4 极限思想的应用
4.1极限思想在开方方面中的应用
《九章算术》开方术说“若开元不尽者，为不可开。当以面命之。”这就是说，凡开不尽的数，可以以面命之。“以面命之”就是余数表示，即：
A r =???
其中，()
2A r +为被开方数A 为其平方根的近似值，r 为开方不尽的余数。 在古代，为了表示开方不尽数的值。一般常用的方法是，加借算命分和不加借算命分。 这两种方法并不是理想的方法，所以刘徽说，“令不加借算而命兮，则又徽分。其数不可得而定故堆以而命之，为不失和，就是说只有
A r =???
没有误差。但是由于这种表示方法不够具体，于是刘徽利用极限思想创立了十进制的表示法。
他说：“不以面命之，加定法如前，求其徽数。徽数无名者以为分子，其一认十为母，
其再实以百为母。退之弥下，其分弥细。则朱幂虽有所弃之数，不是言之也。”这就是：
12
2lim 101010n n n x a a a S A →∞??=+++???+= ??
?其中A 为整数，1a ，2a ，??? n a 是平方根的十进分数的分子都是一位整数。而
12
12101010n n a a a S A ??=+++???+ ??
? 取近似值，则得：
122101010
n n a a a A =+++???+n S = 因为古代是用正方形来解释开平方的，所谓“朱幂”相当于被开方数与近似平方根的平方之差。
用现代符号表示：
()22n A r S +=
或()2212
2101010n n a a a A r A ??+=+++???+ ??
? 而()220n A r S ??+=→??
实际上，这就是极限在开方方面的应用。 4.2极限思想在求解某一点问题的应用
求解某一点的应用问题, 包括求某一点的切线问题、瞬时问题(瞬时速度、瞬时加速度、瞬时增长率、边际问题…), 可考虑采用0x x → 的极限的处理办法求解, 即: 改变研究条件为由0x 变化到另一个点x , (或01x n
+) (其中0x x =+△x ), 在区间[]0,x x (或在001,x x n ??+???
?) 中, 通过“常量代替变量”的办法, 构造()f x (或n a ), 替代区间[]0,x x 上的变量, 最后, 在0x x → (或n →∞ ) 的条件下, 新构造的()f x (或n a ), 无限趋近最终所求量A 。
如: 构造出[]0,x x 上的平均速度, 在0x x →的条件下, 平均速度无限趋近最终所求瞬时速度。
例4.19 设某运动物体作竖直上抛运动, 经过t 秒后, 物体上升的高度为21302s t gt =- , 求物体在3秒末的瞬时速度.
分析: 该物体作竖直上抛运动, 即是作变速直线运动, 要求解3秒末的瞬时速度A, 即自变
量t 无限趋近0t = 3秒时的速度. 因为速度与位移s 及时间t t 的比值有关（s v t
=）, 可利用极限的理论, 构造出一个在自变量无限趋近0t = 3秒的条件下, 相应的平均速度项n a (或()f x ) 也无限趋近于瞬时速度, 从而求出结果A 。
作法如下:
（1）以t 的方向为横轴, s 的方向为纵轴, 建立起平面直角坐标系;
（2） 以0t = 3为起点, 0t t vt =+为终点, 考察在整个小区间[]00,t t vt + 上, 运动物体的平均速度v 的变化情况:
该区间上运动物体的位移v s 为:
002200001130()()3022t t t s s s t t g t t t gt +??????=-=+-+-- ???????????
( 3) 在0t → 的条件下, 对平均速度t s v t
=
取极限, 即可得出在t 0 = 3秒的瞬时速A.所以: 000220000020000lim lim
1130()()3022lim 130*2lim 30303(t t t t t t s
A v v t
t t g t t t gt t
t g t t gt t
gt g →→→→===??????+-+-- ???????????=??-+???
?=-=- 米/秒) 在实际问题中, 求某一点的变化率的问题, 实际上就是求导数。
结论
极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
极限思想的产生与发展是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。数学极限的思想是一个非常重要的思想方法。 实际应用中, 可以对实际问题进行认真分析后, 确定所研究的问题所适合的极限类型, 再根据对应的极限类型所满足的条件, 采用“常量代替变量”，“以匀代替非匀”，“ 以固定代替非固定”，“ 直代曲” 的思路去构造出相应的通项n a 或函数项()f x , 再利用微积分的相关公式, 最后求出极限, 最终解决了实际问题。
这样的思考处理问题的方法, 是解决实际问题的很重要的思想来源, 也是微积分的主要的思想方法, 在初等数学中不能解决的问题, 在微积分中也因为引入了极限的思想方法, 而让相应的实际问题得以解决。在实际工作中, 如果我们能经常利用数学的极限思想去思考问题, 往往能突破我们思维上的禁锢, 拓宽考虑问题的思路, 可以为实际问题的顺利解决提供较大的帮助。
参考文献
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[9]波波夫, 科热夫尼科娃. 高等数学练习与习题[M ]. 太原: 山西人民出版社, 1985.
极限思想及其应用
本科毕业论文（设计） 极限思想及其应用 学生姓名：孙金龙 学 号：071611140系 部：应用数学系专业：金融数学 指导教师：刘炎讲师 提交日期：2011年3月21日 广东金融学院 2008-JX16-
毕业论文基本要求 1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。 2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。 3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。 4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。 5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。
本科毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学生签名： 时间：年月日 关于论文（设计）使用授权的说明 本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务； 3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 本人同意上述规定。 学生签名： 时间：年月日
摘要 极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。 其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程做出初步的探索和分析。 [关键词]：极限思想；微积分；经济学
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致 一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种） 二、求极限的方法如下： 1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 注意：罗比达法则分为3种情况 0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！） E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 5.无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6.夹逼定理（主要对付数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用（对付数列极限，q绝对值符号要小于1） 8.各项的拆分相加（来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn 的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限） 11.还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的
中国古代数学中的极限思想开题报告
毕业论文开题报告 信息与计算科学 中国古代数学中的极限思想 一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。美国学者C.B.波斯湾耶在他的《微积分概念史》一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无线性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的启迪，继承并发展了极限思想，在为《九章算术》作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成为数学方法，这种方法在圆田术和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准备了必要的条件(参见文献[1][2])。本次论文设计针对极限思想的萌芽、发展到完善过程，以及其在古代数学中应用和影响做较为全面的探讨。 数学中有很多重要的思想和方法，比如极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联系初等数学和高等数学的一条重要的纽带[3]。这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。作为研究函数最基本的方法——极限方法，早在古代就有比较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具体实例。因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想的理论及实际应用进行研究十分必要。 以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学, 是雪白梅香, 各有所长(参见文献[4])。我们知道, 极限概念是微积分的最重要概念之一。数学家们如果一开始因为无穷小的概念不严格而放弃它, 那么微积分就不会诞生。当时的微积分是建立在经验观察或并不很审慎的直观的基础上的, 以在天文力学上的实用性为其后盾。这和中国学者走的道路类似。到了19世纪, 微积分开始严格化运动, 它要求高度演绎。只有这样才便于理论自身的发展, 这又和古希腊学者走的道路一致。可见,在数学的发展过程中, 不能偏废任何一方（参见文献[5]）。在古代西方, 芝诺的四个著名悖论首先触及到数学上敏感而后困惑的“无限”问题。欧多克斯的穷竭法, 阿基米德的无穷小思想都含有非常重要的微积分思想。到16 世纪末, 由于实践的需要和对穷竭法的好奇与兴趣, 那些促使微积分产生的数学问题引起了数学家们的广泛兴趣, 他们做了大量有意义的工作, 为微积分的创
极限思想在高中数学及应用
极限思想在高中解题中的运用 宜宾县一中 雷勇 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 例1、过抛物线 )0(2 >=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,则q p 1 1+等于（ ） (A)a 2 (B) a 21 (C) a 4 (D) a 4 分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关 系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了， 它是弦的一种极限情形，因为 a OF p QF 41 = ==，而+∞→=q PF ，所以 a q p 41 1→+，故选择（C ）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。 例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A （ 2,n n ππ-） B （1 ,n n ππ-） C （0,2 π ） D （ 21 ,n n n n ππ--） x y F P Q O H A n A 1 A 2 A 3 S
极限思想的产生及发展
毕业论文 题目极限思想的产生与发展 专业数学教育 院系数学系 学号 131002145 姓名 指导教师 二○一三年五月
定西师范高等专科学校 2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：
目录 内容摘要： ............................................................................................................... (4) 关键词： (4) 引言： (5) 一、极限思想的产生 (6) 二、极限思想发展的分期 (6) （一）极限思想的萌芽时期 (6) （二）极限思想的发展时期 (8) （三）极限思想的完善时期 (8) 三、极限思想与微积分 (9) （一）微积分的孕育 (10) （二）牛顿与微积分 (11) （三）莱布尼茨与微积分 (12) （四）微积分的进一步发展 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 (15)
内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。 关键词极限；无穷；微积分
引言 极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。 极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。
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学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日
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Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem
中心极限定理及其应用论文
青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日
青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日
中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量
Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable
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数学史试卷及答案
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中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
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中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则
极限的发展史
极限的发展史 从极限思想到极限理论 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，我国古代哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会等于0。 中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3世纪刘徽创立的割圆术，就是用园内接正多边形的极限时圆面积这一思想来近似计算圆周率π的，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是早期的极限思想。 到17世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括量的变化与形的变换，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。到17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点使直观的无穷小量，极限概念被明确提出，但含糊不清。牛顿子发明微积分的时候，合理地设想：t?越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学家和物理学家欢迎，并充分地运用它解决了大量过去无法问津的科技问题，因此，整个18世纪可以说是微积分的世纪。但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击，贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓“最终的比”不是“最终的量”的比。而是比所趋近的极限。但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义。包括莱布尼茨对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击，这就是数学史上所谓第二次数学危机。 经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。由于法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人的工作，以及实数理论的建立，才使极限理论建立在严密的理论基础之上。至此极限理论才真正建立起来，微积分这门学科才得以严密化。因而真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。 2.1最早的极限思想
高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
中期报告,数学,极限思想的产生与发展,应用
目录 摘要： (2) 关键词 (2) 引言： (2) 1 极限思想的产生 (3) 2 极限思想的发展 (4) 3 极限思想的概念 (4) 3.1 极限的现代定义 (4) 3.2 函数极限的性质 (5) 4 极限思想的应用 (6) 4.1极限思想在开方方面中的应用 (6) 4.2极限思想在求解某一点问题的应用 (7) 结论： (8) 参考文献 (9)
极限思想的产生﹑发展和应用 摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念及其应用。极限思想是荷 兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。本文最后探讨了极限思想在开方和求解某一点方面的应用。 关键词：极限；产生；发展；应用 The Developmemt and Application Of Limit Abstract: This paper discusses the emergence and development of the limits of thought, the concept and application of the limits of thought. The ultimate idea is Tolstoy text, Dutch mathematician, in the process of inspection triangle center of gravity to improve the method of exhaustion of the ancient Greeks, by means of geometric, bold use the thinking of extreme to solve problem, give up the reductio ad absurdum proof, and Newton Leibniz made ??a creative contribution to the establishment of the extreme ideas. Finally, we discuss the thinking of limits in prescribing and solving of a certain point. Key words: Limit ；Generation；Development；Application 引言 数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象和外部有效性的一门学科。数学科学是知识和思想方法的有机组合。求解实际问题的正确解法是由一系列正确的程序组成, 即从已知量出发, 通过对已知条件与目标结果的联系, 并运用数学的各种运算, 最终得到正确的结果的过程。微积分是解决实际问题的一个基础, 极限的思想是微
高等数学求极限的16种方法
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
极限思想的产生与发展精编WORD版
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毕业论文 题目极限思想的产生与发展 专业数学教育 院系数学系 学号 131002145 姓名 指导教师 二○一三年五月 定西师范高等专科学校 2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师： 一.论文题目：极限思想的产生与发展
目录 内容摘要： ............................................................................................................... (4) 关键词： (4) 引言： (5) 一、极限思想的产生 (6) 二、极限思想发展的分期 (6) （一）极限思想的萌芽时期 (6)
（二）极限思想的发展时期 (8) （三）极限思想的完善时期 (8) 三、极限思想与微积分 (9) （一）微积分的孕育 (10) （二）牛顿与微积分 (11) （三）莱布尼茨与微积分 (12) （四）微积分的进一步发展 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 (15) 内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。 关键词极限；无穷；微积分 引言 极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。 极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。
高数中求极限的16种方法——好东西 )
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，??函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，??可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？? ?各个章节本质上都是极限，??是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先??对??极限的总结??如下 极限的保号性很重要? ?就是说在一定区间内??函数的正负与极限一致 1??极限分为? ?一般极限? ?，??还有个数列极限，??（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，? ?（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用??但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1? ?或者（1+x）的a次方-1等价于Ax??等等。??全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2??LHopital?法则? ?（大题目有时候会有暗示??要你使用这个方法） ??首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ ? ?必须是??X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，??当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件?? （还有一点??数列极限的n当然是趋近于正无穷的??不可能是负无穷！） ? ?必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,??没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） ??必须是??0比0??无穷大比无穷大！！！！！！！！！ ? ?当然还要注意分母不能为0?? ??LHopital? 法则分为3中情况 1 0比0? ?无穷比无穷??时候??直接用 2? ?0乘以无穷? ?无穷减去无穷? ?（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后? ?这样就能变成1中的形式了 3??0的0次方? ? 1的无穷次方无穷的0次方? ? ??对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，??这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（??这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0??当他的幂移下来趋近于无穷的时候??LNX趋近于0） 3泰勒公式? ? (含有e的x次方的时候??，尤其是含有正余旋??的加减的时候要特变注意??！！！！） E的x展开? ?sina??展开? ?cos??展开? ?ln1+x展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 ??取大头原则? ? 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ ??看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！
