分类号：
学校代码：11460
学号：11201910
南京晓庄学院本科生毕业论文
浅谈隐函数及其应用
On the implicit function and its application
所属院(部)：信息工程学院
学生姓名：王林林
指导教师：马圣容
研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月
【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进行了简单的介绍。首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.
【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明
【Abstract】In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.
【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof
目录
摘要.................................................... 错误！未定义书签。Abstract ................................................................ II 绪论 (4)
第1章隐函数 (5)
1. 1 隐函数 (5)
1. 2 隐函数组的概念 (5)
1. 3 反函数组的概念................................. 错误！未定义书签。第2章隐函数定理. (6)
2. 1 隐函数定理 (6)
2. 2 隐函数组定理 (9)
2. 3 反函数组定理 (10)
第3章隐函数定理的应用 (11)
3. 1 计算导数和偏导数 (11)
3. 1. 1 隐函数的导数 (11)
3. 1. 2 隐函数组的导数............................ 错误！未定义书签。
3. 1. 3 对数求导法 (11)
3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (12)
3. 2 几何应用....................................... 错误！未定义书签。
3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面.................... 错误！未定义书签。
3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线.................... 错误！未定义书签。
结论 (18)
参考文献 (19)
致谢 (20)
绪论
我们平时所遇到的大多是显函数，但是在实际问题中，有些问题显函数是无法解决的。隐函数
的产生为现实生活中的很多问题带来了便捷。本论文就隐函数的定理做了一些研究，并列举了一些实例，对此进行了有效的验证。通过对隐函数的几个方面的研究，使我对加深了对隐函数的认识。
文章主要介绍了隐函数定理等相关推论，并给出了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这两个方面上的应用.
第一章 隐函数
1.1 隐函数
函数)(x f （对应关系）大多是用自变量的数学表达式来表示的，通常称这样的函数为显函数. 例如2)(+=x x f ，)(x f =x cos .
定义1.1 如果方程f (x ,y )=0能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数
例如，01=-+y xy 能确定一个定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f(x),如果从方程中把y 解出，这个函数也可以用表示为隐函数形式x
y +=
11 不是所有的隐函数都能写成)(x f y =的形式，如12
2
=+y x ，所以隐函数不一定是函数，而是方程. 换句话说，方程不一定是函数，但函数都是方程。 1.2 隐函数组的概念 定义1.2
设有方程组???==.
0),,,(,
0),,,(v u y x G v u y x F
其中),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 为定义在4
R V ?上的4元函数，若存在平面区域
D ，2R
E ?，对于D 中每一点（x,y)，有唯一的E v u ∈),(,使得V v u y x ∈),,,(，且满足方程组，则称由方程组确定了隐函数组
,),(,),(),
,(),
,(E v u D y x y x g v y x f u ∈∈??
?== 并在D 上成立恒等式
.),(,0)),(),,(,,(,
0)),(),,(,,(D y x y x g y x f y x G y x g y x f y x F ∈??
?==
第二章 隐函数定理
2.1隐函数定理
定理2.1 定理2. 1 若函数),(y x F 满足下列条件
(1)F 在),(000y x P 以内点的某一区域2R D ?上连续，
(2)0),(00=y x F (通常成为初始条件） (3)F 在内存在连续的偏导数),(y x F y (4)0),(00≠y x F y
则有下列结论成立：
①)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内连续；
②存在点0P 的某领域 ,)(0D P U ? 在 )(0P U . 上方程0),(=y x F 唯一地决定了一个定义在某区间),(0αα+-x x 上的（隐）函数 )(x f y = 使得当 ),(00αα+-∈x x x 时， )())(,(0P U x f x ∈且00)(,0))(,(y x f x f x F ==
证 先证明隐函数f 的存在性与惟一性. ∵0),(00≠y x F y ，∴),(y x F y 是连续的， ∵我们知道),(y x F y 的连续性与局部保号性， 且闭矩形域
=D )(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ?+-?+-ρρρρ
有
0),(>y x F y )),((D y x ∈?
∴，对任意的],['0'0ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上严格单调增加. ∵0),(00=y x F ，∴可得
0),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F
又由于),(),,('0'0ρρ+-y x F y x F 在],['0'0ρρ+-x x 上是连续的，∴存在
)(0'ρρρ<>，使得
)),((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F
∴对每一个固定的),(00ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上都是单调递增的连续函数，
0),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F
∵零点存在定理，存在惟一的],['0'0ρρ+-∈y y y ，使得0),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个函数)(x f y =，其定义域为),(00ρρ+-x x ，值域包含于
],['0'0ρρ+-y y ，记为：
),(),()('0'0000ρρρρ+-?+-=y y x x P V
从而结论①得以证明.
再证明)(x f 的连续性.
对于 ),(00αα+-x x 上的任意点 )(,_
_
_
x f y x =,则由上述结论可知
.0_
0βεβ+--y y y ＜＜ 任给 0＞β且ε 足够小，使得βεεβ+≤+-≤-0_
__0y y y y y ＜＜
由0),(__=y x F 及 ),(y x F 关于y 严格递增，可得0),0),(_
___＞（，＜εε+-y x F y x F ，根据保号性，知存在_
x 的某领域 ),(),(00_
_ααδδ+-?+-x x x x ，使得当
),(__δδ+-∈x x x 时同样有，＞，＜0),(0),(_
_εε+-y x F y x F
因为存在唯一的y ，使得 0),(=y x F , 即ε＜_
),(y y x f y -=这就证明了当δ＜_
x x -
时,ε＜_)()(x f x f - ，即)(x f 在_x 连续，由 _
x 得任意性，可得 )(x f 在 ),(00αα+-x x 上连续
最后证明隐函数)(x f y =的可微性.
任取x 和x x ?+都属于),(00ρρ+-x x ，它们相对应的隐函数值为)(x f y =和
)(x x f y y ?+=?+，那么
0),(,0),(=?+?+=y y x x F y x F
由多元函数微分中值定理，可得
y y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ??+?++??+?+=-?+?+=),(),(),(),(0θθθθ
在这里， 10<<θ. 因此，当y x ??,充分小时
)
,(),(y y x x F y y x x F x y
y x
?+?+?+?+-=??θθθθ. 因为),(y x F x 和),(y x F y 是连续的，取极限0→?x 可得
)
,(),()('y x F y x F dx dy
x f y x
-==
且)('
x f 在),(00ρρ+-x x 内连续.
相应的，我们能够得出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的n 元隐函数的存在定理：
定理2.2如果f(x)满足下列几个条件
(1)0),,,,(00
0201=y x x x F n ；
(2)在点),,,,(0002010y x x x P n 的一个邻域?)(0P U 1+n R 内,函数),,,,(21y x x x F n 连续；
(3) 0),,,(00201≠y x x x F n n y ，
那么则有以下结论成立：
①),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ?)(0内连续；
②),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ?)(0内具有连续的偏导数，满足
n i y x x x F y x x x F x y
n y n x i i ,,2,1,)
,,,,(),,,,(2121 =-=??. 例2. 1 验证方程0),(=+=x
y e xe y x F 在原点)0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.
证明 由于),(y x F 与x
y
y e xe F +='都在2
R 上连续，当然在点)0,0(的邻域内连续，且
01)0,0(,0)0,0(≠='=y F F
由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确定唯一连续的隐函数)(x f y =. 例2.2
2.2隐函数组定理
定理2.3
设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点)
,,,(00000v u y x P 为内点的某区域?V 4
R 内连续，且满足
(1)0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F
(2)0)
,(),(0
≠=
??=P v
u v u
G G F F v u G F J
则?
??==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，
在0P 的某邻域)(0P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，
),(y x g v =，结论如下：
①),(),,(000000y x g v y x f u ==，则有
?
?
?≡≡0)),(),,(,,(0
),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F ②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域20)(R R U ?内具有连续的一阶偏导数，且
),()
,(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ??-
=????-=?? ),(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ??-=????-=??
例 2. 2
验证方程组???
=+--=++-428
22
222v u y x v u y x 在点)1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求
x u ??，x
v
??. 解 令 82),,,(-++-=v u y x v u y x F ，42),,,(2
2
2
2
-+--=v u y x v u y x G 则：
0)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F G
F 与
G 以及它们的一阶偏导数都连续
且)(22211),(),(v u v u v u G F +=-=??，06),()
,()
1,2,1,3(≠=??-v u G F
所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组??
?==)
,()
,(y x v v y x u u
在方程两端同时对x 求导得??
???
=???+???-=??+??+0
22201x v
v x u u x x v x u
解得v u u x x u +-=??，v
u u x x v ++-=??
2.3反函数组定理
定理2. 4若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件： (1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数
(2)0)
,()
,(≠??=
y x v u J
则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
),(),,(v u y y v u x x ==
且有
y v J u x ??=??1，y u J v x ??-=??1，x v J u
y ??-=??1，x u
J v y ??=??1
及
)
,(),(1
)
,(),(y x v u v u y x ??=??或
1),(),(),(),(=?????v u y x y x v u 定理2. 5 若函数组???
??==)
,,(),,(212111n n n
n x x x y y x x x y y
满足如下条件： (1)n y y y ,21,均具有连续的偏导数 (2)
0)
,,()
,,(2121≠??n n x x x y y y
则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
???
?
?==)
,,(),,(212111n n n
n y y y x x y y y x x
且有
1
),,()
,,(),,(),,(21212121=?????n n n n x x x y y y y y y x x x
例：设平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为
θθ
s i n ,c o s r y r x ==求反函数组 解：由于
θ
θθ
θθcos sin sin cos ),(),(r r r y x -=
??r =
∴反函数组是22y x r +=，
??
???+0
,a r c t a n 0,a r c t a n ＜＞x x y
x x y πθ
第三章 隐函数定理的应用
3.1计算导数和偏导数
3.1.1隐函数的导数 例 求由方程0cos 23=+-+y xy e x x 所确定的函数)
(x f y =的导数y .
解 将方程两端对x 求导数，
由于方程中的y cos 是y 的函数，从而y cos 是x 的复合函数。 于是x x x
y xy e x '
'
2
3
)0()cos (=+-+
0')sin ()21(3'22=?-+??+?-+y y y y x y e x x
得 y
xy y e x y x sin 232
2'
+-+=
3.1.2对数求导法 例3. 3 求函数 3
2
a
x x y -= 的导数 解：等号两端绝对值的对数，有
a x x a x x y --=-=ln 3
1
ln 32ln ln 3
2
由隐函数的求导法则，有
)
(32131132'a x x a
x a x x y y --=
-?-?= 即32
'
)(32a
x x a x x a x y ---=
3.1.3由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程??
?==)
()
(t y t x ??确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确
定的函数，其中t 为参数．
参数方程所确定的函数求导法：
设函数)(t x ?=的单调连续的反函数为)(x t t =，而且)(x t t =能与函数)(t y ?=复合成复合函数，由此所确定的函数)(x y y =可以当做是)(t y ?=与)(x t t =复合而成的函数
))(()(x t x y y ?==，如果)(t x ?=，)(t y ?=都是可导函数，且0)(≠'t ?，则：
dt dy dx dy =；dt
dy
dx dt =；)()(1t t dt
dx ??''=
即
dt
dx
dt dy
t t dx dy =''=)()(?? 若)(),(t y t x ??==都二阶可导，则有：
3
22))(()
()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ?????''''-'''=
= 例 3.4 已知抛物体的运动轨迹的参数方程为??
?
??
-==22121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t
的运动速度的大小和方向.
解 水平方向：因为速度的水平分量为1v dt
dx
=，垂直分量为gt v dt dy -=2，所以抛物体运动速度为
22212
2)()()(
gt v v dt
dy dt dx v -+=+=
速度方向：轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则12tan v gt
v dt
dx dt dy
dx dy -=
==α 所以抛物体刚射出（即0=t ）时 1
200tan v v dx dy
t t ==
==α 当g
v t 2
=
时 0tan 2
2
==
==g
v t g
v t dx dy
α 由此证明，此时运动方向是水平的，抛物体已经达到最高点.
3.2几何应用
3.2.1空间曲线的切线与法平面 1. 设空间曲线C 的参数方程是
(),(),(),x x t y y t z z t t I ===∈（区间）
（1）切线方程是
)
()
()()()()(0'
00'00'0t z t z z t y t y y t x t x x -=-=- （2）切线法平面的方程是
000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-= 或 000000()[()]()[()]()[()]0.x t x x t y t y y t z t z z t '''-+-+-=
例1. 求螺旋线0cos ,sin ,3
x a t y a t z bt π
====在t 处的切线方程与法线方程.
解： sin ,
cos ,.x a t y a t z b '''=-== 切线方程是
cos
sin 333.sin
cos
3
3
x a y a z b b
a a π
ππ
ππ
---=
=
-
即
32.2a z b
x y b π--
== 法线方程是
0.223a a x y b z b π??????-+-+-= ? ? ? ?????
??
（2）设空间曲线
L 的方程为??
?==0),,(,0),,(z y x G z y x F . 当()0,)
,(0
≠??P y x G F
空间曲线???==0
),,(,
0),,(z y x G z y x F L ：点．0P 附近可表示成参量方程如下：． )(z x ?=，．)(z y φ=，．z z =，且
．．.)
,()
,(),()
,(,),(),(),(),(y x G F z x G F dz dy y x G F y z G F dz dx ????-=????-= 在0P 处的法平面方程
()
()().00000
0=-+-+
-z z y y dz dy
x x dz dx P P
切线方程为
.10000
0z z dz dy y y dz dx x x P P -=-=- 例2 求球面502
2
2
=++z y x 与锥面2
2
2
z y x =+所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程。
解：设.),,( ,50),,(2
2
2
2
2
2
z y x z y x G z y x z y x F -+=-++= 在点(3,4,5)处的雅可比行列式和偏导数的值为：
10,8,6-=??=??=??z
G
y G x G ，10,8,6=??=??=??z
F
y F x F ， 且
()()()
.0,)
,(,120,),(,160,),(=??=??-=??y x G F x z G F z y G F
∴切线方程：
,0
5
12041603-=-=--z y x 法平面方程：.034=-y x
3.2.2曲面的切平面与法线
1. 设曲面为S ，S 上的任意点00000(,,)((,))M x y z z f x y =的切平面方程是 0000000(,)()(,)()()0,x y f x y x x f x y y y z z ''-+---=
即切平面的法向量是n ()
0000(,),(,),1x y f x y f x y ''-.于是，法线方程是
000
0000.(,)(,)1
x y x x y y z z f x y f x y ---==''-
例3. 求曲面2
2223
3
3
3
x y z a ++=上在点000(,,)P x y z 的切平面方程与法线方程. 解： 2
2223333
(,,).F x y z x y z a =++-
132,3x F x -'= 132,3y F y -'= 132
.3
z F z -'=
于是，曲面在点000(,,)P x y z 的切平面方程与法线方程分别是 1113
3
3
000000()()()0x x x y y y z z z ----+-+-= 与
0001113
3
3
x x y y z z x y z ------=
=
或 11133
3
000000()()().x x x y y y z z z -=-=-
例4 求椭圆面6322
2
2
=++z y x 在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程。 解：设.632),,(222-++=z y x z y x F 因为z F y F x F z y x 6,4,2===在整个空间上处于连续状态.在)1,1,1(处6,4,2===z y x F F F .
切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2=-+-+-z y x 得632=++z y x ， 法线方程为.3
1
2111-=-=-z y x
结 论
文章主要从隐函数的概念、隐函数定理、隐函数在计算导数和偏导数以及几何方面的应用入手，其中着重介绍了隐函数的在计算导数和偏导数，几何方面两大板块。在撰写论文的时候，也遇到了很多难点，例如如何能够将理论知识具体、深刻、形象的运用到实际问题中。
本文介绍并证明了隐函数连续性定理、可微性定理及存在性定理。通过这些定理，我们得出了反函数定理。通过隐函数，导数的计算变的更加快捷简便，本
文通过列举了一系列的例子对此进行了有效的验证。此外隐函数求导数在空间几何等方面也有着一定的用途。例如计算空间曲线的切线与法平面和空间曲面的切平面与法线
参考文献
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[2] 杜继宏，隐函数存在的充分必要条件[J]. 清华大学学报(自然科学版)，1999,39
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[3] 陈传璋, 金福临. 数学分析[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1962:201-204.
[4] 吉米多维奇(苏)，数学分析习题全解(五) [M].安徽人民出版社，2007:152-156.
[5] 张骞，隐函数求导法在导数计算中的作用[J].陇东学院学报，2004，14 (2),14-16.
[6] 倪敬能，关于隐函数求导问题的归纳与总结[J].巢湖学院学报(自然科学版)，2002，,4
(3),3-5.
[7] 陆全，隐函数求导在曲线、曲面设计中的应用[J].高等教学研究报，2005， 8 (2)，54-55.
[8] 胡华，隐函数定理的一个推广及应用[J].广西民族学院学报(自然科学版)，2000，6 (2)，
2-5.
致谢
通过半年的努力，终于将毕业论文顺利完成，在此过程中，我衷心的感谢的马圣容老师，感谢您这段时间的悉心指导，没有您的指导，我不可能顺利完成毕业论文的撰写。
除此之外，我还要感谢跟我共同度过大学四年的老师、同学、朋友，是你们让我从一个什么都不懂的高中生，慢慢的成长起来，对未来充满了憧憬。感谢你们对我一直以来的帮助与关怀！
最后由衷的感谢各位评委、专家，谢谢您们提成的宝贵意见！
三角函数的应用 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做一小总结。 公式总结 1．利用二倍角公式求极值 正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin = 如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2 A y = 当 0 45=θ时，y 有最大值 2 max A y = 2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为 )cos sin ( 2 2 2 2 22θθb a b b a a b a y ++++= 令 φcos 2 2 =+b a a ， φsin 2 2=+b a b 则 )sin(22φθ++= b a y 当 0 90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y += 3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式 2cosa -12a sin = 2 cosa 12cos +=a
a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan +=-=+= a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot +=-=-+= 典型例题解析： 1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（ ） 【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S = 有θθsin gt 2 1cos 2L 2?=，解得θ θθ2s i n gL 2cos sin gL t = ?= ，当0 45=θ时，t 有最小值． 【答案】C 2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？ 【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有 2 2 1cos mv mgR = ?θ ① R v m mg N 2 cos =-θ ② 由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为 θθθθ2sin 2 3 cos sin 3sin mg mg N N x = ?=?= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2 3 mg N f x = = 从f 的表达式可以看出，当θ=450 时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值 图2 图1
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解 知识梳理 10 min. 1、一次函数的概念 若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图象 ①一次函数y=kx+b 的图象是一条经过（0,b ）（- b k ，0）的直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线。 ②在一次函数 y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
（1）当0x =时，y 的值是多少？ （2）当0y =时，x 的值是多少？ （3）当x 为何值时，0y >？ （4）当x 为何值时，0y <？ 答案：解：（1）当0x =时，1y =-；（2）当0y =时，1 2 x =； （3）当12x > 时，0y >；（4）当12 x <时，0y <． 例2、如图，直线 对应的函数表达式是（） 答案：A 例3、(2008 江苏常州)甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地,已知乙比甲先出发, 他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法:【 】
函数图象的变换及应用 一 、规律总结 1、平移变换（a>0）： （1）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x+a)的图象； （2）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x-a)的图象； （3）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x)+a 的图象； （4）把函数y=f(x)的图象向 平移 个单位可得到函数y=f(x)-a 的图象； 【学以致用1】 ①若函数y=f(x)恒过定点(1,1),则函数y=f(x-4)-2恒过定点 ； ②y=lg(2x+6)的图象可看成是由y=lg(2x)的图象向 平行移动 个单位而得到. 2、对称变换： （1）函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于 对称； （2）函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于 对称； （3）函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于 对称； （4）函数y=f(x)的图象与函数)(1x f y -=的图象关于 对称； 【学以致用2】 ①函数x y 2log =与函数x y 21log =的图像关于___ _对 称； ②函数)1(log 2 1--=x y 的图象是( ) 3、翻折变换： （1）函数y=f(|x|)的图象可由函数y=f(x)的图象保留 图像，并将这部分图像沿 向 翻折； （2）函数y=|f(x)|的图象可由函数y=f(x)的图象保留 图像，并将 图像沿 向 翻折； 【学以致用3】 已知函数y =f (x )的图象如图所,分别选出与下列函数相对应的图象： ① y = f (-x )；②y = - f (x )；③ y = f (|x|)；④y = |f (x )|.
三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract
Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，
一次函数的应用题型总结（经典实用） 用一次函数的解决实际问题。 类型一根据题目中信息建立一次函数关系式或找出符合题意的图像，再根据函数的性质解决问题； 1、学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（） 2、．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（） 3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（） 1 / 7
4、从甲地到乙地，汽车先以速度，行驶了路程的一半，随后又以速度()行驶了余下的一半，则下列图象，能反应汽车离乙地的距离(s)随时间(t)变化的函数图象的应为（） 5.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间 t(时)的函数关系的图象是( ) (A) (B) （C）（ 6、为加强公民的节水意识，某市对用水制定了如下的收费标准，每户每月用水量不超过l0吨时，水价每吨l.2元，超过l0吨时，超过部分按每吨1.8元收费。该市某户居民，8月份用水吨 （），应交水费元，则与的关系式为__________ 7、购买作业本每个0．6元，若数量不少于13本，则按8折优惠． （1）写出应付金额y元与购买数量元之间的函数关系式： （2）求购买5本、20本的金额； （3）若需12本作业本，怎样购买合算? 8、一个蓄水池有153m的水，用每分钟3 5.0m的水泵抽水，设蓄水池的含水量为) (3 m Q， 抽水时间为分钟） (t。 ⑴写出Q关于t的函数关系式⑵求自变量t的取值范围⑶画出函数图象 2 / 7
函数的应用与图像 注意事项：1.考察内容：函数的应用与图像 2.题目难度：中等题型 3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。 4.参考答案：有详细答案 5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题 1.甲、乙两工厂2002年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等， 乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2003年元月份两厂的产值相等，则2002年7月份产值高的工厂是（ ） A ．甲厂 B ．乙厂 C ．产值一样 D ．无法确定 2.一批长400cm 的条形钢材，须将其截成长518mm 与698mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为( ) A.%75.99 B.%65.99 C.%85.94 D. %70.95 3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ ） A ．45.606 B ．45.6 C ．45.56 D ．45.51 4.在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变成c%(a,b>0,a ≠b)，则x 与y 的函数关系式是 （ ） A ．y= b c a c --x B ．y= c b a c --x C ．y= c b c a --x D ．y= a c c b --x 5.已知从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由)1][5.0(06.1)(+=m m f 元给出，其中0>m ，[m] 表示不超过m 的最大整数，（如[3]=3，[3.2]=3），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（ ）元 A ．3.71 B ．3.97 C ．4.24 D ．4.77 6.要得到x y -?=4 2的图像，只需将函数x y 232 -=的图像 ( ) A ．向左平移2个单位 B ． 向右平移2个单位 C ． 向左平移1个单位 D ． 向右平移1个单位 7.方程0) 12(=--+y x y x 表示的图形为 ( ) A.两条直线 B.一条直线和一条射线 C.一个点 D.两条射线 8.已知函数 满足 ，且 时， ，则 与 的图象的交点个数为（ ）
一次函数的应用典型练习题 1、若点(1,2)及(m ，3)都在正比例函数y=kx 的图象上，求m 的值. 2、已知直线y=kx+b 经过点(-2,-1)和点(2,-3)，求这条直线的函数解析式. 3、某一次函数的图象平行于直线 ，且过点(4,7)，求函数解析式. 4、某地市区打电话的收费标准为：3分钟以内（含3分钟）收费0.2元,超过分钟,每增加1分钟(不足1分钟,按1分钟计算)加收0.11元,那么当时间超过3分钟时,求:电话费y(元)与时间t(分)之间的函数关系式. 5、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10),应交水费y 元,求y 与x 之间的函数关系式. 6、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： （1）求y 与x （2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？ x y 2 1
7、去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用 水，采取分段收费标准，若某居民每月应交水费是用水量的函数，其函数图象如图所示： (1)分别写出x≤5和x>5时，y与x的函数解析式； (2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准. (3)若某户居民该月用水3.5吨，则应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 8、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓 球每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价 的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）. （1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的 付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系 式. （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算？ 9、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.使用这 两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系 式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ （3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选择这两种租书方式比较合 算？
第十八章 隐函数定理及其应用 知识脉络 1．隐函数的存在定理（不证），会判断是否存在隐函数，会求隐函数的导数 2. 隐含数组的存在定理，不判断是否存在隐函数组，还要会求隐函数组的导数 3 隐函数的几何应用：平面曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面、空间曲 面的切平面与法线 4. 会求条件极值问题的解 一、填空题 1．函数y y x =()由方程12+=x y e y 所确定，则 d d y x = __________. 3. 设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则 ??z y = __ _____.z x ?? 4．由xyz x y z +++=222 2所确定函数z z x y =(,)在点(1,0,1)-处的全微分d z =_ __ _. 5. 设0),,(=+++z y x y x x F ，其中F 可微，则 x z ??= ，y z ??= . 6. 设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，则 =z x ?? .（其中x y +≠0） 7．设(,)F x y 具有连续偏导数，已知(,)0x y F z z =，则dz = . 8.设函数(,)f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y f x y +=，(1,1)3x f -=，点(1 ,1,2)P -在曲面(,)z f x y =上，则在点(1,1,2)P -的切平面方程为 ． 9.设f z g y (),()都可微，则曲线x f z z g y ==(),()在点(,,)x y z 000处的法平面为 . 10.设f y z (,)与g y ()都是可微函数，则曲线x f y z z g y ==(,),()在点(,,)x y z 000处的切线方程是 . 11.曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===在0=t 处切线与平面0=-+z By x 平行，=B ___ 12.z z x y =(,)由方程 12 355242 2x xy y x y e z z +--+++=确定， 则函数z 的驻点是____ . 13.函数f x y z x (,,)=-22 在x y z 2 2 2 22--=条件下的极大值是_____ __. 14. 设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明y z x z ??+??=__ ___ __. 二、选择题
专题3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧： 1．如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）； 2．在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。 一仰角、俯角问题 1．某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）． （1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号） （2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7） 2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）
3．(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°， （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m） 5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
一次函数的应用典型练习题 1、若点(1,2)及(m ，3)都在正比例函数y=kx 的图象上，求m 的值. 2、已知直线y=kx+b 经过点(-2,-1)和点(2,-3)，求这条直线的函数解析式. 3、某一次函数的图象平行于直线 ，且过点(4,7)，求函数解析式. ~ 4、某地市区打电话的收费标准为：3分钟以内（含3分钟）收费元,超过分钟,每增加1分钟(不足1分钟,按1分钟计算)加收元,那么当时间超过3分钟时,求:电话费y(元)与时间t(分)之间的函数关系式. 5、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨元;超过10吨时,超过的部分按每吨元收费,该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10),应交水费y 元,求y 与x 之间的函数关系式. … 6、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： （1）求y 与x ： （2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音响，此人与燃放的烟花所在地约相距多远 x y 2 1
7、去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某居民每月应交水费是用水量的函数，其函数图象如图所示： (1)分别写出x≤5和x>5时，y与x的函数解析式； [ (2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准 (3)若某户居民该月用水吨，则应交水费多少元若该月交水费9元，则用水多少吨 8、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒5元，现 两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）. （1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式. . （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算 9、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式； @ （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元 （3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选择这两种租书方式比较合算 10、预防“非典”期间，某种消毒液A市需要6吨，B市需要8吨，正好M市储备有10吨，N市储备有4吨，预防“非典”领导小组决定将这14吨消毒液调往A市和B市，消毒液的运费价格如下表,设从M市调运x吨到A市. （1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式； （2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少
第十七章 隐函数定理及其定理 1隐函数 一、隐函数的概念 设E ?R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ?E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I. 注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1. 二、隐函数存在性条件的分析 隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0). 要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面. 要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0 x x dx dy ==0. 当F y (P 0)≠0时，可得0 x x dx dy ==- ) (P F ) (P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得 y y dy dx ==- ) (P F )(P F 0x 0y .
三、隐函数定理 定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件： (1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续； (2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)； (3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)； (4)F y(x0,y0)≠0. 则 1、存在点的P0某邻域U(P0)?D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得 当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)； 2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续. 证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知， 存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]?D, 使得 在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β], F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续. 由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知， 存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时， 恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0. 如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值， 在A’B’边上F取正值.
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
一、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式; 特点:所给问题中已经明确告知为一次函数 ．．．．关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为:y=kｘ+ｂ,然后寻找满足关系式的两个x与y的值或两个图像上的点，代入求解即可。 常见题型：销售问题中售价与销量之间常以表格形式给出的有规律的变化,蕴含着一次函数关系；行程问题中的路程与时间的关系常给出函数的图像（多是直线或折线)； 【典型例题赏析】 1.（2010 江苏连云港)（本题满分１0分）我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件6０元.经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量ｙ(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系. 售价 ｘ(元） …７0 90 … 销售量y（件) … ３０0 ０ 1000 … (１)求销售量y（件)与售价x(元)之间的函数关系式； （2)你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 ０00 元？ 2.已知A、B两城相距60０千米，甲、乙两车同时从Ａ城出发驶向Ｂ城, 甲车到达B城后立即沿原路返回.图２是它们离A城的距离y（千米） 与行驶时间x(小时)之间的函数图像。 (1）求甲车在行驶过程中y与x之间的函数关系式； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇．求乙车的速度. ３．（201０浙江湖州)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为ｘ(时）,两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系. （1)根据图中信息,求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离;
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 隐函数 (1) 1.1隐函数的定义 (1) 1.2. 隐函数存在定理 (2) 1.3. 隐函数的可导条件 (2) 2.隐函数组 (4) 2.1 隐函数组概念 (4) 2.2 隐函数组存在条件 (4) 3 隐函数的几何应用 (6) 3.1 平面曲线的切线与法线 (6) 3.2 空间曲线的切线与法平面 (6) 3.3空间曲面的切平面与法线 (8) 参考文献 (9)
摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用. 关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性 Theorem and application of Implicit function Abstract ：we will discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant. Keywords :Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable 前言 这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础. 1 隐函数 1.1隐函数的定义 设,X R Y R ??,函数:.F X Y R ?→对于方程 (,)0F x y = ()1 若存在集合I X J Y ??与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为 (),,,f x y x I y J =∈∈ 则成立恒等式 (,())0F x f x ≡,x I ∈. 例如方程 10xy y +-= 能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-?-+∞上的隐函数.
中考一次函数应用题 近几年来,各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题,这种类型的试题,由于条件多，题目长，很多考生无法下手,打不开思路,在考场上出现了僵局,在这里,我特举几例，也许对你有所帮助。 例1已知雅美服装厂现有A种布料7０米，B种布料5２米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共８０套。已知做一套Ｍ型号的时装需要Ａ种布料0.６米,B种布料0.9米,可获利润45元;做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产Ｎ种型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。 y与x的函数关系式,并求出自变量的取值范围; （1)求 （２)雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少? 例2某市电话的月租费是2０元,可打６0次免费电话(每次3分钟）,超过６0次后，超过部分每次０.13元。 y(元)与通话次数x之间的函数关系式; (1）写出每月电话费 （2）分别求出月通话50次、1０0次的电话费； （3)如果某月的电话费是27.８元，求该月通话的次数。 例3 荆门火车货运站现有甲种货物1５3０吨，乙种货物１15０吨,安排用一列货车将这批货物运往广州,这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢5０节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元,用一节B 型货厢的运费是0.８万元。 y（万元）,用A型货厢的节数为x(节),试写出y与x之间的函(1）设运输这批货物的总运费为 数关系式； （２）已知甲种货物3５吨和乙种货物1５吨，可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节Ｂ型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数,有哪几种运输方案?请你设计出来。 （3)利用函数的性质说明,在这些方案中,哪种方案总运费最少?最少运费是多少万元?
函数图像的变换及其应用 执教：嘉定区教师进修学院张桂明 教学目标： 1．熟练掌握常见函数图像的画法，记住它们的大致形状和准确位置．2．掌握函数图像的几种类型的变换，能用图像变换法解决一些有关的函数问题． 3．通过对函数图像变换与应用问题的探究及解决，提高分析问题和解决问题的能力，体会数形结合的思想方法在解决函数与方程问题中的重要作用并能初步加以应用．教学重点： 1．常见函数的图像及其画法． 2．函数图像的变换及变换后的对称性、单调性的变化．教学难点： 应用数形结合的思想方法对问题进行分析思考，寻求解题策略．教学过程： 一、引入课题 问题：设定义域为R 的函数f (x) |lg|x 1||,x 1，则关于x 的方程 0 , x 1 f 2(x) bf (x) c 0有7 个不同实数解的充要条件是( ) (A) b 0 且c 0 (B) b 0 且c 0 (C) b 0 且c 0 (D) b 0 且c 0 二、知识回顾 1．函数图像的作法，你有哪些常用的方法？ 2．请说出常见函数图像的形状、位置，作出它们的草图． 3．你会用哪些函数图像的变换方法来作函数的图像？在这些变换中，如果原来的函数图像具有某种对称性，那么变换后它们的对称性有什么变化？函数的单调性在变换后又有什么变化？ 4.函数f(x)的图像关于直线x a成轴对称图形的充要条件是什么？函数f(X)的图像关于点(a , b)成中心对称图形的充要条件双是什么？ 三、问题探究 2, x R.
1 .若函数y x * 2 (a 2)x 3, x [a,b]的图像关于直线 x 1对称，则 b . 2.已知函数f (x) |2x 11的图像与直线y a 有且仅有一个公共点，则实数 a 的取值范围是 3. 已知函数f(x) (1) 求证：函数f(x)的图像关于点A(-,-)对称; 2 2 1 (2) 不使用计算器，试求f (丄)f 10 4. 讨论方程| x 2 4|x| 3| a 的实数解的情况. 四、方法小结 五、练习与作业 2x .2 f(-) f 10 的值 .
第十八章隐函数定理及其应用 教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件； 3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。 教学重点难点：本章的重点是隐函数定理； 教学时数：14学时 § 1 隐函数 一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 隐函数及其几何意义: 以为例作介绍. 1. 2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性 质. 二.隐函数存在条件的直观意义: 三.隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: 在以为内点的某一区域D上连续 ; ⅰ> 函数 ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 )
ⅲ> 在D内存在连续的偏导数 ; ⅳ> . 的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义 则在点 在某区间内的隐函数 时()且 ⑴, . 在区间内连续 . ⑵函数 ( 证略 ) 四.隐函数可微性定理: 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内 Th 2 设函数 存在且连续 . 则隐函数 且 . ( 证略 ) 例1 验证方程 在点满足隐函数存在 唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 . 其中为由方程所确 例2 定的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿 )
在点的某邻域内 例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 有连续的导函数 函数 , 并求反函数的导数. P151例4 五. 元隐函数: P149 Th3 例4 . 验证在点存在 的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例3 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为. 有 一. . 切线方程为, 法线方程为 . 求Descartes叶形线在点处的切线和 例1 二.空间曲线的切线与法平面 : 1.曲线由参数式给出 : . 切线的方向数与方向余弦.