初等数学研究
1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE ，正△
ACD,如图，连接DE 交AB 于F 。求证：EF=FD 。 证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。 ∵∠CAD=60°，∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90°
设BC=a ，则又∵∠EFH=∠DFA(对顶角) ∴△EFH ≌△DFA(AAS) ∴EF=FD
2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。OD ⊥BC 于D 。如图，求证：AH=2OD 。
证明：取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM,MN,DN
则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。 ∴OD=MN=
12
AH 即AH=2OD
3.（P423例21）在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC ；设BL 、MK 交于P,AK 、ML 交于Q 。如图，求证：PQ ∥AB 。 证明：∵ML ∥BC MK ∥AC
∴KP BP PM PL = BM KQ MA QA
= BP BM
PL MA =
∴KP BP BM KQ
PM PL MA QA
===
因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB
4.（P430例26）设A、B为平面上的二定点，C为平面位于直线AB同侧的一动点，各以AC、AB为边，在△ABC之外作正方形CADI、CBEJ，如图。
求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变。
证明：自D、E、C和M分别作AB的垂线，设其垂足依次
为G、H、K和N。
∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90°
∴△ADG≌△CAK（AAS）
∴AG=CK DG=AK
同理：CK=BH EH=BK
∴AG=BH
∵N平方HG（MN是梯形中位线）
∴N平分AB
∵EH+DG=BK+AK=AB
∴MN=1
2
(EH+DG)=
1
2
AB
又∵MN⊥AB ∴DE的中点M是定点。
5.（P437例28）在任一三角形中，外心、垂心和重心共线。
证明：∵G为三角形重心
∴AG=2DG
又由P395例6知AH=2DO
又∵OD∥AH
∴∠1=∠2 ∴△DOG ∽△AHG ∴∠OGD=∠HGA ∴H 、G 、O 三点共线
6.（P437例29）三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线。
证明：假定：任意点P 位于弧BC 上，如图，设X 、Y 和Z 分别是自P 向BC ，CA 和AB 所引垂线之垂足， 再连结B 、PC ，则有
P 、X 、Z 、B 共圆 ∴ α+∠ABP=180° ABPC 内接于圆 ∴∠ABP='
β P 、X 、C 、Y 共圆 ∴'
β=β ∴α+β=180° 即X 、Y 、Z 共线
7.（P443例30）在直角梯形ABCD 中，以垂直的一腰AB 为直径之半圆切另一腰于E ，自E 作EF ⊥AB 于F ，连结AC 交EF 于M 。求证：AC 平分EF 。 证明：∵AD ∥EF ∥BC ∴AF FM DE AB
BC
DC
==
∵DE=AD ∴DE AD DC DC
=
又∵△ACD ∽△MCE ∴AD ME CD
CE
=
∴DE AD ME DC DC CE
=
=
∴FM DE ME
BC DC CE ==
又∵CE=BC
∴FM
ME BC
BC
∴FM=EM 即AC 平分EF 。
8.（P457例42）在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，D 是AC 的中点，连结BD ，过A 作BD 的垂线交BC 于E ，连结DE ，如图，求证：∠ADB=∠CDE 。
证明：作FC ⊥AC 交AC 于C 点，交AE 延长线于F 点，则
Rt △ACF ≌Rt △BAD （ASA ） ∴∠1=∠2 CF=AD=DC ∵∠ECF=∠DCE=45° ∴△CFE ≌△CDE ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 即∠ADB=∠CDE
9.（P475例1.48蝴蝶定理）设AB 是圆O 的弦，M 是AB 的中点，现过M 任作二弦CD 、EF ，记P 、Q 为AB 依次与CF 、ED 的交点。如图，求证：PM=MQ 。
证明：将MF 沿直线OM 翻转至MF ’，则有
MF=MF ’ , ∠1=∠1’ ∵D 、E 、F 、F ’四点共圆 ∴∠5=∠4 又∵AB ∥FF ’ ∴∠5=∠1=∠1’ ∴∠1’=∠4
∴M 、F ’、D 、Q 四点共圆 ∴∠2’=∠3=∠2
∴△MFP ≌△MF ’Q(ASA)
∴MP=MQ
10.（P481例1.49）在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED=2∠CED=∠A,
求证：BD=2CD 。 证明：在BE 上取BF=AE
∵∠BED=∠BAC α+∠BAE=∠A β+∠BAD=∠BED ∴α=β
∴△ABF ≌△CAE(SAS) ∴∠1=∠2 ∠AFB=∠CEA ∴∠3=∠4=
12
∠A ∠5=∠BAC-(∠2+β)=∠BAC-∠4=
12
∠A ∴∠3=∠5 ∴AE=FE ∴BE=2AE
∴
2BED ABE DEC ACE
BD AB BE BE
S S DC AC AE AE
S S ?=====?
11.（P492题13）在矩形ABCDA 中，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点，在CD 的延长线上取PD 点，记Q 为PM 与AC 的交点，求证：∠QNM=∠MNP 。
证明：设O 为矩形中心，则O 为MN 中点，延长QN 交DC 的延长线于R 点 则C 又是PR 的中点
故NC 平分∠PNR 而MN ⊥NC ∴MN 平分∠QNP 即∠QNM=∠MNP
12.（P492题15）在等腰直角△ABC 的二直角边CA 、CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 的垂线，
并延长它们分别交AB 于K 、L ，求证：KL=KB 。 证明：延长AC 到F 使CF=CE ，则
在△ACE 与△BCF 中
AC=BC ∠ACB=∠BCF CE=CF ∴△ACE ≌△BCF （SAS ） ∴∠CBF=∠CAE ∠F=∠CEA 又∵∠CAE+∠CEA=90° ∴∠F+∠CAE=90° ∴AE ⊥BF 又∵CK ⊥AE DL ⊥AE ∴DL ∥CK ∥BF ∴在梯形DFBC 中 D C L K C F K B
= ∵DC=CF ∴1LK
KB
= 即
LK=KB
13.（P493题20）在锐角△ABC 中，过各顶作其外接圆的切线，A 、C 处的二切线分别交B 处的切线于M 、N ，设BD 是△ABC 的高（D 为垂足），求证：BD 平分∠MDN 。
证明：作MM ’⊥AC 交AC 于M ’作NN ’⊥AC 交AC 于N ’ 设AM=m CN=n ∵∠MAM ’=∠ABC=∠NCN ’ ∴∠MAM ’=∠NCN ’ 又∵∠MM ’A=∠NN ’C=90° ∴△MAM ’ ∽△NCN ’ ∴''
AM AM m CN CN
n
==
又∵MM ’ ∥BD ∥NN ’ ∴''
M D MB m DN BN
n
==
∴△ADM ∽△CDN ∴DM m DN
n
= 即DM DN m n
=
∴BD 平分∠MDN 。
14.（P493题22）已知：AD 是△ABC 的高，P 是AD 上任一点，连结BP —CP ，延长分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：DA 平分∠EDF 。
证明：过E 作EH ⊥BC ，垂足为H ，EH 交CF 于I 过F 作FG ⊥BC ，垂足为G ，FG 交BE 于J ∵EH ⊥BC ，AD ⊥BC ，FG ⊥BC ∴FH ∥AD ∥FG ∴EH AD FG EI
AP
FJ
== ∴EH
EI EG
FJ
=
又∵EP HD PJ
GD
= ∴△EIP ∽△JFP ∴EI EP JF JP
=
因此△EHD ∽△FGD ∴∠DFJ=∠DEI
∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠ADE ∴DA 平分∠EDF 。
15.（P497题1）I 是△ABC 的内心，AI 、BI 和CI 的延长线分别交△ABC 的外接圆于D 、E 和F 。
求证：EF ⊥AD
证明：∵AI 、BI 和CI 分别是∠BAC 、∠ABC 和∠ACB 的角平分线 ∴∠1=12
∠BAC ∠2=12
∠ABC ∠3=12
∠ACB
∴∠5=∠1+∠2=12
∠BAC+12
∠ABC
又∵∠3=∠4=12∠ACB
∴∠4+∠5=12
∠BAC+12
∠ABC+12
∠ACB=90°
即EF ⊥AD 。
16.（P498题6）在正方形ABCD 内任取一点E ，连结AE 、BE ，在△ABE 外分别以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连结NC 、AF 。求证：NC ∥AF 。 证明：连结DN 与CF
∵AN=AE AD=AB ∠NAE=∠EAB ∴∠NAD=∠EAB
∴△ADN ≌△ABE(SAS) ∴ND=EB 同理△ABE ≌△CDF （SAS ） ∴BF=BE=DN ∠CBF=∠AND ∴∠CDN=∠ABF ∵AB=CD
∴△CDN ≌△ABF （SAS ） ∴AF=NC
∴四边形ANCF 是平行四边形 ∴AF ∥NC
17.（P500题3）设P 、M 分别在正方形ABCD 的边DC 、BC 上，PM 与圆A （半径为AB ）相切，线段PA 、MA 分别交对角线BD 于Q 、N 。求证：五边形PQNMC 内接于圆 。 证明：连结MQ 、AT
∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′ ∴∠1′＋∠2′＝45°
∴α=45°＋∠2 β＝∠MAP ＋∠2＝45°＋∠2 ∴α＝β
∴A 、B 、M 、Q 共圆
∴∠ABM ＋∠MQA ＝180°且∠ABM ＝90° ∴∠MQA ＝90° ∴M 、C 、P 、Q 共圆 同理P 、N 、M 、C 共圆 ∴M 、C 、P 、Q 、N 五点共圆。
18.（P518例3）已知：O 是△ABC 的外心，AO 或AO 的延长线交BC 边于M 。求证：sin 2sin 2BM C MC
B
= 。
证明：∵∠AOB=2∠C ∠AOC=2∠B
∴sin 2sin 2sin 2sin 2AO OB C C
S AO OC B B ?==?△AOB △AOC
S
又∵AOB AOC S =S BOM COM S S △△△△
∴sin 2=sin 2BM C
MC B
19.(P531例10)证明：对任意的x ，y ，z ∈（0,1），皆有x （1-y ）+y(1-z)+z(1-x)<1 证明：∵(1-x)(1-y)(1-z)=1-xyz-x(1-y)-y(1-z)-z(1-x) 即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z) ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1
20.(P545题1)在平行四边形ABCD 在，E 是BC 的中点，G 是AE 、BD 的交点若=1BEG
S
，求ABCD S 。
解：∵BC ∥AD BE=12
AD
∴
AGD
S △=4
BEG
S
△=4
∵AG:GE=2：1 ∴2ABG
BEG S S =△△=2 ∴=6ABD
S △
∴
=12ABCD
S
21.(P545题2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD 的角平分线交AD 于E ，CE ⊥AD ，DE=2AE ，若C D E
S
=1，
求
ABCE
S
。
解：延长DA 、CB 交于F 点，作FN ⊥CD ，垂足为N ，交AB 于M 点 ∵CE 平分∠BCD CE ⊥AD ∴DE=EF=2AE CEF
CDE S
S ==1
∵AB ∥CD ∴AF AB FM DF
CD
FN
==
∴:ABF
CDF S S =1：16
又∵CDF
S
=2 ∴ABCD
S
=15216?=15
8
∴
78
ABCE S =
22.（P545题4）已知：在平行四边形ABCD 中，P 、Q 分别在边BC 、CD 上，且PQ ∥BD 、连结AP 、AQ ，
求证：
ABP
AQD S
S = 。
证明：连结AC 交BD 于O 点，交PQ 于E 点 ∵PQ ∥BD ∴=PE CE EQ BO CO
OD
=
又∵BO=OD ∴PE=EQ ∴
PAE
QAE S
S = PCE
QCE S
S =
即
APC
AQC S
S = ∴ABP AQD S S =
23.（P547题1）如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB=20，CD=80，BC=100那么，EF 的值是多少？
解：∵AB ∥EF ∥CD
∴EF CF AB
BC
=
EF BF
CD BC
=
又∵1CF BF BC
BC
+=
∴1EF EF AB
CD
+= 即120
80
EF EF +=
∴EF=16
24.（P548题2）如图，正方形OPQR 内接于△ABC ，已知1AOR
S
=,3BOP S =,1CRQ S =,那么，正方形
OPQR 的边长是什么？ 解：设正方形OPQR 的边长为x
则BP=
6x ，QC=2x ，PQ=x ，h=2x ，H=x+2x
则ABC S =1+3+1+2
x =12（62x x x ++）（2
x x
+）
即 10+22
x =2
x +10+216
x
∴
4
x
=16
∵x>0 ∴x=2
25.（P548题3）如图，长方形ABCD 中，F 为边CD 的中点，BC=3BE ，则A B C D B E F D S S =(阴影部分的面积)的多少倍？
解：设长方形长为a ，宽为b
则12BCD
S =?a ?b=12
ab
11(22ECF
S
=
?a ）（23
?b ）=16ab 因此1
3
BEFD S =ab 而
ABCD
S
=ab 即3ABCD BEFD S S =
26.(P549题6)如图，在△ABC 中，DE ∥BC,且:1:3ADE CDE S S =,则:?ADE
DBC S
S =
解：∵:1:3ADE CDE S S =
∴12:1:3h h = ∵DE ∥BC ∴1
1
2
14
DE BC
h
=
=
+
∴1
21
11121
43122
ADE
DBC
DE BC h S S
h ?==?=?
∴
:1:12ADE
DBC S
S =
27.（P549题7）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，在BC 上取点E ，使EC=14
BC ，DE 交AC 于F ，则AO:OF:FC=？ 解：∵BC ∥AD CE=14
BC=14
AD
∴14
CE FC AD
FA
==
设FC=1，则FA=4 AO=12
（FC+FA ）=2.5
∴OF=1.5
∴AO:OF:FC=5：3：1
28.(P549题8)如图，AB 是圆O 的直径，AB=4，弦BC=3，∠ABC 的角平分线交半圆于D ，AD 、BC 的
延长线交于E ，则ABCD S 是DCE S 的多少倍? 解：作DF ⊥CE 交CE 于F 点
∵BD 是∠ABE 的角平分线 BD ⊥AE ∴BE=AB=4
ABD
BDE S
S =
∴CE=1 BC=3 ∴1
2
DCE
DF S = 3
2
BCD DF S =
即
3BCD
DCE S
S =
29．（P550题11）如图，ABCD 是面积为1的正方形。△PBC 为正三角形，则△PBD 的面积是什么？
解：BDP BCDP BCD S S S =-
=111111)22222?+-
30.(P550题13)如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高线，∠A=45°，那么，:?AEF
FBCE S S =
解：设AE=m ，AF=n
∵∠A=45°，∠AEB=∠AFC=90°
∴
∴2
ABC
mn S = AEF S =
∴BCEF
S
=
∴:1:1AEF
FBCE S
S =
31.（P576例3）设E 在正方形ABCD 内，且∠ECD=∠EDC=15°，求证：△EAB 是正三角形。
证明：将E 点沿CD 反射到E ’则ECE ’D 是含30°的菱形 ∵2'12DEE S DE =?sin30°=11
22
（DE ）EE' ∴
2
''DC EE AD EE DE
=?=?
∴'DE EE AD
DE
=
又∵∠ADE=∠DEE ’=75° ∴△ADE ∽△DEE ’
∴AE=AD 即△ABE 是正三角形。
32.（P577例4）在△ABC 中，M 是BC 的中点。求证：AB+AC>2AM 。 证明：延长AM 到D ，使得AM=MD 则四边形ABDCA 是平行四边形 ∴BD=AC AD=2AM
又∵AB+BD>AD ∴AB+AC>2AM
33.（P58例8）设正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、AD 上的一点，如图，若△APQ 的周长
为2.求∠PCQ 。
解：将△CDQ 绕C 点旋转90°，至△CBQ ’，如图
则△CDQ ≌△CBQ ’ ∴CQ=CQ ’ DQ=BQ ’ ∵△APQ 的周长是2
∴PQ=PB+DQ 即PQ=PQ ’ 又∵CQ=CQ ’ PC 公用
∴△CPQ ≌△CPQ ’ ∴∠PCQ=∠PCQ ’ 又∵∠QCQ ’=90° ∴∠PCQ=45°
34.（P589题6）在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，过E 引EF ⊥AE 交∠C 的外角平分线于F 点， 求证：AE=EF 。
证明：取AB 中点M ，连结EM
则AM=EC 且∠BME=∠NCE=45° ∴∠AME=∠ECF=135° ∵∠1+∠AEB=90° AE ⊥EF ∴∠2+∠AEB=90° ∴∠1=∠2
∴△AME ≌△ECF(ASA) ∴AE=EF
补充
1.（P500题2）四圆顺次外切，求证：四切点共圆。 证明：由题意知：∠ABD=12
∠1O ∠CBD=12∠2O
∠CDB=12
∠3O ∠ABD=12
∠4O
∴∠ABC+∠ADC=12
∠1O +12
∠2O +12
∠3O +12
∠4O
=12
(∠1O +∠2O +∠3O +∠4O )
=180° ∴A 、B 、C 、D 四点共圆。
2.（P523例6）已知：在△ABC 中，D 、E 和F 分别位于边BC 、CA 和AB 上，且2BD CE AF
DC EA FB
===, 求证：1
3DEF ABC
S S =
。 证明：∵212339AEF ABC AF AE AB AC S S ?==?=?
同理
29
CED BDF ABC
ABC
S S =
=
∴
()
13
ABC
AEF BDF CED DEF ABC
ABC
S
S S S S S
S
-++==
即1
3
DEF ABC
S S =
3.（P573例1）在以O 为圆心的半圆的直径AB 上，取异于A 、B 和O 的点C ，过C 引与AB 成等角的射线CD 、CE 分别交半圆于D 、E ，过D 引与DC 垂直的直线，与半圆交于另一点K 。求证：当K ≠E 时，KE ∥AB 。
证明：将E 点关于AB 反射到F 点，
则EF ⊥AB 且KF 为圆O 的直径 即KE ⊥EF ∴KE ∥AB
4. (P577例5)在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，且MM=1
(AB+CD)。
2
求证：ABCD是平行四边形。
证明：连结AC，取AC中点O 连结MO,NO
CD
则MO平行且等于1
2
NO平行且等于1
AB
2
（AB+CD）
∴MO+NO=1
2
(AB+CD)
而MO+NO≥MN=1
2
∴M、O、N共线
因此AB∥CD 即ABCD是平行四边形。
5.（P579例6）设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外的一动点，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？
解：作AA’平行且等于BQ，连结A’Q、A’C
则△A’QC≌△ABP
∴∠QA’C=∠BAP=∠QAC
∴AQCA’内接于圆
作AA’∥QC
则梯形AQCA’等腰
∴AC=A’Q=AB
∴△ABC等腰。