翻折问题---解答题综合
1．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．
（1）将△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1；
（2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是．
2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明
过程．
（2）如图②，四边形ABCD是一X边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．
3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．
（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=；
（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．
4．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．
5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求的值．
6．如图1，一X菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．
（1）求证：四边形ADCB是矩形；
（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．
7．（1）操作发现：
如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系；
（2）问题解决：
如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；
（3）类比探究：
如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．
8．如图，现有一X边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）求证：AP+HC=PH；
（3）当AP=1时，求PH的长．
9．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕的两端点分别在边AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10，设AE=x．
（1）当BF的最小值等于时，才能使点B落在AD上一点E处；
（2）当点F与点C重合时，求AE的长；
（3）当AE=3时，点F离点B有多远？
10．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．
11．【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？
【实践操作】如图．
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开，得到AD∥EF∥BC．
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM 与折痕EF 相交于点P．连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN．
【问题解决】
（1）求∠NBC的度数；
（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠NBC的度数以外）．
（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．
12．已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F．分别把Rt△BAE 和Rt△DCF沿BE，DF折叠成如图所示位置．
（1）若得到四边形BFDE是菱形，求AE的长．
（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上，求AE的长．
13．如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：
（1）GFFD：（直接填写=、＞、＜）
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）小明通过此操作有以下两个结论：
①四边形EBCF的面积为4cm2
②整个着色部分的面积为5.5cm2
运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．
14．操作：准备一X长方形纸，按下图操作：
（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；
（2）把A折向MN，得Rt△AEB；
（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．
探究：△EBF的形状，并说明理由．
15．1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，若∠A=40°，求∠1+∠2的度数；
（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；
（3）将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠．
①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；
②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．
16．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．
（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN=°．
（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．
（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．
17．如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．
（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形；
（2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．
18．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与
OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ=；
（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值．
19．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．
（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；
（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．
20．把一X矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长．
21．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动，连接DP，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时，点P运动的时间．
22．在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，
把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．如图1，当DH=DA时，
（1）填空：∠HGA=度；
（2）若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；
23．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，点B落在A1处．剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C
的平分线A1B2折叠，点B1落在A2处．剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n
与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系．
（2）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系．
（3）如果一个三角形的最小角是4°，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
答：．
24．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）求折痕EF的长．
25．如图1，ABCD是一X矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，KB交MN于O．
（1）若∠1=80°，求∠MKN的度数；
（2）当B与D重合时，画出图形，并求出∠KON的度数；
（3）△MNK的面积能否小于2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
26．七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：
如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，回答下列问题：
折叠问题练习题 1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求EOF ∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小． 解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则 2EG FH ==，22GH =． 因为二面角D －AC －B 为直二面角， 2 2 2 2 2cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-? 222(22)(2)(2)012.=++-= 又在EOF ?中，2OE OF ==， 22222222(23)1 cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-???． 120EOF ∴∠= ． （Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ． ∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ． ∴ EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角． 在Rt ?EGM 中，90EGM ∠= ，2EG =，1 12 GM OE = =， ∴ tan 2EG EMG GM ∠==．∴arctan 2EMG ∠=． 所以，二面角E OF A --的大小为arctan 2． 2.（2009福建卷文）（本小题满分12分） 如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ? ∠=，2,4AB AD ==将 CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。 （I ）证明：在ABD ?中，2,4,60AB AD DAB ?==∠= 222 2 2 22cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE ∴=+-?∠=∴+=∴⊥ 又 平面EBD ⊥平面ABD 平面EBD 平面,ABD BD AB =?平面ABD AB ∴⊥平面EBD DF ? 平面,EBD AB DE ∴⊥ （Ⅱ）解：由（I ）知 ,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥ 从而DE D ⊥在Rt DBE ?中， 23,2DB DE DC AB ==== A B C D E F O O F A B C D E C D M H G O F A B E G H M A B C D E F O
题型（九）折叠、旋转问题 1.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C． 2.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为． 【答案】9 3.（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm， 则CF= 2cm． 4.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，2 DE=，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形''' +=( ) CE CG CE，则'' DE F G，此时点' G在AC上，连接'
1 【答案】AA 5.（2017浙江嘉兴第16题）一副含30?和45?角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==（如图1） ，点G 为边BC ()EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是 ．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从0?到60?的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号） 【答案】12．1－18． 6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 . . 7.（2015年重庆A4分）如图，矩形ABCD 中，10AB AD ==，连接BD ， ∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为''BC E ?，当射线'BC 和射线'BE 都与线段AD 相交时，设交点分别F ，G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 ▲ .
翻折问题 一．解答题（共1小题） 1．（2014?西城区一模）阅读下列材料： 问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标． 小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折 痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F（﹣，0）， 所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1） 请回答： （1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标； （2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； 参考小明的做法，解决以下问题： （3）将矩形沿直线y=﹣x+n折叠，求点A的坐标； （4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围． 考点：一次函数综合题． 分析：（1）如图1，在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长； （2）作OA的中垂线即可； （3）如图，设直线y=﹣x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°，从而求得∠1=∠2，得出△DEA∽△GAF所以=，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得 A点的坐标． （4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围， 解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2，6）； （2）如图所示：
专题：几何翻折变换（折叠问题） 1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OB BP PC CQ =。 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 6t 11t6m = -- 。∴2 111 m t t6 66 =-+（0＜t＜11）。 （Ⅲ）点P 1113 - ，6 11+13 ，6）。 2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。 设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=7 4 。 ∴ 7 AG7 4 tan ABG AB624∠===。 （3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=1 2 AD=4。 ∵tan∠ABG=tan∠ADE=7 24 。∴EH=HD× 7 24 =4× 77 = 246 。
中考数学总复习专题---翻转折叠问题 【专题点拨】 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。 【解题策略】 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算. 【典例解析】 类型一：三角形折叠问题 例题1：（·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得 ∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（） A．4 B． C．3D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠AB C， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴=， ∴=， ∴CD=，BD=BC﹣CD=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴=，即=， ∴DM=，MB=BD﹣DM=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，
∴△ABD∽△MBE， ∴=， ∴BE===． 故选B． 变式训练1： （·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）． 类型二：平行四边形折叠问题 例题2：（·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B ＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．
翻折图形题一 一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE和AD相交于点O，写出一组相等的线段_____BE=BC____（不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=____0.5_____． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE 为折痕向右折叠，AE和BC交于点F，则CF的长为____2____． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM 沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为____1_____． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=____15_____． 6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=___25/4______．
7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=____5根号3/3_____cm，∠DCE=___30°__． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_____60____度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_20_． 二．选择题（共9小题） 10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（A） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（C）cm．
重庆南开中学初2015级九年级(下)半期考试 数 学 试 题 一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号 为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑． 1．2的相反数是( ) A ．2 B ． 21 C ．-2 D ．2 1- 2．计算3 2 2· x x -的结果是( ) A ．5 2x - B ．5 2x C ．6 2x - D ．6 2x 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) 4．如图，点O 在直线AC 上，BO ⊥DO 于点O ，若?=∠1451，则3∠的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 5．若a(a ≠0)是关于方程022 =-+a bx x 的一个根，则b a +的值为( ) A ．2 B ．-2 C ．0 D ．4 6．如图，已知DE ∥BC ，且=DB AD ：2:1，则△ADE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1:4 B ．2:3 C ．4:6 D ．4:9
7．下列说法正确的是( ) A ．调查重庆市空气质量情况应采用普查的方式 B ．若A 、B 两组数据的平均数相同，A 组数据的方差2 A S =0.03， B 组数据的方差2 B S =0.2，则8组数据比A 组数据稳定 C ．南开中学明年开运动会一定会下雨 D ．为了解初三年级24个班课间活动的使用情况。李老师采用普查的方式 8．如图， O 是正方ABCD 的外接圆，点E 是弧AB 上任意一点，则DEC ∠的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．48° D ．50° 9．关于x 的方程 11 =+x a 的解是负数，则口的取值范围是( ) A ．a 翻折问题 ?解答题（共1小题） 1. （2014?西城区一模）阅读下列材料： 问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置.已知OB=10 ,BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD （含端点）交于点E,与边OB （含端 点）或其延长线交于点F,求点A的坐标. 折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n （k v 0, n%）,于是有E （0, n）, F （^, k 0）,所以在Rt△ EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt△ AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1） 请回答： （1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标； （2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； 参考小明的做法，解决以下问题： （3）将矩形沿直线y= - -x+n折叠，求点A的坐标； （4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围. 考点：一次函数综合题. 分析：（ 1）如图1，在Rt△ EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt△ AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长； （2）作OA的中垂线即可； （3）如图，设直线y=-吉x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△ AEF ◎△ OEF 可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由/ EAF=90。可知/ 1+ / 3=90°从而求得/ 1 = / 2,得出△ DEA GAF所以詈愕，由FG=CB=6 FA GF 解得DA=3，从而求得A点的坐标. （4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围， 小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设 2020中考数学 几何难点突破：图形的翻折、旋转问题例1. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿 着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处， 且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交 于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数 式表示）． 图1 答案：． 例2. 如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，则PE＋PF的最 小值是______． 图1 答案：PE＋PF的最小值为6－3＝3． 例3. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD ＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至 D'，那么线段DD'的长为． 图1 答案：12 5 例4. 如图1，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC＝BC且∠ACB ＝100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD′重合，则∠D′BA= 度． 图1 答案：80°． 例5. 如图1，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、 Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm． 图1 答案:1或2． 例6. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2．当∠ B＝60°时，如图2，AC等于（）． ；(B)2；(C) ；． 图1 图2 答案：A 翻折图形题一 一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段_____BE=BC____ （不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ= ____0.5_____ ． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE 为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为____2____ ． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM 沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为____1_____ ． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB= ____15_____ ． 6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF= ___25/4______ ． 7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE= ____5根号3/3_____ cm，∠DCE=___30°__ ． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A 落在BC上的A1处，则∠EA1B= _____60____ 度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_20_ ． 折叠问题中的角度运算 1、三角形纸片ABC中,∠A=55°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内(如图),则∠1+∠2的度数为_____度。 分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 解：∠A+∠B+∠C=180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°①， ∠C+∠CED+∠CDE=180°，∠CED+∠CDE=180°-∠C=180°-50°=130°②， ∠B+∠A+∠CED+∠CDE+∠1+∠2=360°③， 把①②分别代入③得75°+55°+130°+∠1+∠2=360°，得∠1+∠2=100° 2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处。若∠A=22°，则∠BDC等于______。 分析：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°－∠A=68°。 由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC， ∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°。 3、如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于______。 分析：根据折叠前后角相等可知． 解：∵∠1=50°，∴∠AEF=180°-∠BFE=180°-(180°-50°)÷2=115°． 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 4、如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=56°，则∠EGF应为______. 分析：本题根据平行线的性质和翻折的性质，求解即可． 解答：解：因为折叠，且∠1=56°，所以∠C′FB=180°-2×56°=68°， ∵D′E//C′F，∴∠EGF=∠C′FB=68°． 5、如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B=55°，则∠BDF的度数为______。 解：∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线． 立体几何的动态问题之二 ———翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中， ， CD=CB= 且AD AB ⊥， 现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠= 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 D A B E C D A B C 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕 翻折形成两个同底的圆锥C A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243 FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==- ，有344CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,] 32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>= <>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成 A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程 B 翻折问题解答题综合 1．△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点． （1）将△先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△1B1；（2）若点M（x，y）在△上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是． 2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，△中，∠90°，，求证：∠30°，请你完成证明过程． （2）如图②，四边形是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为、的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A 落在上的点A′处，折痕交于点G，请运用（1）中的结论求∠的度数和的长． （3）若矩形纸片按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当6，求的长． 3．如图，矩形中，6，8，点E是射线上的一个动点，把△沿折叠，点C的对应点为C′． （1）若点C′刚好落在对角线上时，′=； （2）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； （3）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 4．如图，矩形纸片，将△和△分别沿和折叠（＞），点A和点B都与点E重合；再将△沿折叠，点C落在线段上点F处． （1）判断△，△，△和△中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） （2）如果1，∠，求的长． 5．如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作分、∥，交于点G连接．（1）求证：四边形为菱形； （2）若8，4，求的值． 6．如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且，；如图2，若将△、△、△、△分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处． （1）求证：四边形是矩形； （2）求菱形纸片的面积和边长． 7．（1）操作发现： 如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处．请写出、、之间的关 系； （2）问题解决： 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长． 8．如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，联结、． （1）求证：∠∠； （2）求证：； （3）当1时，求的长． 9．如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕的两端点分别在边，上（含端点），且6，10，设． * D 'V C B x 翻折问题 ?解答题（共1小题） 1. （ 2014?西城区一模）阅读下列材料： 问题：在平面直角坐标系 xOy 中，一张矩形纸片 OBCD 按图1所示放置.已知OB=10 ,BC=6， 将这张纸片折叠，使点 O 落在边CD 上，记作点A ，折痕与边OD （含端点）交于点 E,与 边OB （含端点）或其延长线交于点 F,求点A 的坐标. 折痕EF 所在直线对应的函数表达式为： y=kx+n （k v 0, n%）,于是有E （0, n ）, F （-卫, k 0）,所以在Rt △ EOF 中，得到tan/ OFE= - k ，在Rt △ AOD 中，利用等角的三角函数值相 等，就可以求出线段 DA 的长（如图1） 请回答： （1） 如图1，若点E 的坐标为（0，4），直接写出点 A 的坐标； （2） 在图2中，已知点O 落在边CD 上的点A 处，请画出折痕所在的直线 EF （要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写做法） ； 参考小明的做法，解决以下问题： （3） 将矩形沿直线y= - -x+n 折叠，求点A 的坐标； 2 （4） 将矩形沿直线y=kx+n 折叠，点F 在边OB 上（含端点），直接写出k 的取值范围. 考点：一次函数综合题. 分析：（1）如图1，在Rt △ EOF 中，得到tan/ OFE= - k ，在Rt △ AOD 中，利用等角的三 角函数值 相等，就可以求出线段 DA 的长； （2） 作OA 的中垂线即可； （3） 如图，设直线 y= -g x+n ，则E 点的坐标为（0，n ），F 点的坐标为（2n ，0）， OE=n ，OF=2n ，由△ AEF ◎△ OEF 可知 OE=AE=n ，AF=OF=2n ，由/ EAF=90。可知 A ? nA / 1+ / 3=90° 从而求得/ 1 = / 2,得出△ DEA GAF 所以竺=—，由 FG=CB=6 FA GF 解得DA=3，从而求得A 点的坐标. （4） 根据图象和矩形的边长可直接得出 k 的取值范围， 解答：解：（1）如图1若点E 的坐标为（0，4），直接写出点A 的坐标为（池，6 ）； （2）如图所示: 小明在解决这个问题时发现：要求点 A 的坐标，只要求出线段 图2 AD 的长即可，连接 OA ，设 2019-2020 年中考数学专题复习翻转折叠问题 【专题点拨】 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称 的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。 【解题策略】 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形 关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等， 对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算. 【典例解析】 类型一：三角形折叠问题 例题 1：（ 2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图 2，在底边BC上取一点D，连结 AD，使得∠ DAC=∠ACD．如图3，将△ ACD沿着 AD所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形ABED．则 BE的长是（） A． 4 B ． C ． 3D． 2 【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性 质． =，只要求出BM、 BD即可解决问题．【分析】只要证明△ ABD∽△ MBE，得 【解答】解：∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠C， ∵∠ DAC=∠ACD， ∴∠ DAC=∠ABC， ∵∠ C=∠C， ∴△ CAD∽△ CBA， ∴=， ∴=， ∴CD=，BD=BC﹣CD=， ∵∠ DAM=∠DAC=∠DBA，∠ ADM=∠ADB， ∴△ ADM∽△ BDA， ∴=，即=， ∴DM=，MB=BD﹣DM=， ∵∠ ABM=∠C=∠MED， ∴A、 B、 E、 D四点共圆， ∴∠ ADB=∠BEM，∠ EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ ABD∽△ MBE， ∴=， ∴BE===． 故选 B． 变式训练1： （ 2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°，点D（不与 B， C 重合）是 BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF 的长度为a，则△ DEF 的周长为（用含 a 的式子表示）． 中考数学折叠专项训练试题附参考答案 一．选择题（共9小题） 1．（2013?贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④ 考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质． 专题：压轴题． 分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF； 易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN； 易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形； 易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比， 即可求得答案． 解答：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF， 由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF=MF， ∴DF=CF；故①正确； ∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF， ∴∠BFM=∠BFC， ∵∠MFE=∠DFE=∠CFN， ∴∠BFE=∠BFN， ∵∠BFE+∠BFN=180°， ∴∠BFE=90°， 即BF⊥EN，故②正确； ∵在△DEF和△CNF中， ， ∴△DEF≌△CNF（ASA）， ∴EF=FN， ∴BE=BN， 但无法求得△BEN各角的度数， ∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误； ∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM=BC=AD=2DE=2EM， ∴BE=3EM， ∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF； 故④正确． 故选B． 点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中： ①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF； ④△BEG和△HEG的面积相等； ⑤若，则． 以上命题，正确的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题． 分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断； ②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH； ③无法证明BE=EF； ④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和 △HEG的面积相等； ⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判断． 解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确； ②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误； ③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误； ④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG 的面积相等，故正确； 翻折问题---解答题综合 1．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点． （1）将△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1； （2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是． 2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明 过程． （2）如图②，四边形ABCD是一X边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长． 3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′． （1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=； （2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长； （3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长． 4．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处． （1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） （2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长． 5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG． （1）求证：四边形DEFG为菱形； （2）若CD=8，CF=4，求的值． 6．如图1，一X菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处． （1）求证：四边形ADCB是矩形； （2）求菱形纸片EHGF的面积和边长． 7．（1）操作发现： 如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系； （2）问题解决： 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长． 2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题 1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵ AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合， 则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4π3 B ．4π3 -3 C ．23+π3 D ．23-23 π 2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵ AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．6π B ．93 C ．9π D ．63 3. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ； 若BC=5，则BD= ． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰 好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ） A ．3.2 B ．3.6 C ．3.8 D ．4.2 5.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（） A．9π-9 B．9π-63 C．9π-18 D．9π-123 6.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为． 7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切 线OC的长为（） A．22B．5 C．3 D．11 8.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB 长为（） A．42B．82 C．6 D．62翻折问题参考答案
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