隐函数的定理及其应用
摘 要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用. 关键词：隐函数 隐函数组 可微性 导数
引言
我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如
21,(sin sin sin )xyz y x u e xy yz zx =+=++
这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程
(,)0F x y =, ①
确定y 为x 的函数()y f x =,即(,())0F x f x ≡,就称y 是x 的隐函数.
1.关于隐函数的一些定理
1.1 隐函数存在惟一性
若(1)函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域0D R ?上连续； (2)00(,)0F x y =(通常称为初始条件)； (3)在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ； (4)00(,)0y F x y ≠,
则在点0P 的某邻域0()U P D ?内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间
00(,)x x αα-+内的函数(隐函数)()y f x =,使得
(1) 00()f x y =,x ∈00(,)x x αα-+时(,())x f x ∈0()U P 且(,())0F x f x ≡； (2) ()f x 在00(,)x x αα-+内连续.
需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程3
3
0y x -=在点(0,0)不满足条件
(4)((0,0)0y F =),但它仍能确定惟一的连续函数y x =.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.
事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在0P 的某一邻域,在此邻域内F 关于变量y 是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：F 在0P 的某邻域内关于y 严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.
如果把定理的条件(3)和(4)改为(,)x F x y 连续,且00(,)0x F x y ≠,这时结论是存在惟一的连续函数()x g y =.
1.2 隐函数的可微性定理
设(,)F x y 满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在D 内还存在连续的偏导数
(,)x F x y ,则由方程①所确定的隐函数()y f x =在其定义域00(,)x x αα-+内有连续导函数,且
'
(,)
()(,)
x y F x y f x F x y =-
. ②
若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程①应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把(,())F x f x 看作(,)F x y 与()y f x =的复合函数时,有
'(,)(,)0x y F x y F x y y +=
当(,)0y F x y ≠时,由它即可推得与②相同的结果.
对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数F 存在相应的连续的高阶偏导数.
我们可以类似的推出由方程12(,,,,)0n F x x x y = 所确定的n 元隐函数的概念.
1.3 n 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理
若(1) 函数12(,,,,)n F x x x y 在以点0000
012(,,,,)n P x x x y 为内点的区域1
n D R
+?上连
续；
(2) 0000
12(,,,,)0n F x x x y = ；
(3) 偏导数12,,,n x x x y F F F F 在D 内存在且连续； (4) 0
12(,,,,)0y n F x x x y ≠ ,
则在点0P 的某邻域0()U P D ?内,方程12(,,,,)0n F x x x y = 惟一地确定了一个定义在
000012(,,,)n Q x x x 的某邻域0()n U Q R ?内的n 元连续函数(隐函数)12(,,,)n y f x x x = ,使
得
(1) 当120(,,,)()n x x x U Q ∈ 时,12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ∈ ,且
1212(,,,,(,,,))0n n F x x x f x x x ≡ ,
000012(,,,)n y f x x x = .
(2) 12(,,,)n y f x x x = 在0()U Q 内有连续偏导数：12,,n x x x f f f ,而且
1212,,,n n x x x x x x y
y
y
F F F f f f F F F =-
=-
=-
.
例1 设方程
1
(,)sin 02
F x y y x y =--= ③
由于F 及,x y F F 在平面上任一点都连续,且(0,0)0F =,1
(,)1cos 02
y F x y y =->,故依上述定
理,方程③确定了一个连续可导隐函数()y f x =,按公式②,其导数为
'(,)12
()1(,)2cos 1cos 2
x y F x y f x F x y y
y =-
==
--. 上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.
设(,,,)F x y u v 和(,,,)G x y u v 为定义在区域4V R ?上的两个四元函数.若存在平面区域
D ,对于D 中每一点分别有区间J 和K 上惟一的一对值,u J v K ??,它们与,x y 一起满足方
程组
(,,,)0
(,,,)0F x y u v G x y u v =??
=?
④
则说方程组④确定了两个定义在2
D R ?上,值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数为由方程组④所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为(,)u f x y =,(,)v g x y =,则在D 上成立恒等式(,)y y u x =,(,)v v u x =.
为了探索由方程组④所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设④中的函数F 和G 是可微的,
而且由④所确定的两个隐函数u 与v 也是可微的.那么通过对方程组④关于,x y 分别求偏导数,得到
0x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v ++=??++=? ⑤
0y u y v y y
u y v y F F u F v G G u G v ++=???++=?? ⑥
要想从⑤解出x u 与x v ,从⑥解出y u 与y v ,充分条件是它们的系数行列式不为零,即
0u v u v
F F
G G ≠ ⑦
⑦式左边的行列式称为函数F 和G 关于变量u ,v 的函数行列式(或雅可比Jacobi 行列式),亦可记作
(,)
(,)
F G u v ??.条件⑦在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当.
1.4 隐函数组定理
若(1) V 和(,,,)G x y u v 在以点0()U Q 为内点的区域4V R ?内连续； (2) 0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =(初始条件)； (3) 在V 内F ,G 具有一阶连续偏导数；
(4)
(,)0(,)
P F G u v ?≠?在0P 点不等于零,
则在点0P 的某一(四维空间)邻域0()U P V ?内,方程组④惟一确定了定义在点000(,)Q x y 的某一(二维空间)邻域0()U Q 内的两个二元隐函数000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,使得
(1) 000000(,);(,)u f x y v g x y ==且当()0,()x y U Q ∈时
0(,,(,),(,))()x y f x y g x y U P ∈, (,,(,),(,))0(,,(,),(,))0
F x y f x y g x y
G x y f x y g x y ≡≡
(2) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内连续；
(3) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内有一阶连续偏导数,且
1(,)(,)v F G x J x v ??=-??,1(,)
(,)v F G x J u x ??=-
??, 1(,)(,)v F G y J y v ??=-??,1(,)
(,)
v F G y J u y ??=-
??. 应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为
(,)
0(,)P F G u v ?≠?,则方程组④所确定的隐函数组相
应是(,),(,)y y u x v v u x ==；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.
2. 隐函数在几何方面的应用 2.1 平面曲线的切线与法线
设平面曲线由方程①给出,它在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在0P 附
近所确定的连续可微隐函数()y f x =或(()x g y =)和方程①在0P 附近表示同一曲线,从而该曲线在点0P 处存在切线和法线,其方程分别为
'000()()y y f x x x -=-(或'000()()x x g y y y -=-)
与 00'01()()y y x x f x -=-
-(或0
0'01
()()
x x y y g y -=--) 由于'
x y F f F =-(或'
y x
F g F =-),所以曲线①在点0P 处的切线和法线方程分别为
切线： 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, ⑧ 法线： 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=. ⑨
例2 求笛卡儿叶形线3
3
2()90x y xy +-=在点(2,1)处的切线与法线.
解 设33(,)2()9F x y x y xy =+-,于是2
69x F x y =-,2
69y F y x =-在全平面连续,且
(2,1)150x F =≠,(2,1)120y F =-≠.依次由公式⑧与⑨分别求得曲线在点(2,1)处的切线与法
线方程分别为
15(2)12(1)0x y ---=即5460x y --=,
12(2)15(1)0x y ----=即45130x y +-=.
2.2 空间曲线的切线与法平面
下面我们讨论由参数方程
L ：(),(),(),x x t y y t z z t t αβ===≤≤ ⑴
表示的空间曲线L 上的某一点0000(,,)P x y z 处的切线和法平面方程,其中00()x x t =,00()y t =,00()z t =,0t αβ≤≤,并假定⑴式中的三个函数在0t 处可导,且
'2'2'2000[()][()][()]0x t y t z t ++≠.
则曲线L 在0P 处的切线方程为
000
'
''
000()()()
x x y y z z x t y t z t ---==. ⑵ 由此可见当'0()x t ,'0()y t ,'0()z t 不全为零时,它们是该切线的方向数.
过点0P 可以作无数条直线与切线l 垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线L 在
0P 处的法平面n .它通过点0P ,且以为它的法线,所以法平面n 的方程为
'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=
当空间曲线方程L 由方程组
L ：(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =??
=?
⑶
给出时,若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设条件(4)是
(,)
0(,)
P F G u v ?≠?),则方程组⑴在点0P 附近所能确定惟一连续可微的隐函数组()x z ?=,()y z ψ=,
使得0000(),()x z y z ?ψ==,且
(,)(,)(,)(,)F G dx z y F G dz x y ??=-??,(,)(,)
(,)(,)
F G dy x z F G dz x y ??=-
??. L 在0P 附近的参数方程为
(),(),x z y z z z ?ψ===
那么由⑵式曲线在0P 处的切线方程为
00
000
1P P x x y y z z dx dy dz dz ---==
即
000
000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==??????.
曲线在0P 处的法平面方程为
000
000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)
P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ???-+-+
-=???
同理我们可以推得：当
(,)(,)F G y z ??或(,)
(,)
F G z x ??在0P 处不等于零时,曲线在点0P 处的切线与法
平面方程仍分别取上述形式.由此可见,当
00
(,)(,)
(,),
,
(,)(,)
(,)
P P P F G F G F G y z z x x y ??????不全为零时,它们是
空间曲线⑶在0P 处的切线的方向数.
例3 求平面2
2
2
50x y z ++=与锥面2
2
2
x y z +=所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程.
解 设 2
2
2
(,,)50F x y z x y z =++-,
222(,,)G x y z x y z =+-.
它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：
6F x ?=?,8F y ?=?,10F
z ?=?, 6G x ?=?,8G y ?=?,10G z
?=-?
(,)160(,)F G y z ?=-?,(,)120(,)F G z x ?=?,(,)0(,)
F G x y ?=?.
所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程是：
345
1601200
x y z ---==
-,即 3(3)4(4)0
5x y z -+-=??
=?
. 法平面方程为4(3)3(4)0(5)0x y z --+-+-=,即430x y -=.
2.3曲面的切平面和法线
设曲面由方程
(,,)0F x y z = ⑷
给出,它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设000(,,)0z F x y z ≠).于是方程⑷在点0P 附近确定惟一连续可微的隐函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =,且
(,,)(,,)x z F x y z z
x F x y z ?=-
?,(,,)(,,)y z F x y z z y
F x y z ?=-?. 由于在点0P 附近⑷与(,)z f x y =表示同一曲面,该曲面在0P 处有切平面与法线,分别是
000000000000000(,,)(,,)
()()(,,)(,,)
y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=----
与
000
000000000000(,,)(,,)1(,,)(,,)
x y z z x x y y z z F x y z F x y z F x y z F x y z ---==---.
它们也可写成如下形式：
000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=
与
000
000000000(,,)(,,)(,,)
x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==.
这种形式对于000(,,)0x F x y z ≠或000(,,)0y F x y z ≠也同样合适.
例4 求椭球面2
2
2
236x y z ++=在()1,1,1处的切平面方程与法线方程.
解 设222
(,,)236F x y z x y z =++-.由于2x F x =,4y F y =,6z F z =在全空间上处处连
续.在()1,1,1处2x F =,4y F =,6z F =.因此由上面的公式可得出切平面方程
2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,
即 236x y z ++= 和法线方程
111
123
x y z ---==
. 结语
从初中起我们就接触到了简单的函数,在高中时又进一步加深了学习,但我们以前接触到的都是很明显的函数,但我们碰到了不像以前见过的那么一目了然的函数,它就是我们本文所研究的隐函数.
历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,隐函数概念对数学发展的影响,可以说是作用非凡.隐函数在很多地方有重要的应用,比如上面例题中所举的在各种求值问题中的应用.当然隐函数在其它方面也有很多的用处,本文就不一一举例说明了.
参考文献
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隐函数存在性的探讨 摘要隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。 关键词隐函数存在性 一、引言 应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。 二、拐点法证明隐函数的存在性 (一)分析在定理中的作用。 回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。而当的时,出现的情况是,在内,作为的一元函数下,可能不具有单调性。而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为的一元函数,也在上严格单调。那么就可满足要求。此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。 (二)单调性分析及证明。 在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。 证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。 假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。又因为,所以。即在上都有。所以在上单调递增。故有,。问题得证。 问题转化为:如何验证点为函数的拐点?
第十八章 隐函数定理及其应用 知识脉络 1．隐函数的存在定理（不证），会判断是否存在隐函数，会求隐函数的导数 2. 隐含数组的存在定理，不判断是否存在隐函数组，还要会求隐函数组的导数 3 隐函数的几何应用：平面曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面、空间曲 面的切平面与法线 4. 会求条件极值问题的解 一、填空题 1．函数y y x =()由方程12+=x y e y 所确定，则 d d y x = __________. 3. 设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则 ??z y = __ _____.z x ?? 4．由xyz x y z +++=222 2所确定函数z z x y =(,)在点(1,0,1)-处的全微分d z =_ __ _. 5. 设0),,(=+++z y x y x x F ，其中F 可微，则 x z ??= ，y z ??= . 6. 设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，则 =z x ?? .（其中x y +≠0） 7．设(,)F x y 具有连续偏导数，已知(,)0x y F z z =，则dz = . 8.设函数(,)f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y f x y +=，(1,1)3x f -=，点(1 ,1,2)P -在曲面(,)z f x y =上，则在点(1,1,2)P -的切平面方程为 ． 9.设f z g y (),()都可微，则曲线x f z z g y ==(),()在点(,,)x y z 000处的法平面为 . 10.设f y z (,)与g y ()都是可微函数，则曲线x f y z z g y ==(,),()在点(,,)x y z 000处的切线方程是 . 11.曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===在0=t 处切线与平面0=-+z By x 平行，=B ___ 12.z z x y =(,)由方程 12 355242 2x xy y x y e z z +--+++=确定， 则函数z 的驻点是____ . 13.函数f x y z x (,,)=-22 在x y z 2 2 2 22--=条件下的极大值是_____ __. 14. 设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明y z x z ??+??=__ ___ __. 二、选择题
第十八章隐函数定理及其应用 教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件； 3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。 教学重点难点：本章的重点是隐函数定理； 教学时数：14学时 § 1 隐函数 一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 隐函数及其几何意义: 以为例作介绍. 1. 2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性 质. 二.隐函数存在条件的直观意义: 三.隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: 在以为内点的某一区域D上连续 ; ⅰ> 函数 ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 )
ⅲ> 在D内存在连续的偏导数 ; ⅳ> . 的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义 则在点 在某区间内的隐函数 时()且 ⑴, . 在区间内连续 . ⑵函数 ( 证略 ) 四.隐函数可微性定理: 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内 Th 2 设函数 存在且连续 . 则隐函数 且 . ( 证略 ) 例1 验证方程 在点满足隐函数存在 唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 . 其中为由方程所确 例2 定的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿 )
在点的某邻域内 例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 有连续的导函数 函数 , 并求反函数的导数. P151例4 五. 元隐函数: P149 Th3 例4 . 验证在点存在 的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例3 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为. 有 一. . 切线方程为, 法线方程为 . 求Descartes叶形线在点处的切线和 例1 二.空间曲线的切线与法平面 : 1.曲线由参数式给出 : . 切线的方向数与方向余弦.
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 隐函数 (1) 1.1隐函数的定义 (1) 1.2. 隐函数存在定理 (2) 1.3. 隐函数的可导条件 (2) 2.隐函数组 (4) 2.1 隐函数组概念 (4) 2.2 隐函数组存在条件 (4) 3 隐函数的几何应用 (6) 3.1 平面曲线的切线与法线 (6) 3.2 空间曲线的切线与法平面 (6) 3.3空间曲面的切平面与法线 (8) 参考文献 (9)
摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用. 关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性 Theorem and application of Implicit function Abstract ：we will discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant. Keywords :Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable 前言 这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础. 1 隐函数 1.1隐函数的定义 设,X R Y R ??,函数:.F X Y R ?→对于方程 (,)0F x y = ()1 若存在集合I X J Y ??与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为 (),,,f x y x I y J =∈∈ 则成立恒等式 (,())0F x f x ≡,x I ∈. 例如方程 10xy y +-= 能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-?-+∞上的隐函数.
第十七章 隐函数定理及其定理 1隐函数 一、隐函数的概念 设E ?R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ?E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I. 注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1. 二、隐函数存在性条件的分析 隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0). 要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面. 要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0 x x dx dy ==0. 当F y (P 0)≠0时，可得0 x x dx dy ==- ) (P F ) (P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得 y y dy dx ==- ) (P F )(P F 0x 0y .
三、隐函数定理 定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件： (1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续； (2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)； (3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)； (4)F y(x0,y0)≠0. 则 1、存在点的P0某邻域U(P0)?D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得 当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)； 2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续. 证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知， 存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]?D, 使得 在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β], F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续. 由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知， 存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时， 恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0. 如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值， 在A’B’边上F取正值.
第十八章 隐函数定理及其定理 总练习题 1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x). 解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且 y 2=x 2(1-x 2 )≤2 2221??? ? ? ?-+x x =41, ∴|y|≤21 . 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤ 2 1 且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知 原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x). 2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x. 解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠?, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即 可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)). (1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又 f(R)∩φ(R)=R ≠?, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=?, ∴原方程不能确定函数y=y(x).
S F 01（数） Ch 18 隐函数定理及其应用计划课时： 6 时 P 231 — 236 2002. 09.20 .
231 Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 ) § 1 隐函数 ( 2 时 ) 一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍. 2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二. 隐函数存在条件的直观意义: 三. 隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2 R ?上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/. 则在点0P 的某邻域 (0P )?D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间 ) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得 ⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且
第十八章 隐函数定理及其应用 一、证明题 1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有 2.设tgx y u =,x sin y v =.证明:当2x 0π<<,y>0时,u,v 可以用来作为曲线坐标;解出x,y 作为u,v 的函数;画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算 ()()y ,x v ,u ??和()() v ,u y ,x ??并验证它们互为倒数. 3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标()?θ,,r 的形式: 2 221z u y u x u u ??? ????+???? ????+??? ????=?, 2222222z u y u x u u ??+??+??=?. 4.证明对任意常数ρ,?,球面2222z y x ρ=++与锥面2 222z tg y x ??=+是正交的. 5.试证明:函数()y ,x F 在点()000y ,x P 的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数). 6.证明:在n 个正数的和为定值条件 x 1+x 2+x 3+…+x n =a 下,这n 个正数的乘积x 1x 2x 3…x n 的最大值为n n h a .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算术中值. ≤????n n 21x x x n x x x n 21+???++ 二、计算题 1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 . 2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数. 3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z= ,求Z 对x,y 的一阶与二阶偏导数; (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 .
一、( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续 ; ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D内存在连续的偏导数; ⅳ> . 则在点的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义在 某区间内的隐函数, 使得 ⑴,时()且 . ⑵函数在区间内连续 . 二、隐函数可微性定理: Th 2 设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内 存在且连续 . 则隐函数在区间内可导 , 且 . ( 证 )
例1 验证方程 在点 满足隐函数存在唯一性定 理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 例2 . 其中 为由方程 所确定的隐函 数 . 求 . P150例2 ( 仿 ) 例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 在点 的某邻域内有连续的导函数 , 且 , . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数（后面的例题P162） . 0),() ,( (iv);, (iii));0(),,,( 0,),,,( (ii); ),,,(),,,(),,,( (i) : 00000000400000≠??===?P v u G F J G F V v u y x G v u y x F R V v u y x P v u y x G v u y x F 具有一阶连续偏导数内在初始条件内连续为内点的区域在以和若满足下列条件隐函数组定理)( 18.4 定理 性质三：雅可比
. ) ,() ,(1 ,),(),(1, ),() ,(1 ,),(),(1 ,)()),(),,0y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u Q U y x g y ??- =????-=????- =????-=??且内有一阶连续偏导数在 并求其偏导数数附近能确定怎样的隐函在讨论方程组 ,)2,1,1,2( ,01),,,(,0),,,( 0222P xy v u v u y x G y x v u v u y x F ?? ?=+-+-==--+= 例1 ; )2,1,1,2(,1,1 ,, ,2,2,1,2 3 ; 0)()( 2 ;)2,1,1,2(, 1 0o 00o 0o 的邻域内连续在的邻域内连续在解：P G G x G y G v F u F F x F P G P F P G F v u y x v u y x =-=-=-===-=-=== : 6! 2!2! 4)2,1,1,2(4 240o 个雅克比式处在=?=C P .01 144 ),() ,(, 0,61 14 2 ),() ,( 00 0=--=??≠=-==??P P v u v u P v x G F G G F F v u G F 仅 . ,,,)2,1,1,2(0变量的隐函数变量可以作为其余两个任何两个的隐函数外难以确定为附近除在u y v x P ?? ? ??===.cos , sin sin , cos sin ),,(),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r z y x 之间的变换公式 与球坐标讨论直角坐标 例4 几何应用 平面曲线的切线和法线； .0))(,())(,( ), () ,() ,( :000000000000=-+--- =-y y y x F x x y x F x x y x F y x F y y y x y x 即则切线方程
隐函数定理及其在几何上的应用 【摘要】 隐函数(组)是函数关系的另一种表现形式。讨论隐函数(组)的存在性、连续性与可微性，是深刻了解这类函数本身的需要。同时在求以隐函数(组)的形式为方程出现的曲线和曲面的切线或切平面时，都要用到隐函数(组)的微分法。 【关键词】隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理 、隐函数组定理、隐函数定理在几何上的应用 1 定理及证明 隐函数存在惟一性定理 设方程 ()0,=y x F 中的函数()y x F ,满足以下四个条件： (i) 在以 为内点的某一区域D 上连续 ; (ii) ; (初始条件 ); (iii) 在D 内存在连续的偏导数 ; (iv) . 则在点0P 的某邻域()D P U ∈0内 , 方程()y x F ,＝0唯一地确定一个定义 在某区间()αα+-∈00,x x x 内的隐函数()x f y =，使得 ⑴ 当()00y x f = ，()αα+-∈00,x x x 时， 有(())()0,P U x f x ∈且()()0,≡x f x F ； ⑵ 函数()x f 在区间()αα+-∈00,x x x 内连续。 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤
(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设()0,00>y x F y 因为()y x F y ,连续，所以根据保号性0>?β 使得()0,>y x F y ，()S y x ∈, 其中[][]D y y x x S ?+-?+-=ββββ0000,, (b) “正、负上下分 ” 因()0,>y x F y ，()S y x ∈,， 故[]ββ+-∈?00,x x x ，把()y x F ,看做y 的函数， 它在[]ββ+-00,y y 上严格递增，且连续（据条件 (i)） 特别对于函数()y x F ,0 ，由条件 可知 ()0,00<-βy x F ，()0,00>+βy x F (c) “同号两边伸” 因为()β-0,y x F ，()β+0,y x F 关于x 连续， 故由（b ）的结论，根据保号性α?，()βα≤<0，使得 ()β-0,y x F ＜0，()β+0,y x F ＞0，()αα+-∈00,x x x (a) 一点正,一片正 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ x 0x 0 x β-0x β+?0y 0y β -0 y β+y S O (b) 正、负上下分 ＋ ＋＋? ? ?_ _ _ + _ 0 x y O 0x β -0x β+0x 0y β +0y β -0 y (c) 同号两边伸 ? ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0x α -0x α+0-y β 0y β+? ?
隐函数的定理及其应用 摘 要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用. 关键词：隐函数 隐函数组 可微性 导数 引言 我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如 21,(sin sin sin )xyz y x u e xy yz zx =+=++ 这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程 (,)0F x y =, ① 确定y 为x 的函数()y f x =,即(,())0F x f x ≡,就称y 是x 的隐函数. 1.关于隐函数的一些定理 1.1 隐函数存在惟一性 若(1)函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域0D R ?上连续； (2)00(,)0F x y =(通常称为初始条件)； (3)在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ； (4)00(,)0y F x y ≠, 则在点0P 的某邻域0()U P D ?内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间 00(,)x x αα-+内的函数(隐函数)()y f x =,使得 (1) 00()f x y =,x ∈00(,)x x αα-+时(,())x f x ∈0()U P 且(,())0F x f x ≡； (2) ()f x 在00(,)x x αα-+内连续. 需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程3 3 0y x -=在点(0,0)不满足条件
浅谈隐函数及其应用
分类号： 学校代码：11460 学号：11201910 南京晓庄学院本科生毕业论文 浅谈隐函数及其应用 On the implicit function and its application 所属院(部)：信息工程学院 学生姓名：王林林 指导教师：马圣容 研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月
【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进 行了简单的介绍。首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述. 【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明 【Abstract】 In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of
implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed. 【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof
第十八章隐函数定理及其应用习题课 一 疑难问题与注意事项 1．是否所有的方程都可以确定隐函数是否隐函数都可以有显函数形式 答：不是所有的方程都可以确定隐函数，例如方程2 2 x y c +=，当0c >时，不能确定任何函数()f x ，使得2 2 [()]x f x c +≡，只有当0c <时，才能确定隐函数. 隐函数有的不可以用显示表示出来，例如方程1 sin 02 y x y -- =能确定定义在(,)-∞+∞上的函数()f x ，使得 1 ()sin ()02 f x x f x --≡. 但这个函数()f x 却无法用x 的算式来表达. 2．在隐函数定理中，若00(,)0y F x y =，则一定不能确定隐函数()y f x =吗 答：不对，隐函数定理的条件是充分条件，不满足隐函数定理条件时可能确定隐函数，也可能不确定隐函数.我们只能用隐函数定理不好判断是否存在隐函数.例如方程 033=-x y 在)0,0(不满足(0,0)0y F =,但仍能确定惟一的连续函数x y =.例如: 0)(),(22222=+-+=y x y x y x F , 由于0)0,0(=F ,F 与y y x y F y 2)(42 2 ++=连续，故满足(i)（ii ）（iii ）,但因0)0,0(=y F , 致使在)0,0(的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数（由图像对任意x 属于)0,0(的邻域，不能保证有唯一的y 来对应）. 3．求隐函数的一阶导数有哪些方法 答：法1：用隐函数定理 注意：在用隐函数定理时，对x 求导把y 看作常数，对y 求导把x 看作常数. 法2：把(),0F x y =看作复合函数，对方程两边求导，注意此时y 是x 的函数. 法3：全微分法
1. 设方程0sin 2=-+xy e y x 确定了y 是x 的函数，求 .dx dy 2. 设方程1=+y e xy 确定了y 是x 的函数，求 .dx dy 3. 设方程122=+-z e yz y x 确定了z 是y x ,的函数，求 .,y z x z ???? 4. 设方程xyz z =sin 确定了z 是y x ,的函数，求 .,y z x z ???? 1.解：令,sin ),(2xy e y y x F x -+=则有 ,),,(2y e z y x F x x -= ,2cos ),,(xy y z y x F y -= 于是有 .2cos 2 xy y y e F F dx dy x y x ---=-= 2.解：令,1),(-+=y e xy y x F 则有 ,),,(y z y x F x = ,),,(y y e x z y x F += 于是有 .y y x e x y F F dx dy +-=-= 3.解：令,12),,(2-+-=z e yz y x z y x F 则有 ,2),,(xy z y x F x = ,2),,(2z x z y x F y -= ,2),,(z z e y z y x F +-= 于是有 ,22z z x e y xy F F x z -=-=?? .222z z y e y z x F F y z --=-=?? 4.解：令,sin ),,(xyz z z y x F -=则有 ,),,(yz z y x F x -= ,),,(xz z y x F y -= ,cos ),,(xy z z y x F z -= 于是有 ,cos xy z yz F F x z z x -=-=?? .cos xy z xz F F y z z y -=-=??
第18章隐函数定理及其应用 1．设f（x，y）及其一阶偏导数在（0，1）附近存在、连续，且又f（0， 1）＝0，证明： 在点附近可确定一单值函数），并求． 解：令 下面验证F（x，t）在附近满足隐函数存在定理的条件． 由和及f的一阶偏导数在（0，1）附近的连续件可知， 在附近连续． 由知，初始条件满足． 而，于是，由隐函数存在定理，在附近由方程F（x，t）＝f（x，1－cost）＝0可以确定唯一的连续可微函数t＝?（x），满足 F（x，?（x））＝0， 且 2．求空间曲线
上对应于点x＝1的处的切线方程与法平面方程．解：当x＝1时，有 解之得与．于是对应于x＝1的点是设 通过计算易知， 在点有 于是，切线方程和法平面方程分别为： 和 x＋2y－2z＝0； 在点有 于是，切线方程和法平面方程分别为：
和 x＋2y＋2z＝0． 3．给定曲面0（a，b，c为常数），或由它确定的曲面z＝z（x，y），证明： （1）曲面的切平面通过一定点； （2）函数z＝z（x，y）满足方程 证明：（1）由 及不能同时为零，可得 化简得 由此可以看出，曲面z＝z（x，y）的切平面过定点（a，b，c）． （2）对上式两边再分别关于x，y求偏导，得 即
由此可见，当（x－a）（y—b）≠0时，等式成立．由函数连续可微知，对x＝a或y＝b时等式仍成立． 4．求a，b之值，使得椭圆包含圆且面积最小． 解：椭圆的面积S ab π=．先求a，b所满足的约束条件欲使S最小，必须要求椭圆与圆相切，在切点处纵坐标y值和斜率值应相等，即 从式（2）中解出，代入式（1）可得： 构造拉格朗日函数 由 解之可得： 由于实际问题存在最小值，所以这唯一的极值点必是最小值点，最小值 5．求x＞0，y＞0，z＞0时，函数 在球面上的极大值；并证明当a，b，c为正实数时，有
第十八章 隐函数定值及其应用 §1 隐函数 教学目的 掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法． 教学要求 (1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法． (2)掌握隐函数定理的证明． 教学建议 (1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点． (2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求． 教学程序 一、 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. （一）、隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍. （二）、隐函数的两个问题: 1 隐函数的存在性； 2 隐函数的解析性质. 二、 隐函数存在条件的直观意义: 三、 隐函数定理: 定理: ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: 1 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ?上连续 ; 2 ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) 3 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; 4 ),(00y x F y 0=/. 则在点0P 的某邻域Y (0P )?D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间 ) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得 1 )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x Y (0P )且 ()0)( , ≡x f x F . 2 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . 例1 设vw x =2，uw y =2，uv z =2 及 ),,(),,(w v u F z y x f =，证明
第十一章 隐函数 §5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用. §11.1 隐函数的存在性 一、隐函数的概念 在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 例1 二元方程0753),(2 =--+=y x xy y x F .)5(≠∈?x R x ，通过方程对应唯一一 个y ，即x x y --=57 32.显然，有 0)573,(2≡--x x x F 由隐函数定义，x x y --=5732是方程0753),(2 =--+=y x xy y x F 所确定的隐函数. 它的几何意义是，平面曲线x x y --=5732是空间曲面7532 --+=y x xy z 与0 =z （xy 平面）的单值交线. 例2 二元方程0),(2 2 2 =-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈?,通过方程对应两个y .如果限定y 的变化范围+∞< 第十八章 隐函数定理及其定理 1隐函数组 一、隐函数组的概念 设方程组?? ?==0 v)u,y,G(x,0 v)u,y,F(x,, 其中F,G 为定义在V ?R 4上的四元函数. 若存 在平面区域D,E ?R 2,对于D 中每一点(x,y), 有唯一的(u,v)∈E, 使得(x,y,u,v)∈V, 且满足该方程组，则称由该方程组确定了隐函数组： ???==y)g(x,v y)f(x,u , (x,y)∈D, (u,v)∈E, 并有?? ?≡≡0 y))g(x,y),f(x,y,G(x,0 y))g(x,y),f(x,y,F(x,, (x,y)∈D. 二、隐函数组定理 分析：设概念中的F,G,u,v 都可微，分别对x,y 求偏导数可得： ?? ?=++=++0v G u G G 0 v F u F F x v x u x x v x u x 和???=++=++0v G u G G 0v F u F F y v y u y y v y u y , 解出u x ,v x ,u y ,v y 的充分条件是 v u v u G G F F ≠0，也可记作： ) v (u,) G (F,??≠0, 即 函数F,G 关于变量u,v 的函数行列式(或称雅可比行列式)不为0. 定理18.4：(隐函数组定理)若 (1)F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以P 0(x 0,y 0,u 0,v 0)为内点区域V ?R 4上连续； (2)F(x 0,y 0,u 0,v 0)=0, G(x 0,y 0,u 0,v 0)=0(初始条件)； (3)在V 上F, G 具有一阶连续偏导数； (4)J= ) v (u,) G (F,??在点P 0不等于0，则 1、存在点P 0的某一(四维空间)邻域U(P 0)?V ，在U(P 0)上方程组 隐函数存在定理及其应用 §1. 隐函数存在定理 1． 设函数(,)F x y 满足 (1) 在区域00:D x a x x a -≤≤+，00y b y y b -≤≤+上连续； (2) 00(,)0F x y =； (3) 当x 固定时，函数(,)F x y 是y 的严格单调函数； 则可得到什么结论？试证明之. 2． 方程2sin()0x y xy ++=在原点附近能否用形如()y f x =的方程表示？又能否用形如()x g y =的方程表示？ 3． 方程222(,)(1)0F x y y x x =--=在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有连续导数的函数()y f x =. 4． 证明有唯一可导的函数()y y x =满足方程sin sinh y x +=，并求出导数'()y x ，其中sinh 2 y y e e y --=. 5． 方程ln 1xz xy z y e ++=在点0(0,1,1)P 的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两个变量的函数. 6． 设f 是一元函数，试问f 应满足什么条件，方程 2()()()f xy f x f y =+ 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y 为x 的函数. 7． 设有方程：()x y y ?=+，其中(0)0?=，且当a y a -<<时，'()1y k ?≤<.证明：存在0δ>，当x δδ-<<时，存在唯一的可微函数()y y x =满足方程()x y y ?=+且(0)0y =. 8． 试讨论方程组 2221 ,22 x y z x y z ?+=???++=? 在点0(1,1,2)P -的附近能否确定形如()x f z =，()y g z =的隐函数组. 9. 求下列函数组的反函数组的偏导数： (1) 设cos ,sin y y u x v x x x ==，求,,,x x y y u v u v ????????； (2) 设sin ,cos x x u e x y v e x y =+=-，求,,,x x y y u v u v ????????. 10. 设2x u r =，2y v r =，2z w r = ，其中r = (1) 试求以,,u v w 为自变量的反函数组； (2) 计算(,,)(,,) u v w x y z ??. 11. 设,i i f ?连续可微，且1(, i F x 1122)((),(),n i x f x x ??=())n n x ? (1,2,i =…n ).求 1212(,, )(,,) n n F F F x x x ??. 12. 据理说明：在点(0,1)附近是否存在连续可微函数(,)f x y 和g(,)x y 满足 (0,1)1,(0,1)f g ==-，且 [][]3 3(,)(,)0,(,)(,)0. f x y x g x y y g x y yf x y x +-=+-= 13. 设 (,,,),(,,)0,(,)0.u f x y z t g y z t h z t =??=??=? 在什么条件下u 是,x y 的函数？求,u u x y ????. 14. 设函数()u u x =由方程组 (,,),(,,)0,(,,)0u f x y z g x y z h x y z =??=??=? §11.4. 隐函数存在定理在几何方面的应用 一、空间曲线的切线与法平面 1. 设空间曲线C 的参数方程是 (),(),(),x x t y y t z z t t I ===∈（区间）. 它们在区间I 可导，且222,()()()0t I x t y t z t ''''''?∈++≠有（即 x (t),y (t),z (t)不同时为0）.取定0t I ∈，对应曲线C 上一点00000000(,,)[(),(),()].P x y z P x t y t z t =任取改变量0t ?≠，使0t t I +?∈，对应曲线C 上另一点 10001000(,,)[(),(),()]. P x x y y z z P x t t y t t z t t +?+?+?=+?+?+? 由空间解析几何知，过曲线C 上两点01P P 与割线方程是 000 ,x x y y z z x y z ---==??? 或 000 .x x y y z z x y z t t t ---==?????? 当点1P 沿曲线C 无限趋近于点0P 时，即0t ?→，割线01P P 的极限位置就是曲线C 上点0P 的切线.于是，曲线C 上点0P 的切线方程是 000000()()().()()() x x t y y t z z t x t y t z t ---==''' 切线的方向向量T 000[(),(),()]x t y t z t '''称为曲线C 在点0P 的切向量. 一个平面通过空间曲线C 上一点0000(,)P x y z ，且与过点0P 的切线垂直，称此平面是空间曲线C 在点0P 的法平面.如图11.4.于是切线的切向量就是法平面的法向量.若在法平面上任取一点(,,)P x y z ，则向量0000(,,)P P x x y y z z =---与切线的切向量T 000[(),(),()]x t y t z t '''垂直，即 000000((),(),())(,,)0.x t y t z t x x y y z z '''?---= 由向量的内积（向量的数量积）公式，法平面的方程是数学分析18.2隐函数定理及其应用之隐函数组
隐函数存在定理及其应用
(整理)隐函数存在定理在几何方面的应用
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