第四章 质点组动力学
【解题演示】
4.1在一半径为r 的圆圈上截取一段长为s 的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。
解：如右图所示建立坐标系 。则：02s r
θ= 设c c c r x i y j =+ 有：
222
02
022*******
0022sin cos cos 0
cos sin 22sin sin sin
2s s c s s s s c s s r ds r d r x s
s
ds r ds r d r r r s
y s
s s s r
ds
θθθθ
ηθθθθθηηθθθθθθη-----
---=
=
==-=
=
===-??
????
则质心位置为22(0,
sin )2r s
s r
距顶点o '的位置为2(1sin )2c r s r y r s r -=- 4.2求出半径为r 的匀质半球的质心位置。
解：如右图所示，取一截面元与底面相距sin d θ，则其质量： 2(sin )(sin )m d r d r ρπθθ=
则：质心与底面距离22
03(sin )(sin )
23
m
m
didm r r d r d m
r π
θρπθθρπ=
=
??
2224203313cos sin (sin sin )224428
00
r r r d π
ππ
θθθθ==-=?
4.3两只质量均为m '的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为m 的人自第一
只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。
解：人在两船运动为人与船组成系统的内部作用，故此系统动量守恒， 有： 12()0m m m υυ''++= 得：
12m m m υυ'=-'
+ 4.4一船以速度υ 前进，船上某人以相对速度u
向船头抛出一质量为m 的铁球。已知船和人的总质量是m '。求人抛掷铁所作的功W 。
解：同上题。动量守恒得：()()m u m m m υυυ''''++=+
得：m u m m υυ''=-'
+
系统前后能量变化： 222111()()222
E m m u m m υυυ''''?=
++-+ 2222111()()()222
2()
m u m u m m m m m m m m mm u m m υυυ''''=-++-+''++'=
'+
即：人做功2
2()
mm u W m m '='+
4．5一质量为3m 的粒子爆炸成质量相同的三小块。其中两块的飞行方向相互垂直。它们的速率分别是2υ和3υ。求出第三块的速度和动量的大小。
解：设三块的速度分别为123,,υυυ 且：122,3.i j υυυυ==
则依动量守恒 ：1230m m m υυυ++=
得：31233(),23p m m i m j υυυυυυ=-+==--
则：223(2)(3)13p m m m υυυ=+=
4.6重量为W 的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔了的重量是P 。大小楔子的水平边长分别为a 和b 。小楔子自大楔子顶部静止下滑，求小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子分别移动了多少距离？
解：依图设大小楔子水平位移分别为,W P x x
且依水平方向动量守恒：
0W P
Wx Px += 对其积分得：0W P Wx Px += 且有()W P x x b a i -=-
代入上式得：(),()W P P W x a b i x a b i W P W P
=-
-=-++ 5.7一炮弹以仰角α发射，速率为υ
，当炮弹达到最高点时，爆炸成质量分别为1
m 和2m 的两块弹片。已知火药爆炸的能量是E 。爆炸后的瞬时，两弹片仍沿原方向飞行。求两弹片落地时相隔的距离s 。 解：炮弹从空中降下的时间sin t g
υθ
=
，在最高点处沿飞行方向动量守恒。 设
12,m m 炸后的速率分别为12,υυ。 则有：112212222
112212()cos 111()(cos )222
m m m m E m m m m υυυα
υυυα+=+???=+-+??
可解得：1212122()m m E m m υυυ+=-=
则：1212
2()
sin m m s t E g
m m υθ
υ+==
4.8．重量为W 的人，手里拿着一个重量为w 的物体，以与地平线成α角度的速度0υ
向前跳出。当他达到最高点时，将手中的物体以速率u 向后抛去。问抛出物体后，人向前跳的距离增加多少？ 解：（同理）设抛去w 后，人的速率变为υ'，由于最高处水平方向动量守恒得：
0()()cos w u W w W υυυα''-+=+ 解得：0cos wu
w W
υυα'=+
+ 故人向前增加的距离：000sin sin cos ()wu s t g
w W g
υθ
υθ
υυυα'==
-=
+
4.9．质量为m 的物体沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的质量为m '倾角为θ，
置于光滑水平面上。求（1）物体水平方向的加速度m x ；（2）劈的加速度p x
；（3）劈对物体的反作用力1F 和水平面对劈的反作用力2F 。
解：如右图所示，建立各方向矢量，设劈与物体间的与反作用力为11,F F '
， 则： 1111sin sin ,m m F F F F x i i x i i M M m m θθ''==-==''''
1* 则物体相对于尖劈的水平加速度：1sin x m M m m a x x F mm θ'
+=-='
在z e
方向上，物体受1F ⊥ 与mg 的作用：(cos )cos F F g g m m
θθα⊥-=+=- 依几何关系：1cos ()tan (sin )x
F g m m m a F mm θαθθ⊥-==
'+' 解得：1cos sin n mm g F e m m θθ'='+ 代入1*式可得：1212sin cos sin sin sin cos sin sin m M F m g x m m m F mg x m m m θθθθθθθ
θ'==
'+=-=-
''+ 水平面对劈的反作用力21()cos ()z z F m g e F e θ''=-+- 22cos ()sin z m g m g e m m θθ
''=-+'+
2
()sin z m m mg e m m θ
'+=-
'+
4.10．质量为m '，半径为r 的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。一质量为m 的质点沿此半球面下滑。设质点跟球心的连线与铅直轴之间的夹角为θ。已知
初始时系统是静止的，θα=求当θβ=时，θ 的值。
解：如右图所示，质点m 相对于半球的速度u r θ=?
满足：
cos sin x y u r e u u r i r j τθθθθθ==+=+ x m m u x x '
=- 在水平方向动量守恒，联立能量守恒得
22011()()(cos cos )22
m m
m m m x mx m x m x mg r αθ''?'+=??'+=-??
可解得：22
2()(cos cos )(sin )
g m m r m m αθθθ'+-='+ 则：22()(cos cos )
(sin )
g m m r m m θβ
αθθθ='+-=
'+
4.11．质量为m 的小珠A 能在一水平光滑的滑轨上滑动。另有一质量也是m 的质点B 用无弹性的轻绳与A 联结，质点B 可以铅垂平面内摆动。已知绳长为2l 。初始时系统静止，绳与铅直线间的夹角为θα=。证明：当夹角θβ=时，有
22
(cos cos )
2(2cos )
g l θβαβ-=
- 解：证明，如右图所示。知：2cos 2sin A B l i l j υυθ
θθθ-=-+ 水平方向动量守恒：(2cos )0A A m m l υυθ
θ+-= 得： cos *A l υθ
θ=- 又依能量守恒： 22211[(2cos )(2sin )]2(cos cos )22
A A m m l l mgl υυθ
θθθαθ+-+=- 代入*得：2
22(cos cos )(sin 1)g l αθθθ-=+ 得：
22(cos cos )
2
(2cos )
g l θβ
θβαβ=-=
-
4.12．在光滑水平桌面上，有两个质量都是m 的质点，用长为l 的不可伸长的轻
绳联结。今在其中一个质点上作用与绳垂直的冲量I
求证此后这两个质点分别作
圆滚线运动，且它们的能量之比为2cot (
)2It
lm
，其中t 为质点运动时间。 证明：如右图。由于水平光滑，依质心定理与解动量守恒得：
222
c m I l m I υθ=???=?? 得：2c I m I ml
υθω?
=
????==??
12*
* 分析可知：(cos )sin 222(cos )sin 222
A A c
c B B c c
l l l e j j i l l l e j j i ττυθυυωθωθυθυυωθωθ?=+=++????=+=--??
则
12
2
2222
**2222222
22
2
[(1cos )sin ](cos )(sin )422
cot cot ()cot ()222(cos )(sin )[(1cos )sin ]22
4c A B c
I l l
T t It m l l I T lm m θθυωθωθθθυωθωθθθ++++==
===-+-+ 代入 即两质点间的能量之比为2cot (
)2It
lm
。 4.13．质量为m 的小环，穿在质量为m '的光滑圆圈上，此体系静止地平放在光
滑的水平桌面上。今若突然使小环沿圆圈的切线方向有一速度0υ
。试证明圆圈将
不发生转动，而圆心则绕体系的持赠作等速圆周运动。
证明：设圆圈半径为r ，以质心C 为坐标原点建立坐标系xcy ，如右图所示，且
依质心定理有,m m m m m m
x x y y m m ''=-
=-''
。 由于冲量作用在圆圈切线方向，故：0C υ=。即质心不动。
当,m m '绕转过θ时，有：cos sin m m m
m x x r y y r θθ''-=??-=?并代入m m m m
m
x x m m y y m ''?
=-??'??
=-
?'? 得：cos sin m m m x r m m m y r m m θθ''?
=-??'+??=-?'+?
得：222(
)mr x y m m
+='+ 即圆圈中心C 作圆周运动。
由于小环动时不受切向力作用，故：02mm r I m m m υθ'==
'
+
而：sin cos m x r m m m y r m m θθθθ
?=??'+?
?=-?'+?
得：2
2
2mr I
x y const m m m θυ=+===''
+ 圆心
即得：为匀速圆周运动，而依动量守恒知圆圈无转动。
4.14 一长为2l 的匀质链条，县挂于钉在墙上的光滑钉子上。开始时，挂在钉子两边的链条长度相同，处在平衡状态，后因微小扰动，链条自一边滑下。耱在链条完全脱离钉子的时刻，链条的速度大小。
解：依机械能守恒可得：0V T += 22mg mgl V l =-=- ，
21
02
T m υ=- 故：V gl =
4.15长为l 的匀质链条，伸直地平放在光滑水平桌面上，链条与桌面的边缘垂直。
初始时，链条的一半从桌面下垂，链条的一半从桌面下垂，但处在静止状态。求此链条的的末端滑到桌子边缘时，链条的速度大小。
解：同上题：33428mg mgl V l =-=- ，212T m υ= 得： 1
32
V gl =
4.16质量为m 面积为S 的圆盘，盘心受一与平面垂直的恒力F
的作用，同时有一股体密度为ρ的尘土以恒定的速度u
迎面而来，与盘面相遇的尘土皆粘于盘面
上。已知圆盘的初速度为零。求t 时刻圆盘的速度及圆盘移动过的距离。
解：取F 方向为n e ，即：n F Fe =
，n u ue =- 则依变质量动力方程：
()d dm m u F dt dt υυ''--= 得：1()*d dm m u F dt dt
υυ''++= 而：2()*dm S u dt ρυ'=+ 求导得：2321*d d m dt S dt
υρ'
= 将23**代入1*得：22
21()m d m dm F S dt S dt
ρρ'''+=
可化为：21[()]2dm d dt SF dt
ρ'= 积分并代入初始条件得：2
()()dm S Ft mu dt
ρ'=+ 再积分得（并代入0t =时，m m '=）：222m SFt m Sut m ρρ'=++
代入2*式可得：(
)n Ft mu u e m υ+=-'
000111
()()t
t
t dm d dt u dt dm ut m m ut S dt S S
υρρρ'''==-=-=--???
动力学 第十五章拉格朗日方程 在第十三章中曾经指出，根据达朗伯原理可以把动力学问题化成静力学问题的形式来处理，在第四章中讨论的虚位移原理是任意质点系平衡的普遍原理。本章中我们首先将这两种原理结合应用得到动力学普遍方程，然后将其用广义坐标的形式表示，推导出更便于求解非自由质点系动力学问题的拉格朗日方程。 第一节动力学普遍方程 设一运动着的质点系，其中第i个质点的加速度为a i，质量为m i，依达朗伯原理在每一瞬时作用在该质点上的主动力F i，约束力F Ni以及假想加在质点上的惯性力F Ii= －ma i 组成平衡力系，即 F i + F Ni+ (－ma i) = 0 (i=1，2，…，n) 应用虚位移原理，给质点系任一组虚位移δr i (i=1，2，…，n)，则质点系上所有主动力，约束力和惯性力在这虚位移中作的元功之和应等于零。于是可得 假定质点系所受的约束是理想约束，则所有约束力在虚位移中的元功之和恒为零，于是上式可写成 (15-1) 如用直角坐标系，式（15-1）可写成 (15-2) 式中分别是和在直角坐标轴上的投影。 式（15-1）和式（15-2）称为动力学普遍方程，这一方程表明:具有理想约束的质点系运动时, 在任一瞬时，作用于质点系的所有主动力和惯性力在任一虚位移中所作元功之和等于零。 下面举例说明这一方程的应用.
第二节拉格朗日方程 由上节可知动力学普遍方程是不包含理想约束力的动力学方程组，这是它的优势所在，但是由于在虚位移计算中采用非独立的直角坐标，从而对确定的动力学系统所得到的方程一般不是最少的。本节所介绍的拉格朗日方程是动力学普遍方程的广义坐标形式，所得到的方程组中方程的个数最少。在推导拉格朗日方程之前首先证明两个恒等式： (15-3) (15-4) 式中n，N分别是质点系中质点的个数和质点系的广义坐标数。若质点系受到s个理想完整的约束则有N=3n-s；是第i个质点的位矢，它是广义坐标q i和时间t的函数，即 证明式（15-3）：将对时间求导得 (15-5) 式中广义坐标对时间的变化率称为广义速度，注意到和只是广义坐标和时间的函数，因此式(15-5)对第j个广义速度取偏导数，便可证得式(15-3)。 证明式（15-4）：将式(15-5)对某一广义坐标求偏导数，得 因为是广义坐标和时间的函数，将其对时间求导数，得
第十章 质点动力学基本方程 10-3 半径为R 的偏心轮绕O 轴以匀角速度ω转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。导板顶部放有一质量为m 的物块A ，设偏心距e OC =，开始时OC 沿水平线。求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω最大值。 解：建立如图所示直角坐标系Oxy ，导板与物块均沿y 轴线作直 线运动，导板作平动，其运动规律为 t e R y ωsin += 对时间求二阶导数得 t e a y ωωsin 2-= 物块A 受重力m g 和导板的约束反力N F 作用如图)a (。 物块对导板的压力与N F 等值、反向、共线。由图(a)得物块A 的运动微分方程在y 轴的投影式为 ) sin (2N N t e g m F ma mg F y ωω-==- 1）物块对导板的最大压力 )(2N ωe g m F += 2）要使物块不离开导板，则应有 0)(2min N ≥-=ωe g m F 即 2ωe g ≥ 故 e g =max ω 10-7 销钉M 的质量为0.2 kg ，水平槽杆带动，使其在半径为mm 200=r 的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速mm/s 400=v 向上运动，不计摩擦。求在图示位置时圆槽对销钉M 的作用力。 解：以水平槽为动系，速度分析如图)a (，v v =e 3 24.02 330cos e a ?==?=v v v 受力与加速度分析如图(b)， 2222a n m/s 07.132.044.04 3=??=?==r v r v a M r t n a a a =+M M 向铅直方向投影，得 2t n 2 n t t n m/s 23.13079.09238.030sin 30cos m/s 616.03 30cos 30sin =+=?+?====?-?M M Mx M M M M a a a a a a a 设水平槽对M 的反力为F N ，圆槽对M 的反力为F ，则
质点和质点系动力学习题课 例： 1m ，2m ，l ，相互作用 符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时 V 2V 两质点的速度 1m 2/l 2m 解：02211=-V m V m 2/21212 122221121l m m G V m V m l m m G -+=- l m m G m V )(22121+=，l m m G m V )(22112+= 例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统 （A ）动量与机械能一定都守恒 （B ）动量与机械能一定都不守恒 （C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒 （D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒 例：恒力F ，1m 自平衡位置 由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A
解：A B 系统受水平方向合外力 k F x kx F /0=?=- k F Fx A F /2== 222121)(21kx V m m A F ++=， ) (21m m k F V += =T A 2 1212221222121m m m m k F kx V m ++=+ 例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m 求：抛掷物体后，三艘船的速度？ 解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =?+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统 1)()(V M m V u m MV +=++，m M mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统 3)()(V M m V u m MV +=+-+，m M mu V V +-=3
理论力学Theoretical Mechanics -----课程目的、要求和主要内容 课程编号：学分：4学时：80先修课程：力学、高等数学替代课程：无 一、课程目的要求： 理论力学主要研究宏观物体在低速机械运动过程中的物理规律，是物理系学生第一次用高等数学方法处理物理学问题的一门专业基础课程，也是学生学好其它理论物理课程的基础。通过本课程的学习，学生不仅应该掌握课程中涉及的各种物理定律，而且要学会应用这些定律解决一般的力学问题，从而培养物理研究中所必需的理论思维能力。 要求学生在学习本课程前应完成了《高等数学》、《力学基础》课程的学习。本课程为考试课程。 二、课程主要内容： 第一章质点力学：在不同的坐标系下对质点运动的描述方法；从运动学方程出发任意时刻质点的速度和加速度；平动参照系下的相对运动描述；质点运动定律（牛作用顿三定律）；质点微分运动方程的建立和求解；变力对质点所作的功与机械能的变化，质点动力学的基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）及其对应的守恒定律；有心力场下质点的运动轨迹；万有引力下的行星运动。 第二章质点组动力学：质点组的质心定义和计算；质点组的动量定理及动量守恒定律；质点组动量矩定理及动量矩守恒定律；质点组动能定理及机械能守恒定律；相对于质心的动量矩定理和动能定理；两体问题；在质心坐标系和实验室坐标系下对散射问题的描述；变质量物体的运动。 第三章刚体力学：刚体运动的分析；角速度矢量；使用欧勒角描述刚体的
运动；刚体运动方程与平衡方程；刚体的转动惯量；刚体的平动和绕定轴的转动；刚体的平面平行运动；刚体绕固定点的转动；重刚体绕定点转动的解——欧勒情况。 第四章转动参照系：平面转动参照系下对质点运动的描述；空间转动参照系下对质点运动的描述；非惯性系动力学问题；地球自转所产生的宏观力学效应。 第五章分析力学：约束与广义坐标；虚功原理；拉格朗日方程的推导和应用；微小振动问题；哈密顿正则方程及其运用；哈密顿原理及其运用。 三、教学方式： 以讲授为主，结合习题分析进一步加强学生对概念的理解和解决问题的能力，加强平时的考查，除了交习题本外经常有课堂提问，测验，以改变学生平时不专心听课，不复习，而期末突击的坏风气。期中和期末之前再集中对所学内容进行总结和复习。 四、主要教学参考书： （1）《理论力学基础教程》，胡慧玲等，（1986），高等教育出版社。 （2）《理论力学疑难及易混问题分析》，贾玉江等，（1987），东北师大出版社，（3）《力学》（上），梁昆淼，（1965），高等教育出版社。 （4）《力学》（下），梁昆淼，（1981），人民教育出版社。 （5）《分析力学基础》，梅凤翔等，（1987），西安交通大学出版社。 五、考核方式及要求： 平时占20％（包括平时作业和上课回答问题、测验），期中考试占30％，期末考试占50％。 六、教学大纲（周历）： 第一周：绪论部分：理论力学的理论结构和学习方法；
《理论力学D》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 《理论力学D》是针对“材料物理”专业本科生在二年级（第一学期）设置的专业基础课，课堂教学（其中包括课堂讲授、习题课、讨论课等）每周3学时（总学时54学时），计3学分。 （二）课程简介、目标与任务； 《理论力学》又称“经典力学”，是研究宏观物体做低速机械运动基本规律的科学，其主要内容由“牛顿力学”和“分析力学”构成。“牛顿力学”是最早发展起来的学科之一，十七世纪末，牛顿在前人工作的基础上总结出了物体运动的三个基本定律，奠定了牛顿力学体系的理论基础。力学与人们的感性经验密切联系，直观形象而易于被人们所理解和采纳。微积分等数学工具的发展和广泛应用更是有力地推动了这一学科的发展。但牛顿力学几乎都以力F为基础，因此它的应用只局限于纯力学问题的范畴，运算也比较繁琐。 十八世纪伯努利、达朗贝尔、欧勒、拉格朗日等人先后发展了经典力学的分析形式，这是力学史上的一个新的里程碑。拉格朗日于1788年发展的名著“分析力学”对此作了全面的总结，从此建立了经典力学的拉格朗日形式。它用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力，并且由于能量对任何物理体系都有意义，因此力学的研究和应用范围也相应地拓展到整个物理学。十九世纪三十年代，哈密顿又推广了分析力学，将力学体系的变量从空间坐标扩大到相应的动量，这就使力学理论完全适应了整个物理学发展的要求，对物理学的发展起到了重要的推动作用。 由于分析力学理论形式简洁且富有公理特性，很容易被推广应用到其他学科中去，因此在理论物理中占有重要的地位。 经典力学在近两个世纪前就已发展成一门理论严谨体系完整的学科。作为理论物理学的第一门课程，它的任务不仅是介绍物体的机械运动规律，还要引导学生如何应用数学去描写和分析物理问题，训练学生使用最严谨的方式去表达、描写、推演、总结自然规律，帮助学生建立唯物主义的观点，提高学生的科学素质。为进一步学好其他物理学的课程打好坚实的物理基础。需要进一步强调说明的是，近几十年来随着非线性系统研究的发展，力学系统混沌行为的逐渐揭示为古老的经典力学注入了新的活力。现在对非线性系统的研究已超过了力学学科，扩展到物理学的各个领域，甚至超过了物理学，而成为许多理工学科以至一些人文学科的共同课题。因此在原来的理论力学课程中应适当加入关于非线性系统讨论的内容，这也已成为这一课程进一步发展革新的必然趋势。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 《理论力学》课程要求修课学生先期掌握基本的微积分、常微分方程、矢量代数等
第一章分析力学基础 1-1 试分析图示两个平面机构的自由度数。 1-2 广义力都具有力的量纲吗?广义力与广义坐标有什么联系? 1-3 放置在固定半圆柱面上的相同半径的均质半圆柱体和均质半圆柱薄壳，如图所示。试分析哪一个能稳定地保持在图示位置。 1-4动力学普遍方程中应包括内力的虚功吗? 1-5如研究的系统中有摩擦力，如何应用动力学普遍方程或拉格朗日方程? 1-6 试用拉格朗日方程推导刚体平面运动的运动微分方程。 1-7 推导拉格朗日方程的过程中，哪一步用到了完整约束的条件 ? 第二章非惯性系中的质点动力学 2-1根据非惯性系下的动力学基本方程，小球在变速运动的车厢中自由降落时受有牵连惯性力，飞机在高空飞行时受有科氏惯性力。试分析这两个惯性力的反作用力作用在哪？牛顿第三定律对它们成立吗？ 2-2对固结在变速运动的列车上的参考系来说，地面上静平衡的物体并不平衡，而随列车一起运动的物体却是平衡的。试从这一点出发说明惯性力的相对性，并说明惯性力的虚加性与真实性。 2-3在质点相对运动中，下述哪些说法是正确的？ （1）若，则必有。 （2）若，则必有。
2-4 某人水平抛出一球，如果考虑科氏惯性力，则在下述情况下，由抛球的人看来，球的路径会偏向不考虑科氏惯性力时路径的右面还是左面？（1）在北半球水平抛出；（2）在南半球水平抛出；（3）在南极和北极水平抛出。 2-5 在惯性系中，质点系的动能为。其中m 为质点系的总质量，为质心速度，为相对于质心坐标系（即以质心为基点的平移坐标系）的动能。称上式为柯尼希定理。试利用柯尼希定理导出质点系相对于质心坐标系的动能定理。 第三章 碰撞 3-1 两球 的质量分别为,开始时不动，以速度撞于。设恢复因数e =1，问在三种情况下，两球碰撞后将如何运动? 3-2 碰撞过程中可以应用冲量矩定理，为什么一般情况下不便于应用动量矩定理的积分形式? 3-3 为什么弹性碰撞时不应用动能定理；当恢复因数e =1时是否可以应用? 3-4 在不同碰撞情况下，恢复因数是如何定义的；在分析碰撞问题中，恢复因数起什么作用? 3-5 击打棒球时，有时震手，有时不感到震手，这是为什么? 3-6 定轴转动刚体上受碰撞力作用，为什么轴承处也会产生碰撞力?如果转轴恰好通过刚体的质心，能否找到撞击中心? 3-7 均质细杆，质量为m ，长为l ，静止放于光滑水平面上。如杆端受有水平并垂直于细杆的碰撞冲量，求碰撞后杆中心的速度和杆的角速度。欲使此杆某一端点碰撞结束瞬时 的速度为零，碰撞冲量应作用于杆的什么位置? 第四章 机械振动基础 4-1 如图所示装置，重物M 可在螺杆上上下滑动，重物的上方 和下方都装有弹簧。问是否可以通过螺帽调节弹簧的压缩量来调节 系统的固有频率? 4-2 如图所示的水平摆和铅垂摆都处于重力场中，杆重不计， 摆长l 、弹簧刚度k 以及摆锤质量m 都是相同的。试问两个摆微幅 摆动的固有频率是否相同？如果二者都脱离了重力场，其固有频率 是否相同？又如图中的弹簧方向都与摆杆垂直，假设弹簧与摆杆成 角连接，其固有频率 有什么不同? '212T mv T C += C v 'T I
第四章 质点组动力学 【解题演示】 4.1在一半径为r 的圆圈上截取一段长为s 的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。 解：如右图所示建立坐标系 。则：02s r θ= 设c c c r x i y j =+ 有： 222 02 022******* 0022sin cos cos 0 cos sin 22sin sin sin 2s s c s s s s c s s r ds r d r x s s ds r ds r d r r r s y s s s s r ds θθθθ ηθθθθθηηθθθθθθη----- ---= = ==-= = ===-?? ???? 则质心位置为22(0, sin )2r s s r 距顶点o '的位置为2(1sin )2c r s r y r s r -=- 4.2求出半径为r 的匀质半球的质心位置。 解：如右图所示，取一截面元与底面相距sin d θ，则其质量： 2(sin )(sin )m d r d r ρπθθ= 则：质心与底面距离22 03(sin )(sin ) 23 m m didm r r d r d m r π θρπθθρπ= = ?? 2224203313cos sin (sin sin )224428 00 r r r d π ππ θθθθ==-=? 4.3两只质量均为m '的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为m 的人自第一 只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。 解：人在两船运动为人与船组成系统的内部作用，故此系统动量守恒， 有： 12()0m m m υυ''++= 得： 12m m m υυ'=-' + 4.4一船以速度υ 前进，船上某人以相对速度u 向船头抛出一质量为m 的铁球。已知船和人的总质量是m '。求人抛掷铁所作的功W 。 解：同上题。动量守恒得：()()m u m m m υυυ''''++=+ 得：m u m m υυ''=-' +
第八章 质点系动力学：矢量方法 一、动量定理和动量矩定理 1 动量定理 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即 ∑==n i i i m 1 v p 质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢： ) e (R d d F p =t ， ∑=e )e (R i F F 质点系动量定理的微分形式： t d d ) e (R F p = 质点系动量定理的积分形式 t t t d , 2 1 ) e (R )e ()e (12?==-F I I p p ， 其中) e (I 为外力系主矢的冲量。质点系的内力不能改变其总动量。 质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒， 即 0p p = 该常矢量由质点系运动的初始条件确定。 质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为 ()()()()()()∑∑∑=========n i iz Rz z n i iy Ry y n i ix Rx x F F p t F F p t F F p t 1 e e 1e e 1e e d d ,d d ,d d ， 如果0) e (R =x F ，则0x x p p =。 解题要领 1） 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也 不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速度关系问题经常用动量定理. 2） 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度. 3） 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔. 4） 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式. 5） 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程. 2 质心运动定理 质点系的动量等于质心的动量 C n i i i mv m ==∑=1 v p ， 质心运动定理
宝鸡文理学院《理论力学》教学大纲 第一部分说明 一、课程的性质 《理论力学》是为物理专业学生开设的专业基础必修课，在教学培养计划中列为专业平台课，是在普通物理力学课的基础上，运用高等数学工具，全面系统阐述宏观机械运动的基本概念和基本规律的学科。 二、课程目标 通过该课程的教学，使学生对经典力学的基本内容有较完整的认识，并能掌握处理力学问题的一般方法，为学习后继的理论物理课程打下较坚实的基础，并培养学生具有一定的抽象思维能力与严密的逻辑推理能力。同时，在本课程学习中结合运用数学工具处理问题，使学生认识数学与物理的密切联系，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力。 三、课程教学内容 该课程主要讲授质点力学、质点组力学、刚体力学、非惯性系动力学、分析力学等内容。 四、教学方法与手段 1）根据少学时课程的特点，着重处理好课时少、内容多之间的矛盾，着重于思想
方法、基本概念、基本理论、基本应用、物理意义等内容。 2）针对理论力学课程运用数学工具过多、数学推导较多的特点，对繁杂的数学推导与运算，尽量要理清思路。为避免学生掉入数学的汪洋大海、忽视问题的物理本质的倾向，要特别注重数学方法的提炼和物理问题的说明。 3）做好该课程与力学课程的衔接，尽量利用学生已掌握的力学基础和数学知识，力求避免与力学课程的不必要的重复。 4）针对理论力学方法较为抽象的特点，注重理论力学与矢量力学的比较与对应，注重理论力学的不同方法之间的比较与对应。 5）采用研究型教学法，注重培养学生的提出问题、分析问题、解决问题的能力。 6）把潜科学的思想方法融入课程的教学，注重理论与方法的潜科学特征、潜科学形态，注重各知识点的演进机制与过程。 7）应用传统教学，注重推导与演绎，增强学生的逻辑思维能力和理论推导能力。 第二部分基本内容 第一章质点力学 [教学目标]能够根据质点的已知运动和几何关系，熟练写出质点运动学方程；掌握质点运动学两类问题的求解方法以及已知质点的运动方程或运动情况，求质点的轨迹；掌握建立质点运动微分方程的方法；熟练掌握求解常见、常用质点运动微分方程的方法；理解与质点动力学有关的基本概念；掌握质点动力学基本定理的内容，并能熟练判断质点是否遵从守恒定律；掌握运用质点动力学基本定理解题的方法；掌握质点在有心力场中的运动的基本性质，并能以此为出发点分析和解决问题。 [教学重难点]质点动力学有关的基本概念的理解、质点运动微分方程的建立及求解。[教学方法]讲授、习题课 [教学时间]10课时 [教学内容] 第一节运动的描述 第二节速度、加速度的分量表式
第2章 质点和质点系动力学（复习指南） 一、基本要求 掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题. 掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点. 二、基本内容 1．力、常见力 力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力 万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为 r e r m m G F 221 -= 2211kg m N 1067.6--???=G 引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比. 重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心. g m P = 222E E kg m N 80.9-??==R Gm g （2）弹性力 发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关. 弹簧弹力：kx F -=，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力 两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力. 滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N 成正比， N f μ=，f 的方向与相对滑动方向相反. 静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即 max 000f f ≤≤ 最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体
第四章 分子动力学方法
§4.1 分子动力学方法
第四章 分子动力学方法
分子动力学（Molecular Dynamics，简称MD）是模拟大量粒子集合体系（固 体、气体、液体）中单个粒子的运动的一种手法，其关键的概念是运动，即要计 算粒子的位置、速度和取向随时间的演化。分子动力学中的质点可以是原子、分 子、或更大的粒子集合，只有在研究分子束实验等情况下，粒子才是真正的分子。 与“分子动力学”相类似的名词还有“晶格动力学”（研究固体中原子的振动）和 “分子力学”（分子结构的量子力学），而分子动力学限于模拟经典粒子的运动。
分子动力学简单来说就是用数值方法求解经典力学中的 N 体问题。自 Newton时代起， N 体问题就被认为是很重要的物理问题，解析求解或质点轨道 的混沌分析是数理力学中的关注点。但时至今日，该问题重要性的原因已经进化 成，将单粒子动力学与系统的集体状态相联系，人们试图通过考察单个粒子的运 动来解释大量粒子集合系统的行为。例如，绕过一物体的流体是怎样产生湍流尾 迹的？蛋白质分子中的原子是怎样相互运动从而折叠成生命支撑形态的？流体 气旋怎样产生如木星上的大红斑那样的长寿旋涡的？溶液中的长链分子怎样自 组装成一些特殊结构？等等。因此，分子动力学在凝聚态物理、材料科学、高分 子化学和分子生物学等许多研究领域都有广泛的应用。
§4.1 分子动力学方法
4.1.1 基本概念
4.1.1.1 分子动力学
分子动力学现已成为分子尺度上模拟的典型方法之一。它起源于上世纪50 年代，在70年代中开始受到广泛关注。分子动力学源于自Newton时代以来的古 老概念，即只要知道了系统组分的初始条件和相互作用力，整个系统的行为就可 以计算出来并可以预测。该自然的决定性力学解释长期左右了科学界。Laplace 于1814年曾写到：“Given for one instant an intelligence which could comprehend all the forces by which nature is animated and the respective situation of beings who compose it-an intelligence sufficiently vast to submit these data to analysis-it would embrace in the same formula the movements of the greatest bodies of the universe and those of the lightest atoms; for it, nothing would be uncertain and the future, as the past, would be present to its eyes”（现在的 分子动力学模拟中， Laplace的 “intelligence”由计算机实现，“respective situation”即为给定的一组初始条件， “same formula”为算法程序）。但是，对于决定性力学体系，仍然不是一切都可 以预测的，这主要是由于体系中物体间的非线性相互作用造成的。最近的非线性 动力学已经将决定性与可预测性概念分开：决定性就是体系有因果联系于输入条 件的输出情形；可计算性就是在决定性体系中，有算法使得我们一旦知道输入条
4－1
第四章 质点系动力学 §4.1 质点系及其基本性质 10、质点系 所谓的质点系就是由若干个质点构成的系统。 20 、外力与内力 质点系内部质点间的相互作用力称之为质点系的内力，而质点系外部对质点系某个质点的作用力称之为质点系的外力。 30、内力的性质 (1)、内力之和为零 如图4.1，设质点系由n 个质点组成，质点系内部第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而由牛顿第三定律，第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f ，并且有 0=+ji ij f f (4.1.1) 若假设第i 个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力之和为 ∑ ≠== n i j j ji i f f 1 (4.1.2) 由于质点系内部质点间的作用力总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力之和就为 01 11 == = ∑∑ ∑ =≠==n i n i j j ji n i i f f f (4.1.3) 即质点系的内力之和为零。 (2)、内力矩之和为零 同样如图4.1，设第i 个质点相对于某一参考点o 的位置矢量为i r ，它受到的第j 个质点的作用力为ji f ，其力矩为 ji i ji f r J ?= (4.1.4) 而第j 个质点相对于参考点o 的位置矢量为j r ，它受到的第i 个质点的作用力为ij f ，其力矩为 ij j ij f r J ?= (4.1.5) 二者之和为 ij j ji i ij ji f r f r J J ?+?=+ ji f i r ij r ij f j r o 图 4.1， 第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f 。
Page 1 of 2 Created by JiangFang, School of Technology, BJFU （a ） （b ） （c ） x O 第十章 质点动力学的基本方程 自测题 1. 判断正误 （1）只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬时的运动状态就可以确定。 （ ） （2） 一个质点只要有运动，就一定有力的作用，而且运动方向就是它受力的方向。 （ ） （3）在同一地点、同一坐标系内，以相同大小的初速度0v 斜抛两质量相同的小球，若不 计空气阻力，则两者的运动微分方程一定相同。 （ ） （4）质点受到的力越大，其运动的速度就越大。 （ ） （5）在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保 持静止或匀速直线运动状态。 （ ） 2. 选择题 （1）求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来 。 A ．分析力的变化规律 B. 建立质点运动微分方程 C. 确定积分常数 D. 分离积分变量 （2）三个质量相同的质点，在相同的力F 作用下。若初始位置都在坐标原点O （如图所示），但初速度不同，则三个质点的运动微分方程 ， 三个质点的运动轨迹 。 A ．相同 B. 不同 C. 无法确定 （3） 距地面高为H 的质点M ，具有水平初速度0v ，则该质点落地时的水平距离l 与 成正比。 A ． H B. C. 2 H D. 3 H
Page 2 of 2 Created by JiangFang, School of Technology, BJFU x O （4）一铅垂上抛的小球，可视为质点，已知质量为m ，空气阻力v R k ?=(k 为常数)，则对图示坐标轴Ox ，小球的运动微分方程为 。 A. x k mg x m &&& ?= B. x k mg x m &&&??= C. x k mg x m &&& +?= D. x k mg x m &&&+= （5）如图，已知A 物重20N ，B 物重30N ，不计滑轮C 、D 的质量，并忽略各处的摩擦，则绳水平段的拉力为 。 A. 30N B. 20N C. 16N D. 24N 3. 填空题 （1）质量为10kg 的质点，受水平力F 的作用在光滑水平面上运动，设F =3+4t （t 的单位为s ，F 的单位为N ），初瞬时（t = 0）质点位于坐标原点，且其初速度为0。则t = 3s 时，质点的位移= m ，速度= m/s 。 （2） 质量为m 物体自高H 处水平抛出，运动中受到与速度一次方成正比的R km =?F v (k 为常数)，则该质点的运动微分方程式为 ， 。 O M x v
中国海洋大学理论力学课程大纲 英文名称（Classical mechanics, Theoretical Mechanics） 【开课单位】信息科学与工程学院物理系【课程模块】学科基础 【课程编号】0713******** 【课程类别】必修 【学时数】64 （理论64 实践0 ）【学分数】4 一、课程描述 本课程大纲根据2011年本科人才培养方案进行修订或制定。 （一）教学对象: 物理学、海洋学等物理相关专业 （二）教学目标及修读要求 1、教学目标 通过本课程的学习，使学生对经典力学的理论体系、基本内容、基本方法及其在物理学中的地位和作用有较好的理解，能掌握处理力学问题的一般物理方法。通过本课程的学习，使学生接受理论物理处理问题、研究方法的初步训练，特别培养学习者熟悉物理模型、建立物理模型，严密逻辑推理的能力、抽象思维的能力、从一般到特殊的分析方法及运用高等数学方法解决力学问题的能力，并较好理解数学与物理的密切关系。本课程在内容上和方法上具有较基础的性质，它不仅为学习者进一步学习后继理论物理课程打好坚实的基础，而且在培养、造就高素质创新人才过程中也起着重要作用。其阐述的物理思想、物理方法也是学习者解决实际问题的必不可少的基础知识。 本课程的主要内容包括：质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参照系和分析力学。教学方法宜采用启发式、讨论式和渗透式，以培养学生的自学能力、独立思考的能力、勇于创新的能力以及独立解决问题的能力为导向。理论力学研究宏观运动，许多物理模型都有现实映射对应，要培养学生主动联系实际确定如何建立模型，理解物理模型与现实的差异性。适宜的动手推演、总结归纳、做习题对于知识的掌握是必须的。提倡多思考与总结，不提倡做太多太难的习题。 2、修读要求 理论力学是一门比较完善的经典传统课程，是理科物理专业的第一门基础理论课，也是工科类专业的基础课。理论力学在普通物理力学课程基础上首次运用高等数学工具，全面系统地阐述宏观机械运动的普遍规律。课程逻辑推理严密、内容体系完整、理论性较强，与注重由实验现象出发给出一般规律的普通物理力学相比，它在理论上和解决问题的方法上都有较大提高。本课程需要学生具有较强的数学基础（微积分、矢量）以及对物理学的兴趣。（三）先修课程：力学、高等数学 二、教学内容 （一）质点力学 1、主要内容：牛顿三定律、动力学三个基本定理及其守恒律 2、教学要求：
第2章 质点和质点系动力学 2.1 一斜面的倾角为α, 质量为m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为β时, 求物体从高为h 处由静止下滑到底部所需的时间. 解：设斜面得摩擦系数为μ。对m 分别处于倾角为α，β得斜面上，列出牛顿运动方程为 α角： 1sin 0f mg α-= 1cos 0N mg α-= 11f N μ= β角：2sin 0f mg β-= 2cos 0N mg β-= 22f N μ= 联立解得 sin cos a g g tg ββα=- 又物体从高为h 的斜面下滑的运动方程为 21 sin 2 h at β= 解得 t = = 2.2 用力f 推地面上的一个质量为m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成α角. 木 箱与地面之间的静摩擦系数为0μ, 动摩擦系数为k μ. 求：（1）要推动木箱, f 最小为多少？使木箱作匀速运动, f 为多少？（2）证明当α大于某值时, 无论f 为何值都不能推动木箱, 并求α值. 解：（1）当f 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即 ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin mg f μαμα ≥ -
0min 0cos sin mg f μαμα = - 使木箱做匀速运动，则 ()cos sin k f mg f αμα=+ 0cos sin k mg f μαμα =- （2）当下式成立，则无论f 多大，都不能推动木箱，即 0cos sin f f αμα< 0 1 tg αμ> ， 0 1 arctg αμ> 2.3 质量为5000kg 的直升飞机吊起1500kg 的物体, 以0.6m/s 2 的加速度上升, 求：（1） 空气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解：（1）对飞机物体整体进行受力分析，得 ()()f M m g M m a -+=+ 代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为 46.8910f N =? （2）对物体m 进行受力分析，得 T mg ma -= 解得吊绳中的张力为 ()4 150010.6 1.5910T m g a N =+=?=? 2.4 质量为m 汽车以速率0v 高速行驶, 受到2 kv f -=的阻力作用, k 为常数. 当汽车关 闭发动机后, 求：（1）速率v 随时间的变化关系. （2）路程x 随时间的变化关系. （3）证明速率v 与路程x 之间的函数关系为x m k e v v - =0．（4）若200=v m/s, 经过15s 后, 速 率降为10=t v m/s, 则k 为多少？ 解：由题意得 2 dv kv m dt -= 当0t =时， 0v v = 两边分离变量 02 0v t v dv k dt v m =-?? 积分得
解：建立如图所示的直角坐标系O xy -，长为s 的圆弧的夹角范围22R R θ-≤≤ 由质心定义：c rdm rdl rdl rRd rd r dm dl dl Rd d λθ θ λθ θ = = = = = ? ?? ??????? 考虑到圆弧的对称性和坐标的选取，写成正交分解式得： /22/2cos 2sin 2s R s R c R d xd R s x s s R d R θθθθ -== =??? 0c y = 所以在图所示坐标系中，圆弧的质心坐标为：22(sin ,0)2R s s R 4.2、求出半径为r 的匀质半球的质心位置。 解：取球心为原点，建立如图所示的直角坐标系O xyz - 取右侧半球进行计算。因半球关于y 轴对称，所以质心 位于y 轴上。把半球看成是垂直于y 轴的系列厚度为dy 的薄圆片堆砌，那么距离原点为y 处、半径为z 的质心为(0,,0)y 设半球的密度为ρ 厚度为dz 的薄圆片的质量为： 222()dm dV z dy r y dy ρρπρπ===- 则半球的质心位置为： 0c x = 0c z = 222200 2 222 ()()38 ()()r r c r r y r y dy y r y dy ydm y dV ydV y r dm dV dV r y dy r y dy πρρπ--= = = = = =--? ????????? 所以半球的质心位置在图示坐标中为3(0,,0)8 r 4.3、两只质量均为'm 的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为m 的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。 解：取两只冰船和人为系统，在水平方向受到合外力为0，故在水平方向系统动量守恒。 第一只冰船最后的速度为1v ，第二只冰船最后的速度为2v ，那么人的最后速度为1v
第2 章质点和质点系动力学（复习指南） 一、基本要求 掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题. 掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点. 二、基本内容 1．力、常见力力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为 F = - G m1m2e G=6.6710-11N m2kg-2 r 2 r 引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比. 重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直 向下指向地心. P = mg g =Gm E = 9.80N m 2 kg- 2 R E2 （2）弹性力发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关. 弹簧弹力：F = -kx，x为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力. 滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N成正比，f = N，f的方向与相对滑动方向相反. 静摩擦力为变力，其值介于0 和最大静摩擦力之间，即 0 f 0f 0max 最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体的摩擦力.在此以前两物体间的相互作用静摩擦力大小可以变化.对物体受力分析的顺序为：重力、弹力、摩擦力.在常见力分析中要特别注意静摩擦力. 2．惯性参考系（惯性系）惯性参考系就是用牛顿第一定律定义的参考系.牛顿定律只有在惯性参考系中才成立.惯性参考系有一个重要性质：相对于惯性参考系作匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯性参考系. 3．基本规律
第四章 质点组动力学 以彼之道，还施彼身。单身独影自是无风不起浪,无论是亲朋相会,还是冤家聚头,定有故事流传.代数方程在此将笑傲江湖. 【要点分析与总结】 1 质点组 （1） 质心： 1N i i i c m r r m ==∑ 对于连续体: c rdm r m = ? （2） 内力与外力: ()1 N e i i i ij i m r F F ==+∑ 且内力满足: ij ji F F =- 2 质点组运动的动量、角动量、动能 （1） 动量 c c p mr p == （2） 角动量 1 N i i i c c c c i L r m r r mr L L =''=?+?=+∑ （3） 动能 2211122 N c i i c i T mr m r T ='=+=+∑ 1 N i i T ='∑ 3 质点组运动的基本定理 （1） 动量定理：() 1 N e i i i dP m r F dt ===∑
质心定理：()e c mr P F == （2） 角动量定理：dL M dt = ()e c dL M dt = c c dL M dt ''= （3） 动能定理：111 N N N i i ij i i i j dT F dr F dr ====+∑∑∑ 对质心：,1;N i i ij i j i j dT F dr F dr =≠'''=+ ∑∑ 4 开放的质点组： ()d dm m u F dt dt υυ--= 或()d m dm u F dt dt υ-= <析>此章中许多等式的推导多用到分部积分与等量代换.在本章的习题解答中多用到动量定理,角动量定理与机械能守恒定理的联立方程组,有时质心定理的横空出世会救你于水深火热之中. 【解题演示】 1在一半径为r 的圆圈上截取一段长为s 的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。 解：如右图所示建立坐标系 。则：02s r θ= 设c c c r x i y j =+ 有：