重庆南开中学初2015级九年级(下)半期考试
数 学 试 题
一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号 为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑． 1．2的相反数是( ) A ．2 B ．
21 C ．-2 D ．2
1- 2．计算3
2
2·
x x -的结果是( ) A ．5
2x - B ．5
2x C ．6
2x - D ．6
2x 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
4．如图，点O 在直线AC 上，BO ⊥DO 于点O ，若?=∠1451，则3∠的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°
5．若a(a ≠0)是关于方程022
=-+a bx x 的一个根，则b a +的值为( )
A ．2
B ．-2
C ．0
D ．4
6．如图，已知DE ∥BC ，且=DB AD ：2:1，则△ADE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1:4 B ．2:3 C ．4:6 D ．4:9
7．下列说法正确的是( )
A ．调查重庆市空气质量情况应采用普查的方式
B ．若A 、B 两组数据的平均数相同，A 组数据的方差2
A S =0.03，
B 组数据的方差2
B S =0.2，则8组数据比A 组数据稳定
C ．南开中学明年开运动会一定会下雨
D ．为了解初三年级24个班课间活动的使用情况。李老师采用普查的方式 8．如图，
O 是正方ABCD 的外接圆，点E 是弧AB 上任意一点，则DEC ∠的度数为( )
A ．40°
B ．45°
C ．48°
D ．50° 9．关于x 的方程
11
=+x a
的解是负数，则口的取值范围是( ) A ．a 10．2015年4月l8日周杰伦“摩天轮2”演唱会在重庆奥体中心如期举行．小王开车从家出发前去观看，预计1个小时能到达，可当天路上较为拥堵，行驶了半个小时，刚好行驶了一半路程，道路被“堵死”，堵了几分钟突然发现旁边刚好有一个轻轨站，于是小王将车停在轻轨站的车库，然后坐轻轨前往，结果按预计时间到达．下面能反映小王距离奥体中心的距离y (千米)与时间x (小时)的函数关系的大致图象是( ) 11．将一些形状相同的小棒按如图所示的方式摆放。图①中有3根小棒，图②中有9根小棒，图③中有18根小棒。照此规律，图⑧中小棒的根数为( ) 12．如图，一次函数b x y +=的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数x y 2 = 交于点C(2，m )，则点B 到OC 的距离是( ) A ．2 B ．5 C ．52 D ． 55 2 二、填空题(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答卷中对 应的横线上． 13．计算()=-- +++-30 20158 12131π ． 14．方程组?? ?=++=4 21 y x x y 的解为 ． 15．我校初三年级许多同学经过刻苦锻炼，在4月9、10日的中考体考中取得了优良的成绩．年级上随机抽取了6名同学的体育成绩如下表所示： 则这6名同学的平均分是 ． 16．如图，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，AB=4，以AC 为直径作半圆交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为 ． 17．从1-，0，1，3，4这五个数中任选一个数，记为a ，则使二次函数()1222 -+--=a ax x a y 的 顶点在第四象限且双曲线x a y 27-= 在第一、三象限的概率是 ． 18．如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将△ACD 沿对角线AC 翻折得△ACE 。AE 交BC 于点F ，将△CEF 绕点C 逆时针旋转a 角(0° MN = ． 三、解答题(本大题2个小题，每小题7分．共14分)解答时每小题必须给出必要的演算过 程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上． 19．如图，AC 与BD 相交于点O ，AO=DO ，21∠=∠，求证：DCB ABC ???． 20．暑假期间，一些同学将要到A ，B ，C ，D 四个地方参加夏令营活动，现从这些同学中随机调查了一部分同学．根据调查结果，绘制成了如下两幅统计图： (1)扇形A 的圆心角的度数为 °，若此次夏令营一共有320名学生参加，则前往C 地的学生约有 人，并将条形统计图补充完整； (2)若某姐弟两人中只能有一人参加夏令营，姐弟俩决定用一个游戏来确定参加者：在4张形状、大小完全相同的卡片上分别写上1-，1，2，3四个整数，先让姐姐随机地抽取一张，再由弟弟从余下的三张卡片中随机地抽取一张.若抽取的两张卡片上的数字之和小于3则姐姐参加，否则弟弟参加．用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平? 四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共 40分)解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上． 21．化简下列各式． (1)()()()()y x y y x x y y x 222222 --+-+-； (2)2 22??? ??-÷??? ??-++-a b a ab b a b ab b ． 22．重庆市是著名的山城，许多美丽的建筑建在山上．如图，刘老师为了测量小山项一建筑物DE 的高度，和潘老师一起携带测量装备前往测量．刘老师在山脚下的A 处测得建筑物顶端D 的仰角为53°，山坡AE 的坡度i=1:5，潘老师在B 处测得建筑物顶端D 的仰角为45°，若此时刘老师与潘老师的距离AB=200m ，结果 求建筑物DE 的高度.(5453sin ≈?，5353cos ≈?，3 4 53tan ≈?，精确到0.1m ) 23．每年的3月15日是 “国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的A 商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售． （1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售A 商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销.但他先将标价提高m 3％，再大幅降价m 26元，使得A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m 5 12 ％，这样一天的利润达到了20000元，求m . 24．阅读材料： 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对于任意两点A (1x ，1y )，()22y x B ，，由勾股定理可得： ()()2 212 212y y x x AB -+-=，我们把 ()()2 21221y y x x -+- 叫做A 、B 两点之间的距离， 记作()()221221y y x x AB -+-=． 例题:在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P(x ，0)． ①A(0，2)，B (3，-2)，则AB= ．；PA = ．； 解：由定义有()()[]522302 2=--+-=AB ；()()420322 2+=-+-= x x PA ． ② ()412+-x 表示的几何意义是 ．； ()92122+-+ +x x 表示的几何意义是 ．． 解：因为 ()()()22220141-+-=+-x x ，所以()412+-x 表示的几何意义是点()0， x P 到点()21，的距离；同理可得，()92122 +-++x x 表示的几何意义是点()0， x P 分别到点(0，1)和点(2，3)的距离和． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)如图，已知直线82+-=x y 与反比例函数x y 6 = (x ＞0)的图像交于()()2211y x B y x A ，、，两点，则点A 、B 的坐标分别为A( ， )，B( ， )，AB= ． (2)在(1)的条件下，设点()0， x P ，则()()22222121y x x y x x +-++-表示的几何意义 是 ；试求()()22222121y x x y x x +-++-的最小值，以及取得最小值时点 P 的坐标． 五、解答题 25．如图1， ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE=AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ． (1)若BE=2EC ，AB =13，求AD 的长； (2)求证：EG=BG+FC ； (3)如图2，若AF=25，EF=2，点M 是线段 AG 上的一个动点，连接ME ，将GME ?沿ME 翻折得ME G '?，连接'DG ，试求当'DG 取得最小值时GM 的长． 26．已知抛物线c bx x y ++-=2 3与x 轴交于点A (1，0)、B(3，0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶 点为D ． (1)求b 、c 的值及顶点D 的坐标； (2)如图1，点E 是线段BC 上的一点，且BC=3BE ，点F(0，m )是y 轴正半轴上一点，连接BF 、EF ， EF 与线段OB 交于点G ，OF:OG=2:3，求△FEB 的面积； (3)如图2，P 为线段BC 上一动点，连接DP ，将△DBP 绕点D 顺时针旋转60°得''P DB ?’(点B 的对 应点是点'B ，点P 的对应点是点'P )，'DP 交y 轴于点M ，N 为'MP 的中点，连接'PP 、NO ，延长NO 交BC 于点Q ，连接'QP ，若Q PP '?的面积是BOC ?面积的9 1 ，求线段BP 的长. 如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，BC=4，若点E是AD上的一个动点（与点A不重合），且0＜AE≤2，沿BE将△ABE翻折后，点A落到点P处，连接PC．有下列说法：①△ABE与△PBE关于直线BE对称；②线段PC的长有可能小于2；③四边形ABPE有可能为正方形；④当△PCD是等腰三角形时，PC=2或5．其中说法正确的序号是．①③ 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M （1）如图1，当CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD 如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得 点C与点A重合，则AF长为【】 A. 25cm 8 B. 25cm 4 C. 25cm 2 D. 8cm 【答案】B 。 【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ， ∵矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合， ∴DF=D ′F ， 在Rt △AD ′F 中，∵AF 2=AD ′2＋D ′F 2，即x 2=62＋（8－x ）2，解得：x=()25 cm 4 。故选B 。 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为【 】 A ．32 B ．26 C ．25 D ．23 【答案】B 。 【分析】过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N 。 ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC ， ∵∠EMB=90°，∴四边形ABME 是矩形。∴AE=BM ， 由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM 。 ∵∠ENG=∠BNM ，∴△ENG ≌△BNM （AAS ）。∴NG=NM 。 ∵E 是AD 的中点，CM=DE ，∴AE=ED=BM=CM 。 ∵EM ∥CD ，∴BN ：NF=BM ：CM 。∴BN=NF 。∴NM=12CF=12。∴NG=12 。 ∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG ﹣NG=3﹣15 22 =。∴BF=2BN=5 ∴2222BC BF CF 5126=--=B 。 13. （2012山东泰安3分）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为【 】 A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9 【答案】D。 【分析】设BF=x，则由BC=3得：CF=3﹣x，由折叠对称的性质得：B′F=x。 ∵点B′为CD的中点，AB=DC=2，∴B′C=1。 在Rt△B′CF中，B′F2=B′C2+CF2，即22 x1(3x) =+-，解得： 5 x 3 =，即可得CF= 54 3 33 -=。 ∵∠DB′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F。∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。 根据面积比等于相似比的平方可得： 2 2 PCB B DG S FC416 () S B D39 ?' ?' ?? === ? ' ?? 。故选D。 15. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重 合， 折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MN BM 的值为【】A．2 B．4 C．25D．26 【答案】D。 【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：过点N作NG⊥BC于G， ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。 ∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。 由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。 ∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。 ∵AM=CM ，∴四边形AMCN 是菱形。 ∵△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：4，∴DN ：CM=1：4。 设DN=x ，则AN=AM=CM=CN=4x ，AD=BC=5x ，CG=x 。∴BM=x ，GM=3x 。 在Rt △CGN 中，()2222 NG CN CG 4x x 15x =-=-=， 在Rt △MNG 中，()( ) 2 2 22MN GM NG 3x 15x =26x =+=+ ， ∴MN 26x ==26BM 。故选D 。 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB ′与AD 的交点C ′处．则BC ：AB 的值为 ▲ 。 【答案】3。 【分析】连接CC ′，∵将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB ′与AD 的交点C ′处, ∴EC=EC ′，∴∠EC ′C=∠ECC ′， ∵∠DC ′C=∠ECC ′，∴∠EC ′C=∠DC ′C. ∴CC ′是∠EC'D 的平分线。 ∵∠CB ′C ′=∠D=90°，C ′C=C ′C ，∴△CB ′C ′≌△CDC ′（AAS ）。∴CB ′=CD 。 又∵AB ′=AB ，∴B ′是对角线AC 中点，即AC=2AB 。∴∠ACB=30°。 ∴tan ∠ACB=tan30°= AB BC 3 =。∴BC ：AB=3。 题型（九）折叠、旋转问题 1.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C． 2.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为． 【答案】9 3.（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm， 则CF= 2cm． 4.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，2 DE=，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形''' +=( ) CE CG CE，则'' DE F G，此时点' G在AC上，连接' 1 【答案】AA 5.（2017浙江嘉兴第16题）一副含30?和45?角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==（如图1） ，点G 为边BC ()EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是 ．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从0?到60?的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号） 【答案】12．1－18． 6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 . . 7.（2015年重庆A4分）如图，矩形ABCD 中，10AB AD ==，连接BD ， ∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为''BC E ?，当射线'BC 和射线'BE 都与线段AD 相交时，设交点分别F ，G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 ▲ . 折叠问题专题复习 日期：第页姓名： 1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠ 1的度数等于（） （第 1 题）（第3题）（第4题） 2 ．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的 ∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150° 3 ．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠， 使 C、D 点分别落在点C1，D1处．若∠C1 BA=50°，则∠ ABE的度数为（） A． 15°B． 20°C． 25°D． 30° 4．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF折叠后， 点 C， D 分别落在C′， D′上， EC′交AD于 点 G， 已知∠ EFG=58°，那么∠BEG=度． 5 ．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF折叠，若 ∠ 1=58°，则∠ AEG=度． （第 5 题）（第 6 题）（第 7 题） 6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠ 1=度． 7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为． 8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度． 9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠ 1=140°，那么∠ 2=度． （第 8 题）（第 9 题）（第10 题） 10 ．如图，把长方形ABCD 沿 EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠ AEF=． 11 ．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度． 18 ．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点 D、 C分别落在 D′、 C′的位置．若∠EFB=65°，则∠ AED′等于度． （第 18 题）第19题第20题 19 ．动手操作：在矩形纸片 ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在处，折痕为 PQ，当点 A′在 BC边上移动时，折痕的端点P、 Q也随之移动．若限定点 AB、 AD边上移动，则点A′在 BC边上可移动的最大距离为．BC边上的A′P、Q分别在 20．如图，等边△ ABC的边长为 1cm，D、E 分别是 AB、 AC上的点，将△ ADE沿直线 DE折叠，点 A 落在点A′处，且点A′在△ ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm． 21 ．如图，将矩形ABCD 沿BE折叠，若 ∠ CBA′=30°，则∠ BEA′=度． 专题：几何翻折变换（折叠问题） 1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长． 3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OB BP PC CQ =。 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 6t 11t6m = -- 。∴2 111 m t t6 66 =-+（0＜t＜11）。 （Ⅲ）点P 1113 - ，6 11+13 ，6）。 2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。 设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=7 4 。 ∴ 7 AG7 4 tan ABG AB624∠===。 （3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=1 2 AD=4。 ∵tan∠ABG=tan∠ADE=7 24 。∴EH=HD× 7 24 =4× 77 = 246 。 专题训练(一) 矩形中的折叠问题 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________． 4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2. 5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求： (1)FC的长； (2)EF的长． AD＝8 cm，DE＝6 cm. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求BF的长； (3)求折痕AF长． 7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E. (1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图) (2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10. (1)求矩形ABCD的周长； (2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处． ①求DE的长； ②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长． 重庆南开中学初2015级九年级(下)半期考试 数 学 试 题 一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号 为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑． 1．2的相反数是( ) A ．2 B ． 21 C ．-2 D ．2 1- 2．计算3 2 2· x x -的结果是( ) A ．5 2x - B ．5 2x C ．6 2x - D ．6 2x 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) 4．如图，点O 在直线AC 上，BO ⊥DO 于点O ，若?=∠1451，则3∠的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 5．若a(a ≠0)是关于方程022 =-+a bx x 的一个根，则b a +的值为( ) A ．2 B ．-2 C ．0 D ．4 6．如图，已知DE ∥BC ，且=DB AD ：2:1，则△ADE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1:4 B ．2:3 C ．4:6 D ．4:9 7．下列说法正确的是( ) A ．调查重庆市空气质量情况应采用普查的方式 B ．若A 、B 两组数据的平均数相同，A 组数据的方差2 A S =0.03， B 组数据的方差2 B S =0.2，则8组数据比A 组数据稳定 C ．南开中学明年开运动会一定会下雨 D ．为了解初三年级24个班课间活动的使用情况。李老师采用普查的方式 8．如图， O 是正方ABCD 的外接圆，点E 是弧AB 上任意一点，则DEC ∠的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．48° D ．50° 9．关于x 的方程 11 =+x a 的解是负数，则口的取值范围是( ) A ．a 中考数学专题复习16——矩形折叠问 来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日 思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出 其他线段长度） 例2．在长方形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如 图所示：（1）请说明△ABF △CFF（2）求 思路分析： 在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得 到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了. 例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。 （1）说明 DE=DF （2）求 （3）求EF 的长度 思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路： ①可说明全等； ② 可说明△DEF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰 所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰 例4 如图①，将边长为4cm 的正方形纸片 ABCD 沿EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)， 使点B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP． (1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM的周长= cm；②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点 M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A、D 重合)，△PDM的周长是否发生变化? 请说明理由． 思路分析：（1）①设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在Rt△AEM 中，运用勾股定理求AE；②过点 F 作FG⊥AB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点M 关于EF 对称， 即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出 x、y 的关 系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长． 三.能力训练 1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后 得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）. 中考数学总复习专题---翻转折叠问题 【专题点拨】 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。 【解题策略】 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算. 【典例解析】 类型一：三角形折叠问题 例题1：（·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得 ∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（） A．4 B． C．3D．2 【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠AB C， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴=， ∴=， ∴CD=，BD=BC﹣CD=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴=，即=， ∴DM=，MB=BD﹣DM=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴=， ∴BE===． 故选B． 变式训练1： （·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）． 类型二：平行四边形折叠问题 例题2：（·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B ＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______． 翻折问题 翻折问题是近几年中考中常考的一个问题，解决此类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等） 1 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕， ∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1 处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（） 2 A．3B．2 C．3 D．3 2.小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．?再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（? ）． 3.如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是 ( ) C B A D 4．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，?②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）． （A ）三角形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）梯形 5 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是…（ ） 6如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别 落在AB 上的点D '、C '，折痕为EF ，若CD =3cm ，EF =4cm ，则 D A '+C B '为…………………………………………………（ ） A ．2m B ．3m C ．4m D ．5m 7．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的 中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是…（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 8 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝6，则BC 的长为( ) A ．1 B ．2 2 C ．2 3 D ．12 9如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分 部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的 面积是 cm 2 A ． B ． C ． D ． N M F E D C B A （第18题图） A C B 折叠问题 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ． 48° C ．52° D ．58° 2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 3、（2009年日照市） 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5 5、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处， 若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ． 7、(2009宁夏) 如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将ADC △沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥． 8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和 C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合） ，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 9、（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． （1）用x 表示ADE △的面积； （2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ A 图3 B M C B C N M A 第2题图 A ' B D A C E C B A D 2020中考数学 几何难点突破：图形的翻折、旋转问题例1. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿 着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处， 且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交 于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数 式表示）． 图1 答案：． 例2. 如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，则PE＋PF的最 小值是______． 图1 答案：PE＋PF的最小值为6－3＝3． 例3. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD ＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至 D'，那么线段DD'的长为． 图1 答案：12 5 例4. 如图1，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC＝BC且∠ACB ＝100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD′重合，则∠D′BA= 度． 图1 答案：80°． 例5. 如图1，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、 Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm． 图1 答案:1或2． 例6. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2．当∠ B＝60°时，如图2，AC等于（）． ；(B)2；(C) ；． 图1 图2 答案：A 学科教师辅导讲义讲义编号：09sh7csx000 P F E D C B A 9．在□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB=45°，BD=2，将△ABC沿直线AC翻折后，点B落在点B′处，那么DB′的长为． 10．如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠（点E、F是边CD上两点），使点C与D在形内重合于点P处，则= ∠EPF______________度. 11．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F分别在AB、BC边上，将△BEF沿直线EF翻折后，点B落在对边AC的点为B＇，若△B＇FC与△ABC相似，那么BF＝. 12．矩形纸片ABCD中，AD=4cm ，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm. 13．如图，P是等边△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P AB '，则PAP' ∠的度数为________．14. 对于13题追加条件222 PA PC PB +=，则APC ∠的度数为________． B A C P' P A E B C D F C1 15．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠ACB ，ο30=∠A ，cm BC 2=，C B A ''?是ABC Rt ?绕点C 按顺时针方向 旋转ο 30后得到的，设B A ''边交BC 边于点D ，则B CD '?的面积是 2 cm . 16． 如图，将直角边长为5cm 的等腰直角ΔABC 绕点A 逆时针旋转15°后,得到ΔA B’C ’，则图中阴影部分的面积是 cm 2 ． 17．上海将在2010年举办世博会。黄浦江边大幅宣传画上的“2010”如右图所示。从对岸看，它在水中倒影所显示的数是____________． 18.如图,边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG,EF 交AD 于点H,那么DH 的长为________. H G F E D C B A 19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2.如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′点处， 那么tan BAD ∠′等于__________ A B ' A ' D B C C'B' C B A 专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值. 3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2. (1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值. 思想方法专题：矩形中的折叠问题 ——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一 折叠中求角度 1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 第1题图 第2题图 2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( ) A ．25° B ．30° C ．36° D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在 E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( ) A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm 第3题图 第4题图 4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( ) A ．3 B.245 C ．5 D.89 16 5．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将 △ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________． ◆类型三折叠中求面积 6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E. (1)求证：△AFE≌△CDE； (2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM. (1)当AN平分∠MAB时，求DM的长； (2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积． 翻折问题解答题综合 1．△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点． （1）将△先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△1B1；（2）若点M（x，y）在△上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是． 2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，△中，∠90°，，求证：∠30°，请你完成证明过程． （2）如图②，四边形是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为、的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A 落在上的点A′处，折痕交于点G，请运用（1）中的结论求∠的度数和的长． （3）若矩形纸片按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当6，求的长． 3．如图，矩形中，6，8，点E是射线上的一个动点，把△沿折叠，点C的对应点为C′． （1）若点C′刚好落在对角线上时，′=； （2）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； （3）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 4．如图，矩形纸片，将△和△分别沿和折叠（＞），点A和点B都与点E重合；再将△沿折叠，点C落在线段上点F处． （1）判断△，△，△和△中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） （2）如果1，∠，求的长． 5．如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作分、∥，交于点G连接．（1）求证：四边形为菱形； （2）若8，4，求的值． 6．如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且，；如图2，若将△、△、△、△分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处． （1）求证：四边形是矩形； （2）求菱形纸片的面积和边长． 7．（1）操作发现： 如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处．请写出、、之间的关 系； （2）问题解决： 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长． 8．如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，联结、． （1）求证：∠∠； （2）求证：； （3）当1时，求的长． 9．如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕的两端点分别在边，上（含端点），且6，10，设． A B C D M N P Q 折叠问题 1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____ 2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°， 则∠AED′等于______ 3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ） A ．110° B．115° C．120° D．130° 4、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD 的度数为（ ） A ．15° B．20° C．25° D．30° 5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度． 6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________． 7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝ 度. 1 A E D C B F 8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点 D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为 MN，则∠AMF等于_____________。 9.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E 交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= _____。 10、将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为_________。 11．如图，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上A1，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片收展平，则∠AFE＝____________． 12．如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD ＝____________． A B A B O O C D 2019-2020 年中考数学专题复习翻转折叠问题 【专题点拨】 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称 的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。 【解题策略】 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形 关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等， 对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算. 【典例解析】 类型一：三角形折叠问题 例题 1：（ 2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图 2，在底边BC上取一点D，连结 AD，使得∠ DAC=∠ACD．如图3，将△ ACD沿着 AD所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形ABED．则 BE的长是（） A． 4 B ． C ． 3D． 2 【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性 质． =，只要求出BM、 BD即可解决问题．【分析】只要证明△ ABD∽△ MBE，得 【解答】解：∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠C， ∵∠ DAC=∠ACD， ∴∠ DAC=∠ABC， ∵∠ C=∠C， ∴△ CAD∽△ CBA， ∴=， ∴=， ∴CD=，BD=BC﹣CD=， ∵∠ DAM=∠DAC=∠DBA，∠ ADM=∠ADB， ∴△ ADM∽△ BDA， ∴=，即=， ∴DM=，MB=BD﹣DM=， ∵∠ ABM=∠C=∠MED， ∴A、 B、 E、 D四点共圆， ∴∠ ADB=∠BEM，∠ EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ ABD∽△ MBE， ∴=， ∴BE===． 故选 B． 变式训练1： （ 2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°，点D（不与 B， C 重合）是 BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF 的长度为a，则△ DEF 的周长为（用含 a 的式子表示）． 专题16 第7章《平面图形的认识（二）》中翻折问题尖 子生培优训练 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、解答题（本大题共7小题，共70分） 1.(1)如图①，在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED， AE与BC交于点F.已知∠B=50°，∠BAD=15°，求∠AFC的度数． (2)如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位 置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由． (3)如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位 置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由． 2.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED， 边AE交射线BC于点F． (1)如(图1)，当AE⊥BC时，求证：DE//AC (2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0 一点A，B，使得∠ABM=α． 如图2，将纸条作第一次折叠，使BM′与BA在同一条直线上，折痕记为BR1． 解决下面的问题： (1)聪明的小白想计算当α=90°时，∠BR1N′的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解： 如图3，PN//QM，A，B分别在PN，QM上，且∠ABM=90°，由折叠：BR1平分______，BM′//R1N′，求∠BR1N′的度数． (2)聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条(如图4)，是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由． (3)笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM′与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2(如图5)；将纸条展开，作第三次折叠，使BM′与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推． 翻折问题---解答题综合 1．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点． （1）将△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1； （2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是． 2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明 过程． （2）如图②，四边形ABCD是一X边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长． 3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′． （1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=； （2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长； （3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长． 4．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处． （1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） （2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长． 5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG． （1）求证：四边形DEFG为菱形； （2）若CD=8，CF=4，求的值． 6．如图1，一X菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处． （1）求证：四边形ADCB是矩形； （2）求菱形纸片EHGF的面积和边长． 7．（1）操作发现： 如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系； （2）问题解决： 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．中考数学专题复习 题型(九)折叠、旋转问题解析版
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