《力学》课程标准 第一部分：课程性质、课程目标 一、课程性质 本课程为物理学专业本科生专业基础课程的必修科目。 力学是物理学其他分支研究的基石和起点。本课程是物理学专业本科学生必修的第一门专业课，本课程中的知识、物理问题的研究方法、运用高等数学知识解决物理问题的方法等都是后续各专业课程的基础。 二、课程目标 通过本课程的学习，使学生比较系统地掌握力学的基本知识，并能灵活地应用力学知识去解决物理学及其它学科中有关力学的基本问题，对牛顿力学及其应用有全面深入的认识，运用牛顿力学的原理和定律，用矢量代数和微积分的方法解决质点力学、质点系力学、刚体力学、振动与波的基本问题，为学习后续课程打好坚实的基础，也为今后从事中学物理教学工作或进一步深造打好基础；了解物理学及力学的基本研究方法；深刻理解中学物理教材中的力学问题，并能独立解决今后在工作中遇到的一般力学问题。 第二部分：教材与主要参考书 一、指定教材 梁昆淼，力学(上册)(第4版)，高等教育出版社，2010。 二、推荐阅读书籍 1、赵凯华，罗蔚茵，新概念物理教程——力学（第二版），高等教育出版社，2004。 2、漆安慎，杜婵英，普通物理学教程——力学（第二版），高等教育出版社，2005。 3、张永德主编，强元棨，程稼夫编著，物理学大题典1力学（上、下册），科学出版社、中国科学技术大学出版社，2005。 4、费恩曼，莱顿，桑兹著，郑永令，华宏鸣，吴子仪等译，费曼物理学讲义（第1卷），上海科学技术出版社，2006。 第三部分：课程教学主要内容及基本要求 一、内容概要 本课程将主要介绍以下几块内容：质点运动学、质点动力学、质点系动力学、刚体力学、振动与波。具体将涉及质点运动的描述、质点运动的原因、刚体的运动情况、振动波动的描述及原理等力学所必需的
《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答 1－3 解： 运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将0 30=θ代入得 34cos cos 22lk lk l y v ====θ θθ 938cos sin 22 3 2lk lk y a =-==θ θ 1－6 证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知: a a v v y n cos ==θ，所以: y v v a a n = 将c v y =，ρ 2 n v a = 代入上式可得 ρ c v a 3 = 证毕 1－7 证明：因为n 2 a v =ρ，v a a v a ?==θsin n 所以：v a ?= 3 v ρ 证毕 1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式： t v L s 0-=，并且 222x l s += 将上面两式对时间求导得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x -= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2 02 v v s x x x =-=+ (b) 将(a)式代入(b)式可得：32 20220x l v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上） 1－11 解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处 于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为 x R x 2 2cos -= θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 2 2 R x x R v A -=ω （c ） 由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x x ω=- 将上式两边对时间求导可得： x x R x x R x x x 2232222)(2ω=-- 将上式消去x 2后，可求得：2 22 42) (R x x R x --=ω 由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 2 22 42) (R x x R a A -=ω 1－13 解：动点：套筒A ； 动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理 r e a v v v += 有：e a cos v v =?，因为AB 杆平动，所以v v =a ， o v o v a v e v r v x o v x o t
x y o A B ' x ' y A a ω α 三、平面图形上各点的加速度 n BA a t BA a t r n r e a a a a a ++=动系：Ax’y’ 动 点：刚体上的B 点 牵连运动：平移相对运动：圆周运动 t t r n n r e ,,BA BA a a a a a a A ===2 n t ,ω α?=?=AB a AB a BA BA t n BA BA A B a a a a ++=问题：是否有加速度投影定理？是否有加速度瞬心？
?加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。 问题：当平面运动刚体在某瞬时角加速度为零时，如何确定加速度瞬心的位置，要确定该位置需要已知哪些运动条件？ 问题：当平面运动刚体在某瞬时角速度为零时，如何确定加速度瞬心的位置，要确定该位置需要已知哪些运动条件 ？ 2 n t ,ω α?=?=MP a MP a MP MP t n MP MP M a a a +=
O A B ω A a B a a C AB 杆瞬时平移 ω 为常量 ω V C o 纯滚动 当平面运动刚体瞬时平移时，加速度瞬心在加速度垂线上 问题：确定图示瞬时平面运动刚体上加速度为零的点。
例：A 端沿直线以匀速u 运动，求绳铅垂时AB 杆的角加速度和杆中点C 的加速度。已知：r BD r AB ==,2解：1、研究AB 杆，速度分析 AB 杆瞬时平移 =AB ωu v v B A ==θ u A B D C B v 2、C 点加速度分析 t n CA CA A C a a a a ++=t CA C a a =
第2章 质点和质点系动力学（复习指南） 一、基本要求 掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题. 掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点. 二、基本内容 1．力、常见力 力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力 万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为 r e r m m G F 221 2211kg m N 1067.6 G 引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比. 重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心. g m P 222E E kg m N 80.9 R Gm g （2）弹性力 发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关. 弹簧弹力：kx F ，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力 两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力. 滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N 成正比，N f ，f 的方向与相对滑动方向相反. 静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即 max 000f f 最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体
质点和质点系动力学习题课 例： 1m ，2m ，l ，相互作用 符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时 V 2V 两质点的速度 1m 2/l 2m 解：02211=-V m V m 2/21212 122221121l m m G V m V m l m m G -+=- l m m G m V )(22121+=，l m m G m V )(22112+= 例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统 （A ）动量与机械能一定都守恒 （B ）动量与机械能一定都不守恒 （C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒 （D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒 例：恒力F ，1m 自平衡位置 由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A
解：A B 系统受水平方向合外力 k F x kx F /0=?=- k F Fx A F /2== 222121)(21kx V m m A F ++=， ) (21m m k F V += =T A 2 1212221222121m m m m k F kx V m ++=+ 例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m 求：抛掷物体后，三艘船的速度？ 解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =?+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统 1)()(V M m V u m MV +=++，m M mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统 3)()(V M m V u m MV +=+-+，m M mu V V +-=3
第三篇 动力学 一、选择题（每题2分，共20分） 1．在铅直面内的一块圆板上刻有三道直槽AO ，BO ，CO ，三个质量相等的小球M 1，M 2，M 3在重力作用下自静止开始同时从A ，B ，C 三点分别沿各槽运动，不计摩擦，则________到达O 点。 （A ）M 1小球先； （B ）M 2小球先； （C ）M 3小球先； （D ）三球同时。 题1 题2 题3 2．质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成?60角。则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为____________。 （A ）3L ； （B ）4L ； （C ）6L ； （D ）0。 3．质量为m ，长为b 的匀质杆OA ，以匀角速度ω绕O 轴转动。图示位置时，杆的动量及对O 轴的动量矩的大小为________。 （A ）2 ωmb p =，122ωmb L O =； （B ）0=p ，122ωmb L O =； （C ）2ωmb p =，22ωmb L O =； （D ）2 ωmb p =，32ωmb L O =。 4．在_____情况下，跨过滑轮的绳子两边张力相等，即F 1=F 2（不计轴承处摩擦）。 （A ）滑轮保持静止或以匀速转动或滑轮质量不计； （B ）滑轮保持静止或滑轮质量沿轮缘均匀分布； （C ）滑轮保持静止或滑轮质量均匀分布； （D ）滑轮质量均匀分布。 题4 题5 5．均质杆长L ，重P ，均质圆盘直径D =L ，亦重P ，均放置在铅垂平面内，并可绕O 轴转动。初始时杆轴线和圆盘直径均处于水平位置，而后无初速释放，则在达到图示位置瞬时，杆的角速度ω1________圆盘的角速度ω2。 （A ）大于； （B ）小于； （C ）等于； （D ）小于或等于。
本篇接着阐述理论力学动力学中的核心观念。阐述的方式依旧是回答几个问题。 问题1：动力学的基本问题是什么？ 答案：虽然书上有关于动力学问题的许多说法，但是就实际应用而言，对于我们机械专业而言，我们所遇到的最常见的动力学问题是，在一个机构上的原动件受到了力（偶），我们要得到机构上各构件的速度和加速度。或者已知了速度和加速度，要反推这个力（偶）是多少。 下图就是这样一个例子。在OA杆上施加一个驱动力偶，各个杆件都有重力，我们要计算此时各约束处的约束力的大小，还需要计算CD杆的速度和加速度。 该问题中，力与运动交织在一起，这就是机构的动力学问题，也是机械中经常遇到的问题。 问题2：如何求解动力学问题？ 答案： 解决动力徐问题的方法很多。我们只要谈两种方法：第一种是通用解法，第二种是动静法（达朗伯原理）。 通用解法，是指面对一个动力学问题，我们总是有一套很程序化的思路来求解它，这套思路中，我们会使用刚体平面运动的微分方程。使用这种方法，我们几乎不用思考，就可以列出所有的方程，解决所有的未知数。例如，对上面这个问题，如果它已知M，要求CD杆的加速度。则使用通用解法，我们可以同时求出AB杆，BE,CD杆的加速度，也可以求出A,B,C,D,E 处所有的约束力。使用通用解法，我们几乎不用关注题目要求什么，而总是可以求出所有的未知数。 动静法，是说把这个动力学问题从形式上变成静力学问题，然后再借用静力学的求解方法来计算所需要的未知数。动静法之所以能够把动力学问题变成静力学问题，是因为它把加速度变成了惯性力，然后对于系统中的每一个构件，形成了一个力系平衡的问题。而我们之所以使用动静法，是因为对于静力学问题，我们有很多解题技巧，例如取整体为对象，或者取某几个构件一起为对象，或者对任何一个点取力矩，这些优越性，都是刚体平面运动微分方程所不具备的。 问题3：如何使用通用解法求解动力学问题？
质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
第八章 质点系动力学：矢量方法 一、动量定理和动量矩定理 1 动量定理 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即 ∑==n i i i m 1 v p 质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢： ) e (R d d F p =t ， ∑=e )e (R i F F 质点系动量定理的微分形式： t d d ) e (R F p = 质点系动量定理的积分形式 t t t d , 2 1 ) e (R )e ()e (12?==-F I I p p ， 其中) e (I 为外力系主矢的冲量。质点系的内力不能改变其总动量。 质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒， 即 0p p = 该常矢量由质点系运动的初始条件确定。 质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为 ()()()()()()∑∑∑=========n i iz Rz z n i iy Ry y n i ix Rx x F F p t F F p t F F p t 1 e e 1e e 1e e d d ,d d ,d d ， 如果0) e (R =x F ，则0x x p p =。 解题要领 1） 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也 不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速度关系问题经常用动量定理. 2） 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度. 3） 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔. 4） 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式. 5） 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程. 2 质心运动定理 质点系的动量等于质心的动量 C n i i i mv m ==∑=1 v p ， 质心运动定理
理论力学动力学知识点汇总
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质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
一、 是非题 1. 只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬时的运动状态就完全确定了。 （错） 2. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应 保持静止或等速直线运动状态。 （对） 3. 作用于质点上的力越大，质点运动的速度越高。 （错） 4. 牛顿定律适用于任意参考系。 （错） 5. 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力的方向。 （错） 6. 圆盘在光滑的水平面上平动，其质心作等速直线运动。若在此圆盘平面上作用一 力偶，则此后圆盘质心的运动状态是变速直线运动。（错） 7. 若系统的总动量为零，则系统中每个质点的动量必为零。（错） 8. 质系动量对于时间的变化率，只与作用于系统的外力有关，而与内力无关。（对） 9. 刚体在一组力作用下运动，只要各个力的大小和方向不变，不管各力的作用点如 何变化，刚体质心的加速度的大小和方向不变。 （对） 10. 冲量的量纲与动量的量纲相同。 （对） 11. 平动刚体各点的动量对一轴的动量矩之和可以用质心对该轴的动量矩表示。（对） 12. 质点系对于任意动点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于 同一点的矩的矢量和。（错） 13. 因为质点系的动量为m C p v =，所以质点系对O 点的动量矩为 ()M m O C O L v =。 （错） 14. 质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。（对） 15. 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该 轴转动时惯性大小的度量。（对） 16. 机械能守恒定理是，当质点系不受外力作用时，则动能与势能之和等于零。 （错） 17. 系统内力所做功之代数和总为零。 （错） 18. 如果某质点系的动能很大，则该质点系的动量也很大。（错） 19. 在使用动静法时，凡是运动着的质点都应加上惯性力。 （错） 20. 平移刚体惯性力系可简化为一个合力，该合力一定作用在刚体的质心上。 （ 对） 21. 具有垂直于转轴的质量对称面的转动刚体，其惯性力系可简化为一个通过转轴的 力和一个力偶，其中力偶的矩等于对转轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，转向与角加速度相反。（对） 22. 应用达朗贝尔原理时，在质点系的每一质点上加上惯性力Ii F 后，作用于每一质 点的主动力i F 、约束力 Ni F ，与惯性力 Ii F 成平衡，即i F +Ni F +Ii F =0，因此， 只须写出方程i F ∑+F Ni ∑+Ii F ∑=0即可求解。（错）
第四章 质点系动力学 §4.1 质点系及其基本性质 10、质点系 所谓的质点系就是由若干个质点构成的系统。 20 、外力与内力 质点系内部质点间的相互作用力称之为质点系的内力，而质点系外部对质点系某个质点的作用力称之为质点系的外力。 30、内力的性质 (1)、内力之和为零 如图4.1，设质点系由n 个质点组成，质点系内部第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而由牛顿第三定律，第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f ，并且有 0=+ji ij f f (4.1.1) 若假设第i 个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力之和为 ∑ ≠== n i j j ji i f f 1 (4.1.2) 由于质点系内部质点间的作用力总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力之和就为 01 11 == = ∑∑ ∑ =≠==n i n i j j ji n i i f f f (4.1.3) 即质点系的内力之和为零。 (2)、内力矩之和为零 同样如图4.1，设第i 个质点相对于某一参考点o 的位置矢量为i r ，它受到的第j 个质点的作用力为ji f ，其力矩为 ji i ji f r J ?= (4.1.4) 而第j 个质点相对于参考点o 的位置矢量为j r ，它受到的第i 个质点的作用力为ij f ，其力矩为 ij j ij f r J ?= (4.1.5) 二者之和为 ij j ji i ij ji f r f r J J ?+?=+ ji f i r ij r ij f j r o 图 4.1， 第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f 。
动力学 （MADE BY 水水） 1－3 解： 运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将030=θ代入得 34cos cos 22lk lk l y v = ===θθθ 938cos sin 22 32lk lk y a = -==θ θ 1－6 证明：质点做曲线运动， 所以质点的加速度为：n t a a a +=, 设质点的速度为v ，由图可知: a a v v y n cos ==θ，所以: y v v a a n = 将c v y =，ρ 2 n v a = 代入上式可得 ρ c v a 3 = 证毕 1－7 证明：因为n 2 a v =ρ，v a a v a ?==θsin n 所以：v a ?=3 v ρ 证毕 1－ 10 x o y
解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式： t v L s 0-=，并且 222x l s += 将上面两式对时间求导得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x 0 -= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2002v v s x x x =-=+ (b) 将(a)式代入(b)式可得：32 20220x l v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上） 取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有： g F F a m m N ++= 将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： N F F y m F mg x m +-=-=θθsin cos 其中： 2 22 2sin ,cos l x l l x x += += θθ0,32 20=-=y x l v x 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得： 2 3220)(1)(x l x l v g m F ++= 1－11 o v o v F N F g m y θ
第2章 质点和质点系动力学 2.1 一斜面的倾角为α, 质量为m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为β时, 求物体从高为h 处由静止下滑到底部所需的时间. 解：设斜面得摩擦系数为μ。对m 分别处于倾角为α，β得斜面上，列出牛顿运动方程为 α角： 1sin 0f mg α-= 1cos 0N mg α-= 11f N μ= β角：2sin 0f mg β-= 2cos 0N mg β-= 22f N μ= 联立解得 sin cos a g g tg ββα=- 又物体从高为h 的斜面下滑的运动方程为 21 sin 2 h at β= 解得 t = = 2.2 用力f 推地面上的一个质量为m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成α角. 木 箱与地面之间的静摩擦系数为0μ, 动摩擦系数为k μ. 求：（1）要推动木箱, f 最小为多少？使木箱作匀速运动, f 为多少？（2）证明当α大于某值时, 无论f 为何值都不能推动木箱, 并求α值. 解：（1）当f 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即 ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin mg f μαμα ≥ -
0min 0cos sin mg f μαμα = - 使木箱做匀速运动，则 ()cos sin k f mg f αμα=+ 0cos sin k mg f μαμα =- （2）当下式成立，则无论f 多大，都不能推动木箱，即 0cos sin f f αμα< 0 1 tg αμ> ， 0 1 arctg αμ> 2.3 质量为5000kg 的直升飞机吊起1500kg 的物体, 以0.6m/s 2 的加速度上升, 求：（1） 空气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解：（1）对飞机物体整体进行受力分析，得 ()()f M m g M m a -+=+ 代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为 46.8910f N =? （2）对物体m 进行受力分析，得 T mg ma -= 解得吊绳中的张力为 ()4 150010.6 1.5910T m g a N =+=?=? 2.4 质量为m 汽车以速率0v 高速行驶, 受到2 kv f -=的阻力作用, k 为常数. 当汽车关 闭发动机后, 求：（1）速率v 随时间的变化关系. （2）路程x 随时间的变化关系. （3）证明速率v 与路程x 之间的函数关系为x m k e v v - =0．（4）若200=v m/s, 经过15s 后, 速 率降为10=t v m/s, 则k 为多少？ 解：由题意得 2 dv kv m dt -= 当0t =时， 0v v = 两边分离变量 02 0v t v dv k dt v m =-?? 积分得
1 / 16 《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答 1－3 解： 运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将0 30=θ代入得 34cos cos 2 2lk lk l y v ====θ θθ 938cos sin 22 32lk lk y a =-==θ θ 1－6 证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知: a a v v y n cos ==θ，所以: y v v a a n = 将c v y =，ρ 2 n v a = 代入上式可得 ρ c v a 3 = 证毕 1－7 证明：因为n 2 a v =ρ，v a a v a ?= =θsin n 所以：v a ?=3 v ρ 证毕 1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式： t v L s 0-=，并且 222x l s += 将上面两式对时间求导得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x -= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2 002v v s x x x =-=+ (b) 将(a)式代入(b)式可得：32 20220x l v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上） 1－11 解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为 x R x 2 2cos -= θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 2 2 R x x R v A -=ω （c ） 由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x x ω=- 将上式两边对时间求导可得： x x R x x R x x x 2232222)(2ω=-- 将上式消去x 2后，可求得：2 2242)(R x x R x --=ω 由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 2 2242)(R x x R a A -=ω 1－13 解：动点：套筒A ； 动系：OA 杆； 定系：机座； o v o v A x ω O θ A v A x ω O B v B R a v e v r v x y o a n a v y v θ θ x y o a n a t θ
第2 章质点和质点系动力学（复习指南） 一、基本要求 掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题. 掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点. 二、基本内容 1．力、常见力力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为 F = - G m1m2e G=6.6710-11N m2kg-2 r 2 r 引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比. 重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直 向下指向地心. P = mg g =Gm E = 9.80N m 2 kg- 2 R E2 （2）弹性力发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关. 弹簧弹力：F = -kx，x为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力. 滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N成正比，f = N，f的方向与相对滑动方向相反. 静摩擦力为变力，其值介于0 和最大静摩擦力之间，即 0 f 0f 0max 最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体的摩擦力.在此以前两物体间的相互作用静摩擦力大小可以变化.对物体受力分析的顺序为：重力、弹力、摩擦力.在常见力分析中要特别注意静摩擦力. 2．惯性参考系（惯性系）惯性参考系就是用牛顿第一定律定义的参考系.牛顿定律只有在惯性参考系中才成立.惯性参考系有一个重要性质：相对于惯性参考系作匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯性参考系. 3．基本规律
质点和质点系动力学 第1节 牛顿运动定律 第一定律??????加速度力惯性定律 惯性 第二定律： a km F = a m F = 质点动力学方程 说明：1、F 是合外力 2、F 相同时? ??????惯性小大小惯性大 小大a m a m 质量是物体惯性大小的量度 3、直角坐标系 dt dV m m a F x x x ==，dt dV m ma F y y y ==，dt dV m m a F z z z == 自然坐标系 dt dV m ma F t t ==，ρ2 V m ma F n n == 第三定律：21F F -= 作用力与反作用力总是大小相等 方向相反且在同一条直线上 同时消失，分别作用在两个物体上，两个力的种类相同 第2节 国际单位制和量纲 一、 国际单位制（SI ） 长度， 质量， 时间， 电流强度， 热力学温度 米(m)， 千克(kg)， 秒（s ）， 安培（A ）， 开（K ） 物质的量， 发光强度 基本量 ?导出量 摩尔（mol ）， 坎（cd ） 基本单位?导出单位 例：速度，dt r d V =，1-ms ； 加速度，dt V d a =，2-m s 力，a m F =，N kgms =-2（牛顿） 二、 量纲：基本量的组合式 L （长度），M （质量），T （时间）， []1-=LT V []2 -=LT a ，1 ][-=T ω，[]2 -=M L T F ，21222---==?? ? ???LT L T L V ρ 注意：只有量纲相同的项才能相加减或划等号 2202 1 t a t V x += []L x =，[]L T LT t V ==-10，2222222)(21--==?? ? ???T L T LT t a
第2章 质点和质点系动力学 【选择题】 2-1. 下列说法正确的是（ ）。 A 物体的运动方向和合外力方向一定相同； B 物体所受摩擦力的方向不一定和它的运动方向相反； C 物体运动的速率不变，所受的合外力一定为零； D 物体的速度很大时，所受的合外力也一定很大 2-2. 一个物体受到几个力的作用，则（ ） A 运动状态一定改变； B 运动速率一定改变； C 必定产生加速度； D 必定对另一些物体产生力的作用。 2-3. A 、B 两质点的质量有关系A B m m >，受到相等的冲量作用，则（ ） A A 比 B 的动量增量少； B A 与B 的动能增量相等； C A 比B 的动量增量大； D A 与B 的动量增量相等； 2-4. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用L 和k E 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有（ ） A ,A B kA kB L L E E >>； B ,A B k A k B L L E E =<； C ,A B kA kB L L E E =>; D ,A B kA kB L L E E <>。 2-5. 关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，其中正确的是：（ ） A 不受力作用的系统，其动量和机械能必然守恒； B 所受合外力为零、内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒； C 不爱外力、而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒； D 外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒。 2-6. 下列表述中正确的是（ ）。 A 外力做功的代数和为零，则系统的动量守恒； B 系统所受合外力恒为零，则系统的动量守恒； C 系统所受外力冲量的矢量和为零，则系统的动量守恒； D 动量守恒定律仅适用于惯性参照系，且与惯性参照系的选择有关 2-7. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的（ ） A 动量不守恒，动能守恒； B 动量守恒，动能不守恒； C 对地心的角动量守恒，动能不守恒； D 对地心的角动量不守恒，动能守恒。 2-8. 下列关于角动量守恒的理解，说法正确的是（ ） A.始末两状态的角动量相同，表明角动量守恒； B.角动量守恒时，始末状态的角速度必相同； C.要使刚体的角动量守恒，其转动惯量必然保持恒定；