6.1平方根第3课时
一、教学目标
1.经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数〔完全平方数〕
的平方根.
2.经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
二、重点和难点
1.重点：平方根的概念.
2.难点：归纳有关平方根的结论.
三、合作探究
〔一〕根本训练，稳固旧知
1.填空：如果一个的平方等于a，那么这个叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作.
2.填空：
(1)面积为16＝；
(2)面积为15≈〔利用计算器求值，准确到〕.
3.填空：
(1)因为2＝，所以的算术平方根等于，即＝；
(2)因为2＝，所以3的算术平方根约等于，即≈.
〔二〕什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题.
〔三〕如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
和算术平方根的概念类似，〔指准32＝9〕我们把3叫做9的平方根，〔指准(-3)2＝9〕把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根〔板书：3和－3是9的平方根〕.
我们再来看几个例子.
〔师出示下表〕
同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用一句话概括什么是平方根？
平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
大家把平方根概念默读两遍.〔学生默读〕
平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？
四、精讲精练
例1、求下面各数的平方根：
(1)100；；(3)0；(4)－4；
(1)因为〔±10〕2＝100，所以100的平方根是＋10和－10
(2)〔±〕2＝0.25，所以的平方根是＋和－
(3)0的平方是0，所以0的平方根是0
0的平方是0正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－4.这说明什么？
从这个例题你能得出什么结论？〔稍停片刻〕正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？
小组讨论：
正数有平方根〔板书：正数有两个平方根〕.
平方根有什么关系？
0的平方根有个，平方根是.负数平方根
大家把平方根的这三条结论读两遍.
精练
1.填空：
(1)因为〔〕2＝49，所以49的平方根是；
(2)因为〔〕2＝0，所以0的平方根是；
(3)因为〔〕2＝，所以的平方根是；
2.填空：
(1)121的平方根是，121的算术平方根是；的平方根是，的算术平方根是；
(3) 的平方根是8和－8，的算术平方根是8；
(4) 的平方根是3
5
和
3
5
-，的算术平方根是
3
5
.
3.判断题：对的画“√〞，错的画“×〞.
(1)0的平方根是0 〔〕
(2)－25的平方根是－5；〔〕
(3)－5的平方是25；〔〕
(4)5是25的一个平方根；〔〕
(5)25的平方根是5；〔〕
(6)25的算术平方根是5；〔〕
(7) 25的平方根是±5；〔〕
(8)2
(5)
-的算术平方根是－5. 〔〕
五、课堂小结：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
六、作业P47 3 P48 8
6.1 平方根（第3课时） 课题 备课日期年月日课型新授 教学目标 知识与技能 理解平方根的概念，知道开平方是平方逆运算. 会用符号表示平方根，并会求平方数的平方根 知道平方根的特性，会判别一个式子有无意义. 过程与方法 类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的 本质， 经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征. 情感态度 与价值观 使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习 惯. 教学重点理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根. 教学难点理解平方根的意义. 教学方法 教学用具多媒体 课时安排 1 教学内容设计与反思 板书设计: 6.1 平方根 一、平方根定义二、归纳三、例题 正数有两个平方根， 符号表示它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根
教 学 内 容 设计与反思 一、情境引入 通过前面的学习，我们已经知道3的平方等于9，3是9的算术平方根，那么，除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？ 二、探究新知 1．填表： 2x 1 16 36 49 254 x 2. 问题：如果不论正负，所有平方等于9的数都叫做9的平方根，你能类比算术 平方根的定义，给平方根下定义吗？. 3.归纳：得到：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根. 即如果a x =2 ，那么x 叫做a 的平方根. 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方这两种运算互为逆运算. 这样又认识了一种新的运算——开方（求一个数方根的运算叫做开方），到此， 基本运算一共有六种：加、减、乘、除、乘方、开方. 正数a 的算术平方根可以用a 表示，正数a 的负的平方根，就可以用符号“-a ”表示，正数a 的平方根，用符号“±a ”表示，读作“正、负根号a ”. 结合上表可以看出正数，0，负数的平方根各有什么特点？ 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根. 于是，当a ≥0时a 有意义，a ＜0时，a 无意义. 4.例题讲解 例1.求下列各数的平方根： (1)16 (2)0 (3)15 求15的平方根，因为找不到一个有理数的平方等于15，所以，用平方根符号表示出来即可. 例2.求下列各式的值： (1) 144 (2) 81.0- (3) 225± 解：(1) 144=12； (2) 9.081.0-=-； (3) 15225±=± 例3.已知021=++-y x ，求x ，y 的值. 归纳：只要是两个非负式相加为0，都是这样考虑，结果也都是两个非负式各自等于0. 三、课堂训练 1．7的平方根是_______. 在算术平方根 的基础上进行 拓展延伸，为引 出平方根做好铺垫.同时，突出两个概念之 间的联系与区 别，有利于理解 它们的本质 使学生在复习 已经学过的知识的基础上初 步认识平方根 概念，学习新知识，形成正迁 移，这样正符合 学生的认知规律. 使学生在六种 运算的整体中认识开方运算 培养学生从特殊到一般的思想方法，归纳 能力与习惯 使学生掌握如 何求一个数的 平方根的方 法，在书写时采用结合文字 语言叙述，以 利于学生加深 对开平方与平 方互为逆运算 关系的理解。 此题虽然比较 简单但也考查
科目数学课 题 平方根 课 型 新课 集体备课 个性备课 主备或初备人韩军教学对象七年级学 生 课时 1 参与修改人员执教教师韩军一、教材内容分析 《平方根》是人教版初中数学七年级下第六章第一节第二课时。在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用。本节主要学习算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。 二、知识结构（梳理） 1. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 2. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 3. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 三、教学目标（通过什么策略、方法和手段达到那些目标）课标要求 了解平方根的概念。会用根号表示一个非负数的平方根；了解开方与乘方的互逆运算；会用符号表示一个非负数的平方根。通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的理解。 通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。了解平方根的概念。会用根号表示一个非负数的平方根；了解开方与乘方的互逆运算；会用符号表示一个非负数的平方根。通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。 四、学习者特征（学情）分析——（已有知识准备和生活经验） 学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析平方根性质的基础。 五、教学重难点
6.1平方根（第3课时） 一、教学目标 （1）知识与技能目标 1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。 2.掌握求非负数的平方根。 （2）过程与方法目标 采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？ （3）情感态度与价值观目标 1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。 2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。 二、复习回顾，引入新知 (1)什么是算术平方根?怎样表示? (2)如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a（a≥0) 0的算术平方根是0 负数没有算术平方根 (2)256的算术平方根是 ________ ，5的算术平方根是_________ . (3)下列各式有意义的条件是什么？ (4) ①一块正方形菜地的边长是3米，这块菜地的面积是多少平方米？ ②已知一块正方形菜地的面积是9平方米，求它的边长. ③如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 三、探索归纳，引入概念
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 解32＝9 ， (－3)2＝9 3和-3可写为±3 ∴平方等于9的数是3或－3. 1 ±4 ±6 ±7 ± 52 平方根定义： 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，这就是说，如果x2=a ，那么x 叫做a 的平方根. 例如:3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根. 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. x 49 36 16 1 x 2 填表. 25 4
第六章实数 教材简析 本章的内容包括：平方根、立方根、实数． 在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用． 在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算． 教学指导 【本章重点】 平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算． 【本章难点】 对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】 1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类． 2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论． 3．掌握转化思想，如：学习了平方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解． 4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划 6．1平方根3课时 6．2立方根1课时 6．3实数1课时 6．1 平方根 第1课时算术平方根 教学目标 一、基本目标
【知识与技能】 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 【过程与方法】 加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神． 【情感态度与价值观】 通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣． 二、重难点目标 【教学重点】 算术平方根的概念． 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P40的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数. 2．规定：0的算术平方根是0. 3．算术平方根具有双重非负性：(1)a≥0；(2)a≥0. 4．求下列各数的算术平方根： (1)81；(2)0.25；(3)23. 解：(1)9.(2)0.5.(3)23. 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)64；(2)0.36； (3)21 4；(4)41 2－402.
6.1 平方根(第3课时) 教学内容 一、情境导入 思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 讨论：这样的数有两个，它们是3和—3.注意(—3)2 = 9中括号的作用. 二、新课教学 1.平方根的概念 如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.即:如果x2 = a,那么x叫做a的平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方•例如：_ 3的平方等于9, 9的平方根是_3，所以平方 与开平方互为逆运算. 2.观察 下图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质•根据这个关系说出1, 4, 9的平方根. 学生根据图中的关系回答. 例4求下列各数的平方根. 9 (1) 100 (2) ( 3) 0.25 16 (注意书写格式) 3.按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： (1)正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ (2)一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根， 即负数不能进行开平方运算，符号：正数a的算术平方根可用a表示；正数A的负的平方根可用-.a 表示. 归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系•区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根
三、小结 1. 什么叫做一个数的平方根？ 2.正数、0、负数的平方根有什么规律？ 3.怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示？ 四、作业 教材P47、P48 习题 6.1 第4、8、9、10、11、12 题. 教学反思： 中国书法艺术说课教案 今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。 一、教材分析： 本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。 书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。早在5000 年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。 1、教学目标： 使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。 2、教学重点与难点： 一）教学重点
6.1平方根（第3课时） 教学目标 1、理解平方根的意义，掌握平方根的性质，能正确表示一个数的平方根并进行开平方运算，清楚算术平方根与平方根的区别与联系。 2、理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系。 3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力。 教学重难点 重点:平方根的概念和求一个非负数的平方根。 难点:平方根和算术平方根的联系与区别。 教学过程 一、复习引入 师：前面我们学习了算术平方根，大家掌握得怎么样呢？请完成下列填空。 1、填空 说的对吗？ 师：从前面我们知道，这个数可以是3，除了3以外，有没有别的数的平方 也等于9呢？ 学生思考并回答： 9)3(,9322=-= ，因此平方等于9的数是3或-3 也就是说：如果92=x ，那么.333±=-=x x ，可以简写为 或 二、定义探究 师：把92=x ，那么.333±=-=x x ，可以简写为 或放入表格就可以表示成： 你能快速完成剩下的表格吗？ 填表：
学生活动：先独立完成表格，再小组合作交流结果， 师生合作探究：第一行表示某个数的平方值，第二行表示要求的某个数的值是多少。 老师给出平方根的定义:一般地，如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根.即:如果x 2=a,那么x 叫做a 的平方根。 例如：3和-3是9的平方根，简记为3±是9的平方根。 求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。 师：怎么样才能对一个数进行准确开平方运运算呢？看下图。 三、观察填表，认识开平方根运算:（课本165页中的图10.1-2）。 学生活动：先完成前面这个图，再由前面这个图完成后面的图， 思考两种运算有 什么关系？ 师生归纳： 图中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程。例如: ±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算。根据这个互逆运算的关系我们可以进行开平方运算及检验运算结果 是否正确。 设计意图：让学生体验平方和开平方的互逆关系,并根据这个关系说出1,4,9的平方根。 师：学习了开平方运算，我们会求一个数的平方根了吗？试一试。 例1求下列各数的平方根: 解：（1）因为100)10(2=±
6.1平方根（3） 方柳燕 初一（5）班 2017.3.8 一、教材分析：《平方根》是人教版初中数学七年级下第六章第一节（第3课时）。本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算。本节课所学内容是平方根的概念和性质及用数学符号表示正数的平方根。在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数和算术平方根等知识，这为过渡到本节课起着铺垫作用。本节课内容既是对算术平方根的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节课处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。 二、学情分析： 七年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析平方根性质的基础。 三、教学目标 知识技能：1.掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根之间的联系与区别；2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 过程与方法：通过探索平方根与算术平方根的区别与联系，学会用算术平方根解决平方根的问题. 情感态度：通过对平方根的学习，培养学生从多方面，多角度分析问题，解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯. 重点： 平方根的概念和求一个数的平方根. 难点 ：利用平方根进行计算求值。 四、教学过程 ㈠、复习导入，初步认识 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（学生完成填表练习） 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．类比算术平方根给出 1. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果2 x =a ，那么x 叫做a 的平方根． 设计意图:初步认识平方根，及平方根与算术平方根的区别 ㈡、思考探究，获取新知 2. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 观察两个图得出平方与开平方互为逆运算． 回忆有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，在本质上掌握开平方。 例1 求下列各数的平方根 ⑴100 ⑵169 ⑶0.25 ⑷412 ⑸610 1
6.1.3平方根 (3 ) 1、了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根。 2、通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通 过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。 3、通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧 密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。 教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。 教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程 一、情境导入过目不忘 22222=225 =144 13=196 1511=169 14=121 1222=222=400 16=256 17=361 20289 18=324 19二、自主探究 1.探究x的值 2 1 16 36 0.49 X
2.生总结2的叫做a=a，那么这个数X一般地，如果一个数X的平方等于a，即x。记作“±”，读作“正负根号a平方根（也叫做二次方根）”。a例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根。 也可以说:9的平方根是±3 2观察讨论两种运算的不同 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 例如：，所以平方与开平方互为逆3的平方根是±9，9的平方等于 运算叫做被开方数。总结：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a 三、补偿提高 1、求下列各数的平方根0 ）0.25 ）（3100 （1）（22，因为（±解：(1) 10）=10010 所以 100的平方根是± 2=0.25, 0.5） (2) 因为（±0.5 所以0.25的平方根是± 的平方根是0，所以0平方等于的0 因为(3)
第3课时 平方根 1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点) 2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点) 一、情境导入 填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________； (2)25的平方等于425，那么425 的算术平方根就是________； (3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米． 还有平方等于9，425 ，49的其他数吗？ 二、合作探究 探究点一：平方根的概念及性质 【类型一】 求一个数的平方根 求下列各数的平方根： (1)12425 ；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)81. 解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数 的平方根． 解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75 ； (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01； (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±（－4）2＝±4； (4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±10－6＝±10－3； (5)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3. 方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平 方根． 【类型二】 利用平方根的性质求值 一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数． 解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a ＋1和a －4互为相 反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解． 解：由于一个正数的两个平方根是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0，即3a －3＝0， 解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零． 探究点二：开平方及相关运算 求下列各式中x 的值： (1)x 2＝361; (2)81x 2－49＝0；
第6章实数 6.1 平方根 第3课时算术平方根和平方根 核心提要 1.a的双重非负性：(1)被开方数a________0；(2)a________0. 2．常用公式：(a)2＝________() a0，a2＝________. 典例精讲 知识点1：非负数的性质 1．若a，b为有理数，且|| a＋2＋b－1＝0，求(a＋b)2 019的值． 知识点2：利用平方根的定义求未知数的值 2．利用平方根来解下列方程． (1)x2－36＝0；(2)(x－1)2－169＝0. 知识点3：估计无理数的大小 3．已知a是7的整数部分，b是7的小数部分，求a＋b的值． 变式训练 变式1已知a＋15＋(b－24)2＝0，求a＋b的平方根． 变式2求下列各式中的x的值． (1)(x＋2)2＝16；(2)4x2－1＝0. 变式3如果5的小数部分为a，37的整数部分为b，求a＋b－5的值． 基础巩固 1.下列各式正确的是() A.（－3）2＝3 B．(－4)2＝16 C.36＝±6 D．－－ 18 25＝－ 9 5 2．下列各数中，介于6和7之间的数是() A.28 B.43 C.58 D.339 3． 1 104的算术平方根是________． 4．若a＋2＝4，则(a＋2)2的平方根是________． 5．已知(2a＋1)2＋b－1＝0，则a2＋b2 018＝________. 6.13的整数部分为______，小数部分为__________． 7．利用平方根求下列x的值： (1)64(x＋1)2－25＝0；(2)4x2－9＝0. 能力提升 8．已知x，y是实数，且3x＋4＋(y＋3)2＝0，求xy的平方根． 9． 16 225的平方根的数学表达式为() A． 16 225＝± 4 15B． 16 225＝－ 4 15C． 16 225＝ 4 15D．± 16 225＝± 4 15 10．一个正方形的面积是55，估计它的边长大小在() A．6与7之间B．7与8之间C．8与9之间D．9与10之间 11．若a2＝－a，则a________0. 12．与20最接近的两个整数是________．
6.1平方根第3课时 一、教学目标 1.经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数〔完全平方数〕 的平方根. 2.经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 二、重点和难点 1.重点：平方根的概念. 2.难点：归纳有关平方根的结论. 三、合作探究 〔一〕根本训练，稳固旧知 1.填空：如果一个的平方等于a，那么这个叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作. 2.填空： (1)面积为16＝； (2)面积为15≈〔利用计算器求值，准确到〕. 3.填空： (1)因为2＝，所以的算术平方根等于，即＝； (2)因为2＝，所以3的算术平方根约等于，即≈. 〔二〕什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题. 〔三〕如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？ 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 和算术平方根的概念类似，〔指准32＝9〕我们把3叫做9的平方根，〔指准(-3)2＝9〕把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根〔板书：3和－3是9的平方根〕. 我们再来看几个例子. 〔师出示下表〕
同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用一句话概括什么是平方根？ 平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 大家把平方根概念默读两遍.〔学生默读〕 平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？ 四、精讲精练 例1、求下面各数的平方根： (1)100；；(3)0；(4)－4； (1)因为〔±10〕2＝100，所以100的平方根是＋10和－10 (2)〔±〕2＝0.25，所以的平方根是＋和－ (3)0的平方是0，所以0的平方根是0 0的平方是0正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－4.这说明什么？ 从这个例题你能得出什么结论？〔稍停片刻〕正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？ 小组讨论： 正数有平方根〔板书：正数有两个平方根〕. 平方根有什么关系？ 0的平方根有个，平方根是.负数平方根 大家把平方根的这三条结论读两遍. 精练 1.填空： (1)因为〔〕2＝49，所以49的平方根是； (2)因为〔〕2＝0，所以0的平方根是； (3)因为〔〕2＝，所以的平方根是；
《平方根》教学设计 一、导入新课 问题1、如果一个正数的平方等于9，那么这个正数是______ 问题2、如果一个数的平方等于9，那么这个数是______ 二、学习目标 1.理解平方根的概念，会求非负数的平方根； 2.掌握平方根的性质； 3.理解算术平方根与平方根的区别和联系。 三、自学指导 阅读课本45-46页 思考： 1. _______________________叫做a的平方根，也叫___________。 a的平方根记作：_______，读作：__________ 2. ______________________叫做开平方，它与______ 互为逆运算； 3. 64的平方根是______。 0.49的平方根是_______。 0的平方根是_____。 4：由3可以发现： ①正数的平方根有什么特点？ ②0的平方根是多少？ ③负数有平方根吗？为什么？ 5：归纳：平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根； 四、交流讨论 平方根与算术平方根有什么区别与联系？ 区别：①定义不同：算术平方根是平方根中正的那个平方根; ②表示方法不同：正数a的平方根表示为“+ √a”， 算术平方根表示为“√a”， ③个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算 术平方根只有一个。 联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个；
②存在的条件相同：平方根和算术平方根都只在被开方数为非负数的前提下存在； ③0的平方根和算术平方根都是0。 五、达标练习 2、快乐填空 ①平方根是它本身数是_____。 ②一个正数的两个平方根的和是_____，商是_____。 ③ a是16的一个平方根，b的一个平方根是2，则a+b=________ 4、已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值； 5、已知正数x的两个平方根是a+2和2a-8,求x的值。
平方根（第三课时） 永清县北辛溜中学张磊 教材分析：本节内容是人教版初中数学七年级下册第六章第一节《平方根》第三课时。本节课所学内容是平方根的概念和性质及用数学符号表示正数平方根，学生之前已经学习了有理数的乘方及算数平方根，为本节内容起到了铺垫作用，本节内容既是对算数平方根的深化和发展，也是今后学习实数、二次根式的基础，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据，因此，本节课起着承前启后的重要作用。 学情分析：七年级学生已经具备了一定的归纳类比能力，在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备用所学知识分析平方根性质的基础。 教学目标 知识与技能：1、掌握平方根的概念，明确平方根与算数平方根的区别和联系。 2、能用符号正确表示一个数的平方根，会用开平方运算和乘方运算之间的互逆关系求某些非负数的平方根。 过程与方法：通过探索平方根与算数平方根的区别和联系，学会利用算数平方根解决平方根的问题。 情感态度与价值观：培养学生的探究能力和归纳问题的能力，使学生养成全面分析问题的习惯。 教学重、难点
教学重点：平方根的概念和求数的平方根。 教学难点：平方根和算数平方根的区别与联系。 教学过程： 一、 复习旧知： 前面我们学习了算术平方根，大家掌握的怎么样？ 1. 什么叫做算术平方根？ 一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即 x2 ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。a 的算术平方根记为：a .读作:“根号a”, a 叫做 被开方数。 2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们的算术平方根。 100；1； 12136 ; 0; －0.0025; (-3)2 －25； 设计意图：通过复习算术平方根的概念及相关练习，加深对算数平方根的理解。 二、归纳平方根的概念 1、一个数的平方等于9，这个数是多少？ 设计意图：少了“这个数是正数”的条件，使学生思维上产生困惑，引发学生的思考，并引出本节课内容。 2、按上面的研究过程填表：
6.1 平方根 第3课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.了解平方根的概念,掌握平方根的特征. 2.能正确区分平方根与算术平方根的意义. 3.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根. 【过程与方法】 类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征. 【情感态度与价值观】 使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根. 【教学难点】
理解平方根的意义. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 1.什么叫做算术平方根？ 如果一个正数x 的平方等于a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. 2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根. 100； 1； 36121 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25. 3.填空： (1)3²=_______， （－3）²=_______； (2)(23)2=________，=(−23 )2=________； (3)0.8²=_______，（-0.8）²=_______． 反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ （二）探索新知 1.出示课件5-9，探究平方根的概念及性质 教师问：要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？
学生答：它的面积是9平方分米. 教师问：这个问题实际上就是求：32=? 这是已知底数和指数,求幂的运算.这是什么运算？ 学生答：这是乘方运算. 教师问：反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？ 学生答：它的边长是3分米. 教师问：实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9， 即：（）2=9，应该填什么呢？ 学生答：显然，括号里应是±3. 教师问：桌子的边长为何是3分米？ 学生答：－3不符题意. ∴方桌面的边长应是3分米. 教师问：你还能得到什么问题呢？ 学生问：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
6.1平方根教学设计 （第3课时） 【教学目标】 一、知识与技能： 掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。 二、过程与方法： 能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系。 三、情感态度与价值观： 培养学生的探究能力和归纳问题的能力。 【教学重点】平方根和算术平方根的联系与区别。 【教学难点】平方根的概念和求数的平方根。 【教学过程】 〈一〉复习回顾，巩固旧知。 1 .复习算术平方根的概念。 如果一个正数x的平方等于a,即x2=a ,那么这个正数x叫做a的算术平方 根。a算术平方根表示为：a（a > 0）o 强调：0的算术平方根是0o负数没有算术平方根。 2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根。 100; 1 ; 0; —25。 〈二〉创设情景，引入新课。 请同学们思考这么一个问题：如果一个数的平方等于9,这个数是多少？ 从前面我们知道，这个数可以是3。又由于（—3）2= 9，这个数也可以是-3。所以如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3 o
我们再来看几个例子：（教师出示下表） 平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用一句话概括什么是平方根？〈三〉新课传授。 【引导、归纳】指导学生归纳，说出概念。师生共同总结完善，归纳如下：平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。例如3和-3是9的平方根，简记为土3是9的平方根。 让学生观察课本第45页中的图6.1-2。 图6.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质。 〈四〉讲解例题，练习巩固。 例4:求下面各数的平方根： 9 （1）100 （2）（3） 0.25 16 解：⑴因为（土10）2= 100，所以100的平方根是土10。 3 9 9 3 （2）因为（土—）2= ，所以和的平方根是土—。 4 16 16 4 （3）因为（土0.5 ）2= 0.25 , 所以0.25的平方根是土0.5。 按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： 正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？师生活动：先由学生讨论，教师帮助完善。 【小结】正数的平方根有两个，它们互为相反数。 0 的平方根是0。负数没有平方根。
6.1平方根第3课时 导学案 学习目标 1、理解平方根的概念 2、了解开平方的定义 3、掌握平方根的性质 学习重点：平方根的概念. 学习难点：归纳有关平方根的结论. 学习方法：讨论，探究 学习过程： 一、自主探究、合作交流： 让学生自学教材P44—P46内容后，答复下面问题 〔1〕什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？ 〔2〕根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？ 〔3〕负数有没有平方根，为什么？ 〔4〕什么叫开平方？ 总结：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根， 用符号表示为：假设2, x a x == 则 负数没有平方根；求一个数a的平方根的运算叫做开平方 二、师生互动、精讲点拨 例4、求下面各数的平方根： 〔1〕100；〔2〕 9 16 〔3〕0.25；〔4〕0 解：〔1〕因为〔±10〕2＝100，所以100的平方根是±10 〔2〕 〔3〕 〔4〕
思考：正数有几个平方根？0有几个平方根？平方根有什么关系？ 负数有几个平方根？ 小组讨论： 归纳：正数有平方根，它们； 0的平方根有个，是；负数平方根 正数a的平方根表示为a 例5 求以下各式的值 〔1〔2〕〔3〕 三、稳固训练 1、填空： (1)因为〔〕2＝49，所以49的平方根是；(2)因为〔〕2＝0，所以0的平 方根是； (3)因为〔〕2＝，所以的平方根是； 2、填空： (1)121的平方根是，121的算术平方根是； 的平方根是，的算术平方根是； (3) 的平方根是8和－8，的算术平方根是8； (4) 的平方根是3 5 和 3 5 -，的算术平方根是 3 5 . 3、判断以下说法是否正确 〔1〕5是25的算术平方根〔〕 〔2〕5 6 是 25 36 的一个平方根〔〕 〔3〕()24-的平方根是－4 〔〕 〔4〕0的平方根与算术平方根都是0 〔〕
第3课时平方根 学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征． （2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根 学习重点： 平方根的概念． 教学过程 一、情境导入 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 由于(±3)2＝9， 所以这个数是3或-3. 3是前面学习过的9的算术平方根， -3与9的算术平方根有什么关系？ 二、合作探究 探究点一：1．归纳平方根的概念 根据上面的研究过程填表： 如果我们把±1, ±4, ±6, ±7 , ±2/5分别叫做1, 16, 36 , 49, 4/25的平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？ 平方根的概念：若x2＝a，则x叫a的平方根，x＝±a. 2．认识开平方运算 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 两图中的运算有什么关系呢？
3．例题解析 例1 求下列各数的平方根： 解：（1）因为 ， 所以100的平方根是 10 ． （5）因为 ， 所以0的平方根是0． 例2 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）-5是25的平方根； （4）64的平方根是 ； （5）-16的平方根是-4． 4．归纳数的平方根的特征 正数的平方根有几个，它们有什么特点？ 0的平方根有几个，是多少？ 负数有平方根吗？ 5．平方根的表示 我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？ 正数a 的算术平方根可以表示用 表示； 正数a 的负的平方根，可以用符号 表示， 正数a 的平方根用符号 读作“正、负根号a ”． 6．例题解析 例3 判断下列各式计算是否正确，并说明理由． 例4 911100230254250164 ;.;;.（）；（）（）（）（）()210100±=()2 00=(1)2(2)2(3)2=±±=±-=±；；．
平方根教学设计（第3课时） 教学目标 1.掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别. 2.能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 通过探索平方根与算术平方根的区别与联系,学会利用算术平方根解决平方根的问题. 培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识,养成综合分析问题的习惯. 【重点】平方根的概念和求数的平方根. 【难点】平方根和算术平方根的联系与区别. 【教师准备】教材图6.1-2;教材例题投影图片. 【学生准备】复习算术平方根的知识. 教学过程 一、导入新课 导入一: 我们学过了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则x叫做a的算术平方根,记作x=,而且不能是非正数,比如正数32=9,则3叫做9的算术平方根,9叫做3的平方数,但是(-3)2=9,那么-3叫做9的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题. [设计意图]通过复习旧知识引入新知识,有利于学生建立起知识之间的对比和联系. 导入二: 【思考】如果一个数的平方等于9,这个数是多少? 从前面的学习我们知道,这个数可以是3.除了3以外,还有没有别的数的平方也等于9呢?由于(-3)2=9,这个数也可以是-3. 因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3.那么,3和-3叫做9的什么呢? [设计意图]通过简单的事例,有助于学生进行旧知识的复习,通过思考问题,引入平方根的概念.二、新知构建： 思路一:
填表: 问题: ①什么是算术平方根? ②表格中的这些数的算术平方根是什么? ③什么叫做平方根? ④什么叫做开平方? 问题处理方式:第一问和第二问由学生自己回答;第三问和第四问学生自学教材第45页例4前的内容后回答. 核心问题归纳:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 思路二: 问题思考: (1)9的算术平方根是3,还有平方也是9的数吗? (2)平方等于的数有几个?平方等于0.36的数呢? 生1:-3的平方也是9. 生2:平方等于的数有两个,分别是和-. 生3:平方等于0.36的数有两个,是0.6和-0.6. 师:根据上一节课的内容,我们知道了3是9的算术平方根,那么-3也是9的算术平方根吗? 生:(阅读教材第45页第1段) 师:-3是9的平方根,这种说法对吗? 生:正确. 师:能总结一下平方根的定义吗? 生:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 问题2:平方与开平方的关系 学生观察教材图6.1-2,思考左面的平方和右面的开平方是什么关系. 我们看到,±1的平方等于1,1的平方根是±1,±2的平方等于4,4的平方根是±2,±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根. (教材例4)求下列各数的平方根. (1)100;(2);(3)0.25. 解:(1)因为(±10)2=100, 所以100的平方根是±10.
第3课时平方根 教学目标1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别； 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系； 3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 教学难点平方根和算术平方根的联系与区别 知识重点平方根的概念和求数的平方根。 教学过程（师生活动）设计理念 思考归纳导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它 们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到 －3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以 是负数．注意 ()9 32= -中括号的作用． 又如：25 4 2= x ，则x等于多少呢？ 使学生完成课本165页的填表练习． 给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么 这个数就叫做a的平方根．即：如果 2 x=a，那么x 叫做a的平方根． 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以 平方与开平方互为逆运算． 观察：课本中的图13.1-2. 图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运 算的运算过程，揭示了开平方运算的本质． 让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个 关系说出1,4,9的平方根． 注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先 不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数． 例1：（课本的例4）。求下列各数的平方根。 （1）100 （2）16 9 （3）0.25 建议教师要规范书写格式。 这个思考题是引入 平方根概念的切入 点，要让学生有充分 的时间进行思考和体 验． 在等式中求出x 的值，为填表做准备． 通过填表中的x 的值，进一步加深时 “两个互为相反数 的平方等于同一个 数”的印象，为平方 根的引入做准备． 教学中可以引导 学生通过查阅资料等 方式，了解平方根产 生发展的过程．（通常 称为平方根．在研究 有关n次方根的问题 时，为使各次方根的 说法协调起见，常采 用二次方根的说法 3表示＋3和一3两个 数．这种写法学生不 太习惯，在以后的教 学中宜不断提到。 通过此例使学生明白 平方根可以从平方运 算中求得，并能规范 地表述一个数的平方 根．这个例题也为后 面探讨平方根的特征 做好准备． 讨论归纳深化概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问 题： 正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负 数有平方根吗？ 通过讨论，使学生对 有理数的平方根有一 个全面的认识．也是 平方根概念的进一步 深化．