学科：数学授课教师：年级：七总第14课时课题 6.1平方根（三）课时数
教学目标知识与技能
1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联
系和区别；
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算
和乘方运算之间的互逆关系；
过程与方法培养学生的探究能力和归纳问题的能力．
情感价值观培养学生的探究能力和归纳问题的能力．
教学重点平方根和算术平方根的联系与区别
教学难点平方根和算术平方根的联系与区别
教学方法自主探究
使用媒体多媒体
教学过程
教学
流程
教学活动学生活动设计意图
思考归纳
导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两
个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可
能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这
里的这个数可以是负数．注意中
括号的作用．
又如：，则x等于多少呢？
给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，
那么这个数就叫做a的平方根．即：如果=a，
那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：3的平方等于9，9的平方根是3，
所以平方与开平方互为逆运算．
观察：课本中的两个图描述了平方与开平方互
思考题是引入
学生完成课本的填表练习
这个思考题是引
入平方根概念的
切入点，要让学
生有充分的时间
进行思考和体
验．
在等式中求
出x的值，为填
表做准备．
通过填表中
的x的值，进一
步加深时“两个
互为相反数的平
方等于同一个
数”的印象，为
平方根的引入做
准备．
教学中可以
为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根．
注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数．
例1：求下列各数的平方根。
（1） 100 （2）（3）0.25 建议教师要规范书写格式。规范书写格式
引导学生通过查
阅资料等方式，
了解平方根产
生发展的过
程．（通常称为
平方根．在研究
有关n次方根的
问题
3表示＋3和
一3两个数．这
种写法学生不太
习惯，在以后的
教学中宜不断提
到。
讨论归纳
深化
概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列
问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多
少？负数有平方根吗？
建议：可引导学生通过观察=a中的a和x
的取值范围和取值个数得出．
根据上面讨论得出的结果填课本166页的表．
注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不
太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进
行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到
的运算结果惟一的情况有所不同，另
一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平
方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在
有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一
般不会遇到(0作除数的情况除外）．教学时，
可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后
的教学中继续强化这两点．
引入符号：正数a的算术平方根可用表示；
正数a的负的平方根可用-表示．例如……
思考：表示什么意思，这里的x可取什么
样
体会分类思想
应用例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，，
如果有要用平方根的符号来表示。
例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。
（1），（2）－，（3）
（4），要让学生明白各式所表示
的意义；根据平方关系和
平方根概念的格式书写解
题格式。平方根和算术平
方根的概念是本章重点内
容，两者既有区别又有联
系．
要让学生明白各
式所表示的意
义；根据平方关
系和平方根概念
的格式书写解题
格式。平方根和
算术平方根的概
念是本章重点内
容
课堂小结
作业布置
教学反思
本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式=a和已有算术
平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了．
有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学
生在本质上掌握其求法．
学科：数学授课教师：年级：七总第14课时课题 6.1平方根（三）课时数 教学目标知识与技能 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联 系和区别； 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算 和乘方运算之间的互逆关系； 过程与方法培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 情感价值观培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 教学重点平方根和算术平方根的联系与区别 教学难点平方根和算术平方根的联系与区别 教学方法自主探究 使用媒体多媒体 教学过程 教学 流程 教学活动学生活动设计意图 思考归纳 导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两 个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可 能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这 里的这个数可以是负数．注意中 括号的作用． 又如：，则x等于多少呢？ 给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a， 那么这个数就叫做a的平方根．即：如果=a， 那么x叫做a的平方根． 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 例如：3的平方等于9，9的平方根是3， 所以平方与开平方互为逆运算． 观察：课本中的两个图描述了平方与开平方互 思考题是引入 学生完成课本的填表练习 这个思考题是引 入平方根概念的 切入点，要让学 生有充分的时间 进行思考和体 验． 在等式中求 出x的值，为填 表做准备． 通过填表中 的x的值，进一 步加深时“两个 互为相反数的平 方等于同一个 数”的印象，为 平方根的引入做 准备． 教学中可以
为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质． 让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根． 注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数． 例1：求下列各数的平方根。 （1） 100 （2）（3）0.25 建议教师要规范书写格式。规范书写格式 引导学生通过查 阅资料等方式， 了解平方根产 生发展的过 程．（通常称为 平方根．在研究 有关n次方根的 问题 3表示＋3和 一3两个数．这 种写法学生不太 习惯，在以后的 教学中宜不断提 到。 讨论归纳 深化 概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列 问题： 正数的平方根有什么特点？0的平方根是多 少？负数有平方根吗？ 建议：可引导学生通过观察=a中的a和x 的取值范围和取值个数得出． 根据上面讨论得出的结果填课本166页的表． 注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不 太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进 行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到 的运算结果惟一的情况有所不同，另 一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平 方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在 有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一 般不会遇到(0作除数的情况除外）．教学时， 可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后 的教学中继续强化这两点． 引入符号：正数a的算术平方根可用表示； 正数a的负的平方根可用-表示．例如…… 思考：表示什么意思，这里的x可取什么 样 体会分类思想
《算术平方根》教学设计 都匀市杨柳街中学张启航 教材：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》七年级下 目标：1、知识与技能 （1）了解算术平方根的概念，懂得使用根号表示正数的算术平方根。 （2）会求正数的算术平方根并会用符号表示。 2、过程与方法 （1）经历算术平方根概念的形成过程，理解平方与开方之间是互为 逆，会求正数的算术平方根并会用符号表示。 （2）通过引导、启发学生探索、合作交流等数学活动，使学生掌握 研究问题的方法。 3、情感态度与价值观 让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，激发学生的学习兴趣。重点：算术平方根的概念。 难点：算术平方根的概念。 学情、教法分析： 《算术平方根》是人教版教材七年级数学第6章第一节的内容。 在此之前，学生们已经掌握了数的平方，这为过渡到本节内容的学习起到了铺垫的作用。本课是《实数》的开篇第一课，掌握好算术平方根的概念和计算，为今后学习根式运算、方程、函数等知识作出了铺垫，提供了知识积累。本节课中重难点不多，利于学生对知识的掌握，利于学生能力的发展。因此，本节课通过引导、启发学生探索、交流、
合作等数学活动，初步培养学生分析问题、解决问题的能力，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习。 教具：课件、计算机、投影仪。 过程： 一、创设情境，复习引入 1、我们知道，要求正方形的面积，只要知道边长，利用面积公式即可救出；知道面积，怎样求边长呢？如：“学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？” （1）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ （2）大家说了很多方法，我们知道52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米；现在请同学们根据这一方法填写下表： 2、想一想：如果正方形的面积是10 dm2，它的边长是多少？ 表中的数，我们很容易知道是什么数的平方，但10是什么数的平方呢？这就是我们今天要学习的“算术平方根”，学习后大家说知道了。 二、感知新知识 1、算术平方根的概念 （1）从填表知道正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根；正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根。
第3课时 平方根 关键问答 ①正数的平方根之间有什么关系？ ②请用符号表示正数a 的平方根及算术平方根． 1．①25的平方根是( ) A ．5 B ．－5 C ．±5 D ．±5 2．②“3625的平方根是±65 ”用数学式表示为( ) A.3625＝±65 B ．± 3625＝±65 C.3625＝65 D ．－ 3625＝－65 命题点 1 平方根的意义 [热度：90%] 3．若x －3是4的平方根，则x 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．1或5 D ．16 4．若x ＋2＝2，则2x ＋5的平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．3 D ．±3 5.③(－6)2的平方根是________． 易错警示 ③先计算(－6)2的值，再求这个数的平方根. 6.81的平方根是________． 命题点 2 平方根的性质 [热度：92%] 7.④如果一个正数的两个平方根为x ＋1和x －3，那么x 的值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．±2 解题突破 ④一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 8．⑤若m ，n 是一个正数的两个平方根，则3m ＋3n －5＝__________． 方法点拨 ⑤一个正数的两个平方根互为相反数．
9．已知2a ＋3的平方根是±3，5a ＋2b －1的平方根是±4.求3a ＋2b 的平方根． 10.⑥王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m －6，它的平方根为±(m －2)．求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知2m －6是m －2或者－(m －2)两数中的一个．(1) 当2m －6＝m －2时，解得m ＝4.(2) 2m －6＝2×4－6＝2.(3) 这个数为4. 当2m －6＝－(m －2)时，解得m ＝83 .(4) 2m －6＝2×83－6＝－23 .(5) 这个数为49 . 综上可得，这个数为4或49 .(6) 王老师看了小张的解法后，说他的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？请改正． 易错警示 ⑥算术平方根具有非负性，因此m 的取值需保证算术平方根大于或等于0. 命题点 3 开平方 [热度：94%] 11．下列结论中，正确的个数是( ) ①0.4＝0.2；②179＝±43 ；③－20192的平方根是－2019； ④（－5）2的算术平方根是－5；⑤±76是11336 的平方根． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12.⑦若x 能使(x －1)2＝4成立，则x 的值是( ) A ．3 B ．－1 C ．3或－1 D ．±2 易错警示 ⑦容易丢掉4的其中一个平方根－2，从而误选A.
平方根 【第一课时】 【教学目标】 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。 2．会求一个正数的算术平方根。 3．了解算术平方根的性质。 【教学重难点】 1．算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。 2．算术平方根的概念、性质。 【教学过程】 一、问题引入 1．教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13的正方形的边长究竟是多少？ 学生活动： （1）完成填空： a2=_____；b2=_____； c2=_____；d2=_____； e2=_____；f2=_____。 （2）a，b，c，d，e，f中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？ 2．师生互动： 集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。 二、讲授新课 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于___，那么，这个正数就叫做___的算术平方根。记为：“”读做根号。特别地，0的算术平方根是0。 例1：分别写出下列各数的算术平方根。 （要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。）
例2：自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4．9t2．有一铁球从19．6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。 三、小结 1．内容总结： 算术平方根的定义、表示； 2．方法归纳： 转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。 【第二课时】 【教学目标】 1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。 2．会求一个正数的平方根。 3．了解平方根和算术平方根的性质。 4．了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的算术平方根和平方根。 【教学重难点】 1．了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。 2．平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。 【教学过程】 一、复习提问 1．算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。 2．9的算术平方根是__________，3的平方是___________，还有其他的数的平方是9吗？ 二、讲授新课 1．想一想： 平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。 2．教师活动： 一般地，如果一个数的平方等于____，那么，这个数就叫做___的平方根，也叫做二次方根。
6.1平方根教案 一、教学目标 知识目标：掌握算数平方根概念与性质，能及时通过开开方运算求一个非负数的算数平方根，理解平方与开方互为逆运算。 能力目标：通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。 情感目标：鼓励学生积极主动地参与数与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增强学生学习数学的兴趣与信心。 二、教学重难点 重点：算数平方根的概念和求法 难点：算数平方根的求法 三、教学过程： （一）情景引入 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ （二）探索归纳 1、探索： 学生能根据自己有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、4/25，那么正方形的边长分别是多少呢？ 学生会求出边长分别是1、3、4、6、2/5，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题他们有共同点吗？他们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2、归纳： （1）算数平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算数平方根。 （2）算数平方根的表示方法： a的算数平方根记为√a，读作“根号a”或者“二次根号a”，a叫做被开方数。（三）应用 例1、求下列各数的算数平方数： (1)100 (2)49/64 (3)0.0001 (4)0 解：（1）因为102=100，所以100的算数平方根是10，即√100＝10； （2）因为（7/8）2=49/64，所以49/64的算数平方根是7/8，即√49/64＝7/8；（3）因为（0.01）2=0.0001，所以0.0001的算数平方根是0.01，即√0.0001＝0.01； （4）因为（0）2=0，所以0的算数平方根是0，即√0＝0； 注：①根据算数平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算数平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③0的算数平方根是0. 由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1，－36，－100的算数平方根吗？任意一个负数有算数平方根吗？ 归纳：一个正数的算数平方根有1个，0的算数平方根是0，负数没有算数平方根。即：只有非负数才有算数平方根，如果x＝√a有意义，那么a≥0,x≥0 注：a≥0且√a≥0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要太强求，可以再以后的教学中慢慢渗透。 例2：下列各式表示什么意思？你能求出它们的值吗？ √25；√0.81；√49/81；√（－11）2；√62 分析：此题本质还是求几个非负数的算数平方根。 解：√25＝5 √0.81＝0.9 √（－11）2＝11 √62＝6
6.1 平方根（第3课时） 教学内容 一、情境导入 思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 讨论：这样的数有两个，它们是3和－3. 注意(－3)2＝9中括号的作用． 二、新课教学 1. 平方根的概念 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根． 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算． 2. 观察 下图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．根据这个关系说出1，4，9的平方根． 学生根据图中的关系回答. 例4 求下列各数的平方根. （1） 100 （2） 16 9 （3） 0.25 （注意书写格式） 3. 按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： （1）正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ （2）一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数 a 的算术平方根可用a 表示；正数A 的负的平方根可用-a 表示． 归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根.
三、小结 1.什么叫做一个数的平方根？ 2.正数、0、负数的平方根有什么规律？ 3.怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示？ 四、作业 教材P47、P48习题6.1第4、8、9、10、11、12题. 教学反思： 中国书法艺术说课教案 今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。 一、教材分析： 本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。 书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。 1、教学目标： 使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。 2、教学重点与难点：
6 .1算术平方根 袁新启 教材分析： 本课教材所处位置是本章的第一节，学生对数的认识要由有理数范围扩大到实数范围，而本课是学习无理数的前提，是学习实数的衔接与过渡，并且是以后学习实数运算的基础，对以后学习物理、化学等知识及实际问题的解决起着举足轻重的作用． 学情分析： 学生已掌握一些完全平方数，能说出一些完全平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识． 学习目标： 知识与技能：1．了解算术平方根的意义，会用根号表示一个非负数的算术平方根，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 2．经历从平方运算到求算术平方根的演变过程，体会两者的互逆关系，发展思维能力． 过程与方法：经历探索算术平方根的过程，能用算术平方根求某非负数的算术平方根． 情感态度和价值观：让学生体验数学与生活实际是紧密相连，激发学生的学习兴趣． 学习重难点：
重点：1.算术平方根的概念； 2.算术平方根与被开方数之间的大小变化规律. 难点：算术平方根的双重非负性. 教学过程： ●情景导入 （1）一个正方形桌面的边长是 1.5m，求这个桌面的面积是多少平方米？ （2）已知一个正方形画布的面积是25dm2，求它的边长. （3）如果一个正方形展厅的地面面积为55m2，求它的边长. ●探究归纳 我们知道52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米； 现在请同学们根据这一方法填写下表： 正方形的面积 1 9 16 36 55 …边长 1 3 4 6 0.4 ？… 2 点●概念引入 定义：如果一个正数x的平方等于a,即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“
”，读作“根号a”。a叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是0。 【试一试】略 ●讨论性质 a可以取任何数吗？ 表示的是什么数？ 负数没有算术平方根。 算术平方根的双重非负性 例2、下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
第1课时 算术平方根 【落红不是无情物，化作春泥更护花。出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》 ◆教学目标】 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。 【教学难点与重点】 1. 重点：算术平方根的概念。 2. 难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 【教学过程】 一、 情境导入 同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度1v （米／秒）而小于第二宇宙速度：2v （米／秒）．1v 、2v 的大小满足gR v gR v 2,2 221==.怎样求1v 、2v 呢？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容． 设计理念：“神舟”五号成功发射和安全着陆，标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步，是我们伟大祖国的荣耀．此内容有感染力，使学生对 本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．这里的计算实际上是已知幂和乘方的指数求底数的问题，是乘方的逆运算，学生以前没有见过，由此引出了本章所要研究的主要内容，以及研究这些内容的大体思路．
这节课我们先学习有关算术平方根的概念． 请看下面的问题． 你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法） 这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值． 练习：教科书第160页的填表．这个问题抽象成数学问题就是已知正方形的面积求正方形的边长，这与学生以前学过的已知正方形的边长求它的面积的过程互逆，学时可以让学生初步体会这种互逆的过程，为后面的学习做准备。 二、归纳新知 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数． 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. 思考：这里的数a应该是怎样的数呢？ 试一试：你能根据等式：2 12=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根，为……a也可以写成2a,读作“二次根号a”。 算术平方根的概念比较抽象，原因之一是学生对石这个新 的符号的理解要有一个过程．通过此问题，使学生对符号“而”表示的具体含义有更具、更深刻的认识． 三、用新知 例．求下列各数的算术平方根：
课题6.1.1平方根 教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 重点、难点教学重点：算术平方根的概念。 教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学环节教学过程师生活动 复习导入自主探究 1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,- 1 5 ,-3,3,1, 1 5 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值 说出来吗? 25,0,4, 4 25 , 1 144 ,- 1 4 ,1.69 探究1学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一 块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多少dm？ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问 题。 定义一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么 这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作 “根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 探究2例1 求下列各数的算术平方根: (1) 100 (2) 1 (3) 49 64 (4) 196 (5) 0.0001 观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应 点算术平方根也越大 练一练 1。某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;? ()26- 的算术平方根是__________，4的算术平方根是 81的算术平方根是 师生问答 情境引入学生 看课本40页，思 考问题并填表。 教师板书课 题，定义 学生思考，小 组交流，教师 点拨。
学科：数学授课教师：年级： 704 班 课题 6.1平方根（三）课时数 教学目标知识与技能 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的 联系和区别； 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运 算和乘方运算之间的互逆关系； 过程与方法培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 情感态度价值观培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 教学重点 平方根和算术平方根的联系与区别教学难点 平方根和算术平方根的联系与区别教学方法自主探究 使用媒体多媒体 教学过程 教学流程教学活动学生活动 （一）复习引入 （二）导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识 的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以 是负数．注意中括号的作用． 又如：，则x等于多少呢？ 给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方 根．即：如果=a，那么x叫做a的平方根． 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运 算． 观察：课本中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了 开平方运算的本质． 让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方 根． 注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给 出的数是完全平方数． 例1：求下列各数的平方根。 （1） 100 （2）（3）0.25 思考题 是引入 学生完 成课本 的填表 练习
（三）例题讲解 （四）巩固练习 （五）平方根的表示方法 （六）平方根的性质解；（1）∵（±10）2=100 ∴100的平方根是±100 课本练习 引入符号：正数a的算术方根可用表示；正数a平的负的平方根可用-表示． 思考：表示什么意思，这里的x可取什么值 答：a大于或者等于0 归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 规范书 写格式 （七）应用 （八）练习例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。（1），（2）－，（3）（4）， 课本练习 课堂小结1、什么是平方根 1、平方根的表示方法 2、平方根的性质 4、会求一个数的平方根 作业布置课本
平方根（第２课时）的教学设计 一．学生学情分析 学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”,并能熟练计算任何 一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第 二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根. 那么这一课时进一步学习平方根本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用.并对 “平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---探 索---类比----发现”中发展学习数学的能力. 二．学习任务分析 第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在具体的例子中抽象出概念，发展学生的 抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用.并对“平方根”和 “算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---探索---类比 ----发现”中发展学习数学的能力. 三．学习目标 知识目标 1.了解平方根、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别和联系. 3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系. 能力目标 1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力. 2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力. 情感目标 1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神. 2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度. 四.重点、难点 重点： 1.了解平方根开、平方根的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方 根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 难点： 1.平方根与算术平方根的区别和联系. 2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算. 五．学习方法 自主合作探究
七年级数学下册《6.1算术平方根（第1课时）》教学设计 一、教学目标： 1.知识与技能目标 （1）了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 （2）了解算术平方根的性质。 （3）了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根。 2.过程与方法目标 （1）通过创设情境让学生得出新知，加强概念形成的教学，提高学生的思维水平。（2）通过对平方根概念及性质的探究，提高数学数感和符号感，以及抽象思维的能力。 3.情感态度与价值观目标 （1）鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。 （2）通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系的。 二、教学重难点： 教学重点：算术平方根的概念和性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。 教学难点：对算术平方根的概念和性质的理解，尤其是对算术平方根的双重非负性的理解。 三、教学准备： 教具准备：多媒体课件，白板 四、教学时间： 四十分钟 五、教学过程： （一）创设情境、导入新课 学校为了趣味接力比赛，要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地，这个正方形场地的边长应为多少? （谁来说这块正方形场地的边长应取多少米？你是怎么算出来的？） （二）合作交流、探究新知 解答上一个问题后，请同学们完成下表： 这个填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题。（通过解决这个问题，我们就引出了算术平方根的概念）
正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根。正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根。 说说6和36这两个数？……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正） 说说1和0这两个数？（教师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生任意抽一张卡片，让其他学生回答平方或算术平方根。） （三）总结提炼、梳理延伸 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？（出示算术平方根的定义并板书） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a 的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数． 也就是，在等式x2＝a（x≥0）中，规定x＝a. 规定：0的算术平方根是0。 注：讲解算术平方根的双重非负性， 探究a：（1）a可以取任何数吗？（2）a是什么数？ 目的：进一步明确a在什么情况下有意义，什么情况下无意义，理解算术平方根的双重非负性。 （四）实例演练、巩固提高 例1：能否用两个面积为1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 如上图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大正方形． 教师：同学们说得很好，还有其他的方法吗？（鼓励学生探究） 学生思考，可以采用下列方法：把两个小正方形中的一个沿对角线剪成4部分，然后和另一个小正方形拼在一起，如下图. 教师：说得好，你知道这个大正方形的边长是多少吗？ 设大正方形的边长为x dm，则x2＝2. 由算术平方根的意义可知x＝2， 所以大正方形的边长是2dm. 练习1：求下列各数的算术平方根： （1）0.0025 （2）81 （3）32 （4）(-6)2
平方根（13.1 算术平方根）第一课时 韩友斌山阳县户垣中学 教案依据《平《实数》第一节本节是人教版义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第 十三章方根》第一课时：算术平方根。算术平方根的教育价值不仅因为它初中数学的一个本课教材所处位置是本章的第一节，因为有些正有理数的算术平方根不能重要概念，也是学习二次根式及一元二次方程的基础，2为代表的这由于对于以用有理数来表示，很自然地要推动数的范围扩张——引进新数。类数求近似值的探讨，既能够让学生了解到这类数的本质特征是无限不循环小数，同时也能够通过求其近似值的过程，让学生体验到一种重要的数学思想——“逼近法”思想。由此看来，学生正确合理地建构算术平方根的意义，不仅影响到以后数学知识的学习，也影响到以后在数学思想方法及情感体验方面的发展。 教学课题 算数平方根 设计思想 1、学情分析：学生已掌握一些平方数，能说出一些平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识。 2. 相应的教法：从一些完全平方数入手，引入概念，设置疑问，动手操作，再根据实践需要，教师从方法上指导师生合作探究、小组合作学习。 3. 具体措施：精讲多练，教师担任设计活动、调节气氛、整理归纳的导演作用，学生是表现者、活动者、实践者。运用多媒体提高课堂容量，增加形象感与趣味性。通过声像并茂、动静皆宜的表现形式，生动、形象地展示教学内容，扩大学生视野，有效促进课堂教学的大容量、多信息和高效率，有利于学生开发智能、培养能力和提高素质，将教学引入了一个新的境界。 教学方法． 教学方法动手实践、自主探索与合作交流是学习的重要方式，在教学中我采用先学后教，当堂训练，引导学生思考，探究，交流，学生在这样的学习过程中对知识进行认识、体会和内化。 教学任务分析
6.1平方根第3课时 一、教学目标 1.经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数（完全平方数） 的平方根. 2.经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 二、重点和难点 1.重点：平方根的概念. 2.难点：归纳有关平方根的结论. 三、合作探究 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空：如果一个的平方等于a，那么这个叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作. 2.填空： (1)面积为16＝； (2)面积为15的正方形，≈（利用计算器求值，精确到0.01）. 3.填空： (1)因为1.72＝2.89，所以2.89的算术平方根等于，＝； (2)因为1.732＝2.9929，所以3的算术平方根约等于，即≈. （二）什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题. （三）如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？ 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 和算术平方根的概念类似，（指准32＝9）我们把3叫做9的平方根，（指准(-3)2＝9）把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根（板书：3和－3是9的平方根）. 我们再来看几个例子. （师出示下表）
同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用一句话概括什么是平方根？ 平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 大家把平方根概念默读两遍.（学生默读） 平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？ 四、精讲精练 例1、求下面各数的平方根： (1)100；(2)0.25；(3)0；(4)－4； (1)因为（±10）2＝100，所以100的平方根是＋10和－10 (2)（±0.5）2＝0.25，所以0.25的平方根是＋0.5和－0.5 (3)0的平方是0，所以0的平方根是0 0的平方是0正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－4.这说明什么？ 从这个例题你能得出什么结论？（稍停片刻）正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？ 小组讨论： 正数有平方根（板书：正数有两个平方根）. 平方根有什么关系？ 0的平方根有个，平方根是.负数平方根 大家把平方根的这三条结论读两遍. 精练 1.填空： (1)因为（）2＝49，所以49的平方根是； (2)因为（）2＝0，所以0的平方根是； (3)因为（）2＝1.96，所以1.96的平方根是；
《3.1平方根》教学设计 一、教学目标 1.知识目标: 理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。 2.能力目标: 学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。 3.情感目标: 学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。 二、教学重点和难点 1.重点：平方根的概念。 2.难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。 三、教学方法 1 .本着以人为本的教育理念，主动地发展学生的个性特长，让学生学会学习，培养学生可持续发展学习的能力，本节课主要采用探究式和启发式的教学方法。 2.使用现代教育技术和引导学生动手实践，使学生能充实地学习数学，把注意力集中在决策、反思、归纳、推理和问题解决上。 四、教学过程 1.创设情境，设疑引新 （媒体展示）小明家的新房刚刚装修好，星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌。他们看中了一款非常漂亮的餐桌，可是不知道边长是多少，正当小明的爸爸犯愁的时候，小明看了看桌子上的标签，得意的说：“我知道了”。 几秒之后提问：同学们你们知道吗？ （设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于100的数是什么？） 随后，再说几个数让同学们找哪个数的平方等于它。有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题） 2 师生互动，探究新知 2.1 概念引入 由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44 ∴平方得1.44的数有两个是+1.2， 又边长不为负，因此为1.2m 于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴±1.2叫做1.44的平方根
平方根 1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点) 2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点) 一、情境导入 填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________； (2)25的平方等于425，那么425 的算术平方根就是________； (3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米． 还有平方等于9，425 ，49的其他数吗？ 二、合作探究 探究点一：平方根的概念及性质 【类型一】 求一个数的平方根 求下列各数的平方根： (1)12425 ；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)81. 解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反 数的平方根． 解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75； (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01； (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4) 2的平方根是±4，即±（－4）2 ＝±4； (4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±10－6＝±10－3； (5)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3. 方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的
平方根． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 利用平方根的性质求值一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数． 解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a ＋1和a －4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解． 解：由于一个正数的两个平方根是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0，即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题 探究点二：开平方及相关运算 求下列各式中x 的值： (1)x 2＝361; (2)81x 2－49＝0； (3)49(x 2＋1)＝50; (4)(3x －1)2＝(－5)2. 解析：若x 2＝a (a ≥0)，则x ＝±a ，先把各题化为x 2＝a 的形式，再求x .其中(4)中可将(3x －1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x . 解：(1)∵x 2＝361，∴开平方得x ＝±361＝±19； (2)整理81x 2－49＝0，得x 2＝4981 ，∴开平方得x ＝±4981＝±79； (3)整理49(x 2＋1)＝50，得x 2＝ 149，∴开平方得x ＝±149＝±17； (4)∵(3x －1)2＝(－5)2，∴开平方得3x －1＝±5.当3x －1＝5时，x ＝2；当3x －1 ＝－5时，x ＝－43.综上所述，x ＝2或－43 . 方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的
人教版数学七年级下册第六章第一节算术平方根 赣州市赣县石芫中学黄新杰
人教版七（下）6.1平方根（第1课时）——算术平方根 教学设计 一、教学任务分析 教学内容解析 本节课是义务教育课程标准实验教科书人教版七年级(下)第六章《实数》的第一节《平方根》的第1课时，主要是“算术平方根”的概念和性质的教学，属于“数与代数”领域．其数学本质是已知幂和乘方指数2求正底数，即求正数乘方的逆运算问题. 本节课是在七年级上册学习了有理数的乘方运算的基础上安排的，是学习平方根、无理数、实数、二次根式、一元二次方程以及解三角形等内容的准备知识.由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，从而完成了初中阶段数的扩展；运算方面，在乘方的基础上引入了开方运算，使代数运算得以完善.因此，本节课是有助于了解平方根、开方、n次方根的概念，为今后学习根式运算、方程、函数等知识作铺垫. 同时也为学习有关的物理、化学公式的计算打下扎实的基础. 教学目标 1.了解算术平方根的概念，会求一个正数的算术平方根，能用数学符号表示算术平方根，了解算术平方根的性质；进一步培养学生的数感、符号感. 2.通过探究2大小，培养学生估算意识，感知无限不循环小数的特点，渗透“数形结合”“夹逼法”等数学思想方法. 3.能运用算术平方根的知识解决实际问题，增强数学与生活的联系. 4.在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．激励学生树立远大理想，并为实现自己的理想目标而努力. 重 点 理解算术平方根的概念、性质. 难点（1）理解算术平方根的意义； （2）正确求出一个非负数的算术平方根. 学情分析 学生的知识技能基础：学生已学完有理数的乘方，具备了乘方运算的基础，对幂中的底数、指数等概念有了一定的了解；并且有计算正方形等几何图形面积的技能．这就是本节课的教学出发点，有助于本节学习活动的进行. 学生活动经验基础：此阶段的学生具有很强的好奇心、强烈的“自我”和自我发展的意识，因此对新鲜事物或新内容特别感兴趣，但缺乏学习的方法.在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 教学策略分析 结合本节课的知识内容的特点与学生的知识能力基础，拟采用探究法、类比法、数形结合法、夹逼法等方法进行教学.
第3课时平方根 关键问答 ①正数的平方根之间有什么关系？ ②请用符号表示正数a 的平方根及算术平方根． 1．①25的平方根是( ) A ．5 B ．－5 C ．±5 D ．±5 2．②“3625的平方根是±65 ”用数学式表示为( ) A.3625＝±65 B ．±3625＝±65 C.3625＝65 D ．－3625＝－65 命题点 1 平方根的意义 [热度：90%] 3．若x －3是4的平方根，则x 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．1或5 D ．16 4．若x ＋2＝2，则2x ＋5的平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．3 D ．±3 5.③(－6)2的平方根是________． 易错警示 ③先计算(－6)2的值，再求这个数的平方根. 6.81的平方根是________． 命题点 2 平方根的性质 [热度：92%] 7.④如果一个正数的两个平方根为x ＋1和x －3，那么x 的值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．±2 解题突破 ④一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 8．⑤若m ，n 是一个正数的两个平方根，则3m ＋3n －5＝__________． 方法点拨 ⑤一个正数的两个平方根互为相反数． 9．已知2a ＋3的平方根是±3，5a ＋2b －1的平方根是±4.求3a ＋2b 的平方根． 10.⑥王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m －6，它的平方根为±(m －2)．求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知2m －6是m －2或者－(m －2)两数中的一个．(1) 当2m －6＝m －2时，解得m ＝4.(2) 2m －6＝2×4－6＝2.(3)