥，1 1 1a r r =-+ ，b = ，c =，则下列各式一定成立 的是( )． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－ x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345 x x x x x ++++的未位数字是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9． 已知1m = 1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )． A ．5- B ．5 C ．9- D ．9 10．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )． A ．h <1 B ．h =1 C ．1 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □ 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分） 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ） 4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283π - （B ）83 π - （C ）82π- （D ）23 π 6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈， 1 {|||N x x i =- 习题三 1、已知半径为r 的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。 （1）写出梯形的周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求其定义域； （2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。 解：（1）作DE ⊥AB 于 E 连DB，则∠ADB = 90°∴ADB∽AED ∴AD AB = AE AD 2 AD 2 ∴AD = AE ? AB ∴AE = AB 又Q DC = AB ? 2 AE ∴y = DC + AB + 2 AD = AB ? 2 AE + AB + 2 AD AD 2 = 2r ? 2 + 2r + 2 x AB 2x2 = 2r ? + 2r + 2 x 2r x2 = 4r ? + 2 x r x2 = ? + 2 x + 4r . r x2 又Q x > 0 ，且= AE < r ，即x < 2r 2r ∴函数的定义域为（0，2r）。（2）y = ? (r ? x) 2 + 5r ，所以当腰长x=r 时，周长y 有最大值5r. 2、设函数y = f ( x) 定义在R 上，当x>0 时，f ( x) > 1 ,且对于任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 又当m ≠ n 时，f (m) ≠ f (n). 求证：（1）f (0) = 1. （2）对于任意x ∈R ，均有f ( x) > 0. 证明：（1）Q对任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 1 r ∴令m=n=0,则有f (0 + 0) = f (0) + f (0) 即f (0) = f (0) + f (0) . ∴f (0) ? [ f (0) ? 1] = 0. ∴f (0) = 1 或f (0) = 0. 若 f (0) = 0.则对于任意m>0,有f ( m) = f ( m + 0) = f ( m) ? f (0) = 0 和题设矛盾。因此，f (0) = 1. （2）由题设和（1）的结论，当x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 1 > 0 ，假设x < 0 ，则? x > 0 ，因而 f (? x) > 1。但是 f ( x) ? f (? x) = f ( x ? x) = f (0) = 1 所以， f ( x) = 1 > 0. f (? x) 3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。（1）f ( x) = lg x 2 , （2）f ( x) = x , g ( x) = 2lg rx . g ( x) = 3 x 3 . 解：（1）是同一函数。因为定义域相同：x ∈R ? {0} . 且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因为当x<0 时，f ( x) > 0 ，而g ( x) < 0 . 4、求下列函数的定义域（1）y = (4 x ? 5) + 8 ?1 x （2）y = log (2 x?1) (3 x ? 2) （3）y = log 0.5 (log 2 x 2 + 1) （4）y = 7? x?2 lg(9 ? 3x ) （5）y = 1 ? ( ) 2 x?1 （6）y = lg x + lg(5 ? 2 x ) （7）y = arccos(2 x 2 ? x) （8）y = arcsin( x ? 1) + 1 3 1 5x ? 1 1 4 （9）y = sin x ? 1 + (1 ? sin x ) （10）y = lg cos3x ?4 x ? 5 ≠ 0 ? ?8 解：（1）Q ? ? 1 ≥ 0 ? x ? x ≠0 ? 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? x ≤ 8 ?x ≠0 ? ? 5 4 5 4 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? ?8 ≤ x ≤ 8 ? x≠0 ? ? ∴函数定义域为：[?8,0) U (0, ) U ( ,8] . ?3 x ? 2 > 0 ? （2）Q ? 2 x ? 1 > 0 ?2 x ? 1 ≠ 1. ? 2 3 2 ? x> ? 3 ? 1 ? ∴?x > 2 ? ? x ≠1 ? ? ∴函数的定义域为：( ,1) U (1, +∞). ?log 0.5 (log 2 x 2 + 1) ≥ 0 ? （3）Q ? log 2 x 2 + 1 > 0 ? x2 > 0 ? ? 0 < log 2 x 2 + 1 ≤ 1 ? ∴?log 2 x 2 > ?1 ?x≠0 ? ?2-1 ≤ x 2 ≤ 1 ? ∴? x 2 > 2?1 ?x ≠ 0 ? ? 2 2 ≤ x ≤ 1 或?1 ≤ x ≤ ? ? 2 ? 2 ? 2 2 或x ∴? 2 2 ? ? x≠0 ? ? ? 2 2 函数定义域为：[(?1, ? )U( ,1)] . 2 2 ?lg(9 ? 3x ) ≠ 0 ? Q （4）? 9 ? 3x > 0 ?7 ? x ? 2 ≥ 0 ? ? x ≠ log 3 8 ? ∴? x < 2 ??5 ≤ x ≤ 9 ? ? 9 ? 3x ≠ 1 ? ∴? 3x < 9 ? x?2 ≤ 7 ? ? 3x ≠ 8 ? ∴? 3x < 32 ??7 ≤ x ? 2 ≤ 7 ? ∴log 3 8 < x < 2 或?5 ≤ x < log 3 8 ∴函数定义域为：[(?5,log 3 8) U (log 3 8, 2)]. （5）Q1 ? ( ) 2 x?1 ≥ 0. 1 3 ∴( )2 x?1 ≤ 1. ∴ 2 x ? 1 ≥ 0. ? log x ≥ 0 ? （6）Q ? x > 0 ?5 ? 2 x > 0 ? 1 3 ∴1 ≤ x < log 5 2 1 1 ∴函数定义域为[ , +∞] 2 2 x ≥1 ? ? x ≥1 ? ? ∴? x > 0 ∴? x > 0 5 ? ?2 x < 5 ? x< ? 2 ∴x ≥ 5 ∴函数定义域为：[1, ) . 2 （7）Q ?1 ≤ 2 x 2 ? x ≤ 1 ? 2 x 2 ? x ? 1 ≤ 0LL ①∴? 2 ?2 x ? x + 1 ≥ 0LL ② 1 ? ?由①? ≤ x ≤ 1 ∴? 2 ?由②x ∈R ? ∴函数的定义域为：[1, ) . ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 （8）Q ? ? 5x ? 1 > 0 1 5 ?0 ≤ x ≤ 2 1 ? ∴? ∴初等数学研究考试大纲
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