绝对值最值问题
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a
几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点）
1、（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，
1如图乙，点A、B都在原点的右边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边
AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的
距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|
＝2，那么x＝；
③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．
⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．
2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：
（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．
（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．
绝对值最值问题解析
1、（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，
1如图乙，点A、B都在原点的右边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边
AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的
距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|
＝2，那么x＝；
③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．
⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．
解：①.5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；
②、|x+1|，|x+1|＝2则x＝1或﹣3；
③|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到﹣2与5两点的距离的和，当这点在﹣2和5之间时和最
小，最小距离是：5﹣（﹣2）＝7；
④代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到1、﹣2与5三点的距离的和，根据两点之
间线段最短，则当x＝1时和最小，最小值是5到﹣2的距离，是5﹣（﹣2）＝7；
⑤代数式|x﹣5|﹣|x+2|表示数轴上一点到5与﹣2两点的距离的差，当点小于等于﹣2时
差最大，最大值是5与﹣2之间的距离，是7．
故答案是：①3，3，4；②|x+1|，1或3；③﹣2≤x≤5；④x＝1；⑤x≤﹣2．
2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：
（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．
（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．
解：（1）1和﹣3两点之间的距离为|1﹣（﹣3）|＝4；
故答案为：4；
（2）∵|b|＝3|a|
∴b＝±3a
∵AB＝8
∴|a﹣b|＝8
当b＝3a时，|a﹣b|＝|﹣2a|＝8
∴a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12
当b＝﹣3a时，|a﹣b|＝|4a|＝8
∴a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6
综上所述：a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12或a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6．
（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，
①当点b在a的右侧时，
得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，
|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，
解得：b＝7；
②当点b在a的左侧时，
得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，
|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，
解得：b＝﹣1，
综上所述：b＝7或﹣1．