1.3 算法案例
一、知识点归纳与讲解
1、辗转相除法与更相减损术
（1）辗转相除法
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
(1)算法步骤：
第一步：输入两个正整数m ,n (m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m，否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（2）程序框图：（3）程序
（2）更相减损术
所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。
事实上分两步完成，第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
（1）算法步骤
第一步：输入两个正整数a,b;
第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；
第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r, 那么把b 赋给a,把r 赋给b;否则把r 赋给a ；返回第二步； 第五步：输出最大公约数b.
（2）程序框图 （3）程序
说明：辗转相除法和更相减损术的区别与联系：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
辗转相除法和更相减损术本质均是将两数逐步分解成某一数的倍数加上余数，直至余数等于0为止，之所以一个为除（即乘），一个减（即加），是因为“乘”运算原本由“加”运算变化而来，更相减损术对于求多于两个数的最大公约数问题，更具有优越性。
2、秦九韶算法
对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，可以通过一次式的反复计算，逐步得出多项式值的方法，称为秦九韶算法。
即一般地,对于一个n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，……，10n n v v x a -=+，这样,求n 次多项式f(x)的值就转化为求n 个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
我们知道，衡量算法好坏的标准仍然是运算的次数，秦九韶算法，关键在于它减少了运算的次数，实际上，用秦九韶算法求n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，当
00(x x x =是任意实数）时的值，需要n 次乘法和n 次加法；而用自然的做法，则需要
(1)
1232
n n n +++++=
次乘法和n 次加法。把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多(1)
2n n +次乘法运算和n 次加法运算,减少为
n 次乘法运算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.
由11n n v a x a -=+，212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，……，10n n v v x a -=+，观察上述秦九韶算法中的n 个一次式,可见k v 的计算要用到1k v -的值.若令0n v a =，得到
01(1,2,,)
n k k n
k v a v v x a
k n --=??
=+=? ，这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环
结构来实现.
（1）算法步骤：
第一步,输入多项式次数n 、最高次项的系数n a 和x 的值 第二步,将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1n - 第三步,输入i 次项的系数i a 第四步,,1i v vx a i i =+=-；
第五步,若0i ≥,则返回第三步，否则输出v ， （2）程序框图：
3、进位制
（1）进位制的概念
进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等. “满几进一”,就是几进制,
几
进制的基数就是几.其中可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数. 如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;
十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个数字,基数是10;
十六进制可使用的数字或符号有0——9等10个数字以及A ——F 等6个字母(规定字母A ——F 对应10——15),十六进制的基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数，如(2)111001表示二进制数,(5)34表示5进制数，十进制数一般不标注基数.
一般地,若k 是一个大于1的整数,那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式120()110(0,0,,)n n n k n n n a a a a a k a a a k ----<<≤< ，k 进制的数也可以表示成不同位上数字与基数
k
的幂的乘积之和的形式,即
1120()110n n n n n k n n a a a a a k a k a k a ----=?+?++?+ 。
（2）进位制的换算
对于进位制的换算，重点是掌握(10)k k ≠进制转化成十进制，以及十进制转化为
(10)k k ≠进制。
①(10)k k ≠进制转化成十进制 关键是将(10)k k ≠进制数写成各位上数字与k 的幂的乘积之和，再求此和即为k 进制数对应的十进制数。
若设1
120()110n n n n n k n n a a a a a k a k a k a M ----=?+?++?+= ，则M 即为k 进制数
的十进制数。
②十进制转化成(10)k k ≠进制 十进制转化成(10)k k ≠进制的算法，可简称为除k 取余法。
其它进制间的转化可借助十进制作为中介进行转化。
二、典型例题讲解
问题一：辗转相除法与更相减损术的应用 例1、（1）利用辗转相除法求4800和10800的最大公约数，并用更相减损术验证。
（2）求27090，21672，8127的最大公约数。
（3）设计求204a =与85b =的最小公倍数的算法，并给出其程序框图和程序。
问题二：秦九韶算法
例2、用秦九韶算法求65432()126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+当2x =时的值。
问题三：进位制的转化 例3、（1）把十进制数51化为二进制数； （2）将二进制数(2)1101011化为五进制数。
第二章统计
2.1随机抽样
第一课时简单随机抽样
一、知识点回顾与归纳
1、几个概念
总体与个体：在统计里，我们把我们所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个被考察的对象叫做个体；
样本与样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫样本容量。
2、统计学的基本思想
用样本估计总体，即通常不是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。
因此统计的核心问题是如何根据样本的情况对总体的情况作出一种推断．这里又包括两类问题：一类是如何从总体中抽取样本，另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体的情况作出推断．
3、抽样方法分类：
如果每次抽取后再放回，就称为有放回抽样；如果每次抽取后不放回，就称为不放
回抽样和．
在实际应用中，采用较多的是不放回抽样．相对来说，放回抽样在理论研究中显得更为重要．本讲中介绍的三种抽样方法都是等可能的不放回抽样．
4、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体的个体总数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取样本（样本容量为n，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。
5、简单随机抽样的特点：
(1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限．这样，便于对其中各个个体被抽取的概率
进行分析；
(2)这种抽样是从总体中逐个地进行抽取．这样使得它具有可操作性；
(3)它是一种不放回抽样．由于抽样中多采用不放回抽样，使其具有广泛的应用性，而且由于在抽取的样本中没有被重复抽取的个体，所以便于进行分析与计算；
(4)它是一种等可能抽样，，这里的等可能不仅要求每次从总体中抽取的一个个个体，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。
6、简单随机抽样两种方法
（1）抽签法
将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这写号签放在同一个盒子里，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次得到一个容量为n的样本。
解决的问题是：总体容量较小，抽出的样本容量也较小
抽签法的实施步骤：
①给调查对象群体中的每个对象编号；
②准备“抽签”的工具，实施“抽签”；
③对样本中每一个个体进行测量或调查。
（2）随机数表法
①理解随机数表：由数字0，1，2，…，9组成，并且这十个数字每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样，满足这两个特点的数表称为随机数表，其中各个位置上出现的数称为随机数；随机数表并不唯一，只要符合各个位置上等机会地出现其中各个数的要求，就可以构成随机数表．统计工作者常用计算机来生成随机数．随机数表中各个位置上出现各个数字的等机会性，决定了利用随机数表进行时抽取到总体中各个个体序号的等机会性．
②利用随机数表进行抽样时的步骤：
第一步：将总体中的个体编号（每个号码位数一致，即所选出的第一个数是几位数，则其余的也应是几位数）．由于需要这一步骤，如果总体中的个体数太多，利用随机数表法进行抽样就显得不方便．
第二步：选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对数表之前就指出开始数字的纵横位置．
第三步：确定读数方向获取样本号码．读数的方向可向左、向右、向上、向下等等．个体编号是几位数就需将几个数码视为一个整体，在读取的过程中，若得到的数码不再编号内，则跳过去；若在编号内，则取出；如果得到的号码前面已经取出，则跳过去；继续下去，直到取满为止。
第四步：根据选定的号码抽取样本。
二、典型例题讲解
问题一：简单随机抽样概念的理解
例1、下列抽取样本的方法是否属于简单随机抽样？说明理由。
（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
（2）盒子中共有80个零件，从中选取5个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里。
例2、下列抽样方法是否是简单随机抽样？为什么？
（1）为了抽查汽车排放尾气的合格率，某环保部门在一路口随机抽查；
（2）从无穷多个个体中抽取1000个个体作为样本；
（3）班主任为了了解本班家庭作业情况，抽查了班干部的作业；
（4）上述班主任一次性从全班作业中抽出10本进行检查。
例3、一个年级有12个班，每个班的同学从1~50排学号，为了交流学习经验，要求每
班学号为14的同学参加交流活动，这里运用的抽样方法为（）
A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数表法D．以上都不对
问题二：简单随机抽样的一般步骤
例4、用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号
码；③选定开始的数字；④选定读书的方向
这些步骤的先后顺序为________________
问题三：计算个体被抽中的可能
例5、（07全国卷）一个总体为100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个
容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为__________
例6、用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一
个个体a“第一次被抽到的可能性”，“第二次被抽到的可能性”，“在整个抽样过程
中被抽到的可能性”分别是_________,__________,__________。
变式1：（07全国Ⅱ）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取
一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________。
变式2：采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容器为3的样本，个体a前
两次未被抽到，第3次被抽到的概率为_________。
第二课时系统抽样与分层抽样
一、知识点回顾与归纳
1、系统抽样的概念
将总体的个体进行编号，并将总体平均分成的几个部分，然后按照简单随机抽样抽取第一样本，再按相同的间隔（称为样距）抽取其它样本，这种抽样的方法称为系统抽样，有时也叫做等距抽样或机械抽样。
2、系统抽样与简单随机抽样的联系：对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样。
3、系统抽样的特点：适用总体的个体数较多；是等距抽样，即要求抽出的样本号码成等距排列，而且每段都有相同个数的号码；每个个体被抽到的可能性相同，是等可能抽样。
4、系统抽样的操作步骤：
（1）利用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）为将整个的编号进行分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k。当N
n
（N
为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，
N
k
n
=；当
N
n
不是整数时，通过从总
体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体个数N′能被n整除，这时
'
N k
n =
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l；
（4）按照事先确定的规则抽取样本(通常是将l加上间隔k得到第2个编号(l＋k)，将
(l＋k)加上k，得到第3个编号(l＋2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．)．
5、分层抽样的概念及其操作步骤
一般地，当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，形成互不交叉的层，然后按照各部分所占的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体进行抽样，将各层取出的个体合在又一起作为样本，这种抽样叫做分层抽样，有时也叫类型抽样所分成的部分叫做层．
6、分层抽样的特点：总体由差异明显的几部分组成；各层互不交叉，更充分地反映总体的情况；每个个体被抽到的可能性相同，也是等可能抽样
7、分层抽样的步骤：
（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的分层；
（2）根据总体中的个体数N和样本容量n，计算出抽样比
n
k
N ；
（3）按比例确定每层抽取个体的个数；
（4）各层抽样（方法可以不同）；
（4）汇合成样本。
8、三种抽样方法的区别与联系．
（1）在三种抽样方法中，简单随机抽样是最基本、最简单的抽样方法，其他两种抽样方法都是建立在它的基础之上的．三种抽样方法的共同点是它们都是等概率抽样，即在抽样过程中每一个个体被抽取的概率相等，体现了抽样方法的客观性与公平性。其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，常采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成，而这一差异又恰好与研究的问题密切相关时，常采用分层抽样。
二、典型例题讲解
问题一：系统抽样概念的理解
例1、下列抽样试验中，最适宜系统抽样法的是（）
A、将全班54名学生（男、女各一半）按男女生交替排成一路纵队，用掷骰子的方法在前6名学生中任选1名，用l表示该名学生在队列中序号，将队列中序号为
(6)(1,2,,8)l k k += 的学生抽出作为样本
B 、从某厂生产的3000个电子元件中随机抽取5个入样
C 、从某厂生产的2600个电子元件中随机抽取260个入样
D 、从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
例2、为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取200名学生的成绩进行统计分析。运用系统抽样法抽取样本时，求每组的容量。
问题二：会根据系统抽样的一般步骤进行抽样
例3、为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，试叙述系统抽样的步骤．
解：抽样过程如下：
(1)随机地将这1000名学生编号为1，2，3， (1000)
(2)将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．
(3)在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18．
(4)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，58，…，978，998． 说明：(1)系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的可能性都等于
50
1000
； (2)系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．
变式：为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容
量为50的样本．
解：(1)随机地将这1003个个体编号为1，2，3， (1003)
(2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行． (3)再随机地将这1000名学生编号为1，2，3，…，1000． (4)按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．
(5)在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18．
(6)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，58，…，978，998． 说明：
当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行．并且说明，这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然是相等的．以从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本为例，从总体中剔除3个个体的条件下，其中的每个个体被抽到的可能性为
10005050
100310001003
?=
。
点评：
(1)系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样显得不
方便；
(2)系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每
一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
(3)与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等可能性抽样．
例4、(2010 湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为（）
A．26, 16, 8, B．25，17，8
C．25，16，9 D．24，17，9
问题四：分层抽样的概念理解
例5、（08重庆）某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是
(A)简单随机抽样法(B)抽签法
(C)随机数表法(D)分层抽样法
问题五：分层抽样的“按比例”的理解
例6、（06重庆）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A）2 （B）3 （C）5 （D）13
问题六：会根据分层抽样的一般步骤进行抽样
例7、某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工
人20人。上级政府为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，
试确定用何种方法抽取，请具体实施操作。
解： 机构改革关系到各种人的不同利益，故采用分层抽样为妥。
（1）确定样本容量与总体的个体数之比20∶100 ＝1∶5，从而确定不同人群要抽取的
人数为：副处级以上干部10人中抽取2人，一般干部70人中抽取14人，工人20人中
抽取4人；
（2）因副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1~10编号与1~20编号，然后
采用抽签法分别抽取2人和4人；对于一般干部70人采用00，01，……，69编号，然
后利随机数表法抽取14人．
说明：
（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的．用分层抽样从个体数为N的总体中抽取
一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率相等的；
（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知
信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛；
（3）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；在每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；分层抽样也是等概率抽样．
练习1：某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，以每人被抽取的概率为0.2，向该中学抽取一个容量为n 的样本，则n =____________．解：一年级，二年级，三年级人数总和为400+320+280＝1000(人)，则0.22001000
n n =∴=
练习2:（09广东）某校共有学生2000名，各年级男、女
生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
A ．24
B ．18
C ．16
D ．12
简析：本题考查简单的统计知识的应用，注意到分层抽样的实质就是按比例抽样，故只要
求出初三年级人数即可；设初二年级人数为x , 则由0.192000
x
=，得380x =，即二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
168
2
64=?。
问题七：三种抽样方法的综合应用
例8、 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是
（ ）
A ．分层抽样，系统抽样
B ．分层抽样，简单随机抽样法
C ．系统抽样，分层抽样
D ．简单随机抽样法，分层抽样法
变式：某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中，依随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是（ ）
A ．方法2，方法1，方法3
B ．方法2，方法3，方法1
C ．方法1，方法2，方法3
D ．方法3，方法1，方法2
方法1：将140人从1～140编号，然后制作出有编号1～140的140个形状、大小相同
的号签，并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌，然后从中抽取20个号签，编号与签号相同的20个人被选出．
方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽
签法抽出k号(1≤k≤7)，则其余各组k号也被抽到，20个人被选出．
方法3：按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽取13人，从教辅行政人员中抽取4人，从总务后勤人员中抽取3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽到20个人．
§ 13．3 算法案例 一、知识导学 1．算法设计思想： （1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m 从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m 递增1，一直到m 同时满足三个条件为止(循环过程用Goto 语句实现) （2）用辗转相除法找出b a .的最大公约数的步骤是：计算出b a ÷的余数r ，若0=r ，则b 为b a ,的最大公约数；若0≠r ，则把前面的除数b 作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数b a ,的最大公约数. 2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数. （3）二分法求方程0)(=x f 在区间[]b a ,内的一个近似解*x 的解题步骤可表示为 S1 取[b a ,]的中点()b a x += 2 10，将区间 一分为二； S2 若()00=x f ，则0x 就是方程的根；否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧： 若()()00>?x f a f ，()b x x ,*0∈，以0x 代替a ； 若()()00
本文从互联网收集并整理了推荐系统的架构，其中包括一些大公司的推荐系统框架（数据流存储、计算、模型应用），可以参考这些资料，取长补短，最后根据自己的业务需求，技术选型来设计相应的框架。后续持续更新并收集。。。 图1 界面UI那一块包含3块东西：1) 通过一定方式展示推荐物品(物品标题、缩略图、简介等)；2) 给的推荐理由；3) 数据反馈改进个性化推荐；关于用户数据的存放地方：1)数据库/缓存用来实时取数据；2) hdfs文件上面； 抽象出来的三种推荐方式 图2
图3 图3中，推荐引擎的构建来源于不同的数据源(也就是用户的特征有很多种类，例如统计的、行为的、主题的)+不同的推荐模型算法，推荐引擎的架构可以试多样化的(实时推荐的+离线推荐的)，然后融合推荐结果（人工规则+模型结果），融合方式多样的，有线性加权的或者切换式的等 图4 图4中，A模块负责用户各类型特征的收集，B模块的相关表是根据图3中的推荐引擎来生成的，B模块的输出推荐结果用来C模块的输入，中间经过过滤模块(用户已经产生行为的物品，非候选物品，业务方提供的物品黑名单等)，排名模块也根据预设定的推荐目标来制定，最后推荐解释的生成（这是可能是最容易忽视，但很关键的一环，微信的好友推荐游戏，这一解释已经胜过后台的算法作用了） HULU的推荐系统
总结：这个也就跟图3有点类似了，葫芦的推荐系统，至少在他blog中写的比较简单。更多的是对推荐系统在线部分的一种描述，离线部分我猜想也是通过分布式计算或者不同的计算方式将算法产生的数据存储进入一种介质中，供推荐系统在线部分调用。系统的整个流程是这样的，首先获取用户的行为，包括(watch、subscribe、vote)，这样行为会到后台获取show-show对应的推荐数据。同时这些行为也会产生对应的topic，系统也会根据topic 到后台获取topic-show对应的推荐数据。两种数据进行混合，然后经过fliter、explanation、ranking这一系列过程，最后生成用户看到的推荐数据。 淘宝的推荐系统(详细跟简单版)
算法案例 【学习目标】 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序； 3.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质； 4.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换. 【要点梳理】 要点一、辗转相除法 也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q 0和一个余数r ； 第二步：若r 0=0，则n为m，n的最大公约数；若r ≠0，则用除数n除以余数r 得到一个 商q 1和一个余数r 1 ； 第三步：若r 1=0，则r 为m，n的最大公约数；若r 1 ≠0，则用除数r 除以余数r 1 得到一个 商q 2和一个余数r 2 ； …… 依次计算直至r n =0，此时所得到的r n－1 即为所求的最大公约数. 用辗转相除法求最大公约数的程序框图为：
程序： INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m
WEND PRINT n END 要点诠释： 辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变量m 表示，把较小的数用变量n 表示，这样式子 )0(n r r q n m <≤+?=就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实现算法. 要点二、更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之. 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数. 理论依据： 由r b a r b a +=→=-，得b a ,与r b ,有相同的公约数 更相减损术一般算法： 第一步，输入两个正整数)(,b a b a >； 第二步，如果b a ≠，则执行3S ，否则转到5S ； 第三步，将b a -的值赋予r ； 第四步，若r b >，则把b 赋予a ，把r 赋予b ，否则把r 赋予a ，重新执行2S ； 第五步，输出最大公约数b . 程序: INPUT “a=”，a INPUT “b=”，b WHILE a<>b
算法案例 知识讲解 一、更相减损术 1.概念：求两个整数的最大公约数的算法. 2.步骤：以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，此数就是这两个数的最大公约数． 3.等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数． 4.原理：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)，，，，，，，， →→→→→→ 每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数． 二、辗转相除法 1.概念：辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法． 2.步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数． 如：(117182)(11765)(6552)(5213)(130) ，，，，，,故13即为所求． →→→→ 三、秦九韶算法 1.用途：秦九韶算法求多项式的值 2.具体内容：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古
代数学家秦九韶提出的，具体如下： 对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++， 改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++ ++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=++ +++ = 1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++， 求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+． 这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值． 令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++，则递推公式为01n k k n k v a v v x a --=??=+?, 其中12k n =，，，． 到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法． 3.秦九韶算法与其它算法的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++ ++， （1）直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为 (1) (1)212 n n n n ++-+++= ，加法次数n ； （2）逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次． 注：此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多． （3）秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次． 4.秦九韶算法的特点： 1）化高次多项式求值为一次多项式求值； 2）减少了运算次数，提高了效率； 3）步骤重复执行，容易用计算机实现． 注意：利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐
个性化推荐系统研究综述 【摘要】个性化推荐系统不仅在社会经济中具有重要的应用价值，而且也是一个非常值得研究的科学问题。给出个性化推荐系统的定义，国内外研究现状，同时阐述了推荐系统的推荐算法。最后对个性化推系统做出总结与展望。 【关键词】推荐系统；推荐算法；个性化 1.个性化推荐系统 1.1个性化推荐系统的概论 推荐系统是一种特殊形式的信息过滤系统（Information Filtering），推荐系统通过分析用户的历史兴趣和偏好信息，可以在项目空间中确定用户现在和将来可能会喜欢的项目，进而主动向用户提供相应的项目推荐服务[1]。传统推荐系统认为推荐系统通过获得用户个人兴趣，根据推荐算法，并对用户进行产品推荐。事实上，推荐系统不仅局限于单向的信息传递，还可以同时实现面向终端客户和面向企业的双向信息传递。 一个完整的推荐系统由3个部分组成：收集用户信息的行为记录模块，分析用户喜好的模型分析模块和推荐算法模块，其中推荐算法模块是推荐系统中最为核心的部分。推荐系统把用户模型中兴趣需求信息和推荐对象模型中的特征信息匹配，同时使用相应的推荐算法进行计算筛选，找到用户可能感兴趣的推荐对象，然后推荐给用户。 1.2国内外研究现状 推荐系统的研宄开始于上世纪90年代初期，推荐系统大量借鉴了相关领域的研宄成果，在推荐系统的研宄中广泛应用了认知科学、近似理论、信息检索、预测理论、管理科学以及市场建模等多个领域的知识。随着互联网的普及和电子商务的发展，推荐系统逐渐成为电子商务IT技术的一个重要研究内容，得到了越来越多研究者的关注。ACM从1999年开始每年召开一次电子商务的研讨会，其中关于电子商务推荐系统的研究文章占据了很大比重。个性化推荐研究直到20世纪90年代才被作为一个独立的概念提出来。最近的迅猛发展，来源于Web210技术的成熟。有了这个技术，用户不再是被动的网页浏览者，而是成为主动参与者[2]。 个性化推荐系统的研究内容和研究方向主要包括：（1）推荐系统的推荐精度和实时性是一对矛盾的研究；（2）推荐质量研究，例如在客户评价数据的极端稀疏性使得推荐系统无法产生有效的推荐，推荐系统的推荐质量难以保证；（3）多种数据多种技术集成性研究；（4）数据挖掘技术在个性化推荐系统中的应用问题，基于Web挖掘的推荐系统得到了越来越多研究者的关注；（5）由于推荐系统需要分析用户购买习惯和兴趣爱好，涉及到用户隐私问题，如何在提供推荐服务的
教育精品资料 2020年人教版高中数学必修三全套教案（全册完整版） 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点；
2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
人教版高中数学同步练习 §1.3算法案例 课时目标通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献． 1．辗转相除法 (1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法． (2)辗转相除法的算法步骤 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步． 2．更相减损术 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数． 3．秦九韶算法 把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式： (…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0， 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2＝v1x＋a n－2， v3＝v2x＋a n－3， … v n＝v n－1x＋a0 这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值． 4．进位制 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k. 把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法． 一、选择题 1．下列说法中正确的个数为() (1)辗转相除法也叫欧几里得算法； (2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；
【高中必修3数学算法案例总结】高中数学必修1 在高中数学必修3算法教学中，为帮助学生理解案例的数学本质,安排了算法案例一节内容，下面是小编给大家带来的高中必修3数学算法案例总结，希望对你有帮助。 高中必修3数学算法案例 高中数学学习方法 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维
题组一 选择题 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度高低 D 代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是（D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n）16．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（ A ）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 18.下面是贪心算法的基本要素的是（ C ）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解 31、下列算法中不能解决0/1背包问题的是（A ） A 贪心法 B 动态规划 C 回溯法 D 分支限界法 32、回溯法搜索状态空间树是按照（C ）的顺序。 A 中序遍历 B 广度优先遍历 C 深度优先遍历 D 层次优先遍历 34．实现合并排序利用的算法是（ A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 40、背包问题的贪心算法所需的计算时间为（ B ） A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n）填空题 1.算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。 2、程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。 3、算法的“确定性”指的是组成算法的每条指令是清晰的，无歧义的。 4.矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现。
第一章检测 一．选择题 1．如果输入n=2，那么执行如图中算法的结果是（） A．输出3 B．输出4 C．输出5 D．程序出错，输不出任何结果 2．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞） 3．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（） A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或1
4．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值一输出的y的值相等，则x的可能值的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（） A．39 B．21 C．81 D．102 6．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5 7．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（） A．k＜6？B．k＜7？C．k＜8？D．k＜9？ 8．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）
A．﹣1 B．C．2 D．1 9．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值 范围是（） A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|﹣2≤x≤2} C．{x∈R|0≤x≤log23，或x=2} D．{x∈R|﹣2≤x≤log23，或x=2} 10．执行下列程序后，输出的i的值是（） A．5 B．6 C．10 D．11 11．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）
A．i＞20 B．i＜20 C．i＞=20 D．i＜=20 12．为估测某校初中生的身高情况，现从初二（四）班的全体同学中随机抽取10人进行测量，其身高数据如茎叶图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（） A．172，172 B．172，169 C．172，168.5 D．169，172 13．如图程序运行的结果是（） A．515 B．23 C．21 D．19 14．如果程序执行后输出的结果是990，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为（）
Xiaol v2009-Relevance is more significant than correlation: Information filtering on sparse data 本文提出了在针对数据稀疏时，使用相关性信息比关联性信息效果更好，因为在关联性信息中，会用到更多的数据， Recommendation System 推荐系统存在的主要挑战： 1.Data sparsity. 2.Scalability 解决该问题的一般方法（28-30） a)有必要考虑计算成本问题和需找推荐算法,这些算法要么是小点的要求 或易于并行化(或两者) b)使用基于增量的算法，随着数据的增加，不重新计算所有的数据，而是 微调的进行 3.Cold start 解决该问题的方法一般有 a)使用混合推荐技术，结合content和collaborative数据，或者需 要基础信息的使用比如用户年龄、位置、喜好genres（31、32） b)识别不同web服务上的单独用户。比如Baifendian开发了一个可以 跟踪到单独用户在几个电子商务网站上的活动，所以对于在网站A的一 个冷启动用户，我们可以根据他在B，C，D网站上的记录来解决其冷启 动问题。 4.Diversity vs. Accuracy（多样性和精确性） 将一些很受欢迎的且高评分的商品推荐给一个用户时，推荐非常高效，但是这种推荐不起多少作用，因为这些商品可以很容易的找到。因此一个好的推荐商
品的列表应该包含一些不明显的不容易被该用户自己搜索到的商品。解决该问题 的方法主要是提高推荐列表的多样性，以及使用混合推荐方法。（34-37） 5.Vulnerability to attacks 6.The value of time. 7.Evaluation of recommendations 8.er interface. 除了这些问题外，还有其他的。随着相关学科分支的出现，特别是网络分析工具，科学家考虑网络结构对推荐的效果影响，以及如何有效使用已知的结构属性来提 高推荐。比如，（45）分析了消费者-商品网络并提出了一个基于喜好边（preferring edges）改进的推荐算法，该算法提高了局部聚类属性。（46）设计并提高了算法，该算法充分利用了社区结构（community structure）。随之而来的挑战主要有：带有GPS移动手机成为主流，并且可以访问网络，因此，基于位置的推荐更需要精确的推荐，其需要对人的移动有一个高效预测能力（47、48）并且高质量的定义位置和人之间的相似性的方法。（49、50）。智能推荐系统需考虑不同人的不同行为模式。比如新用户比较喜欢访问popular商品并且选择相似的商品，而老的用户有更不同的喜好（51,52）用户行为在低风险商品和高风险商品之间更加的不同。（53,54） 推荐系统的一些概念 网络 网络分析对于复杂系统的组织原则的发现是一个万能的工具（5-9）。网络是 由一些元素点和连接点的边组成的。点即为个人或者组织，边为他们之间的交互。 网络G可用（V，E）表示，V（vertice）为节点的集合，E为边（edge）的 集合。在无向网络中，边无方向。在有向网络中，边有向。我们假设网络中不存 在回路以及两个节点之间不存在多条边。G(V,E)图中，一些参数表示是指与节点x连接的节点（即x的邻居）的集合。 即为x节点的度。
2019-2020年高中数学 1.3 《算法案例》教案新人教版必修3 （1）教学目标 （a）知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 （b）过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 （c）情态与价值 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 （2）教学重难点 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 （3）学法与教学用具 学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 （4）教学设想 （一）创设情景，揭示课题 1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？ 2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 （二）研探新知 1.辗转相除法 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 （分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数） 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。 6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德
人教版高中数学必修三 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 算法案例 【学习目标】 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序； 3.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质； 4.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换. 【要点梳理】 要点一、辗转相除法 也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0； 第二步：若r0=0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1； 第三步：若r1=0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2； …… 依次计算直至r n=0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公约数. 用辗转相除法求最大公约数的程序框图为：
程序： INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m
必修3 第一章算法初步全章小结 【知识内容结构】 割圆术 【重点知识梳理与注意事项】 『算法与程序框图』 ◆算法 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的明确的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题。 描述算法可以有不同的方式。可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。 ◆程序框图 ◇概念：通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法，这种图称作程序框图（简称框图）。 ◇常用图形符号： 注意：i）起、止框是任何流程不可少的；
ii）输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置； iii）算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内； iv）当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在判断框内； v）如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码。 ◇画程序框图的规则： （1）使用标准的框图的符号； （2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画； （3）除判断框外，其他框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号； （4）一种判断框是二择一形式的判断，有且仅有两个可能结果；另一种是多分支判断，可能有几种不同的结果； （5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 ◆算法的三种基本逻辑结构 ◇顺序结构：描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行。 例： ◇条件分支结构：是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。 例： ◇循环结构：根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构。
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2)
1.1.1 算法的概念（第1课时） (3) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解： 算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =2 ) 1(+n n 直接计算 第一步：取n =5； 第二步：计算 2 ) 1(+n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； 第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些 在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序 或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成 .
推荐系统的出现 推荐系统的任务就是解决，当用户无法准确描述自己的需求时，搜索引擎的筛选效果不佳的问题。联系用户和信息，一方面帮助用户发现对自己有价值的信息，另一方面让信息能够展现在对他感兴趣的人群中，从而实现信息提供商与用户的双赢。 推荐算法介绍 基于人口统计学的推荐 这是最为简单的一种推荐算法，它只是简单的根据系统用户的基本信息发现用户的相关程度，然后将相似用户喜爱的其他物品推荐给当前用户。 系统首先会根据用户的属性建模，比如用户的年龄，性别，兴趣等信息。根据这些特征计算用户间的相似度。比如系统通过计算发现用户A和C比较相似。就会把A喜欢的物品推荐给C。 优缺点： ?不需要历史数据，没有冷启动问题 ?不依赖于物品的属性，因此其他领域的问题都可无缝接入。 ?算法比较粗糙，效果很难令人满意，只适合简单的推荐 基于内容的推荐 与上面的方法相类似，只不过这次的中心转到了物品本身。使用物品本身的相似度而不是用户的相似度。
系统首先对物品（图中举电影的例子）的属性进行建模，图中用类型作为属性。 在实际应用中，只根据类型显然过于粗糙，还需要考虑演员，导演等更多信息。 通过相似度计算，发现电影A和C相似度较高，因为他们都属于爱情类。系统还会发现用户A喜欢电影A，由此得出结论，用户A很可能对电影C也感兴趣。 于是将电影C推荐给A。 优缺点： ?对用户兴趣可以很好的建模，并通过对物品属性维度的增加，获得更好的推荐精度 ?物品的属性有限，很难有效的得到更多数据 ?物品相似度的衡量标准只考虑到了物品本身，有一定的片面性 ?需要用户的物品的历史数据，有冷启动的问题 协同过滤 协同过滤是推荐算法中最经典最常用的，分为基于用户的协同过滤和基于物品的协同过滤。那么他们和基于人口学统计的推荐和基于内容的推荐有什么区别和联系呢？ 基于用户的协同过滤——基于人口统计学的推荐 基于用户的协同过滤推荐机制和基于人口统计学的推荐机制都是计算用户的相似度，并基于“邻居”用户群计算推荐，但它们所不同的是如何计算用户的相似度，基于人口统计学的机制只考虑用户本身的特征，而基于用户的协同过滤机制可是在用户的历史偏好的数据上计算用户的相似度，它的基本假设是，喜欢类似物品的用户可能有相同或者相似的口味和偏好。 基于物品的协同过滤——基于内容的推荐
习题解析 第1章 1. 解析： 算法主要是指求解问题的方法。计算机中的算法是求解问题的方法在计算机上的实现。 2. 解析： 算法的五大特征是确定性、有穷性、输入、输出和可行性。 3. 解析： 计算的算法，其中n是正整数。可以取循环变量i的值从1开始，算i的平方，取平方值最接近且小于或者等于n的i即可。 4. 解析： 可以使用反证法，设i=gcd(m, n)=gcd(n, m mod n)，则设m=a*i，n=b*i，且a与b互质，这时m mod n=（a-x*b）*i，只需要证明b和a-x*b互质，假设二者不互质，可以推出a与b不互质，因此可以得到证明。 5. 解析： 自然语言描述：十进制整数转换为二进制整数采用“除2取余，逆序排列”法。 具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。 流程图：如图*.1
图*.1 十进制整数转换成二进制整数流程图 6. 解析： a.如果线性表是数组，则可以进行随机查找。由于有序，因此可以进行折半查找，这样可以在最少的比较次数下完成查找。 b.如果线性表是链表，虽然有序，则只能进行顺序查找，从链表头部开始进行比较，当发现当前节点的值大于待查找元素值，则查找失败。 7. 解析： 本题主要是举例让大家了解算法的精确性。过程中不能有含糊不清或者二义性的步骤。大家根据可行的方式总结一下阅读一本书的过程即可。 8. 解析： 数据结构中介绍的字典是一种抽象数据结构，由一组键值对组成，各个键值对的键各不相同，程序可以将新的键值对添加到字典中，或者基于键进行查找、更新或删除等操作。由于本题已知元素唯一，因此大家可以据此建立一个自己的字典结构。实现字典的方法有很多种： ?最简单的就是使用链表或数组，但是这种方式只适用于元素个数不多的情况下； ?要兼顾高效和简单性，可以使用哈希表； ?如果追求更为稳定的性能特征，并且希望高效地实现排序操作的话，则可以使用更为复杂的平衡树。
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编13：算法初步 一、填空题 1 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）右图是一个算法流程图, 若输入x的值为-4,则输出y的值为__. 【答案】2 2 ．（南京市、 盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 . 【答案】3 (第6题
3 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）右边的程序语句运行后,输出的 S 为____________. 【答案】17 4 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知实数x ∈[1,9],执行如右图所示的 流程图,则输出的x 不小于55的概率为________. 【答案】答案:38. 本题主要考查算法及几何概型等知识. 法一 当输入x =1时,可输出x =15;当输入x =9时,可输出y =79.于是当输入x 的取值范围为[1,9]时,输出x 的取值范围为[15,79],所求概率为 7955379158-=-. 法二 输出值为87x +.由题意:8755x +≥,故69x ≤≤. 开始 结束 Y n ←1 输入x 输出x n ← x ←2x +1 n ≤3 N （第8
5 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）根据如图所示 的伪代码,最后输出的S 的值为____. 【答案】145 6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）根据右图所示的算法,可知输出的结 果为______. [来源:https://www.doczj.com/doc/532034554.html,] 【答案】11 7 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）根据右图的伪代码,输 出的结果T 为______. 0 1023 21 Pr int n S n While S S S n n End While n ++ ≤ ←←0 ←←4(第题)S ←0 For I From 1 to 28 （第6
学业分层测评(五) 输入语句、输出语句和赋值语句 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列给出的输入、输出语句正确的是() ①输入语句：INPUT a，b，c，d，e； ②输入语句：INPUT X＝1； ③输出语句：PRINT A＝4； ④输出语句：PRINT 10，3*2，2/3. A．①②B．②③ C．③④D．①④ 【解析】②③中对变量赋值是错误的． 【答案】 D 2．赋值语句“x＝x＋1”的正确解释为() A．x的值与x＋1的值可能相等 B．将原来x的值加上1后，得到的值替换原来x的值C．这是一个错误的语句 D．此表达式经过移项后，可与x＝x－1功能相同 【答案】 B 3．下面的程序输出的结果是()
x＝6 y＝3 x＝x/3 y＝4*x＋1 PRINT x＋y END A．27 B．9 C．2＋25 D．11 【解析】该程序的运行过程是x＝6，y＝3，x＝6÷3＝2，y＝4×2＋1＝9，x＋y＝2＋9＝11.所以输出11. 【答案】 D 4．下列程序执行后，变量a、b的值分别为() 【导学号：28750014】 a＝15 b＝20 a＝a＋b b＝a－b a＝a－b PRINT a，b A．20，15 B．35，35 C．5，5 D．－5，－5 【解析】根据赋值语句的意义，先把a＋b＝35赋给a，然后把a－b＝35－20赋给b，最后再把a－b＝35－15＝20赋给a. 【答案】 A 5．输出语句：PRINT 4＋5，其输出的结果是() A．4B．5
C．9 D．20 【解析】4＋5＝9，故输出的结果是9. 【答案】 C 二、填空题 6．执行程序PRINT (3＋5)*2的结果为________． 【解析】输出语句有计算功能，故结果为8*2＝16. 【答案】16 7．下面一段程序执行后的结果为________． A＝20 A＝A*5 A＝A＋6 PRINT A END 【解析】A＝20×5＝100，A＝100＋6＝106. 【答案】106 8．下面程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果是3.46，则此程序中，①处应填________；②处应填________． 【解析】由于程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，所