绝对值的最小值”探究教学
发表时间：2018-11-03T15:18:12.423Z 来源：《中国教师》2018年12月刊作者：谭志勇
[导读] 在“绝对值”教学中，很多同学往往只掌握到会求如 “|2x-3|的最小值”这类问题的程度。把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手，本文旨在引导学生利用数轴探究得出“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”的一般方法，激发学生的探索精神和实践能力。
谭志勇乐山市沙湾区太平镇初级中学 614901
【提要】在“绝对值”教学中，很多同学往往只掌握到会求如 “|2x-3|的最小值”这类问题的程度。把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手，本文旨在引导学生利用数轴探究得出“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”的一般方法，激发学生的探索精神和实践能力。
中图分类号：G623.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2018）12-073-02
“绝对值”是七年级学生进入中学以来学习到的第一个比较抽象的概念，很多同学对这个知识点掌握的不是很好，特别是把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手。比如：求|x-1|+|x- 2|+|x-3|的最小值是多少。
我们知道一个数a的绝对值表示的是在数轴上a所对应的点到原点的距离，因此|a|≥0，也就是|a|的最小值是0。部分同学能运用这点解决如：“求|2x-3|的最小值”这样问题已经算是不错的了，但对于学有余力的同学来说仅掌握到这个程度还不够，让学生进一步理解绝对值的几何意义，并运用绝对值的几何意义来解决“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”对发展学生的数学思维有着积极的作用，为此，我引导学生从下面一些步骤由浅入深的逐步探索，最终发现其规律。
一、牢固掌握绝对值的概念
在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
例如： |-2|的绝对值表示的是：在数轴上-2对应的点到原点的距离，所以|-2|= 2 。
因为点到点的距离总是大于等于零的，由此，我们可以概括：|a|≥0。那么什么数的绝对值最小呢？为什么？
二、准确理解绝对值的几何意义
|a|的几何意义：在数轴上数a对应的点到原点的距离。
|a-b|的几何意义：在数轴上a、 b两数所对应的点之间的距离。
例如：数轴上1和4之间的距离可以写成：|1-4| 或|4-1|。反过来|1-4| 或|4-1|表示的都是数轴上1和4之间的距离。
那么：|a+b|几何意义又是什么呢？因为 “|a+b|”可以改写成“|a-（- b）|”，因此|a+b|几何意义是数轴上a和-b对应的两数之间的距离。在此老师一定要强调：a、b两数之间的距离一定要表示成两数之差的绝对值，也就是|a-b|，如：|2+5|的几何意义先要改写差的形式：|2-（-5）|或|5-（-2）|，所以|2+5|的几何意义是：数轴上2、-5对应的两数之间的距离或数轴上5、-2对应的两数之间的距离。
三、利用数轴探索最小值问题
探索1：求|x-1|的最小值是多少？
因为|x-1|表示的是数轴上x到1之间的距离，所以，当 x=1 时，|x-1|有最小值是：0。
在这里，老师一定要让学生实际操作，在数轴上移动数x的位置，体会x到1的距离发生怎样的变化，让学生真正理解当x=1时，|x-1|有最小值是0，这对后面的继续探索很重要。
探索2、求|x-1|+|x-2|的最小值是多少？
在经历了“|x-1|的最小值”探索后，现在我们来看“|x-1|+|x-2|的最小值是多少”这个问题。根据绝对值的几何意义，我们知道|x-1|+|x-2|表示的是数轴上x对应的这个数到1的距离与到2的距离之和，因为在“|x-1|+|x-2|”中，字母x表示的同一个数，所以“求|x-1|+|x-2|的最小值”我们翻译一下就是：在数轴上找一个点，使这个点到1和2的距离之和对小。
如图所示，我们看到1和2把数轴分成了三部分，分别是：1的左边、1和2之间、2的右边。那么x分别在这三段里面，它会不会影响|x-1|+|x-2|的结果呢？有了这样的疑问，激励同学们一起通过画图来探索当x分别在“1的左边、1和2之间、2的右边”三种不同情况时|x-1|+|x-2|的结果。
我们把x到1和2 的距离分别表示成d1,d2,通过画图我们发现：
当x<1时：d1+d2=2 d1+1>1;
当1≤x≤2时：d1+d2=1（分三种情况观察：x在1的位置时，x在1、2之间时，x在2的位置时d1+d2的值有没有变化）；
当x>2时：d1+d2=2 d2+1>1.
通过上面的探索，我们得到：当1≤x≤2时：d1+d2=1是最小值。也就是说当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值是1。
探索3、求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？
如图：求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，就是要在数轴上找一个点，使它到1、2、3之间的距离之和最短。
这里为了使探索更加便捷，我们可以利用前面探索的结论，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，我们假如没有中间的|x-2|，只考虑“求|x-
1|+|x-3|的最小值”，那么x应该在1和3之间，这样我们就把x的位置从整个数轴缩小到1和3之间。所以“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值”其实就是要在1和3之间找到一个点使|x-2|的值最小，那么|x-1|+|x-2|+|x-3|的值就最小，在探索1中我们知道当x=2时，|x-2|的值最小，并且x=2满足在1和3之间，我们把x=2带入原式就可以求出|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。
通过上面的分析，我们得到：当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是2。
经过探索1、2、3后，组织同学们总结一下：求一个、两个绝对值的和、三个绝对值的和……最小值问题时我们分别是找到一个点，两个点之间，一个点……
是不是可以大胆的提出猜想：求奇数个绝对值的和最小值时，找到的是一个点，求偶数个绝对值的和最小值时找到的范围是两个点之间。有了这样的猜想，我们来验证一下：
绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤? ； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +| 关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。 所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a π和0φa 。如：5=a ，则5=a 和5-=a 。合并写成：5±=a 。 于是我们得到这样一个性质： a 很多同学无法理解，为什么0πa 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。因为此时0πa ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。 例如：0πb a -，则)(b a b a --=-。 绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性 质； a （a ＞0） a 0φa 0 0=a a - 0πa （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||| |b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一：比较大小 典型题型： 【1】已知a 、b 为有理数，且0πa ，0πb ，b a φ，则 （ ） A ：a b b a --πππ； B ：a b a b --πππ； C ：a b b a πππ--； D ：a a b b πππ-- 这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。 绝对值最值问题 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a 几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点） 1、（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点， 如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|； 当A、B两点都不在原点时， 1如图乙，点A、B都在原点的右边， AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边， AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边 AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的 距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是； ②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB| ＝2，那么x＝； ③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是． ④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是． ⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是． 2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： （2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值． （3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值． 绝对值的最小值”探究教学 发表时间：2018-11-03T15:18:12.423Z 来源：《中国教师》2018年12月刊作者：谭志勇 [导读] 在“绝对值”教学中，很多同学往往只掌握到会求如 “|2x-3|的最小值”这类问题的程度。把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手，本文旨在引导学生利用数轴探究得出“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”的一般方法，激发学生的探索精神和实践能力。 谭志勇乐山市沙湾区太平镇初级中学 614901 【提要】在“绝对值”教学中，很多同学往往只掌握到会求如 “|2x-3|的最小值”这类问题的程度。把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手，本文旨在引导学生利用数轴探究得出“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”的一般方法，激发学生的探索精神和实践能力。 中图分类号：G623.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2018）12-073-02 “绝对值”是七年级学生进入中学以来学习到的第一个比较抽象的概念，很多同学对这个知识点掌握的不是很好，特别是把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手。比如：求|x-1|+|x- 2|+|x-3|的最小值是多少。 我们知道一个数a的绝对值表示的是在数轴上a所对应的点到原点的距离，因此|a|≥0，也就是|a|的最小值是0。部分同学能运用这点解决如：“求|2x-3|的最小值”这样问题已经算是不错的了，但对于学有余力的同学来说仅掌握到这个程度还不够，让学生进一步理解绝对值的几何意义，并运用绝对值的几何意义来解决“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”对发展学生的数学思维有着积极的作用，为此，我引导学生从下面一些步骤由浅入深的逐步探索，最终发现其规律。 一、牢固掌握绝对值的概念 在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 例如： |-2|的绝对值表示的是：在数轴上-2对应的点到原点的距离，所以|-2|= 2 。 因为点到点的距离总是大于等于零的，由此，我们可以概括：|a|≥0。那么什么数的绝对值最小呢？为什么？ 二、准确理解绝对值的几何意义 |a|的几何意义：在数轴上数a对应的点到原点的距离。 |a-b|的几何意义：在数轴上a、 b两数所对应的点之间的距离。 例如：数轴上1和4之间的距离可以写成：|1-4| 或|4-1|。反过来|1-4| 或|4-1|表示的都是数轴上1和4之间的距离。 那么：|a+b|几何意义又是什么呢？因为 “|a+b|”可以改写成“|a-（- b）|”，因此|a+b|几何意义是数轴上a和-b对应的两数之间的距离。在此老师一定要强调：a、b两数之间的距离一定要表示成两数之差的绝对值，也就是|a-b|，如：|2+5|的几何意义先要改写差的形式：|2-（-5）|或|5-（-2）|，所以|2+5|的几何意义是：数轴上2、-5对应的两数之间的距离或数轴上5、-2对应的两数之间的距离。 三、利用数轴探索最小值问题 探索1：求|x-1|的最小值是多少？ 因为|x-1|表示的是数轴上x到1之间的距离，所以，当 x=1 时，|x-1|有最小值是：0。 在这里，老师一定要让学生实际操作，在数轴上移动数x的位置，体会x到1的距离发生怎样的变化，让学生真正理解当x=1时，|x-1|有最小值是0，这对后面的继续探索很重要。 探索2、求|x-1|+|x-2|的最小值是多少？ 在经历了“|x-1|的最小值”探索后，现在我们来看“|x-1|+|x-2|的最小值是多少”这个问题。根据绝对值的几何意义，我们知道|x-1|+|x-2|表示的是数轴上x对应的这个数到1的距离与到2的距离之和，因为在“|x-1|+|x-2|”中，字母x表示的同一个数，所以“求|x-1|+|x-2|的最小值”我们翻译一下就是：在数轴上找一个点，使这个点到1和2的距离之和对小。 如图所示，我们看到1和2把数轴分成了三部分，分别是：1的左边、1和2之间、2的右边。那么x分别在这三段里面，它会不会影响|x-1|+|x-2|的结果呢？有了这样的疑问，激励同学们一起通过画图来探索当x分别在“1的左边、1和2之间、2的右边”三种不同情况时|x-1|+|x-2|的结果。 我们把x到1和2 的距离分别表示成d1,d2,通过画图我们发现： 当x<1时：d1+d2=2 d1+1>1; 当1≤x≤2时：d1+d2=1（分三种情况观察：x在1的位置时，x在1、2之间时，x在2的位置时d1+d2的值有没有变化）； 当x>2时：d1+d2=2 d2+1>1. 通过上面的探索，我们得到：当1≤x≤2时：d1+d2=1是最小值。也就是说当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值是1。 探索3、求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？ 如图：求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，就是要在数轴上找一个点，使它到1、2、3之间的距离之和最短。 这里为了使探索更加便捷，我们可以利用前面探索的结论，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，我们假如没有中间的|x-2|，只考虑“求|x- 1|+|x-3|的最小值”，那么x应该在1和3之间，这样我们就把x的位置从整个数轴缩小到1和3之间。所以“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值”其实就是要在1和3之间找到一个点使|x-2|的值最小，那么|x-1|+|x-2|+|x-3|的值就最小，在探索1中我们知道当x=2时，|x-2|的值最小，并且x=2满足在1和3之间，我们把x=2带入原式就可以求出|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。 通过上面的分析，我们得到：当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是2。 经过探索1、2、3后，组织同学们总结一下：求一个、两个绝对值的和、三个绝对值的和……最小值问题时我们分别是找到一个点，两个点之间，一个点…… 是不是可以大胆的提出猜想：求奇数个绝对值的和最小值时，找到的是一个点，求偶数个绝对值的和最小值时找到的范围是两个点之间。有了这样的猜想，我们来验证一下： 【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？ 分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程 可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3）当-13 绝对值计算化简专项练习30题（有答案）1．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2．有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，化简：|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|． 3．已知xy＜0，x＜y且|x|=1，|y|=2． （1）求x和y的值； （2）求的值． 4．计算：|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|． 5．当x＜0时，求的值． 6．若abc＜0，|a+b|=a+b，|a|＜﹣c，求代数式的值． 7．若|3a+5|=|2a+10|，求a的值． 8．已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值． 9．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|． 11．若|x|=3，|y|=2，且x＞y，求x﹣y的值． 12．化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 13．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 14．++=1，求（）2003÷（××）的值． 15．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？ （2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？ （3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？ 16．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1，求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值． 18．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|． ①试求|x+0.3|+|x-0.3|+|x|的最小值。 答案：0.6 解析：|x|的几何意义是x到原点的距离。 本题相当于求在数轴上与-0.3，0，0.3这三个点距离和最小的点。 选正中间的点x=0，代入可得|0+0.3|+|0-0.3|+|0|=0.6 ②一条笔直的公路有A、B、C、D四个村庄，其中A还通过小路连接着A1、A2、A3三个村庄， 如果在公路上建一个公交站，使它距离7个村庄的距离之和最短，那么应该选在( )。A: 只能在A B: 只能在B C: 只能在A与B之间(包含A，B) D: 以上都不对 答案：A 解析：A1，A2，A3到A的距离固定，且只计算一次，不影响总的距离和。所以可以当做有4个A点。相当于共7个点：A、A、A、A、B、C、D。最中间的是A，所以只能选在A处。 ③试求|4x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值。 答案：5.5 解析：原式=4|x+0.25|+|x-2|+|x-3| 求在数轴上与-0.25，-0.25，-0.25，-0.25，2，3距离和最小的点，x=-0.25即可 代入得4|-0.25+0.25|+|-0.25-2|+|-0.25-3|=5.5 ④试求|x+1|+|x+2|+…+|x+99|+|x+100|的最小值。 答案：2500 解析：根据绝对值的几何意义，相当于求在数轴上与-100，-99，…，-2，-1距离和最小的点， x在-51，-50之间即可(-51≤x≤-50) 把x=-50代入得|-50+1|+|-50+2|+…+|-50+99|+|-50+100|=2500 ⑤一条笔直的公路连接着城市P和三个村庄A、B、C(距离P的距离分别是4千米，6千米，10千米)。在公路上建一个汽车站使三个村庄到这个汽车站的距离和最短，那么最短的距离和是多少千米。 答案：6千米 解析：距离A，B，C三点的距离和最短，这个点应该取在B点。 所以最短距离就是AC的长度：10-4=6千米。 ⑥试求|x-9|+|x-3|+|3x+6|+|2x-6|的最小值。 答案：21 解析：原式=|x-9|+3|x-3|+3|x+2| 共7个点即-2,-2,-2,3,3,3,9(按大小顺序)，所以选正中间的x=3。 代入得|3-9|+3|3-3|+3|3+2|=21 绝对值试题(经典)100道 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 绝对值综合练习题 1、有理数的绝对值一定是_________。 2、绝对值等于它本身的数有________个。 3、下列说法正确的是（） A、—|a|一定是负数 B、只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4.若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正 确的是（） b a A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2，则x=____；若|x－3|=0，则x=______； 若|x－3|=1，则x=_______。 3 10、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b的值。 11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a A．＞O B．≥O 5 C．≤O D．＜O 14、绝对值不大于11.1的整数有（） A．11个B．12个C．22个D．23个 15、│a│= －a,a一定是（） A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数6 例谈绝对值与最值 山西耿京娟 对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用. 一．利用几何方法求最值 例1已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值. 分析此题常见的方法是根据x的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了. 解设数轴上表示数2、5、x的点分别为A、B、C.C可在数轴上移动,那么 y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C点在B点右边时,AC-BC=AB=5-2=3； 图1 当C点在A点左边时（如C1处）， AC-BC=-AB=-3； 当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3. 综上所述,y的最大值为3,最小值为-3. 例2已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值. 图2 解设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时， y=AC+BC=AB=1, 综上所述y≥1,y的最小值为1. 通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时 我们还能得出一些有用的结论: 如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|. 如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值. 并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围. 二．利用界点分段法求最值 例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值 分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，112233 ，，，，然后分段讨论。 ≤<≤<≤> x x x x ∣ 解：这里有三个分界点：1、2、3 《 绝对值综合练习题一 1、有理数的绝对值一定是（） 2、绝对值等于它本身的数有（）个 3、下列说法正确的是（） A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4.若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正确的是（） 【 A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2，则x=____；若|x－3|=0，则x=_ __；若|x－3|=1，则x=_______。 9、实数a、b在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是_______。 10、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b的值。 11、> |a|=3,|b|=2,|c|=1,且a 13、如果，则的取值范围是（） A．＞O B．≥O C．≤O D．＜O 14、绝对值不大于的整数有（） $ A．11个B．12个C．22个D．23个 15、│a│= －a,a一定是（） A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 16、有理数m，n在数轴上的位置如图， 17、若|x-1| =0，则x=__________，若|1-x |=1，则x=_______． 18、如果，则，． 、 19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y│的值。 20、│a－2│+│b－3│+│c－4│=0,则a+2b+3c= 21、如果a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值是1， 求代数式 x b a +x2+cd的值。 22、" 23、已知│ a│=3，│b│=5，a与b异号，求│a－b│的值。 第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| [例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a 绝对值计算化简专项练习30题（有答案） 1．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2．有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，化简：|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|． 3．已知xy＜0，x＜y且|x|=1，|y|=2． （1）求x和y的值；（2）求的值． 5．当x＜0时，求的值． 6．若abc＜0，|a+b|=a+b，|a|＜﹣c，求代数式的值． 7．若|3a+5|=|2a+10|，求a的值． 8．已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值．9．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|． 11．若|x|=3，|y|=2，且x＞y，求x﹣y的值． 12．化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 13．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 14．++=1，求（）2003÷（××）的值． 15．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？ （2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？ （3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？ 16．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1，求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值． 18．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|． 19．试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值． 20．计算：． 24．若x＞0，y＜0，求：|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值． 25．认真思考，求下列式子的值． ． 26．问当x取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，并求出最小值． 27．（1）当x在何范围时，|x﹣1|﹣|x﹣2|有最大值，并求出最大值． （2）当x在何范围时，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并求出它的最大值． （3）代数式|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|+…+|x﹣99|﹣|x﹣100|最大值是_________ （直接写出结果） 关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。 所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。如：5=a ，则5=a 和5-=a 。合并写成：5±=a 。 于是我们得到这样一个性质： a 很多同学无法理解， 为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。 例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。 绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性 质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||| |b a （b ≠0）； a 0 a 0 0=a a - 0 a （7）|a|2=|a2|=a2； （8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一：比较大小 典型题型： 【1】已知a、b为有理数，且0 a，0 b，b a ，则（）A：a b b a- - ；B：a b a b- - ； C：a b b a - -；D：a a b b - - 这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。 3 = b 。 3 4 ，又因为它们都是负数，所以 4- = a 。 3- = b 当我们把条件都标记好了，并假设了一个数值带入其中，我们就能准确地判断它们的大小了。 二：判断点的位置或者原点的位置 经典题型 【1】不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果c a c b b a- = - + -，那么，点B在（） A：在A、C点的右边；B：在A、C点的左边； C：在AC点之间；D：上述三种均可能· 这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。首先将题目进行变形：c a c b b a- = - + -0 = - - - + -c a c b b a 观察一下，三个式子最后的结果是“0”，而三个式子中刚好是2个a，2个b，2个c。只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到 b a- 。 c b- ， c a- = + - - + - = - - - + -c a c b b a c a c b b a 老师：耿宏雷学生：科目： 数学 时间:2011年 内容 基本要求 略高要求 较高要求 绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 板块一： 绝对值非负性 【例1】 ⑴()2 120a b ++-=，分别求a b ，的值；⑵若3230x y -++=，则y x 的值是多少？ 【巩固】 若42a b -=-+，则_______a b +=. 【例2】 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ， 例题精讲 中考要求 宇光教育个性化辅导教案提纲 绝对值方程及非负性 【例3】 若7 322102 m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 【巩固】 已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【例4】 已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ． 【例5】 已知非零实数a 、b 、c 满足 a b c ++()2 420a b c +-+=，那么 a b b c +=- ． 【例6】 已知a 为实数，且满足200a a -+，求2200a -的值 【例7】 设a 、b 同时满足 ①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ． 【例8】 已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______ 【例9】 若a 、b 、c 为整数，且1995 1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值． 【例10】 求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ， 绝对值的最值问题x -a +x -b 的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．如计算x -1+x -2的最小值．（1）将使两个绝对值分别为0时的x 值标在数轴上（如图），数轴被 分为3个区域；（2）假设代表动点x 的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即S 1+S 2．（3）在3个区域中分别画出线段并比较，可以发现当1≤x ≤2时， 两线段和最小，为定值1． 若将题目改为计算x -1+x -2+x -3的最小值．我们使用相同的 方法进行分析，发现只有当x =2时取得最小值，而不再是在一个范围内 取得最小值了． 经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式： x -a 1+x -a 2+x -a 3+ +x -a n （a 1≤a 2≤a 3≤ ≤a n ） ：当n 为奇数时，在12 n x a +=处取最小值，即在n 个点的中心点处； 当n 为偶数时，在区域1 22n n a x a +≤≤取最小值，即数轴被n 个点分成1n +段的中心区域． ②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++- 的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++- （123n a a a a ≤≤≤≤L ），然后通过上述方法求解． 如：111212222222 x x x x x x x -++=-++=-+-++．常见题型：绝对值的最值问题 易错点：混淆两种情况 中考回顾：拓展知识点 函数绝对值的最大值的最小值问题 ----切比雪夫逼近下的图像法 题目：已知函数当时，的最大值记为，则的最小值为_________ 解：如图，画出在上的图像，为一直线，即考虑这两个函数竖直方向距离的最大值。取水平直线 ，则此时 ，取其上一点，将绕点旋转，易知其对应的均大于，再考虑不过点的，其必与前面过点的某条直线平行，比较可知，不过点的更大，即的 最小值为。 从此题的解答，有点用到切比雪夫逼近理论： 定理1（限定参数下的平行线逼近法）：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，若存在过()y f x =上点的直线 11()h x ax b =+，22()h x ax b =+，使21()()() h x f x h x ≤≤恒成立，记()f x ax b --在D 上的最大值为 (,)M a b ，则12(,)2 b b M a b -≥ 推论1：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，则()f x b -在D 上最 大值为()M b ，则m a x m i n ()()(,)2fx fx Ma b -≥当且仅当max min ()()2 f x f x b +=时取等号。 接下来我们来尝试定理1及推论1的应用 例1：（2016年4月浙江学考第18题）设函数2()f x ax b x =--,若对于任意正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是 。 解法1：（利用定理1） 记2ax b x --在[1,2]上的(,)M a b 最大值为 可知2()g x x =图像夹在两直线1()2h x ax a =-+，2()21(0)h x ax a a =-+>之间， 由定理1得，(2)(12)1(,)22a a a M a b ---+≥ =， 110,(,)22 a a +>∈+∞，所以12m ≤ 解法2：由 0a >，所以2 ()g x ax x =-在[1,2]单调递减，max min ()2,()12g x a g x a =-=-，(2)(12)1(,)22 a a a M a b ---+≥=， 所以12a m +≤对0a >恒成立，11(,)22a +∈+∞，可得12 m ≤ 上面我们用定理1及推论1很好的解决了例1，若题目条件中0a >变 绝对值练习题 2、绝对值等于它本身的数有________个。 3、下列说法正确的是（） A、—|a|一定是负数 B、只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4.若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正 A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2，则x=____；若|x－3|=0，则x=______； 若|x－3|=1，则x=_______。 10、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b的值。 11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a(完整版)关于绝对值的几种题型与解题技巧
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