第三讲超静定结构受力分析及特性 【内容提要】 超静定次数确定，力法、位移法基本体系，力法方程及其意义，等截面直杆刚度方程，位移法基本未知量确定，位移法基本方程及其意义，等截面直杆的转动刚度，力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，对称性利用，半结构法，超静定结构位移计算，超静定结构特性。 【重点、难点】 力法及力法方程，位移法及基本方程；力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，超静定结构位移计算。 一、超静定次数 把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。 1．撤去一个活动铰支座(即一根支杆)，或切断一根链杆各相当于解除一个约束。 2．撤去一个固定铰支座(即两根支杆)，或拆开一个单铰结点，各相当于解除两个约束。3．撤去一个固定支座，或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。 4．将固定支座改为固定铰支座，或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。 5．边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。 6．一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束，是三次超静定的。k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。 二、力法 (一)基本结构
力法是解算超静定结构最古老的方法之一。力法计算超静定结构是把超静定结构化为静定结构来计算，所以力法基本未知量的个数就是结构多余约束数。 以超静定结构在外因作用下多余约束(又称多余联系)上相应的多余力作为基本未知量，计算时将结构上的多余约束去掉，代之以多余力的作用，将这样所得的静定结构作为求解基本未知量的基本结构(或称为基本体系)。 (二)解题思路 根据基本结构在原有外力及多余力的共同作用下，在去掉多余约束处沿多余力方向的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程，解方程即可求得各多余力。 将多余力视为基本结构的荷载，则可作基本结构内力图，也就是原结构的内力图。原结构的位移计算亦可在基本结构上进行，这样更为方便。 【例题1】求图6-3-1(a)所示结构内力图。
一、选择题 1、粗糙的水平面上叠放着A和B两个物体，A和B间的接触面也是粗糙的，如果用水平力F拉B，而B仍保持静止，则此时( ) A．B和地面间的静摩擦力等于F，B和A间的静摩擦力也等于F． B．B和地面间的静摩擦力等于F，B和A间的静摩擦力等于零． C．B和地面间的静摩擦力等于零，B和A间的静摩擦力也等于零． D．B和地面间的静摩擦力等于零，B和A间的静摩擦力等于F． 2、如图所示,重力G=20N的物体，在动摩擦因数为0.1的水平面上向左运动， 同时受到大小为10N的，方向向右的水平力F的作用，则物体所受摩擦力大 小和方向是( ) A．2N，水平向左 B．2N，水平向右 C．10N，水平向左 D．12N，水平向右 3、水平地面上的物体在水平方向受到一个拉力F和地面对它的摩擦力f的作用。在 物体处于静止状态的条件下，下面说法中正确的是：( ) A．当F增大时，f也随之增大B．当F增大时，f保持不变 C．F与f是一对作用力与反作用力 D．F与f合力为零 4、木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25；夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2cm,弹簧的劲度系数为400N/m.系统置于水平地面上静止不动。现用F=1 N的水平拉力作用在木块B上.如图所示.力F作用后 ( ) A.木块A所受摩擦力大小是12.5 N B.木块A所受摩擦力大小是11.5 N C.木块B所受摩擦力大小是9 N D.木块B所受摩擦力大小是7 N 5、如图所示，质量为m的木箱在与水平面成θ的推力F作用下,在水平地面上滑行，已知 木箱与地面间的动摩擦因数为μ，那物体受到的滑动摩擦力大小为( ) A．μmg B．μ (mg+F sinθ) C．F cosθ D．μ (mg+F cosθ) 6、如图所示，质量为m的物体置于水平地面上，受到一个与水平面方向成α角的拉力F 作用，恰好做匀速直线运动，则物体与水平面间的动摩擦因数为( ) A．F cosα/（mg－F sinα） B．F sinα/（mg－F sinα） C．（mg－F sinα）/F cosα D．F cosα/mg 7、如图所示，物体Ａ、Ｂ的质量均为ｍ，A、B之间以及Ｂ与水平地面之间的动摩擦系数均为μ水平拉力F拉着B物体水平向左匀速运动（A未脱离物体Ｂ的上表面）F的大小应为( ) A．2μmg B．3μmg C．4μmg D．5μmg 8、如图所示物体在水平力F作用下静止在斜面上，若稍许增大水平力F, 而物体仍能保持静止时( ) A..斜面对物体的静摩擦力及支持力一定增大 B. 斜面对物体的静摩擦力及支持力都不一定增大 C.斜面对物体的静摩擦力一定增大，支持力不一定增大 D.斜面对物体的静摩擦力不一定增大，支持力一定增大 9、重为10N的木块放在倾角为θ=300的斜面上受到一个F=2N的水平恒力的作用做匀速直线运动，（F的方向与斜面平行）则木块与斜面的滑动摩擦系数为（） A．2/10 B．0.6 C．3/3 D．无法确定 10、用大小相等、方向相反，并在同一水平面上的力F挤压相同的木板，木板中间夹着两块相同的砖，砖和木板均保持静止，则( ) A．两砖间摩擦力为零B．F越大，板与砖之间的摩擦力就越大
第3章 静定结构的力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0 H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN ·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN ·m ，____侧受拉。 习题3.2(2)图 (3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。 习题3.2(3)图 (4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。
受力分析试题精炼 1、如图所示，物体A、B、C叠放在水平桌面上，水平力F作 用于C物体，使A、B、C以共同速度向右匀速运动，那么关于 物体受几个力的说法正确的是（） A．A 受6个，B受2个，C受4个 B．A 受5个，B受3个，C受3个C．A 受5个，B受2个，C受4个 D．A 受6个，B受3个，C受4个 2．如图所示，两个等大、反向的水平力F分别作用在物体A和B上，A、B两物体均处于静止状态。若各接触面与水平地面平行，则A、B两物体各受几个力?（）A．3个、4个B．4个、4个 C．4个、5个D．4个、6个 3．如图所示，倾角为 的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上， 通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与 斜面平行，A、B、C都处于静止状态．则（） A．B受到C的摩擦力一定不为零 B．C受到水平面的摩擦力一定为零 C．不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左 D．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等 4．如图3所示，一质量为M的斜面体放在水平面上，在其斜面上放一质 量为m的物体A，用一沿斜面向上的力F作用于A上，使其沿斜面匀速 下滑，在A下滑的过程中，斜面体静止不动，则地面对斜面体的摩擦力 f及支持力N是（） A．f=0，N=Mg+mg B．f向左，N 考点3 受力分析 共点力的平衡 两年高考真题演练 1．(2015·广东理综，19)(多选)如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同，下列说法正确的有( ) A ．三条绳中的张力都相等 B ．杆对地面的压力大于自身重力 C ．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零 D ．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力 2．(2015·山东理综，16)如图， 滑块A 置于水平地面上，滑块B 在一水平力作用下紧靠滑块A (A 、B 接触面竖直)，此时A 恰好不滑动，B 刚好不下滑。已知A 与B 间的动摩擦因数为μ1，A 与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A 与B 的质量之比为( ) A.1 μ1μ2 B.1－μ1μ2μ1μ2 C.1＋μ1μ2μ1μ2 D.2＋μ1μ2μ1μ2 3．(2014·新课标全国卷Ⅰ，17)如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡状态．现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度(橡皮筋在弹性限度内)，与稳定在竖直位置时相比，小球的高度() A．一定升高 B．一定降低 C．保持不变 D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定 4．(2014·广东理综，14)如图所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P在支撑点M、N处受力的方向，下列说法正确的是() A．M处受到的支持力竖直向上 B．N处受到的支持力竖直向上 C．M处受到的静摩擦力沿MN方向 D．N处受到的静摩擦力沿水平方向 5．(2014·山东理综，14)如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千。某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受 静定结构内力分析习题集锦（一） 徐 丰 武汉工程大学 第3章 静定结构的内力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0 H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ，____侧受拉。 §3-8 刚体体系的虚功原理 计算静定结构内力的另一个普遍方法—虚功原理，它等价于平衡方程。 虚功的概念: 力与沿力作用点方向上的位移的乘积。 虚功中的力和位移之间没有因果关系。这是虚功区别于实功的重要特点。 虚功可大于零也可小于零。 一、刚体体系的虚功原理 设刚体体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小刚体位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。 刚体体系的虚功方程： W 外虚=0 由于虚功中的力与位移没有因果关系，可使其中的一种状态是虚设的，而另一种是真实的状态。因此，虚功方程演变出两种形式及应用： 两种应用: 虚设位移—虚位移原理求静定结构内力。 虚设力系—虚力原理求刚体体系的位移。 虚位移原理的应用 体系上真实的平衡力系，虚设体系的无限小刚体位移，外力所作的总虚功等于零。 虚位移方程用于求真实的未知力（内力、支座反力）。 例： 虚功方程为 0)(P P =?-+?F F X X 几何关系： a b X P =?? 则P F a b F X = 或设 1=?X 相应的虚功方程为 01P =??? ? ??-+?a b F F X 则P F a b F X 二、应用虚功原理求静定结构的支反力 图(a)为一静定梁，拟求支座A 的反力F X 。 结论：撤除与F X 相应的约束，结构变成机构，约束力变成主动力，机构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，写出虚功方程确定几何关系，求F X 。 例3-16 试求图示静定多跨梁在C 点的支座反力F X 。设荷载F P1 和F P2 等于常数F P 。 三、应用虚功原理求静定结构的内力 例3-17 试求简支梁截面C 的弯矩M C 。 例3-18 试求图示简支梁截面C 的剪力F Q C 。 超静定结构 超静定结构 静定结构是没有多余约束的结构，结构体系中任何一个约束去掉后，结构都失去稳定性，成为机构，因而也就不能够继续承担荷载。因此，静定结构是相对危险的，任意约束失效后都会导致整体结构的失效。为了保证结构的安全性，需要对于静定结构增加约束，成为有多余约束的结构——超静定结构。 超静定结构有多余约束，当其中某个约束失效后，所承担的作用由其他约束承担，整体结构仍处于稳定状态，可以继续承担荷载，但是，超静定结构在失去部分或全部多余约束后，内力会出现重新分布的现象，是否破坏要重新计算。 超静定结构的思路 对于超静定结构，静定结构的解题思路是难以解决的：静定结构中无论是外力还是内力，均依靠力系平衡方程或方程组实现，但超静定结构的多余约束导致有效方程数少于未知数的数量。 因此，超静定问题宜从以下方面思考： 首先，如果结构整体是平衡的，结构内部任意组成部分、点、段落也一定是平衡的； 其次，对于任意多余约束是可以去掉的，并以相应的约束力来替代的，替代之后的结构各个部分依然平衡切除替代点外没有任何变化； 第三，结构中任意相临的、距离为0 的两点间的相对位移与转角均为0； 第四，弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的。 基于上面的基本思路，对于超静定结构常用的方法是力法与位移法。 力法 力法是计算超静定结构的基本方法，是利用结构的变形协调来实现的。 力法的基本思路是： 弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的； 除去多余约束后，以约束力替代原约束，并与结构等效； 除去约束后的结构在其上的外力系[P]的作用下，会产生各种变形，其中在除去约束后的原约束点的位移是：[Δ ] 结构原有的约束力也会导致结构在约束点的相关变形：[x][δ]，[x]：除去的多余的约束，[δ]：当多余约束为 1 时的各个约束点变形。 但是在原结构中，被除去的多余约束点由于约束的作用，其相应的位移为0，因此有： [x][δ] +[Δp] =0 如果设多余约束为n个，则力法线性方程组为： x1δ11 + x2δ12 + x3δ13+…… + x nδ1n +Δ1p = 0 x2δ21 + x2δ22 + x3δ23+…… + x nδ2n +Δ2p = 0 x3δ31 + x2δ32 + x3δ33+…… + x nδ3n +Δ3p = 0 …… …… …… …… …… …… …… …… …… x nδn1 + x2δn2 + x3δn3+…… + x nδnn +Δnp = 0 其中：x i：第i个多余约束所形成约束反力，是 未知数； δij：如果第j个多余约束位置上，作用有与该多余约束性质相同的单位力，所形成的位于第i 个约束反力位置上的变形量； x iδij：第j个多余约束所形成约束力，导致的位于第i个约束反力位置上的变形量； Δip：除去多余约束后，结构外荷载系产生的，位于第i 个约束反力位置上的变形量； 根据虚功原理，可以求得δij，且根据互等定理，δij = δji ；同样，根据虚功原理也可以求得Δip，因此方程组是可解的； 求解出x1，x2，x3…… x n后，可将其视为与外荷载系共同作用于除去多余约束的静定结构 的荷载，随即可以求解并绘制相应的静定结构的内力图，进而求出最大内力截面与最大应力的位 置与量值，进行相关校核。 班级________姓名________学号_____ 高一物理第三章专题：物体受力分析 ●学习目标: 1.掌握对物体进行受力分析的一般顺序，能正确地作出物体受力图。 2.理解并初步掌握物体受力分析的一般方法，进一步加深对力的概念和三种基本力的认识。 3.能通过对物体受力分析的操作，认识到物体不是孤立的，它与周围物体是相互联系的；同时培养思维的条理性和周密性。 ●学习难点: 1. 在受力分析时防止“漏力”和“添力”。 2. 初步建立“隔离”的思想方法。 ●课前预习： 1．重力是__________ _______。常用符号G表示。G= ，其中g为重力加速度。重力的方向总是______________，但不能说 ．．．重力的方向总是指向地心。重心是重力的作用点。物体重心的位置跟物体的__ ___和物体内___ __的分布都有关系。 2、弹力产生的条件是 , 。弹力的方向与物体的形变方向，弹力是发生形变产生的。压力方向，支持力方向 ，绳的拉力方向。弹簧的弹力方向。 3、（1）摩擦力：两个的物体，当它们发生或具有 时，就会在上产生阻碍或的力，这种力叫做摩擦力。摩擦力通常有两种：、。（2）摩擦力的产生条件：、、、 。 （3）摩擦力的方向：。（4）静摩擦力的大小: ；滑动摩擦力的大小：。 ●课内探究： 一、受力分析的基本知识： 受力分析是研究力学问题的关键，是学好力学的基本功．为了能正确地全面地分析物体的受力情况，必须具备一定的基础知识．概括起来有两个方面： 1．熟悉各种力的物理含义，产生条件及其特征； 2．掌握力与运动之间的一些基本规律．如二力平衡等． 二、受力分析的基本方法： 1、根据题意选取研究对象。选取研究对象的原则是要使对问题的研究尽量简便。研究对象可以是单个物体或物体的某一部分，也可以是由几个物体组成的系统。 2、把研究对象从周围的物体中隔离出来。为防止漏掉某个力，要养成按一般步骤分析的好习惯。A、一般应先分析重力、已知力；B、然后环绕物体一周，找出跟研究对象相接触的面或接触点，并逐个分析这些接触面或接触点处对研究对象的弹力和摩擦力；C、最后再分析其它场力（电场力、磁场力等）。 3、对画出的每一个力，都一定要找到施力物体，这样可以避免分析出某些不存在的力。如竖直上抛的物体并不受向上的推力，而刹车后靠惯性滑行的汽车也不受向前的“冲力”。 4、画完受力图后要进行定性检验，看一看根据你画的受力图，物体能否处于题目中所给的运动状态。 三、受力分析的注意事项 1、受力分析画出的力是研究对象受到的力,研究对象对其它物体的作用力不能画在研究对象上. 2、物体的受力一般画在重心上,而杆和转动的物体要画在作用点上. 3、只画性质力，不画效果力: 画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。 4、牢记力不能脱离物体而存在，每一个力都有一个明确的施力者，如指不出施力者，意味着这个力不存在． 5、结合物理规律的应用，受力分析不能孤立地进行，在许多情况下要根据研究对象的运动状态，结合相应的物理规律，才能最后作出正确的判断 ●典例探究： 例1：如图，一根细线拴着一只氢气球A，试画出A所受的力的示意图。 例2：如上图所示，一根均质木棒，靠在固定的光滑圆球上处于静止状态，则木棒所受到的作用力是（） A、重力、地面和球给它的弹力 B、重力、地面给它的静摩擦力 C、重力、地面给它的静摩擦力和球给它的支持力 D、重力、地面和球给它的支持力以及地面给它的静摩擦力 例3：运动员用竖直的胶皮乒乓板去推挡水平飞来的上旋弧圈球.试分析 第二章静定结构的受力分析 一判断题 1. 图示梁上的荷载P将使CD杆产生内力。（×） 题1图 2. 按拱的合理拱轴线制成的三铰拱在任意荷载作用下能使拱各截面弯矩为零。（×） 3. 若有一竖向荷载作用下的等截面三铰拱，所选的截面尺寸正好满足其抗弯强度的要求。 则改用相应简支梁结构形式（材料、截面尺寸、外因、跨度均相同）也一定满足其设计要求（×） 4. 静定结构在支座移动、变温及荷载作用下，均产生位移和内力。（×） 5. 两个弯矩图的叠加不是指图形的简单拼合，而是指两图对应的弯矩纵矩叠加。（√） 6. 计算位移时，对称静定结构是：杆件几何尺寸、约束、刚度均对称的结构。（√） 7. 静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（√） 8. 在静定结构中，当荷载作用在基本部分时，附属部分将引起内力（×） 9. 多跨静定梁仅当基本部分承受荷载时，其它部分的内力和反力均为零（√） 10. 几何不变体系一定是静定结构。（×） 11. 静定结构在荷载作用下产生的内力与杆件弹性系数、截面尺寸无关（√） 12. 直杆结构，当杆上弯矩图为零时，其剪力图也为零。（√） 13. 温度改变，支座移动和制造误差等因素在静定结构中引起内力。（×） 14．图示结构的反力R=) cos。（√） (2 / ql 题14图题15图 15. 图示结构中的反力 H=2kN.( √) 16. 图示结构的M图一定是对称的。（√） 题16图题17图题18图 17. 图示结构的反力R=0。（√） 18. 图示刚桁架由于制造误差AB杆短了3cm，装配后AB杆将被拉长。（×） 19. 图示体系是拱结构。（×） 题19图题24图 20. 静定结构的“解答的唯一性＂是指无论反力、内力、变形都只用静力平衡条件即可确（×） 21. 当外荷载作用在基本部分时，附属部分不受力；当外荷载作用在某一附属部分时，整个 结构必定都受力。（×） 22. 抛物线型静定桁架在任意荷载作用下，其腹杆内力均为零。（×） 23. 两杆相交的刚结点，其杆端弯矩一定等值同侧（即两杆端弯矩代数和为零）。（×） 24. 图示结构中的反力H=m/l。（×） 25. 图示桁架杆件AB、AF、AG内力都不为零（×） 题25图题26图 26. 图示桁架AB、AC杆的内力不为零。（×） 27. 图示结构中的反力日R=15/8kN。（×） 题27图题29图 28. 静定结构受外界因素影响均产生内力。大小与杆件截面尺寸无关。（×） 29. 如图所示多跨静梁不管p、q为何值，其上任一截面的剪力均不为零（×） N10。（√） 30. 图示桁架结构杆1的轴力 第1节 静定平面桁架 一、桁架的内力计算方法 1、结点法 取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。 根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化： （1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。 （2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。 （3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。 F N3 F N3=0 F N1=F N2=0 F N3=F N4(a) (b)(c)F N4 (d)F N3=F P F P N1F F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N3 F N3 F N1=F N2，F N1=F N2， F N1=F N2， 图2-2-1 （4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。例如 图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。 1A 2 F P F P A F P F P B F P F P B A (b)(a) X =0 图2-2-2 图2-2-3 （5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。 （6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。 0B F P F P F P F P B － A' B' A － A (a) (b) 图2-2-4 2、截面法 截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。 在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。 截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。 截面单杆可分为两种情况： （1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a ）中，CD 、AD 、AB 杆都 9-1 同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概 念分析习题答案 9-1 试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。 9-2 试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M 图，并求刚结点B 的转角φB 。 解：设EI=6，则5.1,1==B C A B i i 53.05 .13145.1347 .05 .13141 4=?+??==?+??=B C B A μμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩 -67.05 45.9 -45.9 ()()() 逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?-=?? ? ???+---= ? ? ? ???---=θ (b) 解：设EI=9，则 9m 9m 6m 3m 3m 2m 6m 2m 9-2 3 ,31,1====B E B D B C A B i i i i 12.01 41333331 316.01 41333331 436 .0141333333 3=?+?+?+??==?+?+?+??==?+?+?+??==B C B A B E B D μμμμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC B D B E 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩 0 0 0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 16.2 0 最后弯矩 3.6 7.2 5.4 61.2 -73.8 ()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?=?? ? ???---= ? ? ? ???---=θ 9-3 试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M 图。 (a) 解：Ｂ为角位移节点 设EI=8,则1==B C A B i i ，5.0= =B C B A μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M B A ?=????=+= 488212 443222 2 m KN l M B C ?-=?+-=582621 892 结点力偶直接分配时不变号 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 48 -58 12 4m 4m 8m 2m 第六章静定结构的受力分析 §6-1 多跨静定梁 单跨梁多使用于跨度不大的情况，如门窗的过梁、楼板、屋面大梁、短跨的桥梁以及吊车梁等。如果将若干根短梁彼此用铰相连，并用若干支座与基础连接而组成几何不变的静定结构称为多跨静定梁。多跨静定梁是使用短梁跨过大跨度的一种较合理的结构型式。图6-1a 所示为一木檩条的结构图。在檩条(短梁)的接头处采用斜搭接并以螺栓连接，这种接头可看成铰结点。其计算简图如图6-1b所示。通过图6-1c可清楚地看到梁各部分之间的依存关系和力的传递层次。因此，把它称为梁的层次图。 图6.1 由图6-1c可见，连续梁的AB部分，有三根不完全平行亦不相交于同一点的支座链杆与基础相连，构成几何不变体系，称为基本部分；对于连续梁的EF和IJ部分，因它们在竖向荷载作用下，也可以独立地维持平衡，故在竖向荷载作用下，也可将它们当作基本部分；而短梁CD、GH两部分是支承在基本部分上，需依靠基本部分才能维持几何不变性，故称为附属部分。 常见的多跨静定梁，除图6-1b所示的形式外，还有图6-2a、c所示两种形式，它们的层次图分别如图6-2b、d所示。图6-2a所示的多跨静定梁，除左边第一跨为基本部分外，其余各跨均分别为其左边部分的附属部分。 图3-62c所示的多跨静定梁是由前两种方式混合组成的。 由多跨静定梁基本部分与附属部分力的传递关系可知，基本部分的荷载作用不影响附属部分；而附属部分的荷载作用则一定通过支座传至基本部分。因此，多跨静定梁的计算顺序是：先计算附属部分，然后把求出的附属部分的约束反力，反向加到基本部分上当成基本部分的荷载，再进行基本部分的计算。可见，只要先分析出多跨静定梁的层次图，把多跨梁拆成为多个单跨梁分别分析计算，而后将各单跨梁的内力图连在一起，便可得到多跨梁的内力图。 第3章 静定结构的力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0 H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ，____侧受拉。 习题3.2(2)图 (3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。 习题3.2(3)图 (4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。 习题3.2(4)图 超静定结构的分析与求解 姓名李海龙专业土木工程年级2008级 摘要：本篇文章简要分析了超静定结构的判定方法和解决好景顶结构的基本方法—力法、位移法、力矩分配法。通过自由度判定超静定结构的次数，是桥梁中解决高次超静定的基本方法。文章主要分析各种方法解决超静定问题的步骤和需要注意的一些方面。关键词：超静定结构的分析力法位移法力矩分配法 Abstract:this article briefly analyzes the super statically determinate structure determination methods and solve the basic methods of Hualien roof structure -- force method, displacement method, torque distribution method. Through the freedom of judge super statically determinate structure solved in times of high times bridge is the basic methods of super quiescent set. The paper mainly analyses various methods to solve problems super quiescent steps and set some of the aspects of the needs attention. Keywords:super statically determinate structure analysis Force method Displacement method Torque distribution method 1 超静定结构分析 1.1超静定结构的判定 1.1.1自由度判定具有多余约束的结构称为超静定结构。结构具有多余约束的个数，即为超静定次数。多余约束可以是外部或内部的也可二者兼有。因而就有外部超静定，内部超静和内外部超静定结构之分。要快速准确判定结构超静次数必须注意以下几点：1.无论是梁式结构、框架(刚架)结构还是桁架结构都可以首先利用计算自由度公式大概判定结构可能的几何组成形式：W=3m-(2n+r)公式中：W:结构体系计算自由度数。m:结构体系刚片数(除地基这一特殊刚片外)。n:结构体系刚片与刚片之间连接铰数(复铰应换算成单铰)，r:结构体系与地基相连的链杆数。① -- -- 专题三 弹簧与受力分析 【初出茅庐】 如图所示，甲、乙两根相同的轻,分别与物块的上下表面相连接,乙的下端与地面连接.起初甲处于自由长度，乙的压缩长度为△L ．现用手将甲缓慢上提，使乙承受物重的2/3,乙仍处于压缩状态，那么，甲的A 端应向上提起的距离为________。 【知识拓展】 将两根劲度系数分别为K 1和K 2的弹簧串联（并联）,一端固定，合成后的弹簧的劲度系数为多少？ 串联 并联 思考：把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧,则其弹簧的劲度系数为多少? 【基础题】 用５Ｎ的力可以使一轻弹簧伸长８ｍm ，现在把两个这样的弹簧串联起来，在两端各用1０N 的力来拉它们,这时弹簧的总伸长应是( ) Ａ.4ｍm B ．８m ｍ C ．16ｍm D ．32mm 2211 F kx k x k x ===12x x x =+12 12 k k k k k ?=+F kx =12 F F F =+11F k x =22F k x =12 k k k =+ -- 如图所示，劲度系数均为k 的甲、乙两轻质弹簧,甲弹簧一端 固定在天花板上，乙弹簧一端固定在水平地面上．当在甲的 另一端挂一重物Ｇ,乙的另一端压一重物G时，两弹簧的长度 均为L，现将两弹簧并联，并在其下方系一重物G,此时弹簧 的长度应为（) A.L+(G／2k) B.(L+G）/ｋ C．(L-G)／2k D. (L－G)/k 如图所示，两木块的质量分别为ｍ1和m2，两轻质的分别为ｋ１和k2,上面木块压 在上面的上（但不拴接）,整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块,直到它 刚离开上面.在这过程中下面木块移动的距离为( ） A.m１g/k1 B．m2g/k１ C.m1g／k2 Ｄ.ｍ２g／ｋ2 【提高题】 已知在弹性限内，的伸长量△L与受到的拉力F成正比，用公式Ｆ=ｋ?△L表示,其中k为的(k 为一常数）.现有两个轻Ｌ1和L2，它们的分别为k1和ｋ２,且k１=3k２,现按如图所示方式用它们吊起滑轮和重物，如滑轮和重物的重力均为Ｇ,则两的伸长量之比△L1：△L2为（ ) Ａ．1：1 B．3：2 C.2:３ D.３:4 如图，Ｌ1、L2是劲度系数均为ｋ的轻质弹簧,A、Ｂ两只钩码均重G，则静止时两弹 簧伸长量之和为（ ) A．３G／k B.２G/ｋ Ｃ.Ｇ／k D．G/2k -- 第3章 静定结构的内力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0 H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ，____侧受拉。 专题三齿轮传动受力分析 摘要：通过对常见齿轮传动的受力分析，解决定轴齿轮传动及齿轮轴受力方向的判别问题，概括并总结常见齿轮传动受力方向、齿轮旋转方向判断的规律。 关键词：齿轮传动啮合点圆周(径向、轴向)力 1引言 齿轮传动是现代机械中应用最为广泛的一种机械传动形式，是利用齿轮副来传递运动和力的一种机械传动。在工程机械、矿山机械、冶金机械、各种机床及仪器、仪表工业中被广泛地用来传递运动和动力。齿轮传动除传递回转运动外，也可以用来把回转转变为直线往复运动。因此，正确判断齿轮传动受力方向、齿轮旋转方向以及齿轮轴受力方向很重要。 2 常见齿轮传动的类型 直齿圆柱齿轮传动、斜齿圆柱齿轮传动、直齿圆锥齿轮传动、蜗轮蜗杆传动等。 3 齿轮传动的径向力、圆周力和轴向力 齿轮转动时根据齿轮传动的类型，会产生径向力、圆周力或轴向力。径向力由啮合点指向齿轮回转中心的力，也就是沿直径方向的力。常用Fr表示。圆周力是啮合点处沿圆周方向的力，也就是啮合点处沿切线方向的力。也称为切向力。一对啮合传动的齿轮副中，主动齿轮圆周力的方向与该点的线速度方向相反，从动齿轮圆周力的方向与该点的线速度方向相同。用Ft表示。轴向力就是沿着齿轮轴向方向的力。其方向由齿轮的旋向及回转方向共同决定。用Fa 表示。 4 常见齿轮传动的受力分析 4.1直齿圆柱齿轮传动受力分析 如图1所示，一对直齿圆柱齿轮传动，如果齿轮Z1是主动轮，其旋转方向是逆时针，其受力分析如图1。 （1）分力方向 径向力Fr:由啮合点指向各自齿轮的回转中心（齿轮轴线）。Fr1与Fr2方向相反。圆周力Ft:主动轮所受圆周力与啮合点处切向速度方向相反（阻力）；从动轮所受圆周力与啮合点切向速度方向相同（动力）。直齿圆柱齿轮传动轴向力Fa:无。 （2）分力大小 根据共点力系平衡原理，有：Fr1=－Fr2，Ft1=－Ft2，无轴向力。 4.2 斜齿圆柱齿轮传动受力分析 （1）齿轮轮齿旋向判别 正确判别斜齿圆柱齿轮轮齿旋向是进行齿轮受力分析以及判别齿轮旋转方向的基础。旋向问题，还有蜗轮、蜗杆以及螺纹等。笔者把有关旋向问题统一归纳成“八”字法。即“轴线放水平，旋向看八字”，所谓“八”字法就是：让要判别的齿轮、蜗轮、蜗杆及螺纹的轴线水平，齿线（螺旋线）的倾斜与八字的笔画比较，是左笔画就是左旋，右笔画就是右旋。(或者沿着齿轮轴线的方向看，哪边的螺旋线高，就是相应的旋向，即如果沿着齿轮轴线的方向看，左边的螺旋线高，则该齿轮为左旋，否则，为右旋。) 需要注意：斜齿轮左右旋配对用，蜗轮蜗杆齿旋同向走。（一般在题目中只给出一个齿轮或蜗杆的旋向） （2）左右手螺旋法则 已知斜齿轮（或蜗轮、蜗杆）轮齿的旋向及齿轮旋转方向，用左右手螺旋法则判断斜齿轮（或蜗轮、蜗杆）的受力方向。方法：主动齿轮轮齿右旋，伸右手，四指绕轴并指向与齿轮回转方向一致，大拇指指向为齿轮所受轴向力方向。从动齿轮所受轴向力方向与主动齿轮轴向力方向相反。 （3）斜齿圆柱齿轮受力分析高考物理复习专题演练专题三受力分析共点力的平衡
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