第四章 质点系动力学
§4.1 质点系及其基本性质
10、质点系
所谓的质点系就是由若干个质点构成的系统。 20
、外力与内力
质点系内部质点间的相互作用力称之为质点系的内力，而质点系外部对质点系某个质点的作用力称之为质点系的外力。
30、内力的性质 (1)、内力之和为零
如图4.1，设质点系由n 个质点组成，质点系内部第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f
，而由牛顿第三定律，第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f
，并且有
0=+ji ij f f
(4.1.1)
若假设第i 个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力之和为 ∑
≠==
n
i
j j ji i f f 1
(4.1.2)
由于质点系内部质点间的作用力总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力之和就为 01
11
==
=
∑∑
∑
=≠==n i n
i
j j ji n
i i f f f
(4.1.3)
即质点系的内力之和为零。
(2)、内力矩之和为零
同样如图4.1，设第i 个质点相对于某一参考点o 的位置矢量为i r
，它受到的第j 个质点的作用力为ji f
，其力矩为
ji i ji f r J
?= (4.1.4)
而第j 个质点相对于参考点o 的位置矢量为j r
，它受到的第i 个质点的作用力为ij f
，其力矩为
ij j ij f r J
?= (4.1.5)
二者之和为
ij j ji i ij ji f r f r J J
?+?=+
ji f
i r
ij r ij f
j r
o 图 4.1， 第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f 。
由牛顿第三定律，有
ji ij f f
＝－
于是 ij i j ij i ij j ij ji f r r f r f r J J
?-=?-?=+)(
即 0=?=+ij ij ij ji f r J J
(4.1.6)
由此可见，两质点间对某一参考点的内力矩也是大小相等，方向相反，处在同一条直线上。这样，若假设第i 个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力对参考点o 的力矩之和为 ∑
∑
≠=≠=?=
=
n
i
j j ji i n
i
j j ji i f r J J 11)(
(4.1.7)
同样由于质点系内部质点间的作用力对参考点o 的力矩总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力矩之和就为 0)(1
11
11
=?=
=
=
∑∑
∑∑
∑
=≠==≠==n i n
i
j j ji i n i n
i
j j ji n
i i f r J J J
(4.1.8)
即质点系的内力矩之和为零。
40
、质点系的质心与质心存在定理
设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，， 21组成，各质点对惯性参照系内一定点o 的位置矢量分别为n i r r r r
，，，，，21， 则在惯性系内，总可以找到一点C ，使得该点的位矢C r
满足 ∑∑=
i
i
i C m
r m r
(4.1.9)
其中， ∑=
i
m
M 。
此C 点即称为质点系的质心，这就是质点系的质心存在定理。
在直角坐标系中，质心的位置坐标有 ???
?
?
?
???==
=∑∑∑i
i
C
i i
C i
i
C z m
M z y m M y x m M x 111 (4.1.10) 对于质量连续分布的质点系，设在),,(z y x 点处有一可看成质点的质量元
dV dxdydz z y x dm ρρ==),,(，则对整个质点系求和就可有
???
?
?
?
???=
===
==??
????dV
z M
zdm M z dV y M ydm M y dV x M xdm M
x C
C C
ρρρ111111 (4.1.11)
其中， ?=
dV
M ρ。
50、相对质心定理
如图4.2，设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，， 21组成，各质点相对于质心C 的位置矢量分别
为n i r r r r ''''
，，，，，21，则必有
0='∑
i i r m
(4.1.12)
这个相对质心定理可以这样考虑，如对第i 个质点i m ，设对惯性系中的定点o 的位矢为i r
， 而质心C 对o 点的位矢为C r ，则质点i m 相对于质心C 的位矢i r '
就有
C i i r r r
-=' 即 C i i i i i r m r m r m
-=' 对整个质点系求和就得
∑
∑
∑
-
=
'C i i i i i r m r m r m
利用(9)式∑
∑=
i i C i r m r m
即得
0='∑
i i r m
60
、质点系的重心与质心的关系
设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，
， 21组成，各质点的重力加速度不尽相同，分布为n i g g g g
，，，，，21，如果存在这样的点G ，使得
0)(1
=?'∑
=n
i i i i g m r
(4.1.13)
其中),,2,1(n i r i
='为各质点相对于点G 的位置矢量，则该点G 就称之为质点系的重心。
如果各质点的重力加速度均相同为g g i
=，则(13)式可以化为
i m i r
i r '
o C r
C
图4.2，质点i m 相对于质心C 的位矢为i r '
。
0)()(1
1
=?'=?'∑∑
==g r m g m r n
i i i n
i i i
即得
0='∑
i i r m
由相对质心定理，此时质点系的重心与质心为同一点重合。
§4.2 质心运动定理
设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，， 21组成，t 时刻各质点对惯性参照系内一定点o 的位置矢
量分别为n i r r r r
，，，，，21，其中第i 个质点i m 所受到的所有质点系的外力为i F ，所受到的所有质点系的内力为i f
，由牛顿第二定律，第i 个质点i m 的运动微分方程就为
i i i
i
f F dt
r d m
+=2
2 (4.2.1)
对质点系的n 个质点求和就得
i
n
i n
i i n
i i i
f F dt
r d m
∑
∑
∑===+
=
1
1
1
2
2
利用内力之和为零01
=∑
=n
i i f
并变换求导求和次序就得
∑
∑
===
n
i i n
i i i F r m dt d 112
2 即
∑
∑
===
n
i i C n
i i F r m dt
d 1
12
2
∑
==
n
i i C F dt
r d M
1
2
2
(4.2.2)
这表明无论质点系是如何运动的，系统内部的状态如何，质点系质心的运动就相当于把质点系的总质量赋在质心上、把质点系所受到的所有外力作用在质心上，这样的一个质点的运动一样。
§4.3 质点系的动量定理
10
、质点系的动量
质点系的动量指的是质点系所有质点的动量之总和，即
∑
∑
===
=
n
i i i n
i i v m p P 1
1
(4.3.1)
20
、质点系的动量定理
质点系的动量定理指的是：质点系各质点的动量之和即总动量对时间的微商，等于质点系所受到的外
力之和，即
∑
∑
===
n
i i n
i i i F v m dt
d 1
1
(4.3.2)
实际上，若假设质点系第i 个质点i m 所受到的所有质点系的外力为i F
，所受到的所有质点系的内力
为i f
，由牛顿第二定律，第i 个质点i m 的运动微分方程就为
i i i i
f F dt
v d m
+=
则对质点系所有的质点求和就得到
∑
∑
∑===+
=
n
i i n
i i n
i i
i
f F dt
v d m
1
1
1
利用内力之和为零01
=∑
=n
i i f
并变换求导求和次序就得
∑∑
===
n
i i
n
i i i F
v m dt
d 1
1
30、质点系的动量守恒定律
由质点系的动量定理(2)式，若质点系所受到的外力之和为零或不受外力的作用，则质点系的总动量守恒，即
为常量C
v m p P n
i i i n
i i
==
=
∑
∑
==1
1
(4.3.3)
这就是质点系的动量守恒定律。
如考虑质点系各质点n i m m m m ，，，，
， 21在t 时刻(状态Ⅰ)的速度分别为n i v v v v ，，，，，21，在t '时刻(状态Ⅱ)的速度分别为n i v v v v ''''
，，，，，21，而质点系在从t 时刻的状
态Ⅰ变化到t '时刻状态Ⅱ的过程中，如果质点系所受到的外力之和为零或不受外力的作用，则由质点系的动量守恒定律就有
n n i i v m v m v m v m +++++2211=n n i i v m v m v m v m '++'++'+' 2
211 (4.3.4) §4.4 质点系的角动量定理
10
、质点系的角动量
设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，
， 21组成，t 时刻各质点对惯性参照系内一定点o 的位置矢量分别为n i r r r r
，，，，，21，速度分别为n i v v v v
，，，，，21，则质点系对该定点o 的角动量—总角
动量就为
∑
∑
==?=
=
n
i i i i n
i i v m r L L 1
1
)(
(4.4.1)
20、质点系的角动量定理
质点系的角动量定理指的就是：质点系各质点对惯性系中任一定点的角动量之和对时间的微商，等于质点系各质点所受到的外力对该定点的外力矩之和，即
∑∑==?=?=n i i i n i i i i F r v m r dt d dt L d 1
1)()(
(4.4.2)
实际上，若假设质点系第i 个质点i m 所受到的所有质点系的外力为i F
，所受到的所有质点系的内力
为i f
，由牛顿第二定律，第i 个质点i m 的运动微分方程就为
i i i i
f F dt
v d m
+=
如果第i 个质点i m 相对于惯性系某一定点o 的位置矢量为i r
，则以i r
叉乘上式可得 i i i i i i i f r F r dt
v dm r
?+?=?
注意到
dt
v dm r v dt r d m v m r dt d
i
i i i i i i i i ?
+?=?)( dt v dm r v v m i
i i i i i
?+?=
dt
v dm r i
i i
?=
则上式可化为
)(i i i v m r d t
d
?i i i i f r F r ?+?=
对整个质点系求和就得
∑
=?n
i i i i v m r dt d
1
)( ∑
=?=n
i i i i v m r dt
d 1
)(
∑
∑
==?+
?=
n
i i i n
i i i f r F r 1
1
)()(
利用0)(1
＝∑
=?n
i i i f r
就得到
∑
=?n
i i i i v m r dt
d 1
)( ∑
=?=
n
i i i F r 1
)(
30、质点系的角动量守恒定律
由质点系的角动量定理可知，若质点系各质点所受到的外力对惯性系一定点的力矩之和为零，则质点系对此点的角动量守恒，即
C v m r L L n
i i i i n
i i
=?=
=
∑
∑
==1
1
)( (4.4.3)
这就是质点系的角动量守恒定律。
值得注意的是，当质点系的角动量对惯性系中的某一定点守恒时，则对惯性系中的任一定点均守恒，只不过是守恒量值不同而已。这是由于质点系各质点所受到的外力对惯性系中的某一定点的力矩之和为零时，对惯性系中的任一定点之和也为零。
§4.5 质点系的机械能
10、质点系的动能定理
假设质点系第i 个质点i m 所受到的所有质点系的外力为i F
，所受到的所有质点系的内力为i f ，由牛
顿第二定律，第i 个质点i m 的运动微分方程就为
i i i i
f F dt
v d m
+=
如果第i 个质点i m 相当于惯性系某一定点o 的位置矢量为i r
，则以i r d
点乘上式可得 i i i i i i i r d f r d F dt
v d r d m
?+?=?
即 i i i i i i i i i i i
i
r d f r d F v m d v d v m v d dt r d m ?+?==?=?)2
1(2
对整个质点系求和即得
i
i i i i
i i
i
r d f r d F v m d v m
d ∑
∑
∑∑?+
?=
=
)2
1(
)21
(22 (4.5.1) 这就是质点系的动能定理，即质点系动能的增量等于质点系所有外力和内力所做的功。注意，质点系所有内力所做的功不为零。
20
、质点系的机械能
质点系总的机械能就是质点系各质点的动能和势能之总和，即 ∑∑
+
=
i
i i V
v m E )2
1(
2
(4.5.2)
30、质点系的机械能守恒定律
显然，若需质点系的机械能守恒，则要求质点系所有的外力和内力均为保守力。反之，若质点系所有
的外力和内力均为保守力，则质点系的机械能守恒。
§4.6 质心参照系的动力学定理
10、实验室参照系与质心参照系
实验室参照系：所谓的实验室参照系就是实验观测者所处的惯性参照系；
质心参照系：而质心参照系就是固结于质心随质心一起相对于实验室参照系作平动的运动参照系。 20
、质点系对质心系的动量定理
在质心参照系中，如果假设质点系各质点n i m m m m ，，，，， 21在t 时刻相对于质心的的速度分别
为n
i v v v v ''''
，，，，，21，则质点系相对于质心系动量总保持守恒为零，即
0='∑i i v m
(4.6.1)
实际上，由相对质心定理
0='∑
i i r m
对时间求导就得 0='∑
i i r m d t
d
即
0='∑
i i v m
30、质点系对质心系的角动量
设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，， 21组成，各质点对实验室参照系内一定点o 的位置矢量分别为n i r r r r ，，，，，21，速度分别为n i v v v v
，，，，，21，相对于质心C
的位置矢量分别为
n i r r r r '''' ，，，，，21，速度分别为n
i v v v v ''''
，，，，，21。对第i 个质点i m ，有 i C i r r r '+=
(4.6.2) 乘以i m 后对时间求导得
dt
r d m dt
r d m dt
r d m i i
C i
i i '+=
即 i i C i i i v m v m v m '+=
(4.6.3) 对整个质点系求和并利用质点系对质心系的动量定理0='∑i i v m
就得
C C i i i v M v m v m
==
∑
∑
(4.6.4)
这表明质点系的总动量就等于把质点系的总质量赋予质心随质心一起运动的动量。
i m i r
i r '
o C
r
C
图4.3，在质心参照系中，测得质点i m 相对于质心C 的位矢为i r '
。
而以i r
叉乘(3)式得
i i i C C i i C i i i v m r r v m r r v m r '?'++?'+=?
)()(
即 i i i i i C C i i C i C i i i v m r v m r v m r v m r v m r '?'+'?+?'+?=?
利用
C i i i i C C i i C i i C i i v m r v m r dt r d m r r m dt r d dt
r m r d
?'+'?-=?'+?'
=?')
( 上式可化为
i i i i i C i i C C i C i i i v m r v m r dt
r m r d v m r v m r '?'+'?+'?-?=?
2)(
对整个质点系求和得
∑∑
∑
∑
∑
'?'+
'?+
'?-
?=
?)()(2)
()()(i i i i i C i i C C i C i i i v m r v m r dt
r m r d v m r v m r
即
∑
∑
∑
∑
∑
'?'+
'?
+'?-
?=?)()()()(i i i i i C i i C C i C i i i v m r v m r r m r dt d v m r v m r ∑∑∑∑∑'?'+
'?
+'?
-?=
?)()()()(i i
i
i i
C i
i C C i C
i i i
v m
r v m
r r m
r dt
d v m r
v m r
利用相对质心定理0='∑i i r m 和质点系对质心系的动量定理0='∑i i v m
就得
∑
∑
∑
'?'+
?=
?)()()(i i i C i C i i i v m r v m r v m r
(4.6.5)
即 L L L C '+=
(4.6.6) 其中 ∑?=
)(i i i v m r L
(4.6.7)
为质点系相对于实验室系总的角动量，
C C C i C C v M r v m r L ?=?=∑)( (4.6.8) 为把质点系的质量赋予质心随质心一起作平动运动时相对于实验室系的角动量，一般称之为轨道角动量。而
∑'?'=
')(i i i v m r L
(4.6.9)
为质点系相对于质心的角动量，一般称之为自旋角动量。这样，质点系总的角动量就为其轨道角动量与自旋角动量之和。如地球相对于太阳系总的角动量，可等于地球的质量赋予地心绕太阳作轨道运
动的轨道角动量与地球相对于地心的自旋角动量之和。又如氢原子核外的电子的角动量，可等于电子绕原子核运转的轨道角动量与电子自身的自旋角动量之和。
图4.4，地球相对于太阳系总的角动量，可
等于地球的质量赋予地心绕太阳作轨道运动的轨道角动量与地球相对于地心的自旋角动量之和。
40、质点系对质心系的角动量定理
质点系对质心参照系系的角动量定理就是：质点系内各质点对质心的角动量之和，其对时间的微商等于各质点所受到的外力对质心的力矩之和，即
∑∑==?'='?'='n i i i n i i i i F r v m r dt d dt L d 11)()(
(4.6.10) 这与质点系对惯性系中任一定点的角动量定理的形式相同。
实际上，以质心C 为原点建立平动参照系即质心运动参照系，对第i 个质点i m ，有 i C i r r r '+=
由牛顿第二定律又可有 i i i i
C
i
i
i
f F dt
r d m dt
r d m dt
r d m
+='
+=2
22
22
2
这样，在质心运动参照系内观测时，就有 dt
v d m f F dt v d m C
i
i i i i
-+='
以i r '
叉乘上式并对整个质点系求和就得
∑
∑
∑
∑
?'-
?'+
?'=
'?')()()()(dt
v d m r f r F r dt
v d m r C i i i i i i i i i
由于质心的内力对任意一点的力矩之和为零，则上式可化为
∑∑
∑
'?+?'=
'?'i i C i i i i i r m dt
v d F r dt
v d m r
)()(
利用相对质心定理0='∑i i r m
就可化为 ∑∑?'='?')()(i i i i
i F r dt
v d m r
由于
∑∑∑'?'+
'?'
=
'?')()()
(dt v d m r v m dt
r d dt v m r d i i i i i i i i i
即 ∑∑
∑
∑
'?'+
'?'=
'?'=
'?')()()()
(dt v d m r v m v v m r dt
d dt
v m r d i i i i i i i i i i i i
∑∑
'?'=
'?')()(dt v d m r v m r dt
d i i i i i i
于是就得
∑
∑
==?'=
'?'=
'n
i i i n
i i i i F r v m r dt
d dt
L d 1
1
)()(
50、科尼希定理
科尼希定理指的是：质点系的总动能，等于系统的质量集中赋予质心随质心作平动的动能与系统各质点相对于质心运动的动能之和，即
∑
∑
∑
'+
=
=
)2
1(
)2
1(
)2
1(
2
2
2
i i C i i i v m v m v m T (4.6.11)
实际上，以质心C 为原点建立平动参照系即质心运动参照系，对第i 个质点i m 就有 i C i r r r '+=
而质点系总的动能就为 ∑
∑
∑
∑∑'?+'+='+==i
C i i
i C
i i
C i i i r r m r m r m r r m v m T 2222
2
121)(21)21( 即 ∑∑
∑
∑
'?+'+=
=
i i C
i i C
i i i r m r r m r m v m T 222
2
12
1)2
1(
利用质点系对质心系的动量定理0='∑i i v m
就得
∑
∑
∑
'+
=
=
)2
1(
)2
1(
)2
1(
2
2
2
i i C i i i v m v m v m T
60、质点系对质心系的动能定理 如考虑对第i 个质点i m ，有 i C i r r r '+=
由牛顿第二定律就有 dt
v d m f F dt v d m C
i
i i i i
-+='
以i r d '
点乘上式并求和就得
∑
∑
∑
∑'?-
'?+
'?=
'?'i C i
i i i i i i i r d dt
v d m r d f r d F dt v d r d m
即
∑∑∑∑
'?-'?+'?=
'?'i i C i i i i i i i r d m dt v d r d f r d F v d v m
∑∑
∑
∑'?-'?+
'?=
'i i C i i i i i i r m d dt
v d r d f r d F v m d
2
2
1
于是得
∑
∑
∑
'?+
'?=
'i i i i i i r d f r d F v m d
2
2
1 (4.6.12)
这说明：质点系对质心系动能的增量等于在质心系中外力和内力对质点系所做的功。
§4.7 碰撞
10
、完全弹性碰撞
如果将参与碰撞的物体作为一个系统考虑，当碰撞过程中系统不受外力作用或合外力为零时，系统总的动量不但守恒，而且系统的能量也没有损失，则这样的碰撞称之为完全弹性碰撞。如两个刚性的球发生的碰撞就是这样的完全弹性碰撞，碰撞的物体一般可看成质点。
现假设发生完全弹性碰撞的质点系为n 个质点n i m m m m ，，，，， 21组成，碰撞前的速度分别为
n i v v v v ，，，，，21，碰撞后的速度分别为n
i v v v v ''''
，，，，，21，由动量守恒定律有 n n i i v m v m v m v m +++++2211=n n i i v m v m v m v m '++'++'+'
2
211 (4.7.1) 而由于能量守恒，又可有
2
2
222
112
12
121n n v m v m v m +
++
=
222
221
12
12
12
1n
n v m v m v m '++'+' (4.7.2) 发生完全弹性碰撞的质点系将遵守这两个动力学规律。
20、完全非弹性碰撞
如果参与碰撞的物体在碰撞后合成在一起，成为一个物体，则这样的碰撞称之为完全非弹性碰撞。
设发生完全弹性碰撞的质点系为n 个质点n i m m m m ，，，，
， 21组成，碰撞前的速度分别为n i v v v v
，，，，，21，碰撞后合成一个物体的运动速度为v ，则由动量守恒定律就有
v m v m v m v m v m i n n i i
∑
=
+++++2211 (4.7.3)
30、质心参照系内碰撞的分析
以两个物体1m 和2m 组成的体系为例，假设在质心运动参照系中，两物体碰撞前的速度分别为1V
和2V ，碰撞后的速度分别为1V ' 和2V ' 。由于无论有无外力，在质心参照系内观测，质点系的总动量总是为零，
即有
?????='+'=+0
022112211V m V m V m V m
(4.7.4) 如果在实验室参照系内，两物体碰撞前后的速度分别为21v v ，和，及21v v ''
由于两球之间的相对速度与参照
系的选择无关，故又有
?????'-'='-
'-=-
212
12
121V V v v V V v v
(4.7.5)
利用质心的定义，可以得到质心相对于实验室参照系的速度
2
12211212211m m v m v m m m v m v m v C +'+'=
++=
(4.7.6) 于是就可得到两个参照系内测得的速度之间的变换关系
??????
?
??????'-'+=
+'+'-'=''-'+=+'+'-'='-+=++-
=-+=++-=)()()()(12
2
1221221
12
2212
1221221
11
1122
1221221122212
122
1221111v v m m m m m v m v m v V v v m m m m m v m v m v V v v m m m m m v m v m v V v v m m m m
m v m v m v V
(4.7.7)
§4.8 两体问题
原来我们考虑太阳系内行星的运动时，有一个假设，那就是太阳是固定不动的力心。由于太阳也受行星的引力，既便太阳的质量很大，但在严格意义上，太阳本身还是有微小的运动。这样，严格考虑一个行星的运动，就不得不考虑太阳也有运动这样一个事实。故实际的问题就是一个行星与太阳之间的两体运动问题。为此，可假设空间有两个质点1m 和2m ，相对于某个惯性系S 的位置矢量分别为1r 和2r
，两质点间的相互作用力为万
有引力，如2m 受到的1m 的引力为
r r
r F r r r
m Gm F )(2
212-=?-= (4.8.1)
1m 受到的2m 的引力为
r r
r F r r r
m Gm F )(2
211=?= (4.8.2) 如图4.5，其中
12r r r
-= (4.8.3)
为2m 相对于1m 的位矢。由牛顿第二定律，两质点的运动微分方程分别为
r
r r F r
r r
m Gm dt
r d m )(2
2
12
1
21
=?
=
(4.8.4) 和 r
r r F r
r r
m Gm dt
r d m )(2
2
12
2
22
-=?-
= (4.8.5)
1m 1r r
o 2r
2m
图4.5，2m 相对于1m 的位矢为r
。
以1m 乘(5)减去2m 乘以(4)得
r
r r F m m dt
r
d m m dt
r r d m m
?
+-==-)()()
(212
2212
1222
1
即 r
r r F dt
r
d ?-=)(2
2μ
(4.8.6)
其中 2
121m m m m +=
μ (4.8.7)
因r
是2m 相对于1m 的位矢，故(6)式可看成是质点2m 以折合质量μ相对于1m 的运动方程，即质点2m 以折合质量μ相对于1m 作圆锥曲线运动。反过来也一样，质点1m 以折合质量μ相对于2m 作圆锥曲线运动。
又注意到(4)、(5)两式相加得
0221
1=+r m r m
(4.8.8) 而对于质心有
221121)(r m r m r m m C
+=+ 对时间t 求二阶导数就得
0)(2
21121=+=+r m r m r m m C (4.8.9) 这说明质心C 相对于惯性系作匀速直线运动，即质心参照系也是惯性系。
现设质点1m 和2m 相对于质心C 的位置矢量分别为1r ' 和2r '
，两质点相
对于质心参照系的运动微分方程分别为
112
21212
12
1
)
(r r r r m Gm dt
r d m ''?
'+'-
='
(4.8.10)
222
21212
222
)
(r r r r m Gm dt
r d m '
'?'+'-
='
(4.8.11)
注意到对于质心有
02211='+'r m r m
即 02211='-'r m r m
2211r m r m '=' (4.8.12) 故 21
212121)1()1(r m m r m m r r '+='+='+'
(4.8.13) 1m 1r '
1r
C
C r 2r '
o 2r
2m
图 4.6，质点1m 和2m 相对于质心C 的位置矢量分别为1r ' 和2r ' 。
将(13)分别代入到(10)和(11)式就得 112
12
2
1212
121
1)
1(r r r m m m Gm dt
r d m '
'?
'
?
+
-
='
(4.8.14)
222
22
1
2212
222
1)
1(r r r m m m Gm dt
r d m '
'?
'
?
+
-
='
(4.8.15)
这说明，两质点相对于质心也作圆锥曲线运动。
§4.9 变质量物体的运动
10、变质量物体的运动方程
设t 时刻质量为m 的物体以相对于某个惯性系的速度v
运动，与此同时，有一微小质量为m ?的物体以相对于同一个惯性系的速度u
运动，并在之后的t ?时间间隔内与物体m 合并，合并后的t t ?+时刻一起运动的速度为v v
?+。若在合并的t ?时间间隔内，作用在m 和m ?所构成的体系上的合外力为F
，则由质点系的动量定理，可有
t F u m v m v v m m ??=??+-?+??+
)()()(
即 t F u m v m v m v m ??=??-???+??+??
令0→?t ，并略去高阶无穷小量后，除以t ?(0→?t )得
F u dt dm v dt dm dt v
d m
=?-?+ (4.9.1) 即
F u d t d m d t v m d =?-)( (4.9.2) 或 r v dt
dm F v u dt dm F dt v
d m ?+=-?+=)( (4.9.3) 其中)(v u v r
-=，为t 时刻物体m ?相对于物体m 的速度。(1)、(2)、(3)式即为变质量物体的运动方程。
如果假设t 时刻质量为m 的物体以相对于某个惯性系的速度v
运动，在之后的t ?时间间隔内物体m 分离出一微小质量为m ?的物体，分离出的物体m ?相对于同一个惯性系的速度为u
，物体m 分离后的速度为v v
?+，若以m m ?-=?表示物体m 的质量变化量，则由由质点系的动量定理，同样可导出变质量物体的运动方程(1)、(2)和(3)式。
20
、火箭的运动
火箭是把燃烧过的废气向后喷出，其质量逐渐减少，也属于变质量物体的问题，自然也满足方程(3)
r r F F v dt
dm F dt v
d m +=?+= (4.9.4) 其中r r v dt
dm F
?=，为火箭由于喷出废气所受到的反冲力，即火箭的推力。该方程通常称为齐奥尔柯夫斯
基方程。
现研究火箭在无外力的外太空中运动的简单情况，设火箭dt 时间内喷出的物质dm 以相对于火箭本身运动轨道切线反方向的速度i v v r r
-=运动，可有
r v dt
dm dt
dv m ?-
=
即
m
dm v dv r
-
= (4.9.5)
其中r v 一般为常数。如果假设火箭的质量变化规律为
)(0t f m m = (4.9.6) 则(5)式化为
f
df v dv r
-
= (4.9.7)
设0=t 时，0v v =，1=f ，则(7)式积分就得
m
m v v f v v v r r 000ln
ln +=-= (4.9.8)
假设包括仪器和外壳的空火箭的质量为s m ，火箭携带的将要燃烧喷射出去的燃料质量为m '，则火箭开始的质量m m m s '+=0，燃料耗尽时的质量就为s m ，如果火箭的初速度00=v ，则燃料耗尽时火箭的速度就为
)1l o g (3.2ln
s
r s
s r m m v m m m v v '+
≈'+= (4.9.9)
《力学》课程标准 第一部分：课程性质、课程目标 一、课程性质 本课程为物理学专业本科生专业基础课程的必修科目。 力学是物理学其他分支研究的基石和起点。本课程是物理学专业本科学生必修的第一门专业课，本课程中的知识、物理问题的研究方法、运用高等数学知识解决物理问题的方法等都是后续各专业课程的基础。 二、课程目标 通过本课程的学习，使学生比较系统地掌握力学的基本知识，并能灵活地应用力学知识去解决物理学及其它学科中有关力学的基本问题，对牛顿力学及其应用有全面深入的认识，运用牛顿力学的原理和定律，用矢量代数和微积分的方法解决质点力学、质点系力学、刚体力学、振动与波的基本问题，为学习后续课程打好坚实的基础，也为今后从事中学物理教学工作或进一步深造打好基础；了解物理学及力学的基本研究方法；深刻理解中学物理教材中的力学问题，并能独立解决今后在工作中遇到的一般力学问题。 第二部分：教材与主要参考书 一、指定教材 梁昆淼，力学(上册)(第4版)，高等教育出版社，2010。 二、推荐阅读书籍 1、赵凯华，罗蔚茵，新概念物理教程——力学（第二版），高等教育出版社，2004。 2、漆安慎，杜婵英，普通物理学教程——力学（第二版），高等教育出版社，2005。 3、张永德主编，强元棨，程稼夫编著，物理学大题典1力学（上、下册），科学出版社、中国科学技术大学出版社，2005。 4、费恩曼，莱顿，桑兹著，郑永令，华宏鸣，吴子仪等译，费曼物理学讲义（第1卷），上海科学技术出版社，2006。 第三部分：课程教学主要内容及基本要求 一、内容概要 本课程将主要介绍以下几块内容：质点运动学、质点动力学、质点系动力学、刚体力学、振动与波。具体将涉及质点运动的描述、质点运动的原因、刚体的运动情况、振动波动的描述及原理等力学所必需的
动力学 第十五章拉格朗日方程 在第十三章中曾经指出，根据达朗伯原理可以把动力学问题化成静力学问题的形式来处理，在第四章中讨论的虚位移原理是任意质点系平衡的普遍原理。本章中我们首先将这两种原理结合应用得到动力学普遍方程，然后将其用广义坐标的形式表示，推导出更便于求解非自由质点系动力学问题的拉格朗日方程。 第一节动力学普遍方程 设一运动着的质点系，其中第i个质点的加速度为a i，质量为m i，依达朗伯原理在每一瞬时作用在该质点上的主动力F i，约束力F Ni以及假想加在质点上的惯性力F Ii= －ma i 组成平衡力系，即 F i + F Ni+ (－ma i) = 0 (i=1，2，…，n) 应用虚位移原理，给质点系任一组虚位移δr i (i=1，2，…，n)，则质点系上所有主动力，约束力和惯性力在这虚位移中作的元功之和应等于零。于是可得 假定质点系所受的约束是理想约束，则所有约束力在虚位移中的元功之和恒为零，于是上式可写成 (15-1) 如用直角坐标系，式（15-1）可写成 (15-2) 式中分别是和在直角坐标轴上的投影。 式（15-1）和式（15-2）称为动力学普遍方程，这一方程表明:具有理想约束的质点系运动时, 在任一瞬时，作用于质点系的所有主动力和惯性力在任一虚位移中所作元功之和等于零。 下面举例说明这一方程的应用.
第二节拉格朗日方程 由上节可知动力学普遍方程是不包含理想约束力的动力学方程组，这是它的优势所在，但是由于在虚位移计算中采用非独立的直角坐标，从而对确定的动力学系统所得到的方程一般不是最少的。本节所介绍的拉格朗日方程是动力学普遍方程的广义坐标形式，所得到的方程组中方程的个数最少。在推导拉格朗日方程之前首先证明两个恒等式： (15-3) (15-4) 式中n，N分别是质点系中质点的个数和质点系的广义坐标数。若质点系受到s个理想完整的约束则有N=3n-s；是第i个质点的位矢，它是广义坐标q i和时间t的函数，即 证明式（15-3）：将对时间求导得 (15-5) 式中广义坐标对时间的变化率称为广义速度，注意到和只是广义坐标和时间的函数，因此式(15-5)对第j个广义速度取偏导数，便可证得式(15-3)。 证明式（15-4）：将式(15-5)对某一广义坐标求偏导数，得 因为是广义坐标和时间的函数，将其对时间求导数，得
x y o A B ' x ' y A a ω α 三、平面图形上各点的加速度 n BA a t BA a t r n r e a a a a a ++=动系：Ax’y’ 动 点：刚体上的B 点 牵连运动：平移相对运动：圆周运动 t t r n n r e ,,BA BA a a a a a a A ===2 n t ,ω α?=?=AB a AB a BA BA t n BA BA A B a a a a ++=问题：是否有加速度投影定理？是否有加速度瞬心？
?加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。 问题：当平面运动刚体在某瞬时角加速度为零时，如何确定加速度瞬心的位置，要确定该位置需要已知哪些运动条件？ 问题：当平面运动刚体在某瞬时角速度为零时，如何确定加速度瞬心的位置，要确定该位置需要已知哪些运动条件 ？ 2 n t ,ω α?=?=MP a MP a MP MP t n MP MP M a a a +=
O A B ω A a B a a C AB 杆瞬时平移 ω 为常量 ω V C o 纯滚动 当平面运动刚体瞬时平移时，加速度瞬心在加速度垂线上 问题：确定图示瞬时平面运动刚体上加速度为零的点。
例：A 端沿直线以匀速u 运动，求绳铅垂时AB 杆的角加速度和杆中点C 的加速度。已知：r BD r AB ==,2解：1、研究AB 杆，速度分析 AB 杆瞬时平移 =AB ωu v v B A ==θ u A B D C B v 2、C 点加速度分析 t n CA CA A C a a a a ++=t CA C a a =
第2章 质点和质点系动力学（复习指南） 一、基本要求 掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题. 掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点. 二、基本内容 1．力、常见力 力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力 万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为 r e r m m G F 221 2211kg m N 1067.6 G 引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比. 重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心. g m P 222E E kg m N 80.9 R Gm g （2）弹性力 发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关. 弹簧弹力：kx F ，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力 两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力. 滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N 成正比，N f ，f 的方向与相对滑动方向相反. 静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即 max 000f f 最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体
质点和质点系动力学习题课 例： 1m ，2m ，l ，相互作用 符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时 V 2V 两质点的速度 1m 2/l 2m 解：02211=-V m V m 2/21212 122221121l m m G V m V m l m m G -+=- l m m G m V )(22121+=，l m m G m V )(22112+= 例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统 （A ）动量与机械能一定都守恒 （B ）动量与机械能一定都不守恒 （C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒 （D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒 例：恒力F ，1m 自平衡位置 由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A
解：A B 系统受水平方向合外力 k F x kx F /0=?=- k F Fx A F /2== 222121)(21kx V m m A F ++=， ) (21m m k F V += =T A 2 1212221222121m m m m k F kx V m ++=+ 例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m 求：抛掷物体后，三艘船的速度？ 解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =?+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统 1)()(V M m V u m MV +=++，m M mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统 3)()(V M m V u m MV +=+-+，m M mu V V +-=3
理论力学Theoretical Mechanics -----课程目的、要求和主要内容 课程编号：学分：4学时：80先修课程：力学、高等数学替代课程：无 一、课程目的要求： 理论力学主要研究宏观物体在低速机械运动过程中的物理规律，是物理系学生第一次用高等数学方法处理物理学问题的一门专业基础课程，也是学生学好其它理论物理课程的基础。通过本课程的学习，学生不仅应该掌握课程中涉及的各种物理定律，而且要学会应用这些定律解决一般的力学问题，从而培养物理研究中所必需的理论思维能力。 要求学生在学习本课程前应完成了《高等数学》、《力学基础》课程的学习。本课程为考试课程。 二、课程主要内容： 第一章质点力学：在不同的坐标系下对质点运动的描述方法；从运动学方程出发任意时刻质点的速度和加速度；平动参照系下的相对运动描述；质点运动定律（牛作用顿三定律）；质点微分运动方程的建立和求解；变力对质点所作的功与机械能的变化，质点动力学的基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）及其对应的守恒定律；有心力场下质点的运动轨迹；万有引力下的行星运动。 第二章质点组动力学：质点组的质心定义和计算；质点组的动量定理及动量守恒定律；质点组动量矩定理及动量矩守恒定律；质点组动能定理及机械能守恒定律；相对于质心的动量矩定理和动能定理；两体问题；在质心坐标系和实验室坐标系下对散射问题的描述；变质量物体的运动。 第三章刚体力学：刚体运动的分析；角速度矢量；使用欧勒角描述刚体的
运动；刚体运动方程与平衡方程；刚体的转动惯量；刚体的平动和绕定轴的转动；刚体的平面平行运动；刚体绕固定点的转动；重刚体绕定点转动的解——欧勒情况。 第四章转动参照系：平面转动参照系下对质点运动的描述；空间转动参照系下对质点运动的描述；非惯性系动力学问题；地球自转所产生的宏观力学效应。 第五章分析力学：约束与广义坐标；虚功原理；拉格朗日方程的推导和应用；微小振动问题；哈密顿正则方程及其运用；哈密顿原理及其运用。 三、教学方式： 以讲授为主，结合习题分析进一步加强学生对概念的理解和解决问题的能力，加强平时的考查，除了交习题本外经常有课堂提问，测验，以改变学生平时不专心听课，不复习，而期末突击的坏风气。期中和期末之前再集中对所学内容进行总结和复习。 四、主要教学参考书： （1）《理论力学基础教程》，胡慧玲等，（1986），高等教育出版社。 （2）《理论力学疑难及易混问题分析》，贾玉江等，（1987），东北师大出版社，（3）《力学》（上），梁昆淼，（1965），高等教育出版社。 （4）《力学》（下），梁昆淼，（1981），人民教育出版社。 （5）《分析力学基础》，梅凤翔等，（1987），西安交通大学出版社。 五、考核方式及要求： 平时占20％（包括平时作业和上课回答问题、测验），期中考试占30％，期末考试占50％。 六、教学大纲（周历）： 第一周：绪论部分：理论力学的理论结构和学习方法；
《理论力学D》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 《理论力学D》是针对“材料物理”专业本科生在二年级（第一学期）设置的专业基础课，课堂教学（其中包括课堂讲授、习题课、讨论课等）每周3学时（总学时54学时），计3学分。 （二）课程简介、目标与任务； 《理论力学》又称“经典力学”，是研究宏观物体做低速机械运动基本规律的科学，其主要内容由“牛顿力学”和“分析力学”构成。“牛顿力学”是最早发展起来的学科之一，十七世纪末，牛顿在前人工作的基础上总结出了物体运动的三个基本定律，奠定了牛顿力学体系的理论基础。力学与人们的感性经验密切联系，直观形象而易于被人们所理解和采纳。微积分等数学工具的发展和广泛应用更是有力地推动了这一学科的发展。但牛顿力学几乎都以力F为基础，因此它的应用只局限于纯力学问题的范畴，运算也比较繁琐。 十八世纪伯努利、达朗贝尔、欧勒、拉格朗日等人先后发展了经典力学的分析形式，这是力学史上的一个新的里程碑。拉格朗日于1788年发展的名著“分析力学”对此作了全面的总结，从此建立了经典力学的拉格朗日形式。它用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力，并且由于能量对任何物理体系都有意义，因此力学的研究和应用范围也相应地拓展到整个物理学。十九世纪三十年代，哈密顿又推广了分析力学，将力学体系的变量从空间坐标扩大到相应的动量，这就使力学理论完全适应了整个物理学发展的要求，对物理学的发展起到了重要的推动作用。 由于分析力学理论形式简洁且富有公理特性，很容易被推广应用到其他学科中去，因此在理论物理中占有重要的地位。 经典力学在近两个世纪前就已发展成一门理论严谨体系完整的学科。作为理论物理学的第一门课程，它的任务不仅是介绍物体的机械运动规律，还要引导学生如何应用数学去描写和分析物理问题，训练学生使用最严谨的方式去表达、描写、推演、总结自然规律，帮助学生建立唯物主义的观点，提高学生的科学素质。为进一步学好其他物理学的课程打好坚实的物理基础。需要进一步强调说明的是，近几十年来随着非线性系统研究的发展，力学系统混沌行为的逐渐揭示为古老的经典力学注入了新的活力。现在对非线性系统的研究已超过了力学学科，扩展到物理学的各个领域，甚至超过了物理学，而成为许多理工学科以至一些人文学科的共同课题。因此在原来的理论力学课程中应适当加入关于非线性系统讨论的内容，这也已成为这一课程进一步发展革新的必然趋势。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 《理论力学》课程要求修课学生先期掌握基本的微积分、常微分方程、矢量代数等
第一章分析力学基础 1-1 试分析图示两个平面机构的自由度数。 1-2 广义力都具有力的量纲吗?广义力与广义坐标有什么联系? 1-3 放置在固定半圆柱面上的相同半径的均质半圆柱体和均质半圆柱薄壳，如图所示。试分析哪一个能稳定地保持在图示位置。 1-4动力学普遍方程中应包括内力的虚功吗? 1-5如研究的系统中有摩擦力，如何应用动力学普遍方程或拉格朗日方程? 1-6 试用拉格朗日方程推导刚体平面运动的运动微分方程。 1-7 推导拉格朗日方程的过程中，哪一步用到了完整约束的条件 ? 第二章非惯性系中的质点动力学 2-1根据非惯性系下的动力学基本方程，小球在变速运动的车厢中自由降落时受有牵连惯性力，飞机在高空飞行时受有科氏惯性力。试分析这两个惯性力的反作用力作用在哪？牛顿第三定律对它们成立吗？ 2-2对固结在变速运动的列车上的参考系来说，地面上静平衡的物体并不平衡，而随列车一起运动的物体却是平衡的。试从这一点出发说明惯性力的相对性，并说明惯性力的虚加性与真实性。 2-3在质点相对运动中，下述哪些说法是正确的？ （1）若，则必有。 （2）若，则必有。
2-4 某人水平抛出一球，如果考虑科氏惯性力，则在下述情况下，由抛球的人看来，球的路径会偏向不考虑科氏惯性力时路径的右面还是左面？（1）在北半球水平抛出；（2）在南半球水平抛出；（3）在南极和北极水平抛出。 2-5 在惯性系中，质点系的动能为。其中m 为质点系的总质量，为质心速度，为相对于质心坐标系（即以质心为基点的平移坐标系）的动能。称上式为柯尼希定理。试利用柯尼希定理导出质点系相对于质心坐标系的动能定理。 第三章 碰撞 3-1 两球 的质量分别为,开始时不动，以速度撞于。设恢复因数e =1，问在三种情况下，两球碰撞后将如何运动? 3-2 碰撞过程中可以应用冲量矩定理，为什么一般情况下不便于应用动量矩定理的积分形式? 3-3 为什么弹性碰撞时不应用动能定理；当恢复因数e =1时是否可以应用? 3-4 在不同碰撞情况下，恢复因数是如何定义的；在分析碰撞问题中，恢复因数起什么作用? 3-5 击打棒球时，有时震手，有时不感到震手，这是为什么? 3-6 定轴转动刚体上受碰撞力作用，为什么轴承处也会产生碰撞力?如果转轴恰好通过刚体的质心，能否找到撞击中心? 3-7 均质细杆，质量为m ，长为l ，静止放于光滑水平面上。如杆端受有水平并垂直于细杆的碰撞冲量，求碰撞后杆中心的速度和杆的角速度。欲使此杆某一端点碰撞结束瞬时 的速度为零，碰撞冲量应作用于杆的什么位置? 第四章 机械振动基础 4-1 如图所示装置，重物M 可在螺杆上上下滑动，重物的上方 和下方都装有弹簧。问是否可以通过螺帽调节弹簧的压缩量来调节 系统的固有频率? 4-2 如图所示的水平摆和铅垂摆都处于重力场中，杆重不计， 摆长l 、弹簧刚度k 以及摆锤质量m 都是相同的。试问两个摆微幅 摆动的固有频率是否相同？如果二者都脱离了重力场，其固有频率 是否相同？又如图中的弹簧方向都与摆杆垂直，假设弹簧与摆杆成 角连接，其固有频率 有什么不同? '212T mv T C += C v 'T I
第四章 质点组动力学 【解题演示】 4.1在一半径为r 的圆圈上截取一段长为s 的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。 解：如右图所示建立坐标系 。则：02s r θ= 设c c c r x i y j =+ 有： 222 02 022******* 0022sin cos cos 0 cos sin 22sin sin sin 2s s c s s s s c s s r ds r d r x s s ds r ds r d r r r s y s s s s r ds θθθθ ηθθθθθηηθθθθθθη----- ---= = ==-= = ===-?? ???? 则质心位置为22(0, sin )2r s s r 距顶点o '的位置为2(1sin )2c r s r y r s r -=- 4.2求出半径为r 的匀质半球的质心位置。 解：如右图所示，取一截面元与底面相距sin d θ，则其质量： 2(sin )(sin )m d r d r ρπθθ= 则：质心与底面距离22 03(sin )(sin ) 23 m m didm r r d r d m r π θρπθθρπ= = ?? 2224203313cos sin (sin sin )224428 00 r r r d π ππ θθθθ==-=? 4.3两只质量均为m '的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为m 的人自第一 只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。 解：人在两船运动为人与船组成系统的内部作用，故此系统动量守恒， 有： 12()0m m m υυ''++= 得： 12m m m υυ'=-' + 4.4一船以速度υ 前进，船上某人以相对速度u 向船头抛出一质量为m 的铁球。已知船和人的总质量是m '。求人抛掷铁所作的功W 。 解：同上题。动量守恒得：()()m u m m m υυυ''''++=+ 得：m u m m υυ''=-' +
第七章质点动力学 静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律，但没有涉及运动和作用力之间的关系。静力学和运动学所研究的内容相互独立，只是物体机械运动的一种特殊情况。动力学则对物体的机械运动进行全面地分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。 动力学以牛顿定律为基础，属于经典力学。实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制，一是研究的物体运动的速度远小于光速(3×105 km /s)，二是研究的运动对象不能太小，系统作用量(能量?时间)远大于普朗克常数(6.626?10-34J?s)。在通常的工程问题中，遇到的物体大都是宏观物体，而且其运动的速度也远小于光速。有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。 动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。 动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型，然后分析和求解一个质点的动力学问题，最后讨论在非惯性系中质点的运动。 §7.1 质点运动的动力学建模 1 动力学基本定律 质点动力学的基础是牛顿三定律，这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。这三个定律描述了动力学的最基本的规律，是经典力学的核心。 第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。 这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以又成为惯性定律。 第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即 m(7.1.1) a= F 上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系，称为质点动力学的基本方程。若质点受到多个力作用时，则力F应为此汇交力系的合力。 第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量，而且加速度的大小与质点的质量成正比。这说明支点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。 在地球表面，任何物体都受到重力的作用。在重力的作用下，物体的加速度用g表示，
第八章 质点系动力学：矢量方法 一、动量定理和动量矩定理 1 动量定理 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即 ∑==n i i i m 1 v p 质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢： ) e (R d d F p =t ， ∑=e )e (R i F F 质点系动量定理的微分形式： t d d ) e (R F p = 质点系动量定理的积分形式 t t t d , 2 1 ) e (R )e ()e (12?==-F I I p p ， 其中) e (I 为外力系主矢的冲量。质点系的内力不能改变其总动量。 质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒， 即 0p p = 该常矢量由质点系运动的初始条件确定。 质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为 ()()()()()()∑∑∑=========n i iz Rz z n i iy Ry y n i ix Rx x F F p t F F p t F F p t 1 e e 1e e 1e e d d ,d d ,d d ， 如果0) e (R =x F ，则0x x p p =。 解题要领 1） 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也 不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速度关系问题经常用动量定理. 2） 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度. 3） 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔. 4） 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式. 5） 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程. 2 质心运动定理 质点系的动量等于质心的动量 C n i i i mv m ==∑=1 v p ， 质心运动定理
宝鸡文理学院《理论力学》教学大纲 第一部分说明 一、课程的性质 《理论力学》是为物理专业学生开设的专业基础必修课，在教学培养计划中列为专业平台课，是在普通物理力学课的基础上，运用高等数学工具，全面系统阐述宏观机械运动的基本概念和基本规律的学科。 二、课程目标 通过该课程的教学，使学生对经典力学的基本内容有较完整的认识，并能掌握处理力学问题的一般方法，为学习后继的理论物理课程打下较坚实的基础，并培养学生具有一定的抽象思维能力与严密的逻辑推理能力。同时，在本课程学习中结合运用数学工具处理问题，使学生认识数学与物理的密切联系，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力。 三、课程教学内容 该课程主要讲授质点力学、质点组力学、刚体力学、非惯性系动力学、分析力学等内容。 四、教学方法与手段 1）根据少学时课程的特点，着重处理好课时少、内容多之间的矛盾，着重于思想
方法、基本概念、基本理论、基本应用、物理意义等内容。 2）针对理论力学课程运用数学工具过多、数学推导较多的特点，对繁杂的数学推导与运算，尽量要理清思路。为避免学生掉入数学的汪洋大海、忽视问题的物理本质的倾向，要特别注重数学方法的提炼和物理问题的说明。 3）做好该课程与力学课程的衔接，尽量利用学生已掌握的力学基础和数学知识，力求避免与力学课程的不必要的重复。 4）针对理论力学方法较为抽象的特点，注重理论力学与矢量力学的比较与对应，注重理论力学的不同方法之间的比较与对应。 5）采用研究型教学法，注重培养学生的提出问题、分析问题、解决问题的能力。 6）把潜科学的思想方法融入课程的教学，注重理论与方法的潜科学特征、潜科学形态，注重各知识点的演进机制与过程。 7）应用传统教学，注重推导与演绎，增强学生的逻辑思维能力和理论推导能力。 第二部分基本内容 第一章质点力学 [教学目标]能够根据质点的已知运动和几何关系，熟练写出质点运动学方程；掌握质点运动学两类问题的求解方法以及已知质点的运动方程或运动情况，求质点的轨迹；掌握建立质点运动微分方程的方法；熟练掌握求解常见、常用质点运动微分方程的方法；理解与质点动力学有关的基本概念；掌握质点动力学基本定理的内容，并能熟练判断质点是否遵从守恒定律；掌握运用质点动力学基本定理解题的方法；掌握质点在有心力场中的运动的基本性质，并能以此为出发点分析和解决问题。 [教学重难点]质点动力学有关的基本概念的理解、质点运动微分方程的建立及求解。[教学方法]讲授、习题课 [教学时间]10课时 [教学内容] 第一节运动的描述 第二节速度、加速度的分量表式
第四章 分子动力学方法
§4.1 分子动力学方法
第四章 分子动力学方法
分子动力学（Molecular Dynamics，简称MD）是模拟大量粒子集合体系（固 体、气体、液体）中单个粒子的运动的一种手法，其关键的概念是运动，即要计 算粒子的位置、速度和取向随时间的演化。分子动力学中的质点可以是原子、分 子、或更大的粒子集合，只有在研究分子束实验等情况下，粒子才是真正的分子。 与“分子动力学”相类似的名词还有“晶格动力学”（研究固体中原子的振动）和 “分子力学”（分子结构的量子力学），而分子动力学限于模拟经典粒子的运动。
分子动力学简单来说就是用数值方法求解经典力学中的 N 体问题。自 Newton时代起， N 体问题就被认为是很重要的物理问题，解析求解或质点轨道 的混沌分析是数理力学中的关注点。但时至今日，该问题重要性的原因已经进化 成，将单粒子动力学与系统的集体状态相联系，人们试图通过考察单个粒子的运 动来解释大量粒子集合系统的行为。例如，绕过一物体的流体是怎样产生湍流尾 迹的？蛋白质分子中的原子是怎样相互运动从而折叠成生命支撑形态的？流体 气旋怎样产生如木星上的大红斑那样的长寿旋涡的？溶液中的长链分子怎样自 组装成一些特殊结构？等等。因此，分子动力学在凝聚态物理、材料科学、高分 子化学和分子生物学等许多研究领域都有广泛的应用。
§4.1 分子动力学方法
4.1.1 基本概念
4.1.1.1 分子动力学
分子动力学现已成为分子尺度上模拟的典型方法之一。它起源于上世纪50 年代，在70年代中开始受到广泛关注。分子动力学源于自Newton时代以来的古 老概念，即只要知道了系统组分的初始条件和相互作用力，整个系统的行为就可 以计算出来并可以预测。该自然的决定性力学解释长期左右了科学界。Laplace 于1814年曾写到：“Given for one instant an intelligence which could comprehend all the forces by which nature is animated and the respective situation of beings who compose it-an intelligence sufficiently vast to submit these data to analysis-it would embrace in the same formula the movements of the greatest bodies of the universe and those of the lightest atoms; for it, nothing would be uncertain and the future, as the past, would be present to its eyes”（现在的 分子动力学模拟中， Laplace的 “intelligence”由计算机实现，“respective situation”即为给定的一组初始条件， “same formula”为算法程序）。但是，对于决定性力学体系，仍然不是一切都可 以预测的，这主要是由于体系中物体间的非线性相互作用造成的。最近的非线性 动力学已经将决定性与可预测性概念分开：决定性就是体系有因果联系于输入条 件的输出情形；可计算性就是在决定性体系中，有算法使得我们一旦知道输入条
4－1
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速 ρ ρρ-=12gh v ［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程： g p g V z g p g V z ρρ2222121122++=++ （1） 其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。 因流体在点1处滞止，故：01=V 又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v = 将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得： ()??????-+-=g p p z z g v ρ21212 （2） 再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121 将以上条件代入（2）式得：ρρρ-= 12gh v 证毕。 ［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。不计损失，求2d 。 ［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g p g v z g p g v z ρρ2222121122++=++ （1） 题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得： 2211A v A v = （2）
其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积： 4211d A π=，4222d A π= （3） 方程（1）可改写为： ()g p p g v z z g v ρ2121212222-++-= （4） 根据题意：021=-p p ，h z z =-21 （5） 将（5）代入（4），得：g v h g v 222122+= （6） 再由（2）和（3）式可得：44 2222 11d v d v ππ= 所以：222112d d v v = （7） 将（7）式代入（6）得：g v h g d d v 2221424121 += 整理得：2 12142412v v gh d d += 14212122d v gh v d += （8） 将m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h ，2m 8.9=g 代入（8）式，得： ()mm 236m 236.03.036 8.96364 2==?+?=d ［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式()22211y h y y h =+。（此题陈书2y 的标注有误） ［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为： 112gh v =
第四章 质点系动力学 §4.1 质点系及其基本性质 10、质点系 所谓的质点系就是由若干个质点构成的系统。 20 、外力与内力 质点系内部质点间的相互作用力称之为质点系的内力，而质点系外部对质点系某个质点的作用力称之为质点系的外力。 30、内力的性质 (1)、内力之和为零 如图4.1，设质点系由n 个质点组成，质点系内部第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而由牛顿第三定律，第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f ，并且有 0=+ji ij f f (4.1.1) 若假设第i 个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力之和为 ∑ ≠== n i j j ji i f f 1 (4.1.2) 由于质点系内部质点间的作用力总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力之和就为 01 11 == = ∑∑ ∑ =≠==n i n i j j ji n i i f f f (4.1.3) 即质点系的内力之和为零。 (2)、内力矩之和为零 同样如图4.1，设第i 个质点相对于某一参考点o 的位置矢量为i r ，它受到的第j 个质点的作用力为ji f ，其力矩为 ji i ji f r J ?= (4.1.4) 而第j 个质点相对于参考点o 的位置矢量为j r ，它受到的第i 个质点的作用力为ij f ，其力矩为 ij j ij f r J ?= (4.1.5) 二者之和为 ij j ji i ij ji f r f r J J ?+?=+ ji f i r ij r ij f j r o 图 4.1， 第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f 。
第四章 流体动力学基础 4-1 设固定平行平板间液体得断面流速分布为, 总流得动能修正系数为何值? 解: 因为 所以 172233821.0 1.01 1.0572B B A A B y u v d dy B A v B α-????-- ??? ?≈+=+?-= ? ? ??? ????? ?? 4-2 如图示一股水流自狭长得缝中水平射出,其厚度,平均流速V 0＝8m/s,假设此射流受重力作用而向下弯曲,但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角处得平均流速V ;(2)该处得水股厚度。 解:(1)由题意可知:在45度水流处,其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得:V==11、31m/s (2)水股厚度由流量守恒可得:,由于缝狭长,所以两处厚度近似相等,所以m 。 4-3 如图所示管路,出口接一收缩管嘴,水流射人大气得速度V 2=20m/s,管径d 1＝0、1m,管嘴出口直径d 2＝0、05m,压力表断面至出口断面高差H ＝5m,两断面间得水头损失为。试求此时压力表得读数。 解:取压力表处截面为截面1-1,收缩管嘴处截面为截面2-2,选择两截面包围得空间为控制体,由实际流体得恒定总流能量方程得: , 由连续性方程可得1-1断面流速, 由上述两个方程可得压力表得读数(相对压强):, 上式计算结果为:2、48at 。所以,压力表得读数为2、48at 。 4-4 水轮机得圆锥形尾水管如图示。已知A —A 断面得直径d A =0、6m,流速V A ＝6m ／s,B —B 断面得直径d B ＝0、9m,由A 到B 水头损失。求(1)当z ＝5m 时A —A 断面处得真空度;(2)当A —A 断面处得允许真空度为5m 水柱高度时,A —A 断面得最高位置。 解:(1)取A-A 与B-B 包围得空间为控制体,对其列伯努利方程: 可得A-A 断面处得真空度 , 由连续性方程可得B-B 断面流速=2、67m/s, 所以A-A 断面处真空度为6、42m 。 (2)由伯努利方程 可得A —A 断面处得真空度: 将允许真空度代入上式,可得:=3、80m 4-5 水箱中得水从一扩散短管流到大气中,如图示。若直径d 1=100 mm,该处绝对压强,而直径d 2=l50mm,求作用水头H (水头损失可以忽略不计)。 解:取扩散短管收缩段为截面1-1,扩张段为截面2-2,为两截面之间包围得空间为控制体,对其列出连续方程: 对水箱自由液面与两截面列出伯努利方程:
第四章 流体动力学基础 本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程 — N-S 方程。对理想流体运动微分方程 —— 欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程 —— 伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 §4—1运动流体的应力状态 ● 在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强。 任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可由一个静压强（数量场）来描述。 ● 在运动的流体中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫 做动水压强，以示与静水压强的区别。 ● 在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应 力，因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。 ● 在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力 是矢量，而且还与作用面方向有关。所以把法向为n 的作用面上的应力矢量表示为 ),,,(t z y x p n ，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体 受拉。应力矢量的分量形式为),,(nz ny nx p p p ，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知 xy p 等的含义。 ● 由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量，记为 ??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p ][P 主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。 ● 有了应力张量[P ]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：][P ?=n p n ，如法向为n 的 作用面上应力的y 方向的分量为 z zy y yy x xy ny n p n p n p p ++= ● 运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方位作用面上的应力，可见运动流体的应力状态可由应力张量来描述。 ● 应力张量主对角线上三个元素之和 zz yy xx p p p ++ 是坐标变换中的不变量，即其值不随 坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是可定义 )(3 1 zz yy xx p p p p ++-= 为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p 并非任意方位作用面上真正的压应力nn p -. ● 各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系：
中国海洋大学理论力学课程大纲 英文名称（Classical mechanics, Theoretical Mechanics） 【开课单位】信息科学与工程学院物理系【课程模块】学科基础 【课程编号】0713******** 【课程类别】必修 【学时数】64 （理论64 实践0 ）【学分数】4 一、课程描述 本课程大纲根据2011年本科人才培养方案进行修订或制定。 （一）教学对象: 物理学、海洋学等物理相关专业 （二）教学目标及修读要求 1、教学目标 通过本课程的学习，使学生对经典力学的理论体系、基本内容、基本方法及其在物理学中的地位和作用有较好的理解，能掌握处理力学问题的一般物理方法。通过本课程的学习，使学生接受理论物理处理问题、研究方法的初步训练，特别培养学习者熟悉物理模型、建立物理模型，严密逻辑推理的能力、抽象思维的能力、从一般到特殊的分析方法及运用高等数学方法解决力学问题的能力，并较好理解数学与物理的密切关系。本课程在内容上和方法上具有较基础的性质，它不仅为学习者进一步学习后继理论物理课程打好坚实的基础，而且在培养、造就高素质创新人才过程中也起着重要作用。其阐述的物理思想、物理方法也是学习者解决实际问题的必不可少的基础知识。 本课程的主要内容包括：质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参照系和分析力学。教学方法宜采用启发式、讨论式和渗透式，以培养学生的自学能力、独立思考的能力、勇于创新的能力以及独立解决问题的能力为导向。理论力学研究宏观运动，许多物理模型都有现实映射对应，要培养学生主动联系实际确定如何建立模型，理解物理模型与现实的差异性。适宜的动手推演、总结归纳、做习题对于知识的掌握是必须的。提倡多思考与总结，不提倡做太多太难的习题。 2、修读要求 理论力学是一门比较完善的经典传统课程，是理科物理专业的第一门基础理论课，也是工科类专业的基础课。理论力学在普通物理力学课程基础上首次运用高等数学工具，全面系统地阐述宏观机械运动的普遍规律。课程逻辑推理严密、内容体系完整、理论性较强，与注重由实验现象出发给出一般规律的普通物理力学相比，它在理论上和解决问题的方法上都有较大提高。本课程需要学生具有较强的数学基础（微积分、矢量）以及对物理学的兴趣。（三）先修课程：力学、高等数学 二、教学内容 （一）质点力学 1、主要内容：牛顿三定律、动力学三个基本定理及其守恒律 2、教学要求：