第1节 静定平面桁架
一、桁架的内力计算方法
1、结点法
取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。
根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：
（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。
（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。
（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。
F N3
F N3=0
F N1=F N2=0
F N3=F N4(a)
(b)(c)F N4
(d)F N3=F P
F P
N1F F N2
F N1
F N2
F N1
F N2
F N1
F N2
F N3
F N3
F N1=F N2，F N1=F N2，
F N1=F N2，
图2-2-1
（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。例如
图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。
1A
2
F P
F P
A
F P
F P
B
F P
F P
B
A
(b)(a)
X =0
图2-2-2 图2-2-3
（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。
（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。
0B F P
F P
F P
F P
B
－
A'
B'
A －
A
(a)
(b)
图2-2-4
2、截面法
截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。
在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。
截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。
截面单杆可分为两种情况：
（1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a ）中，CD 、AD 、AB 杆都
是截面m-m 的单杆。
E
(a)
(b)B
A F
D
F NCD
F NAD
F NAB
F P
F RF
m
m
C
m
m (a)a
a
(b)
m m
图2-2-5 图2-2-6
（2）截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆也是截面单杆，如图2-2-6(a),（b ）中，a 杆是截面m-m 的单杆。
3、结点法与截面法的联合应用
联合应用结点法和截面法可以求解复杂桁架（求解复杂桁架也可以用下面讲到的通路法和代替杆法）。
4、通路法（初参数法）
通路法和代替杆法主要用于求解复杂桁架。
通路法的基本思路是从三杆相交的结点中取任一杆件的轴力作为初参数x （待定），由此结点出发，沿着可以用结点法求解的一个回路依次取结点算出各杆轴力与x 的关系，最后利用闭合条件求出x 后，再计算其余各杆轴力。
C 6
F P
11
3
910
F D A
F P /2102
G E F P /2
8
7
a
a
B
4
5a
a
a
a
图2-2-7
例如图2-2-7中，设x F N =4，依次取结点E 、G 、F 和B 。由结点E ，求得x F N 2328=， x F N 3
5
6-=；
由结点G ，求得x F N 3511=， x F N 3
139-=；由结点F ，得x F N 31310-=， x F N 2327=；由结点B ，
得2
324P N F
x F -=。
根据闭合条件有（这里杆4的轴力从结点E 经G 、F 到B 所求的应该相等），232P F x x -=
解得P N F x F 2
3
4-
== 已知F N4后，可求出其余各杆轴力，结果见表2-1。
表2-1
杆号 1，2 3，4 5，6 7，8
9，10 11 轴力（×F P ）
－3/2 －3/2 2/5
2- 2/13
－5/2 杆长
2a
a
5a
2a
13a
2a
5、代替杆法
此法是利用更换杆件连结部位使复杂桁架变成简单桁架，并使新桁架与原桁架等价（各杆轴力相同）以求得原桁架轴力。例如图2-2-7中，把AG 杆改为CF 杆，就变换为图2-2-8（a ）所示的简单桁架。如
果新桁架在原有荷载和F NAG （真值）共同作用下使新杆轴力F NCF 为零，那么根据静定内力解答唯一性，新桁架的各杆轴力就是原桁架各杆轴力。
A
C D
F NAG
(a)
F
G B
A
E
50
6
23－0
5120
4
13
(b)
F F P /2
F P /2
F P /2
F P /2
F P
F P F P
F P
F P
F NP 图P
F NAG
－5
-5535
A -3
16
92
-0
5
-3
( c)
3
42-2-5
2
-212
1333-2
3-2
3-2
5252
32-2-( d)
13 252
--2F N 1
)
(×13图图
N F F P
F P F P
F P
F P F P F P F P F P
G F P F P
213
图2-2-8
下面讨论具体计算步骤。
（1）分别求新桁架在原荷载单独作用下和在被替换杆的轴力为单位力作用下各杆的轴力F NP 和N F ，如图2-2-8（b ）和（c ）所示。
（2）对CF 杆建立0=+AG N N NP F F F ，即：013
5655125=-AG
N P F F ，求得P AG N F F 213= （3）按NAG N P N N F F F F +=求得原桁架各杆轴力F N ，本例结果如图（d ）所示，与表2-1所得结果相同。
注意：用代替杆法分析桁架内力的关键是选取被代替杆。选取的原则是拆除此杆后所确定的代替桁架易于内力计算。
例2-2-1 用杆件代替法求图2-2-9所示桁架的内力F N1。（同济大学1998）
a
a 2a
A D a
a
a (a)(b)
D 1C
A B
000D
00
1
3
2 51C
B A (c)
－2/3C B X 1=1
F P
F P F P /2F P /2
-F P /2
F N 图
F NP 图
－1
－1
2
2 2 53
32 22 232
图2-2-9
解: （1）确定代替桁架。取B 支座链杆为被代替杆，代替桁架如图b 所示。
（2）建立等价条件。对CD 杆有0
1=+X F F CD
N CD NP 。对图b 的代替桁架先求支座反力，判断零杆。然
后取结点D ，由0=∑
y F ，
求得2/P CD
NP F F -= ；在代替桁架的被代替杆位置作用单位力11=X （图c ），求得；32
-=CD
N
F
， 代入等价条件求得)(432321↓-=?-=-=P P CD
N
CD
NP F F F F X （3）求F N1
P P N NP N F F X F F F 2
5
)43(352011
11-=-+
=+=（压力） 四、桁架内力计算的技巧
（1）先判断是否有零杆，以减少计算量。
（2）用截面法时，尽量利用截面单杆的概念，使一个平衡方程只包含一个未知力，避免解联立方程。
（3）利用对称性简化计算。
五、例题解析
（一）零杆的应用
例2-2-2 图2-2-10a 所示桁架零杆（包括支座链杆）的数目为：（ ）（浙江大学2005） A 、3根； B 、5根； C 、7根； D ．9根。
a
a
a
a
a /2
a
(a)
(b)
00
F P
F P
F P
F P
图2-2-10
答案：C 。利用对称，零杆示于图b 。
例2-2-3 图2-2-11a 所示对称桁架中，零杆的根数为（不含支座链杆） 。(中南大学2005)
0000
F P F P
F P
F P
(b)
(a)
图2-2-11
答案：8根。零杆示于图b 。
例2-2-4 图2-2-12a 所示结构桁架杆件零杆的个数为 。(南京工业大学2005)
000
F P
F P
F P
F P
(a)
(b)
图2-2-12
答案：7根。示于图b 。
例2-2-5 图2-2-13a 桁架中的零杆数（包括支座链杆）为 。（西安建筑科技大学2004）
b
6a
000
00
F P /2
F P /2
F P /2F P /2
(b)
(a)
F P
F P
图2-2-13
答案：17根。提示：根据静定结构的性质——如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。零杆示于图b 。
例2-2-6 如图2-2-14a 所示桁架结构1杆轴力一定为：（ ）（一级注册结构工程师基础考试复习题）
A 、拉力；
B 、压力；
C 、零；
D 、需要给出内部三个铰的位置才能确定具体受力性质。 答案：C 。
解：取I-I 截面内部为隔离体，对任意两个未知力的交点取矩，都可求出第三个未知力等于零，进一步得出组成内部三角形的杆件都是零杆，因此1杆的轴力等于零。
1
I
I
1
B
A
C
F P
(a)
(b)
F P
F P
F P
F P
(b )0
(a )
图2-2-14 图2-2-15
例2-2-7 判断图2-2-15a 所示结构零杆的个数。
答案：4根，见图b 。提示：反对称荷载下，对称轴处的竖杆为零杆。
例2-2-8 求图2-2-16a 所示桁架C 支座反力和杆件1的轴力。(同济大学2006)
C
F
D
A
B
E
1
(b)
(a)
G
E
B
A D
F C
a
a
a
F P F P 1
F P
D
F N1F ND F C
F NC F
F NC G
F RC
G
a
a
a
a
图2-2-16
解：首先判断零杆，分析可知杆FB 、DB 、AG 均为零杆，去除零杆后，原结构变为图b 所示。用结点法，取D 结点分析
P DF N P DF N x
F F F F F
20220-=?=+?
=∑，P N N DF N y F F F F F -=?=-?=∑1102
20(压力) 由结点F 易知，P D F N CF N F F F 2-== 再取C 结点分析
P CF N CG N x
F F F F
20-==?=∑
P RC RC CG N CF N y
F F F F F F
20)(2
2
0=?=++?
=∑ (↓) 例2-2-9 求出图2-2-17a 所示桁架体系中1、2、3杆的轴力。(中国矿业大学2005)
解：先判断零杆（图b ），F N1＝0，再由结点B 、A 受力平衡可求出P N P N F F F F 4
9,2
52
3-=-=。
F P
F P
3
2
1
3m
2m F P
F P
3
2
10
A B 0
4m
4m
(a)(b)
l l
l l
l l
c
b
a
A
F P
图2-2-17 图2-2-18
例2-2-10 计算图2-2-18所示桁架中杆件a 、b 、c 的轴力。（重庆大学2005） 解：先判断零杆，易得0,0==c N a N F F ，再取A 结点，得P b N F F -=（压力）。
（二）结点法与截面法
例2-2-11 图2-2-19所示静定平面桁架，在荷载作用下，杆件1的轴力F N1= ,杆件2的轴力F N2＝ 。(湖南大学2006)
10kN F P =3m 3m
12A
B C
I
I
II II
D
E
4m 4m
4m
图2-2-19
解：法一、截面法。先取I-I 截面右侧分析，由∑=0D M 求出kN F NAB 3/20=(拉力)。再取II-II 截面右侧分析，由
∑=0E
M
求出kN F N 3/251-=(压力)。最后由C 结点水平方向受力平衡求出
kN F F N N 3/2512=＝－(拉力)。
法二、截面法与结点法的联合应用
先取II-II 截面右侧分析，由∑=0y F 得01021=+-y y F F 。再取结点C 分析，由∑=0x F 得021=+x x F F ，联立求解方程即得答案。
例2-2-12 图2-2-20a 所示桁架a 杆的内力F Na ＝ 。（湖南大学2004）
a
30kN 4m
3m
α
30kN
F Na
(a)
(b)
3m
3m
3m
3m
3m
图2-2-20
解：用截面法截取上半部分分析（图b ）。由()拉力kN F F F a N a N x 5030cos 0=?=?=∑α。 例2-2-13 试分析图2-2-21所示桁架并计算杆1、2、3的轴力F N1、F N2和F N3。（同济大学2005）
F N1
F N2
F
F N4
F NBE
F N3
F yB
B F P
F yA
F xA
F yB
F P
I II
II
I
A
C D
B E
3a
3a 2a
2a
2a
2a
2a
2a
3
2
1
3F P
2F P
4G
F F NFG
图2-2-21
解：由整体
∑x
F
＝0得F xA ＝F P ；∑A M ＝0得F yB ＝3F P ；
∑y
F
＝0得F yA ＝2F P
作I －I 截面，分析左侧，
∑c
M
＝0得F N2＝－3
34F P ＝－2.309F P
分析结点B ，∑y F ＝0即F NBE sin60°＋F yB ＝0得F NBE ＝－32F P
∑x
F
＝0即F N3＋F NBE cos60°＝F P 得F N3＝2.732F P
作II －II 截面，分析左侧，∑C M ＝0 可得F N4＝－3
34F P
分析结点F ，NFG N y F F F -=?=∑10，0260cos 0214=-?+?=∑N N N x F F F F ?F N1＝0；
综上，F N1＝0， F N2＝－2.309F P （压力）， F N3＝2.732F P （拉力） 例2-2-14 求图2-2-22所示桁架结构杆1和杆2的轴力。(西南交大2005)
2
1d /2d /2
4×d I
I B
A
C
II II D
E
F
F RC
F P
F P
图2-2-22
解：选取I —I 截面，取右侧分析，
2
0C P R B
F F M
=
?∑＝； 再取II-II 截面右侧分析，2
02P N D
F F M
-
=?∑＝(压力)。 再取结点F 、E 分析，易得 P N F F 21=（拉力）。
例2-2-15 计算图2-2-23a 桁架中a 、b 、c 杆的轴力。（中国矿业大学2006）
2m 3m
2m
2m
3m
14kN a b c
A B C
D
F
E 14b
A D E
14
40
F Na
F NAB
F NC
t 70kN (a)
(b)
图2-2-23
解：按与几何组成相反的顺序进行内力分析，即求出支座反力后，截断AB 、CD 、EF 三根杆件，取三角形ADE 作受力分析（图b ）：
由；00=?=∑NC x F F 100-=?=∑
Na A F M kN(压力) 再由结点D ，
0=∑t
F
得kN F Nb 9.945cos 14=?= （拉力）
。 例2-2-16 试求图2-2-24a 所示桁架中a 杆和b 杆的内力。(北京科技大学2004)
/2F P
F P F P F P
F P
F P F P /2
B
A
II II
I I
a
b 3m
3m 6×4m
F Nb 3F P
F P
F P F P /2
A
B
F Na
α
F Nb
3F P
F P F P
F P
/2A
(c)(b)(a)
图2-2-24
解：先取Ⅰ－Ⅰ截面以左分析（图b ）。
由P Nb P P P Nb A F F F F F F M 3804828360-=?=?-?-?+??=∑（压力）。
再取Ⅱ－Ⅱ截面以左分析（图c ），
由048122
1236cos 60=?-?-?-?+?+??=∑P P P P Na Nb B F F F F F F M αP Na F F 12
5-=?（压力）。
例2-2-17 请求出图2-2-25a 所示桁架a ，b 杆的内力。(华中科技大学2004)
l
l
l
l
l
l
G F I
E J N
M
L
K
H B D
C
A
b a
(a)(b)
2F P
F P
G
F
I E J
N
M
L
K
H B
D
C
A
II
I I II
a
b
2F P
F P
F yB
F yA
4F P /3
5F P /3
C
45
2F P
F Na
F Nb
4F P /9
5F P /9
图2-2-25
解：取整体分析，易得：P A
y P B y F F F F 3
53
4==，
取Ⅰ－Ⅰ截面以左为研究对象，由P CA N P CA N L F F l F l F M 9
503
530=?=?-??=∑(拉力)；
再取Ⅱ－Ⅱ截面以右为研究对象，由P CD N P CD N M F F l F l F M 9
403
430=?=?-??=∑(拉力)；
最后，取结点C 为研究对象，由P a
N P P a N x F F F F F F 9
29
59
445cos 0=?=+??=?∑（拉力）；由
9
170245sin 0P b N P a N b N y F F F F F F =
?=-?+?=∑ （拉力） 例2-2-18 求图2-2-26a 所示桁架中1、2杆件的轴力。(北京交大2006)
a
F P
2
1
(b)
(a)
1
F P
20
I I
F G
H
D
E
C
B
A
(d)
NGD
F RD
F D
F P
(c)F
G
F N2NGD
F F N1
4a
F RA
图2-2-26
解：先将零杆示于图b ，取I-I 截面以左部分分析（图c ），
P NGD NGD
P F F F a F a F M 5051
0-=?=??+??=∑(压力) 取D 点（图d ），P D R y F F F =?=∑0(↑)。再对整体分析：
由()
↑=?=?+?-??=∑2/0340P A R P P A R E F F a F a F a F M ，则2/P AF N F F -=(压力)。 取结点F 分析，可求得P N F F 2
51=(拉力)，P NFG F F -=(压力)，
最后分析结点G ，由∑=0x F 得P N F F =2(拉力)。
例2-2-19 求图2-2-27a 所示桁架各杆的轴力。（西南交大2006）
a
a
a
a
2a
G
E
F
D
C
B
A
E F
D
C
B A
I
I
0000
RD
F (b)
(a)
G
F P
F P F P
F P F P － F P 2
图2-2-27
解：取Ⅰ－Ⅰ截面左半部分为研究对象，由0=∑G M 可得A 支座的反力等于零，从而可以判断出更多的零杆，剩下杆件的轴力也极易求出，见图b 。
例2-2-20 对图2-2-28a 所示桁架结构，（1）指出零杆；（2）求出支座反力；（3）求出其余杆的轴力。(西安建筑科技大学2003)
C
B a
a
a
a
a
(a)
(b)D C
B F yA F yB
F P
2- 2000
000
-0.522
-0.5
-0.5（ ）
F P 1
0.50.5
N F F P
F xD F xC
D
A
A
图2-2-28
解：过程略，零杆和其余杆的轴力示于图b 。支座反力()()→=←=P xC P xD F F F F 5.0,5.0；
()()↓=↑=P yA P yB F F F F 5.05.1，。
例2-2-21 计算图2-2-29a 所示桁架各杆的内力。其中，板面承受3m 宽的水压力。(清华大学2004)
1m
2m
2.5m
1.5m
板面
水
q
1m
1.5m
2m 2.5m
A
75kN
C 20kN
E
F
40kN B
D
(b)
(a)
(c)
F
－4784.67
-757.57
-24.54
47.7
40.91
－47-40.91
24.55
110.5
9.415
M 图(kN m)F N (kN)
20.1
35
图(kN)
Q F 40
40
图2-2-29
解：计算简图如图b ，图中m kN bh q /903310=??==γ，再将线性力化为结点力，用结点法或截面法求得各杆轴力如图c ，梁式杆的弯矩图和剪力图也见图c ，注意：弯矩图为三次曲线，剪力图为二次曲线。
例2-2-22 试求图2-2-30a 所示桁架指定杆件的内力F N1、F N2。
E a
a
a (a)
F A 1C B
G D E F NDE F (d)NDF
F N1
h
D
h h 2
(b)F C
NCA
F F F N1F NDF
(c)NGE NGE
F NFD
F
F G
D N2
II II I I F P
F P
F NCB E F N2
(e)F NDE
NGE
F
图2-2-30
解： 作闭合截面I-I ，则所截得四根杆件，除NGE F 外，其余各杆内力均交于结点C （图b ），由
P GE x C
F h
a F M
=
?=∑0
再取II-II 截面以上部分为隔离体（图c ），P xEG xDF x F h
a
F F F ==?=∑0 结点D （图d ），P yD F N y
F F F F
-=-=?=∑10 结点E （图e ），
P yG E N y
F F F F
-=-=?=∑20
（三）对称性的利用
例2-2-23 图2-2-31a 所示桁架结构杆1的轴力为零。（ ）（天津大学2005）
8a
1
a
a F P
F P
F P
F P
(a)
0(b)F P
F P
F P
F P
图2-2-31
答案：√。提示：将原荷载分成正对称和反对称（图b ），两图中杆1轴力均为零。 例2-2-24 图2-2-32a 所示桁架支座A 的反力（向上为正）是：（ ）（大连理工2005） A 、F P ； B 、2 F P ； C 、F P /2； D 、0。
2d 2d 2d
d d
A
F P F P
00
00
02F P
F P
F P
A
(a)
(b)
图2-2-32
答案：B 。提示：先判断零杆，可知，两端支座反力都是零，易得答案。 例2-2-25 求图2-2-33a 所示桁架中a 、b 杆的内力F N a 、F N b 。（南京工业大学2005）
d
b a d
6d
00
I a b
I
F P F P F P F P
F P F P
F P F P
(a)
(b)
图2-2-33
提示：先判断零杆，再取I-I 截面以上计算。P Na F F 23
=
（拉力）
，P Nb F F 2
23-=(压力)。 例2-2-26 计算在图2-2-34a 所示荷载作用下静定桁架中指定杆的轴力Nc Nb Na F F F 和、。(长安大学2007)
0.5m
1.5m
4m
1m 1m 2m
2m 2m 2m
F P
F P
F P
F P
F P
F P
(a)
(b)
F P
F P
F P
F P
F P
000
00F P
F P
F P
a
b
c c
b
a c
b
(c)
A 000
F P
图2-2-34
解：由于荷载反对称，可判断出A 支座的竖向反力为零，见图b ，又由整体
0=∑x
F
，得A 支座
的水平反力为零，从而判断出更多的零杆，故有0=Na F 。再取对称轴右半部分分析，由结点法易得，
P Nb F F =（拉力）
，2
P Nc F
F -=(压力)。 例2-2-27 图2-2-35a 所示桁架分别承受图a 、b 所示两种荷载，试写出二者内力相同的杆件号。（西南交大2000）
a
a
1
7
8
2
39
2a
a
a
9
6
4
5a
7
8
6
3
4
1
5
F P
F P
2F P
1
7
8
(c)
2
39
5
64000
0000F P
F P
(a)
(b)
图2-2-35
解： 图（a ）等于图（b ）加图（c ），因此本题实际上是要找出图（c ）中的零杆。图（c ）是反对称
荷载，很容易判断出整个结构的零杆，示于图c 中。
（四）代替杆法与通路法
例2-2-28 试求出图2-2-36a 所示桁架的支座反力RB F 和HC F 。（同济大学2000）
D
D
a
a
A
E
a
B
F
E
A
B
F
(a)
C
a
(b)
C
E
A
B
-1
(c)
D
C
F
X 1=1
1
1
1
F P
F P
F P /2
F P
F N 图
F NP 图
图2-2-36
解： 取支座C 为被代替杆，代替桁架如图（b ）,则对CD 杆有0)1(011=-+?=+X F X F F P N NP ，解方程得P F X =1，因此，)(1←==P C H F X F ，再对整体分析可得)(2
↓=P
RB F F
第三讲超静定结构受力分析及特性 【内容提要】 超静定次数确定，力法、位移法基本体系，力法方程及其意义，等截面直杆刚度方程，位移法基本未知量确定，位移法基本方程及其意义，等截面直杆的转动刚度，力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，对称性利用，半结构法，超静定结构位移计算，超静定结构特性。 【重点、难点】 力法及力法方程，位移法及基本方程；力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，超静定结构位移计算。 一、超静定次数 把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。 1．撤去一个活动铰支座(即一根支杆)，或切断一根链杆各相当于解除一个约束。 2．撤去一个固定铰支座(即两根支杆)，或拆开一个单铰结点，各相当于解除两个约束。3．撤去一个固定支座，或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。 4．将固定支座改为固定铰支座，或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。 5．边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。 6．一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束，是三次超静定的。k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。 二、力法 (一)基本结构
力法是解算超静定结构最古老的方法之一。力法计算超静定结构是把超静定结构化为静定结构来计算，所以力法基本未知量的个数就是结构多余约束数。 以超静定结构在外因作用下多余约束(又称多余联系)上相应的多余力作为基本未知量，计算时将结构上的多余约束去掉，代之以多余力的作用，将这样所得的静定结构作为求解基本未知量的基本结构(或称为基本体系)。 (二)解题思路 根据基本结构在原有外力及多余力的共同作用下，在去掉多余约束处沿多余力方向的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程，解方程即可求得各多余力。 将多余力视为基本结构的荷载，则可作基本结构内力图，也就是原结构的内力图。原结构的位移计算亦可在基本结构上进行，这样更为方便。 【例题1】求图6-3-1(a)所示结构内力图。
第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. M =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。EI ＝ 常数 。 l l l/2 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。
二、静定结构的内力 1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（ ） 2、静定结构受外界因素影响均产生内力。大小与杆件截面尺寸无关。 （ ） 3、静定结构的几何特征是： A. 无多余的约束； B.几何不变体系； C. 运动自由度等于零； D.几何不变且无多余约束。 （ ） 4、静定结构在支座移动时，会产生： A. 内力； B. 应力； C. 刚体位移； D. 变形。 （ ） 5、叠加原理用于求解静定结构时，需要满足的条件是： A. 位移微小且材料是线弹性的； B.位移是微小的； C. 应变是微小的； D.材料是理想弹性的。（ ） 6、在相同的荷载和跨度下，静定多跨梁的弯距比一串简支梁的弯距要大。 （ ） 7、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。（） 8、图示为一杆段的M、Q图，若Q图是正确的，则M图一定是错误的。 （ ） M 图 Q图 9、图示结构的支座反力是正确的。 （ ） 10、当三铰拱的轴线为合理拱轴时，则顶铰位置可随意在拱轴上移动而不影响拱的内力。（ ） 11、简支支承的三角形静定桁架，靠近支座处的弦杆的内力最小。 （ ） 12、图示桁架有9根零杆。 （ ） 13、图示对称桁架中杆1至8的轴力等于零。 （ ）
14、图示桁架中，上弦杆的轴力为N = - P 。 （ ） 15、图示结构中，支座反力为已知值，则由结点D 的平衡条件即可求得。 （ ） N CD A B C D E 16、图示梁中，BC 段的剪力Q 等于 ，DE 段的弯矩等于 。 17、在图示刚架中， = M DA , 使 侧受拉。 a 18、图示桁架中，当仅增大桁架高度，其它条件均不变时，对杆1和杆2的内力影响是： A ．N 1，均减小； B ．N 2N 1，均不变； N 2C ．N 1减小，不变； D ．N 2N 1增大，不变。 （ ） N 2
第四章 静定结构位移计算 一、是非题 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω 7、图示桁架各杆EA 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 8、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 a a 9、图示简支梁，当P 11=，P 20=时，1 点的挠度为0.0165 3l EI /，2点挠度为0.0773l EI /。当P 10=，P 21=时，则1 点的挠度为0.0213 l EI /。 （ ） l 10、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式即可求出杆AC 的转角。 C 1 P 11、图示梁AB 在所示荷载作用下的M 图面积为ql 3 。 l A l /2 12、图示桁架结点C 水平位移不等于零。 13、图示桁架中，结点C 与结点D 的竖向位移相等。
二、选择题 1、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 =1 2、图示结构A 截面转角（设顺时针为正）为： A.22Pa EI / ; B.-Pa EI 2 / ; C.542Pa EI /() ; D.-542 Pa EI /() 。 a a 3、图示刚架l a >>0 , B 点的水平位移是： A .不定，方向取决于a 的大小； B .向左； C .等于零； D .向右。 4、图示静定多跨粱，当EI 2增大时，D 点挠度： A .不定，取决于EI EI 12； B .减小； C .不变； D .增大。 5、图示刚架中杆长l ，EI 相同，A 点的 水平位移为: A.()2302M l EI /→; B.()M l EI 02 3/→; C.()2302M l EI /←; D.()02 3M l EI /←。 M A 6、图示为结构在荷载作用下的M P 图，各杆EI =常 数，支座B 截面处的转角为： A. 16/(EI ) ( 顺 时 针 ); B. 0; C. 8/(EI ) ( 顺 时 针 ); D. 18/(EI ) ( 顺 时 针 )。 12kN.m 7、图示桁架各杆EA =常数，则结点K 的水平位移（→）等于： A .2( 1+2 )Pa / (EA ) ; B .( 4Pa ) / (EA ) ; C .( 2+2 )Pa / ( EA ) ; D . ( 3Pa ) / (EA ) 。 a 8、图示结构的受弯杆件的抗弯刚度为EI ，链杆的抗拉（压）刚度为EA ，且
超静定结构 超静定结构 静定结构是没有多余约束的结构，结构体系中任何一个约束去掉后，结构都失去稳定性，成为机构，因而也就不能够继续承担荷载。因此，静定结构是相对危险的，任意约束失效后都会导致整体结构的失效。为了保证结构的安全性，需要对于静定结构增加约束，成为有多余约束的结构——超静定结构。 超静定结构有多余约束，当其中某个约束失效后，所承担的作用由其他约束承担，整体结构仍处于稳定状态，可以继续承担荷载，但是，超静定结构在失去部分或全部多余约束后，内力会出现重新分布的现象，是否破坏要重新计算。 超静定结构的思路 对于超静定结构，静定结构的解题思路是难以解决的：静定结构中无论是外力还是内力，均依靠力系平衡方程或方程组实现，但超静定结构的多余约束导致有效方程数少于未知数的数量。 因此，超静定问题宜从以下方面思考： 首先，如果结构整体是平衡的，结构内部任意组成部分、点、段落也一定是平衡的； 其次，对于任意多余约束是可以去掉的，并以相应的约束力来替代的，替代之后的结构各个部分依然平衡切除替代点外没有任何变化； 第三，结构中任意相临的、距离为0 的两点间的相对位移与转角均为0； 第四，弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的。 基于上面的基本思路，对于超静定结构常用的方法是力法与位移法。 力法 力法是计算超静定结构的基本方法，是利用结构的变形协调来实现的。 力法的基本思路是： 弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的； 除去多余约束后，以约束力替代原约束，并与结构等效；
除去约束后的结构在其上的外力系[P]的作用下，会产生各种变形，其中在除去约束后的原约束点的位移是：[Δ ] 结构原有的约束力也会导致结构在约束点的相关变形：[x][δ]，[x]：除去的多余的约束，[δ]：当多余约束为 1 时的各个约束点变形。 但是在原结构中，被除去的多余约束点由于约束的作用，其相应的位移为0，因此有： [x][δ] +[Δp] =0 如果设多余约束为n个，则力法线性方程组为： x1δ11 + x2δ12 + x3δ13+…… + x nδ1n +Δ1p = 0 x2δ21 + x2δ22 + x3δ23+…… + x nδ2n +Δ2p = 0 x3δ31 + x2δ32 + x3δ33+…… + x nδ3n +Δ3p = 0 …… …… …… …… …… …… …… …… …… x nδn1 + x2δn2 + x3δn3+…… + x nδnn +Δnp = 0 其中：x i：第i个多余约束所形成约束反力，是 未知数； δij：如果第j个多余约束位置上，作用有与该多余约束性质相同的单位力，所形成的位于第i 个约束反力位置上的变形量； x iδij：第j个多余约束所形成约束力，导致的位于第i个约束反力位置上的变形量； Δip：除去多余约束后，结构外荷载系产生的，位于第i 个约束反力位置上的变形量； 根据虚功原理，可以求得δij，且根据互等定理，δij = δji ；同样，根据虚功原理也可以求得Δip，因此方程组是可解的； 求解出x1，x2，x3…… x n后，可将其视为与外荷载系共同作用于除去多余约束的静定结构 的荷载，随即可以求解并绘制相应的静定结构的内力图，进而求出最大内力截面与最大应力的位 置与量值，进行相关校核。
第二章静定结构的受力分析 一判断题 1. 图示梁上的荷载P将使CD杆产生内力。（×） 题1图 2. 按拱的合理拱轴线制成的三铰拱在任意荷载作用下能使拱各截面弯矩为零。（×） 3. 若有一竖向荷载作用下的等截面三铰拱，所选的截面尺寸正好满足其抗弯强度的要求。 则改用相应简支梁结构形式（材料、截面尺寸、外因、跨度均相同）也一定满足其设计要求（×） 4. 静定结构在支座移动、变温及荷载作用下，均产生位移和内力。（×） 5. 两个弯矩图的叠加不是指图形的简单拼合，而是指两图对应的弯矩纵矩叠加。（√） 6. 计算位移时，对称静定结构是：杆件几何尺寸、约束、刚度均对称的结构。（√） 7. 静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（√） 8. 在静定结构中，当荷载作用在基本部分时，附属部分将引起内力（×） 9. 多跨静定梁仅当基本部分承受荷载时，其它部分的内力和反力均为零（√） 10. 几何不变体系一定是静定结构。（×） 11. 静定结构在荷载作用下产生的内力与杆件弹性系数、截面尺寸无关（√） 12. 直杆结构，当杆上弯矩图为零时，其剪力图也为零。（√） 13. 温度改变，支座移动和制造误差等因素在静定结构中引起内力。（×） 14．图示结构的反力R=) cos。（√） (2 / ql 题14图题15图 15. 图示结构中的反力 H=2kN.( √) 16. 图示结构的M图一定是对称的。（√）
题16图题17图题18图 17. 图示结构的反力R=0。（√） 18. 图示刚桁架由于制造误差AB杆短了3cm，装配后AB杆将被拉长。（×） 19. 图示体系是拱结构。（×） 题19图题24图 20. 静定结构的“解答的唯一性＂是指无论反力、内力、变形都只用静力平衡条件即可确（×） 21. 当外荷载作用在基本部分时，附属部分不受力；当外荷载作用在某一附属部分时，整个 结构必定都受力。（×） 22. 抛物线型静定桁架在任意荷载作用下，其腹杆内力均为零。（×） 23. 两杆相交的刚结点，其杆端弯矩一定等值同侧（即两杆端弯矩代数和为零）。（×） 24. 图示结构中的反力H=m/l。（×） 25. 图示桁架杆件AB、AF、AG内力都不为零（×） 题25图题26图 26. 图示桁架AB、AC杆的内力不为零。（×） 27. 图示结构中的反力日R=15/8kN。（×） 题27图题29图 28. 静定结构受外界因素影响均产生内力。大小与杆件截面尺寸无关。（×） 29. 如图所示多跨静梁不管p、q为何值，其上任一截面的剪力均不为零（×） N10。（√） 30. 图示桁架结构杆1的轴力
第1节 静定平面桁架 一、桁架的内力计算方法 1、结点法 取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。 根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化： （1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。 （2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。 （3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。 F N3 F N3=0 F N1=F N2=0 F N3=F N4(a) (b)(c)F N4 (d)F N3=F P F P N1F F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N3 F N3 F N1=F N2，F N1=F N2， F N1=F N2， 图2-2-1 （4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。例如 图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。 1A 2 F P F P A F P F P B F P F P B A (b)(a) X =0 图2-2-2 图2-2-3 （5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。 （6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。 0B F P F P F P F P B － A' B' A － A (a) (b) 图2-2-4 2、截面法 截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。 在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。 截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。 截面单杆可分为两种情况： （1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a ）中，CD 、AD 、AB 杆都
9-1 同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概 念分析习题答案 9-1 试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。 9-2 试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M 图，并求刚结点B 的转角φB 。 解：设EI=6，则5.1,1==B C A B i i 53.05 .13145.1347 .05 .13141 4=?+??==?+??=B C B A μμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩 -67.05 45.9 -45.9 ()()() 逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?-=?? ? ???+---= ? ? ? ???---=θ (b) 解：设EI=9，则 9m 9m 6m 3m 3m 2m 6m 2m
9-2 3 ,31,1====B E B D B C A B i i i i 12.01 41333331 316.01 41333331 436 .0141333333 3=?+?+?+??==?+?+?+??==?+?+?+??==B C B A B E B D μμμμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC B D B E 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩 0 0 0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 16.2 0 最后弯矩 3.6 7.2 5.4 61.2 -73.8 ()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?=?? ? ???---= ? ? ? ???---=θ 9-3 试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M 图。 (a) 解：Ｂ为角位移节点 设EI=8,则1==B C A B i i ，5.0= =B C B A μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M B A ?=????=+= 488212 443222 2 m KN l M B C ?-=?+-=582621 892 结点力偶直接分配时不变号 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 48 -58 12 4m 4m 8m 2m
第六章静定结构的受力分析 §6-1 多跨静定梁 单跨梁多使用于跨度不大的情况，如门窗的过梁、楼板、屋面大梁、短跨的桥梁以及吊车梁等。如果将若干根短梁彼此用铰相连，并用若干支座与基础连接而组成几何不变的静定结构称为多跨静定梁。多跨静定梁是使用短梁跨过大跨度的一种较合理的结构型式。图6-1a 所示为一木檩条的结构图。在檩条(短梁)的接头处采用斜搭接并以螺栓连接，这种接头可看成铰结点。其计算简图如图6-1b所示。通过图6-1c可清楚地看到梁各部分之间的依存关系和力的传递层次。因此，把它称为梁的层次图。 图6.1 由图6-1c可见，连续梁的AB部分，有三根不完全平行亦不相交于同一点的支座链杆与基础相连，构成几何不变体系，称为基本部分；对于连续梁的EF和IJ部分，因它们在竖向荷载作用下，也可以独立地维持平衡，故在竖向荷载作用下，也可将它们当作基本部分；而短梁CD、GH两部分是支承在基本部分上，需依靠基本部分才能维持几何不变性，故称为附属部分。 常见的多跨静定梁，除图6-1b所示的形式外，还有图6-2a、c所示两种形式，它们的层次图分别如图6-2b、d所示。图6-2a所示的多跨静定梁，除左边第一跨为基本部分外，其余各跨均分别为其左边部分的附属部分。 图3-62c所示的多跨静定梁是由前两种方式混合组成的。 由多跨静定梁基本部分与附属部分力的传递关系可知，基本部分的荷载作用不影响附属部分；而附属部分的荷载作用则一定通过支座传至基本部分。因此，多跨静定梁的计算顺序是：先计算附属部分，然后把求出的附属部分的约束反力，反向加到基本部分上当成基本部分的荷载，再进行基本部分的计算。可见，只要先分析出多跨静定梁的层次图，把多跨梁拆成为多个单跨梁分别分析计算，而后将各单跨梁的内力图连在一起，便可得到多跨梁的内力图。
超静定结构的分析与求解 姓名李海龙专业土木工程年级2008级 摘要：本篇文章简要分析了超静定结构的判定方法和解决好景顶结构的基本方法—力法、位移法、力矩分配法。通过自由度判定超静定结构的次数，是桥梁中解决高次超静定的基本方法。文章主要分析各种方法解决超静定问题的步骤和需要注意的一些方面。关键词：超静定结构的分析力法位移法力矩分配法 Abstract:this article briefly analyzes the super statically determinate structure determination methods and solve the basic methods of Hualien roof structure -- force method, displacement method, torque distribution method. Through the freedom of judge super statically determinate structure solved in times of high times bridge is the basic methods of super quiescent set. The paper mainly analyses various methods to solve problems super quiescent steps and set some of the aspects of the needs attention. Keywords:super statically determinate structure analysis Force method Displacement method Torque distribution method 1 超静定结构分析 1.1超静定结构的判定 1.1.1自由度判定具有多余约束的结构称为超静定结构。结构具有多余约束的个数，即为超静定次数。多余约束可以是外部或内部的也可二者兼有。因而就有外部超静定，内部超静和内外部超静定结构之分。要快速准确判定结构超静次数必须注意以下几点：1.无论是梁式结构、框架(刚架)结构还是桁架结构都可以首先利用计算自由度公式大概判定结构可能的几何组成形式：W=3m-(2n+r)公式中：W:结构体系计算自由度数。m:结构体系刚片数(除地基这一特殊刚片外)。n:结构体系刚片与刚片之间连接铰数(复铰应换算成单铰)，r:结构体系与地基相连的链杆数。①
第二节静定平面桁架 一、桁架的内力计算中采用的假定 (1桁架的结点都是光滑的铰结点; (2各杆的轴线都是直线并通过铰的中心; (3荷载和支座反力都作用在结点上。 二、桁架的分类 (1简单桁架:由基础或一基本三角形开始,依次增加二元体形成。 (2联合桁架:由几个简单桁架按几何不变体系的组成规则形成。 (3复杂桁架:不属于前两类的桁架。 三、桁架的内力计算方法 1、结点法 取结点为隔离体,建立平衡方程求解的方法,每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。 根据结点法,可以得出一些结点平衡的特殊情况,能使计算简化: (1两杆交于一点,若结点无荷载,则两杆的内力都为零(图2-2-1a 。 (2三杆交于一点,其中两杆共线,若结点无荷载,则第三杆是零杆,而共线的两杆内力大小相等,且性质相同(同为拉力或压力(图2-2-1b。 (3四杆交于一点,其中两两共线,若结点无荷载,则在同一直线上的两杆内力大小相等,且性质相同(图2-2-1c 。推论,若将其中一杆换成力F P ,则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ,性质与F P 相同(图2-2-1d 。 F N3
F N3=0 F N1=F N2=0 F N3=F N4(a (b(cF N4 (dF N3=F P F P N1F F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N3 F N3 F N1=F N2,F N1=F N2, F N1=F N2, 图2-2-1
(4对称结构在正对称荷载作用下,对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用,则斜杆为零杆。例如 图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。 1A 2 F P F P A F P F P B F P F P B A (b(a X =0 图2-2-2 图2-2-3
超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1）（2）（3） （4）（5）（6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI= EI= 2 444 2 2、位移法求解结构力时如果P M图为零，则自由项1P R一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题：
12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。 l l l /2l /2 14、求对应的荷载集度q 。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 ()5123/()EI →。 12m 12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l l l
16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI 相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M 图。 q l l 20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 6m 6m 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
l q l 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。 q q l l /2 l /2l 36、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。各杆EI =常数。 l l
第3章 静定结构的内力分析习题解答 习题 是非判断题 (1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ） (4) 习题(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题 填空 (1)习题(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 习题(1)图 (2) 习题(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN ·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN ·m ，____侧受拉。 习题(2)图 (3) 习题(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。 习题(3)图 (4) 习题(4)图所示桁架中有 根零杆。 习题(4)图 【解】（1）M C = 0；M C = F P l ，上侧受拉。CDE 部分在该荷载作用下自平衡； （2）M AB =288kN ·m ，左侧受拉；M B =32kN ·m ，右侧受拉； （3）F P /2； （4）11（仅竖向杆件中有轴力，其余均为零杆）。
静定结构的受力分析(一) (总分：90.00，做题时间：90分钟) 一、{{B}}判断题{{/B}}(总题数：7，分数：4.00) 1.除荷载外，其他因素例如支座移动、温度变化等也会使结构产生位移，因而也就有可能使静定结构产生内力。 （分数：2.00） A.正确 B.错误√ 解析： 2.下图所示桁架杆件AB、AF、AG内力都不为零。 A.正确 B.错误√ 解析：本题为静定结构，根据静定结构的性质：在荷载作用下，如果仅靠结构某一局部就能够平衡外荷载时，则仅此局部受力，其余部分没有内力。知杆件A、AF、AG内力都为零。 3.下图所示桁架，各杆EA为常数，仅AB杆有轴力，其他杆的轴力为零。 A.正确 B.错误√ 解析：本题是一对平衡力作用在超静定部分ADBC上，故整个超静定部分ADBC都会产生内力。倘若本题为静定桁架，则只有AB杆受力。 4.若某直杆段的弯矩为0，则剪力必定为0；反之，若剪力为0，则弯矩必定为0。 （分数：2.00） A.正确 B.错误√ 解析：由弯矩和剪力的微分关系[*]可知，剪力为零，但弯矩不一定必为零。比如，受纯弯曲的杆段。 5.下图所示桁架结构杆1的轴力为零。 A.正确√ B.错误 解析：将原荷载分成正对称和反对称(见下图)，两图中杆1轴力均为零，答案正确。 [*] 6.下图所示三铰拱，轴线方程为，受均布竖向荷载q作用，则拱内任一截面的弯矩等于零。 A.正确√ B.错误 解析： 7.如下图所示拱在荷载作用下，N DE为30kN。 A.正确 B.错误√ 解析： 二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：17，分数：34.00) 8.内力M与F Q的微分关系是 1。 （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
第四节超静定结构的受力分析及特性 一、超静定结构的特征及超静定次数 超静定结构的几何特征是除了保证结构的几何不变性所必须的约束外，还存在多余约束。 超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。 结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。 通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。 去除约束的方法有以下几种： (一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。 (二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。 (三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。 (四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。 去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。 去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。 （a）（b） 图4－1
二、力法的基本原理 (一)力法基本结构和基本体系 去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力X i (i=1、2、…、n)，X i 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余约束后的结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。 选取力法基本结构应注意下面两点： 1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。 2．选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。 解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。 (b)(a) N (d )(c)题6-1 N N （2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。 1113(2)82i P i AB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EA ?????-?-???==++?=∑（?） （3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。 113(2)() (72i P i AC i i P a P a N N l P a a E A EA EA EA ????-?-??== +?=∑（?） 故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差： 8(7(10.414AB AC P P P P EA EA EA EA ???+=-= -==-（夹角减小） 6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。只计弯曲变形。EI 为常数。 方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为： sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr （2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为： []1 cos )(0)2211cos()cos )()222 i M πθθππθθθπ?≤≤??=??-=≤≤??(r -r r -r (r +r
(a) 题6-2 （3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。 2 02 3322 0022 311 cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V P k Pr Pr M M ds rd rd EI EI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI π ππππππππθθθθθθ θθθθθθθθθθθθθ?-?-??==+????=-?+?=-+????????? =-∑? ??????(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320 211cos 2)cos cos 2)442Pr EI π ππθθθ????+-+=-↑??? ?（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。 题6-2 (a) 203322003 320 1 sin )(Pr cos ) 221sin )cos cos sin 2)2 1sin cos 2)42i V P k M M ds rd EI EI Pr Pr d d EI EI Pr Pr EI EI π πππ θθθ θθθθθθθθ?-??===-?=-=-+=-↑∑????（） (r -r (-(-(1 6-3 求梁的自由端的挠度。EI 为常数。 方法一 ：（积分法） 解：（1）荷载作用的实状态,以及坐标如图（a ）,其弯矩方程为： ()2 1 (0)2 M x qlx qx x l =--≤< （2）建立虚设单位力状态,以及坐标如图（b ）所示,其弯矩方程为：()(0)i M x x x l =-≤<
第四节超静定结构得受力分析及特性 一、超静定结构得特征及超静定次数 超静定结构得几何特征就是除了保证结构得几何不变性所必须得约束外，还存在多余约束。 超静定结构得静力特征就是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力与内力。 结构得多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力与内力时所缺少得方程数称为结构得超静定次数。 通常采用去除多余约束得方法来确定结构得超静定次数。即去除结构得全部多余约束，使之成为无多余约束得几何不变体系，这时所去除得约束数就就是结构得超静定次数。 去除约束得方法有以下几种： (一)切断一根两端铰接得直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。 (二)切断一根两端刚接得杆件，相当于去除三个约束。 (三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件得铰)，相当于去除2(n—1)个约束。 (四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件得复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。 去除一个超静定结构多余约束得方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。 去除图4—1a所示超静定结构得多余约束得方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。再用其她去除多余约束得方案确定其超静定次数，结果就是相同得。 （a）（b）
图4－1 二、力法得基本原理 (一)力法基本结构与基本体系 去除超静定结构得多余约束，代以相应得未知力X i (i=1、2、…、n)，X i 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余约束后得结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下得体系称为力法基本体系，它就是用力法计算超静定结构得基础。 选取力法基本结构应注意下面两点： 1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束得几何不变体系。有时当简单超静定结构得解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构得基本结构，以简化计算。 2．选取得基本结构应使力法典型方程中得系数与自由项得计算尽可能简便，并尽量使较多得副系数与自由项等于零。
静定结构内力分析习题集锦（一） 徐 丰 武汉工程大学
第3章 静定结构的内力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0 H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ，____侧受拉。
建筑力学问题简答（七）超静定结构内 力计算 194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 195．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 198．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n 次超静定结构的力法方程 对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程： 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中： δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ