初等数学研究复习题
一、 选择题
1、中学数学的证明方法，按选证命题形式的不同可分为：（ C ） A ：综合法与分析法 B ：演绎法与归纳法
C ：直接证法与间接证法
D ：具体方法、一般方法和数学思想方 2、不等式
22
x x x x
-->
的解集是（ A ） A. (02)， B. (0)-∞， C. (2)+∞， D. (0)∞?+∞（-，0），
3、函数sin 1tan tan
2x y x x ??
=+? ???
的最小正周期为 ( B ) A
π B 2π C
2
π
D 32π
4、已知)(x f 不是常数函数，对于R x ∈，有)8()8(x f x f -=+，
且)4()4(x f x f -=+，则)(x f （ C ）
A 、是奇函数不是偶函数
B 、是奇函数也是偶函数
C 、是偶函数不是奇函数
D 、既不是奇函数也不是偶函数
5、已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围：（B ）
A （0，1）
B （1，2）
C （0，2）
D [2，＋∞）
法
6、下列定理能作为证明“点共线”的依据的是：（ B ）
A 西姆松定理
B 梅涅劳斯定理
C 塞瓦定理
D 斯蒂瓦尔特定理
7.下列关于平移的说法中正确的是 （ A ）。
A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；
B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向
8.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是（ D ）。 A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。
9、已知)2(),1(3)(2f f x x x f ''+=则=（ B ）
A ．－1
B ． 0
C ．2
D ．4
10、设1z i =+（i 是虚数单位），则22
z z
+=( D ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +11、函数f (x )＝sin(2x －π6)的图象可以通过以下哪种变换得到函数g (x )＝cos(2x ＋π
3)的图象（ D ）
A.向右平移π个单位
B.向左平移π个单位
C.向右平移π3
D.向左平移π
2个单位
12、函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( B )
A ．－4
B ．－8
C ．8
D ．无法确定
9、4．若tan α＝2，则2sin α－cos α
sin α＋2cos α的值为( B )
A ． 0
B .34
C ． 1
D .5
4
13．已知△ABC 和点M 满足MA
→＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝
mAM
→成立，则m ＝( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、 填空题;
1、已知函数f (x )＝?
????
－2，x >0，
－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )
＋x 的零点的个数为____3____．
2、函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝e x 的图像关于直线y ＝x 对称，将y ＝f (x )的图像向左平移2个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，再将y ＝g (x )的图像向上平移1个单位，得到函数y ＝h (x )的图像，则函数y ＝h (x )的解析式是_____ y ＝ln(x ＋2)＋1___．
3、在⊿ABC 中，E 是AB 的中点，D 是AC 上一点，且AD:DC=2:3，BD 与CE 交于F ，40ABC S = ，则AEFD S 四边形=__11_____。
4、.等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和
等于260°。则这个等腰三角形的顶角等于 ____100°________ ，底角等于__40°______。 5、多项式
222
3
++-x x x
表示成（x-1）的幂的多项式的形式为
4)1(3)
1(2)1(2
3
+-++--x x x
6、已知===105,7,5log log log
63
5
3
则b a
ab
ab
a +++21 。
7、
θ
θθ
θθθ3tan tan tan 3cot cot cot -+
-= 1 。 8、合同变换包括 平移 、 旋转 、 反射 三种变换。
9、三大几何作图不能问题是立方倍积问题 、 三等分角问题 和 化圆为方问题 。
10、常用的平面几何作图方法有交轨法、三角形奠基法 、 变位法 、位似法 和代数法。
三、 计算题
1、计算（1）2
115113
3
6
6
2
2
(2)(6)(3)a b a b a b -÷- 解：原式=4a
2、解方程：
32(120+-=x x
解：x x ==
3、、计算：（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°） …（1+tan44°）
解: tan 0
45=tan(α+45°- α)=tan tan(45)1tan tan(45)
o o
αααα+---=1 ∴(1t a n )[1t a n (45o
α
α++-=
所以 原式=22
2
4、、解方程：=x
解：令x =x =2
所以 原式=2
5、、计算：+
解;
2=
2=
+
=lg 2(12)lg 2)
x x ≤≤???
≥??
四、 解答题
1、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2(a ∈R )．
(1)若f (x )在(0,1)上是减函数，求a 的最大值；
(2)若f (x )的单调递减区间是(－1
3
，1)，求函数y ＝f (x )的图像过点(1,1)的切线与两坐
标轴围成图形的面积．
解：(1)f ′(x )＝3x 2
＋2ax －1，由题意可得f ′(x )在(0,1)上恒有f ′(x )≤0， 则f ′(0)≤0且f ′(1)≤0，得a ≤－1，所以a 的最大值为－1.
(2)∵f (x )的单调递减区间是(－1
3
，1)，
∴f ′(x )＝3x 2
＋2ax －1＝0的两根为－13
和1，
可求得a ＝－1，∴f (x )＝x 3－x 2
－x ＋2，
设切线的切点为(x 0，y 0)，则有y 0－1x 0－1
＝3x 2
0－2x 0－1，
y 0＝x 30－x 2
0－x 0＋2，解得x 0＝1或x 0＝0， 则切线斜率为k ＝0或k ＝－1，
切线方程为y ＝1，x ＋y －2＝0，与两坐标轴围成的图形为直角梯形，面积为S ＝1
2
×(1
＋2)×1＝3
2
.
1()(1)=-10(2)=-1(4)=101(5)=218(3).
x x 、设是的三次式，已知： ，，，，试求f f f f f f 3233()=.a 10a 284210-564a 84101-7125a 255218()2-5-7.
(3)23-53-7=32.
x ax bx cx d b c d a b c d b c b c d d b c d x x x ????????
??
????????++++++=-=+++=-==+++==+++=∴=∴=??解：
法一：设 则有：
解得： f f f
012300
011
20120123()=(1)(1)(2)(1)(2)(4)
(1)=-1010
(2)+=-19(3)+3+6(4)41212218x a a x a x x a x x x a a a a a a a a a a a a a ?????????
+-+--+---==-==∴===+++= 法二：设 则有： f f f f f 3142()109(1)14(1)(2)2(1)(2)(4)
(3)32
a x x x x x x x ?????
??
??=∴=-+-+--+---∴= f f 2、、解方程
112432
--=-+x x x
解：原方程可化为 112)4)(1(--=+-x x x （1）x ≥1时，方程为065,22432
2
=-+-=-+x x x x x
即
解得 1,221
=-=x x
所以x=1
（2）
2
1πχπ1时，方程为0652
=-+x x 解得 1,621
=-=x x
此时方程无解 （3）2
14≤
≤-x 时，方程为042
=-+x x 解得 2171±-=
x 所以2
17
1--=x （4）045,42
=-+-x x x
方程为
时π 解得2
41
5±-=
x 所以2
41
5--=
x 综上知，方程的解为
2415--，2
17
1--，1 2、、已知：如图，在ABC ?中，∠C=90°，sinA=
2
5
,D 为AC 上
一点，∠BDC=45°,DC=6,求AB 的长。
解：在BCD ?中，∠C=90°，∠BDC=45°, ∴∠DBC=∠BDC=45°. ∴ DC=CB, ∵ DC=6 ∴ CB=6
在ABC ?中，∠C=90°，∵ sinA=25=CB AB ,∴ 56152
AB =?=. ∴ AB 的长为15.
五、 证明题
1、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方
证明：
2222
2
(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+++++=+-+++++=++-+++=++-
1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数 (1)(2)1a a ∴++-肯定为奇数
2、用序数理论证明：1）3+4=7 2）3412?=
证明：1）3+4=7
3134+
+== 3231(31)4+++
+=+=+==
3332(32)5+++
+=+=+== 3433(33)6+
+
+
+=+=+==
2）3412?=
313?= 32313136+?=?=?+=
33323239+?=?=?+= 343333312+?=?=?+=
3、.已知p 是异于3的奇素数，求证2241p -
证明：p 是异于3的奇素数，2
1p ∴-为偶数，3p >?2
19p ->
2
1(1)(1)p p p -=+-其中1,1p p +-都为合数，且都大于3
1,1p p ∴+-都可被2、3中的一个整除，若21p -，则由1(1)2p p +=-+
21p +，因为13,13p p +>-> 2241p ∴-
4、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。
证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。
k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时：
k 1k 415k 11
4415k 1315k 18441519(52)
k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 944151-952k k k ∴+--是的倍数（）（）
19415(1)1k k +∴++-是的倍数
1n k ∴=-当时，命题成立。
由①，②知，对于任一自然数n 成立。
5、证明下列不等式。
设,,,a b c R +
∈求证：
（1）111
()()9;a b c a b c ++++≥
（2）
3.2
a b c b c c a a b ++≥+++ 证明：（1）利用柯西不等式。
2
2
2
222]]++?++
2222
111]≥?+?+?
41599k k +- 是的倍数 9(52)9k -，
是的倍数
9=
111
()()9.a b c a b c
∴++++≥
（2）不妨设0,a b c ≥≥>则111
.b c c a a b
≥≥+++
故有
111111a b c c a b b c c a a b b c c a a b
?+?+?≥?+?+?++++++ ① 111111a b c b c a b c
c a
a b
b c
c a
a b
?
+?
+?
≥?
+?
+?
++++++ ②
111()()()2(
)a b c b c a c b a b c
c a
a b
b c
c a
a b
+
+
≥+?
++?
++?
++++++ =3
3.2
a b c b c c a a b ∴++≥+++
6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AE=3
1AC ，
BD=3
1AB ，
点F 在BC 上，且CF=3
1BC 。求证：
（1）EF ⊥BC ； （2）∠ADE=∠EBC 。
证明：设AB=AC=3a ，则AE=BD=a ，CF=.2
a
（1）
.3
2
32,32232====a a CA CF a a CB CE 第五题第2小题图 又∠C 公共，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC=90°， ∴∠EFC=90°，∴EF ⊥BC …………4分 （2）由（1）得.22
222,222,2=====
a
a BF AD a a EF AE a EF 故
.BF
AD
EF AE =∴
∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE ∽△FBE ， ∴∠ADE=∠EBC 。
7、设,p q 是相异素数，求证111(mod )q p p q pq --+≡
证明：1
0(mod )q p
p -≡，11(mod )p q p -≡，111(mod )q p p q p --∴+≡ 同理1
11(mod )q p p q q --+≡111(mod[,])q p p q p q --∴+≡
即1
11(mod )q p p
q pq --+≡
8、.AB 是半圆直径，C 是半圆周上任一点，D 是AC 弧之中点，DE ⊥AB 于E ，交AC 于
G.求证：AG=DG.
A
B
证明: 如图示,连接AD,DB,只要证明
∠DAG=∠ADG ,
本题证法不唯一,可有多种. (证略).
1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =；
5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。
8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和
15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++=
18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++
初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则
（2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即：
第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 华南师范大学全日制教育硕士考研学制 两年 如果有人利用你的柔软攻击你，利用你的善良欺负你，利用你的宽容践踏你，请不要哭泣。你的柔软善良宽容是你值得拥有更好生活的资本，也是你立于这世界真实的支撑。凯程华南师范大学全日制教育硕士老师给大家详细讲解。凯程就是王牌的教育硕士考研机构！ 一、华南师范大学全日制教育硕士专业方向介绍 2015年华南师范大学全日制教育硕士学费共计1.8万元，其中教育管理、学科教学（英语）、学科教学（语文）学费共计2万元，学制两年。 华南师范大学全日制教育硕士专业方向及初试科目如下： 教育管理招生人数20人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④900教育管理学 现代教育技术招生人数30人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④913现代教育技术 小学教育招生人数20人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④914小学教育学原理 心理健康教育招生人数15人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④915心理学原理与方法 学前教育招生人数20人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④919学前教育学 学科教学（语文) 招生人数35人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④902语文课程与教学论 学科教学(英语) 招生人数30人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④907综合英语 学科教学(历史) 招生人数35人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④908中国近现代史 学科教学(数学) 招生人数31人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④903初等数学研究 学科教学(物理) 招生人数20人 ①101思想政治理论②204英语二 ③333教育综合④904物理教学论 学科教学(化学) 招生人数21人 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 初等数学研究期末复习题：选择题与填空题 一．选择题 1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )． A C B D A ．2 B ．4 C ． 6 D ． 8 2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数 3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．设A =22211148()34441004 ?++???+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25 5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b <<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182 6 的结果是( )． A ．无理数 B ．真分数 C ．奇数 D ．偶数 7．设4r ≥，1 1 1a r r =-+ ，b = ，c =，则下列各式一定成立 的是( )． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－ x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345 x x x x x ++++的未位数字是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9． 已知1m = 1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )． A ．5- B ．5 C ．9- D ．9 10．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )． A ．h <1 B ．h =1 C ．1 课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □ 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分） 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ） 4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283π - （B ）83 π - （C ）82π- （D ）23 π 6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈， 1 {|||N x x i =- 高中版 2013年1月 这样一个话题“课堂上我们是期望学生完美展示还是希望看见他们出点问题呢？”这实质上是针对“真实”的课堂来说的.通过两次试教和打磨推敲，X 老师的课上的还是不错的，教学流程顺畅自然，学生表现也相当好.也许正因为“好”，市教科院副院长兼数学教研员王开合老师比较委婉地提出了课堂真实性的质疑：整个教学过程学生积极配合，回答问题、上台板演几乎都堪称完美，除了一位男生在表述线面平行判定定理时把“直线a 埭α，b 奂α”读成了“直线a 不属于面α，直线b 属于面α”，老师和同学还及时纠正了读法，其他地方好象没出错，没碰上什么困难.学生真的理解的如此完美吗？ 事后X 老师“坦白交代”：怕教学过程出现偏差，所以回答问题和上黑板板演的大都是“优生”.笔者的思考是：高效的课堂应基于真实.要立足解决一般学生的主要困难和疑难，学生“代表”从中等生甚至中等偏下生产生更为适宜；其次，要把代表大多数学生想法的东西多角度多层次呈现出来，并作为重要的课程资源和操作载体，引导所有学生参与讨论.实际上我 们在下边听课，就观察到旁边的学生有书写不规范的，有不知如何组织语言表述的，可惜老师都“没发现”，在虚拟的情境中，教师用“经验”导演着课堂的“精彩”，这种现象在各级竞赛课、示范课还在不断上演，而质疑声似乎也不曾停息. 修正：我们理解人们“藏拙露巧”心理，但课堂的“真” 是第一要素，缺乏“真”就很难谈教学的有效性.真实的课堂需要学生将真实的学习困惑、疑难勇敢地拿出来，集师生之力和智慧去解决它、弄懂它、深化它.过程可能是不太顺畅的，离完美甚至有大的差距，但它确实解决了学生真切的发展需要，关注了学生真实的心灵诉求.要真正发挥好数学的育人功能，不能忘了陶行知老先生的名言：千教万教教人学真，千学万学学做真人. 参考文献： 1.鲍建生.谈谈数学教师的特点与发展［J ］.数学教学，2009，4.■ 初等数学研究问题四议 筅浙江省宁波市北仑明港中学 甘大旺（特级教师） 我于2012年8月初在厦门参加第八届全国初等数学研究学术交流会，开阔了眼界.至今我仍以“局内人”与“局外人”的角色变换在遐思、沉思着我国初等数学研究的来龙去脉，查阅佐料后写成本文，期能引起有兴趣读者的共鸣或争鸣！ 1.初等数学研究的萌芽 “初等数学”并不是一个新词，早在1960年就出现在人民教育出版社出版发行的高师教材《初等数学复习及研究》丛书的书名中.几十年来，我们约定俗成的初等数学研究的主要内容是指当时不属于高等数学、 近代数学、现代数学的内容，而且当时中小学数学教材没有介绍或表述粗浅的夹层、 边缘的数学内容.早在我国解放初期，傅种孙于1952年2月在《中国数学》 杂志一卷二期发表“从五角星谈起”开始，到华罗庚于1984年10月在上海教育出版社 《华罗庚科普著作选集》重新发表“从杨辉三角谈起”为止，中间经历了一些数学史 专家、数学翻译专家在《数学通报》和《数学通讯》等期刊发表的初等数学研究、 翻译的文章，前后33年我国初等数学研究在总体上处于萌芽状态，而对于中小学数学教师（极个别教师除外）来说则处于滞留、静眠期. 2.初等数学研究的兴起 1984年全国高考理科数学试卷第18题是一道以递推数列为条件的不等式证明题： 设a>2，给定数列{a n }，其中x 1=a ，x n+1=x 2 n 2（x n －1）（n=1，2， …）.求证：（1）x n >2， 且x n+1 x n <1；（2）如果a ≤3，那么x n ≤2+ 12n －1 ；（3 ）如果a>3，那么当n ≥lg a 3 lg 43 时，必有x n+1<3.教育纵横 数坛在线 60初等数学研究考试大纲
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(完整版)初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案第4章习题答案